Кути при паралельних прямих і січній

У цьому розділі ти познайомишся з основними поняттями: що таке паралельні прямі, що таке січна, і які пари кутів утворюються, коли січна перетинає дві прямі. Без цього неможливо розв'язувати задачі на НМТ.

Паралельні прямі

Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються. Позначають це так: a ∥ b (читають: «пряма a паралельна прямій b»).

Аксіома паралельних (аксіома Евкліда) звучить так: через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Це твердження не доводять — його приймають за основу.

Важлива властивість: якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою. Наприклад: a ∥ c і b ∥ c ⇒ a ∥ b.

Січна та утворені кути

Січна — це пряма, яка перетинає дві прямі. На рисунку позначимо прямі a і b, а січну — c. При перетині двох прямих січною утворюється вісім кутів. Їх нумерують від 1 до 8.

З цих восьми кутів виокремлюють три важливі типи пар:

• Відповідні кути — розташовані однаково відносно своєї прямої й січної. Наприклад, кути, що лежать з одного боку від січної, один — над прямою a, інший — над прямою b. Їх легко впізнати за «буквою F»: уяви, що лінії утворюють обриси літери F.

• Внутрішні різносторонні кути — лежать між прямими a і b (внутрішня область) і по різні боки від січної. Їхня форма схожа на літеру Z.

• Внутрішні односторонні кути — лежать між прямими a і b, але з одного боку від січної. Вони утворюють П-подібну фігуру, схожу на літеру C або П.

Ось схематичне зображення взаємного розташування прямих:

Кути 3, 4, 5, 6 — внутрішні (між прямими a і b). Кути 1, 2, 7, 8 — зовнішні. Внутрішні різносторонні пари: 3 і 6, 4 і 5. Внутрішні односторонні пари: 3 і 5, 4 і 6. Відповідні пари: 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8.

Як розпізнати пару на складному рисунку

Якщо рисунок заплутаний, скористайся мнемонічними правилами:

Коли бачиш рисунок, де відрізки не збігаються з прямими, продовж їх олівцем. Лише після цього шукай пари. Це вбереже тебе від помилок на НМТ.

Запам'ятай: без уміння розпізнавати ці пари ти не зможеш застосувати властивості, про які йтиметься далі.

Коли відомо, що дві прямі паралельні, кути, утворені січною, підпорядковуються чітким закономірностям. Ці закономірності називають властивостями кутів при паралельних прямих. Їх треба знати напам'ять — на НМТ вони не винесені в довідкові матеріали.

Основні властивості

Нехай дві паралельні прямі a і b перетнуто січною c. Тоді виконуються три твердження:

• Відповідні кути рівні. Наприклад: ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8.

• Внутрішні різносторонні кути рівні. Наприклад: ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5.

• Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. Наприклад: ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°.

Чому існують лише дві різні величини

Якщо прямі паралельні, то всі вісім утворених кутів набувають лише двох значень: α (гострий або прямий кут) і 180° − α (тупий або прямий кут). Чому так? Вертикальні й відповідні кути рівні, тому один гострий кут «копіюється» в чотири кути. Ті, що суміжні з ним, дорівнюють 180° − α. Оскільки внутрішні односторонні кути в сумі дають 180°, вони збігаються з тією самою парою α і 180° − α.

Приклад: один із кутів дорівнює 65°. Тоді всі кути — це 65° (чотири кути) і 115° (чотири кути), оскільки 180° − 65° = 115°. Жодних інших значень серед восьми кутів не буде.

Обчислення кутів, заданих відношенням або різницею

Розглянемо типові ситуації, коли кути задано не числом, а співвідношенням.

Відношення 4 : 5. Нехай внутрішні односторонні кути відносяться як 4 : 5. Їхня сума дорівнює 180°. Складаємо рівняння: 4x + 5x = 180°, 9x = 180°, x = 20°. Тоді кути дорівнюють 4 · 20° = 80° і 5 · 20° = 100°.

Різниця 30°. Нехай один внутрішній односторонній кут на 30° більший за інший. Позначимо менший кут x, тоді більший x + 30°. Маємо: x + (x + 30°) = 180°, 2x = 150°, x = 75°. Отже, кути 75° і 105°.

Сума різносторонніх кутів. Якщо сума двох внутрішніх різносторонніх кутів дорівнює 140°, то, оскільки вони рівні (a ∥ b), кожен з них дорівнює 140° : 2 = 70°.

Перпендикулярність і паралельність

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої. Справді, нехай a ∥ b і c ⊥ a. Тоді кут між c і a дорівнює 90°. Відповідний кут при прямій b теж дорівнює 90°, отже, c ⊥ b.

Ця властивість стає в пригоді в задачах, де фігурують перпендикуляр, паралельні прямі та кути.

У попередньому розділі ми виходили з того, що прямі паралельні, і з'ясовували, якими є кути. Тепер розглянемо обернену ситуацію: за відомими кутами треба визначити, чи прямі паралельні. Це називають ознаками паралельності прямих.

Три основні ознаки

Дві прямі a і b є паралельними, якщо при їхньому перетині січною c виконується ХОЧА б одна з трьох умов:

1. Відповідні кути рівні.

2. Внутрішні різносторонні кути рівні.

3. Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Зверни увагу: кожна з ознак — це твердження, обернене до відповідної властивості. Якщо властивість звучить «якщо a ∥ b, то ...», то ознака — «якщо ..., то a ∥ b». Це дві різні логічні стрілки, їх не можна плутати.

Перевірка на конкретних числах

Розгляньмо три приклади перевірки паралельності.

Приклад A. Внутрішні односторонні кути дорівнюють 72° і 108°. Їхня сума: 72° + 108° = 180°. Отже, за третьою ознакою прямі паралельні.

Приклад B. Внутрішні різносторонні кути дорівнюють 72° і 73°. Вони не рівні, тому за другою ознакою прямі не паралельні. Вони перетинаються.

Приклад C. Внутрішні односторонні кути рівні між собою (наприклад, 80° і 80°). Чи паралельні прямі? Для паралельності потрібна сума 180°, а 80° + 80° = 160° ≠ 180°. Тому прямі не паралельні. Рівні внутрішні односторонні кути свідчать про паралельність лише тоді, коли кожен із них дорівнює 90° (оскільки 90° + 90° = 180°).

Ознака через перпендикулярність

Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою. Це окремий випадок: якщо a ⊥ c і b ⊥ c, то a ∥ b. Цю ознаку часто використовують у геометричних побудовах.

Бувають задачі з рисунком, де прямі позначено буквами, а в умові наведено кілька кутів; треба визначити, які прямі паралельні. Алгоритм: визнач тип пари кутів (відповідні, різносторонні чи односторонні), перевір умову (рівність або суму 180°) і зроби висновок.

Іноді в задачі кут, який треба знайти, лежить не при січній, а всередині ламаної між двома паралельними прямими. Такі задачі називають задачами «зигзаг». Їх розв'язують за допомогою допоміжної паралельної прямої.

Задача «зигзаг»

Умова: дві паралельні прямі a і b. Між ними розташована ламана AMB (вершина M у внутрішній області). Ланка MA утворює з прямою a кут 30° (внутрішній різносторонній). Ланка MB утворює з прямою b кут 45° (внутрішній різносторонній). Потрібно знайти ∠AMB.

Ідея розв'язання — провести через точку M пряму, паралельну a. Оскільки a ∥ b, ця допоміжна пряма буде паралельною й b. Тоді вона утворює з MA такий самий кут, як і пряма a, бо це внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих. Аналогічно з MB. Отже, ∠AMB = 30° + 45° = 75°.

Схематично: через M проводимо пряму m ∥ a ∥ b. Тоді кут між MA і m дорівнює куту між MA і a (різносторонні). Аналогічно кут між MB і m дорівнює куту між MB і b. Отже, ∠AMB = (кут MA з a) + (кут MB з b).

Пряма, паралельна стороні трикутника

Якщо через точку на стороні трикутника провести пряму, паралельну іншій стороні, то вона утворює з двома іншими сторонами кути, що дорівнюють відповідним кутам трикутника. Це випливає з властивості відповідних кутів при паралельних прямих.

Наприклад, нехай у трикутнику ABC через вершину B проведено пряму m ∥ AC. Тоді кут між BA і m дорівнює ∠BAC (внутрішні різносторонні кути при m ∥ AC і січній AB). Аналогічно кут між BC і m дорівнює ∠BCA. Цей прийом використовують у доведенні теореми про суму кутів трикутника (яка дорівнює 180°), але це вже тема окремого юніта.

На НМТ задача «зигзаг» може з'явитися як завдання з вибором однієї правильної відповіді. Ключовий крок — не боятися провести додаткову пряму на рисунку. Без неї розв'язати задачу майже неможливо.

Розгляньмо чотири типові задачі, які трапляються на НМТ. Кожна з них перевіряє певне вміння з цього юніта.

Приклад 1. Знаходження внутрішнього одностороннього кута

Завдання. Паралельні прямі a і b перетнуто січною c. Один із кутів дорівнює 58°. Знайдіть кут, внутрішній односторонній з ним.

Розв'язання. Оскільки a ∥ b, то внутрішні односторонні кути в сумі дають 180°. Шуканий кут = 180° − 58° = 122°.

Відповідь: 122°.

Чому інші відповіді неправильні?

• 58° — це внутрішній різносторонній кут (вони рівні, а не в сумі 180°), але в задачі питають односторонній.

• 32° — хтось подумав, що кути доповнюють один одного до 90° (плутанина з перпендикулярністю).

• 132° і 142° — помилки в обчисленні: 180° − 58° = 122°, а не 132° чи 142°.

Приклад 2. Кути, задані відношенням

Завдання. Внутрішні односторонні кути при двох паралельних прямих і січній відносяться як 2 : 7. Знайдіть більший з них.

Розв'язання. Нехай кути дорівнюють 2x і 7x. Їхня сума як внутрішніх односторонніх дорівнює 180°. Складаємо рівняння: 2x + 7x = 180°, 9x = 180°, x = 20°. Тоді більший кут = 7 · 20° = 140°.

Відповідь: 140°.

Чому інші відповіді неправильні?

• 40° — менший кут (2 · 20°), а питають більший.

• 20° — значення x, а не кут.

• 160° — це 180° − 20°: від 180° відняли значення x замість меншого кута 2x = 40°.

• 100° — інша комбінація (2 · 50° = 100°), але x = 20°, а не 50°.

Приклад 3. Задача «зигзаг»

Завдання. Паралельні прямі a і b. Ланка MA утворює з прямою a кут 40°, ланка MB — з прямою b кут 35°. Знайдіть ∠AMB.

Розв'язання. Через точку M проводимо пряму m, паралельну a (отже, і b). Кут між MA і m дорівнює 40° (як внутрішні різносторонні при a ∥ m і січній MA). Кут між MB і m дорівнює 35° (аналогічно при b ∥ m і січній MB). Отже, ∠AMB = 40° + 35° = 75°.

Відповідь: 75°.

Чому інші відповіді неправильні?

• 105° — 180° − 75°; хтось узяв суму до 180° замість додавання кутів.

• 5° — різниця 40° − 35°; помилка: кути слід додавати, а не віднімати.

• 145° і 150° — довільні обчислення без допоміжної прямої.

Приклад 4. Визначення паралельних прямих за кутами

Завдання. Прямі a, b і c перетнуто січною d. Внутрішні односторонні кути при a і b — 64° і 116°. Кут при c, внутрішній різносторонній з кутом 64° при a, дорівнює 66°. Які прямі паралельні?

Розв'язання. Перевіряємо пару a і b: внутрішні односторонні кути 64° + 116° = 180°, тому a ∥ b (за третьою ознакою). Перевіряємо пару a і c: внутрішній різносторонній кут при c дорівнює 66°, а при a — 64°. Вони не рівні (66° ≠ 64°), тому a не паралельна c. Оскільки a ∥ b, а a не паралельна c, то b теж не паралельна c.

Відповідь: лише a і b.

Чому інші відповіді неправильні?

• «лише a і c» — хтось побачив 64° і 66° і вирішив, що вони майже рівні; але рівність має бути точною.

• «лише b і c» — те саме: немає рівності кутів.

• «усі три» — не перевірили різносторонні кути при a і c.

• «жодні дві» — не помітили, що 64° + 116° = 180°, тому a ∥ b за односторонніми кутами.

Навіть добре знаючи теорію, на НМТ легко припуститися помилки через неуважність або неправильне застосування правил. Ось найчастіші пастки.

• Плутають внутрішні односторонні кути з внутрішніми різносторонніми. Запам'ятай: односторонні — сума 180°, різносторонні — рівні. Допоможе форма літери: Z (зигзаг, кути «навхрест») — рівні, С або П — сума 180° (С — «сто вісімдесят»).

• Застосовують рівність відповідних кутів до прямих, про які не відомо, що вони паралельні. Властивість «відповідні кути рівні» працює ТІЛЬКИ для паралельних прямих. Якщо прямі не паралельні, відповідні кути, взагалі кажучи, не рівні.

• Роблять висновок про паралельність з рівності внутрішніх односторонніх кутів. Для ознаки паралельності потрібна сума 180°, а не рівність. Рівні внутрішні односторонні кути (наприклад, 80° і 80°) дають суму 160° і не свідчать про паралельність, якщо тільки кожен з них не дорівнює 90°.

• У задачі з відношенням 2 : 7 ділять 180° на 7 замість 9. Пам'ятай: якщо кути відносяться як m : n, то всього частин m + n. Спершу ділимо 180° на m + n, потім множимо на потрібне число. І завжди перечитуй питання — чи просять більший чи менший кут.

• У задачі «зигзаг» віднімають кути замість додавати. Кут ламаної дорівнює сумі двох кутів, які ланки утворюють з паралельними прямими, а не різниці. Проведи допоміжну пряму — вона розіб'є кут на дві частини, які саме додаються.

• Не продовжують відрізки на рисунку до прямих. На рисунку можуть бути зображені лише відрізки. Якщо їх не продовжити, важко побачити, які кути є відповідними чи різносторонніми. Завжди подумки (або олівцем на чернетці) продовжуй лінії до повних прямих.

Тема «Паралельні прямі, кути при січній, ознаки паралельності» відповідає темі 5.1 програми НМТ рівня стандарту. Уміння, яке перевіряють, — застосовувати означення, ознаки й властивості елементарних фігур до планіметричних задач і задач практичного змісту.

Форма завдань

На НМТ ця тема перевіряється в завданнях 1–15 з вибором однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д). Кожне таке завдання оцінюється в 0 або 1 бал.

У демоваріанті НМТ-2026 тема 5.1 входить у завдання 2 разом із темою 5.3 (кути трикутника на практичному рисунку). На одному рисунку можуть бути зображені дві паралельні прямі, перетнуті третьою, і трикутник, що спирається на одну з них.

Що треба знати напам'ять

Властивостей кутів при паралельних прямих немає в довідкових матеріалах, які видають на НМТ. Ти повинен знати їх напам'ять:

• відповідні кути при паралельних прямих рівні;

• внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих рівні;

• сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих дорівнює 180°.

Стратегія для НМТ

Застосовуй такий алгоритм:

1. Продовжи всі прямі на рисунку (подумки або олівцем на чернетці).

2. Визнач тип пари кутів за допомогою літер: F — відповідні, Z — різносторонні, C — односторонні.

3. Підпиши кожен кут одним із двох значень: α або 180° − α.

4. Якщо треба перевірити паралельність, застосуй ознаки (обернені твердження).

Ця стратегія зводить будь-яку задачу на кути при паралельних прямих до двох простих арифметичних дій і значно зменшує ризик помилки.

• При паралельних прямих: відповідні кути рівні, внутрішні різносторонні рівні, внутрішні односторонні в сумі дають 180°.

• Усі вісім кутів при паралельних прямих і січній дорівнюють α або 180° − α.

• Обернені твердження — ознаки паралельності прямих: рівність відповідних, рівність різносторонніх або сума односторонніх 180°.

• Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

• У задачі «зигзаг» кут між ланками ламаної дорівнює сумі двох внутрішніх різносторонніх кутів, які ці ланки утворюють з паралельними прямими.

• Властивості кутів при паралельних прямих треба знати напам'ять — їх немає в довідкових матеріалах НМТ.