Комбіновані задачі на кілька законів фізики

У реальному фізичному світі події рідко описуються одним-єдиним законом. Куля влучає в брусок — це один процес; брусок з кулею піднімається вгору — це вже інший. Свинцева кулька падає, вдаряється об землю й нагрівається — тут переплелися механіка й теплові явища. Таку задачу, у якій кілька процесів з'єднані в ланцюжок, називають комбінованою.

Як влаштована комбінована задача

Кожен процес у ланцюжку описується своїм фізичним законом. Результат одного етапу стає початковою умовою (даною) для наступного. Цю проміжну величину називають зв'язковою величиною. Наприклад:

• у задачі «удар — підйом» зв'язкова величина — швидкість одразу після удару;

• у задачі «падіння — нагрівання» — швидкість тіла перед ударом (або його кінетична енергія);

• у задачі «фотоефект — гальмівне поле» — кінетична енергія фотоелектрона.

Алгоритм розв'язування

1. Прочитай умову й випиши всі етапи в порядку часу.

2. Для кожного етапу назви фізичний закон, що його описує (закон збереження імпульсу, закон збереження енергії, рівняння теплового балансу, рівняння фотоефекту тощо).

3. Знайди величину, яка переходить з одного етапу на наступний (швидкість, температура, енергія, напруга).

4. Запиши рівняння для кожного етапу, уводячи якомога менше нових позначень.

5. Розв'яжи систему рівнянь у загальному вигляді — числа підставляй лише в кінці.

Ключове правило: часові межі закону збереження

Закон збереження імпульсу виконується для замкненої системи, на яку не діють зовнішні сили або їх дія скомпенсована. Закон збереження механічної енергії виконується, коли непотенціальні сили (тертя, сили деформації під час удару) не виконують роботи. Тому в комбінованій задачі не можна застосувати один закон до всього процесу — треба чітко розмежовувати моменти часу:

Позначай моменти часу словами: «до удару», «після удару», «у верхній точці». Не змішуй їх — кожен момент має свій набір величин (швидкість, висота, енергія).

Комбінована задача — це задача, де два або три різні фізичні закони описують послідовні етапи одного процесу, а результат попереднього етапу є вхідною умовою для наступного.

Найпоширеніший тип комбінованої задачі в механіці — це «удар — підйом». У ній спочатку відбувається абсолютно непружний удар (куля застрягає в бруску), а потім злипле тіло рухається під дією сили тяжіння. Ці два етапи описуються різними законами збереження.

Абсолютно непружний удар

Під час абсолютно непружного удару тіла з'єднуються й рухаються далі разом. Для цього етапу виконується закон збереження імпульсу:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=(m_1+m_2)u$$

де u — швидкість системи одразу після удару. Якщо друге тіло до удару було нерухоме (v₂ = 0), формула спрощується:

$$m_1{v}_1=(m_1+m_2)u\Rightarrow u=\frac{m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

Під час удару механічна енергія не зберігається. Частина кінетичної енергії переходить у внутрішню (тепло, деформація). Тому застосовувати закон збереження механічної енергії до моменту удару — груба помилка.

Підйом після удару

Після удару на систему діють лише сила тяжіння (потенціальна сила) і сила натягу нитки (якщо брусок підвішений). Сила натягу перпендикулярна до швидкості й роботи не виконує, тому тепер механічна енергія зберігається:

$$\frac{(m_1+m_2)u^2}{2}=(m_1+m_2)gh$$

Маса скорочується, і висота підйому виражається просто:

$$h=\frac{u^2}{2g}$$

Покроковий приклад

Куля масою 10 г (0,01 кг) летить зі швидкістю 400 м/с і застрягає в бруску масою 1,99 кг, підвішеному на нитці. Знайди висоту підйому бруска після удару. g = 10 м/с².

Етап 1 — удар (закон збереження імпульсу):

$$u=\frac{m_1{v}_1}{m_1+m_2}=\frac{0,01\cdot 400}{0,01+1,99}=\frac{4}{2}=2\text{м/с}$$

Етап 2 — підйом (закон збереження механічної енергії):

$$h=\frac{u^2}{2g}=\frac{2^2}{2\cdot 10}=\frac{4}{20}=0,2\text{м}=20\text{см}$$

Інші типові зв'язки в механіці

• Скочування з висоти й удар об перешкоду: спочатку потенціальна енергія переходить у кінетичну (ЗСЕ), потім удар (ЗЗІ).

• Рух по похилій площині й на горизонтальній ділянці з тертям: робота сили тертя дорівнює зміні механічної енергії: A_тертя = ΔE.

• Зіткнення двох тіл на гладкій поверхні й подальший рух зчеплених тіл: знову ЗЗІ для удару, потім кінематика або ЗСЕ для руху.

Механічна енергія може перетворюватися на внутрішню (теплову), і навпаки. У комбінованих задачах часто треба простежити, як кінетична або потенціальна енергія переходить у тепло, або як електрична енергія нагріває тіло.

Кінетична енергія → теплота

Коли тіло повністю гальмується (наприклад, ударяється об землю й зупиняється), його кінетична енергія переходить у внутрішню. Якщо все тепло йде на нагрівання самого тіла, то:

$$\frac{m{v}^2}{2}=cm\Delta T$$

Маса m скорочується, тому зміна температури залежить лише від швидкості й питомої теплоємності:

$$\Delta T=\frac{v^2}{2c}$$

Якщо тіло падає з висоти h і вся потенціальна енергія переходить у тепло (наприклад, свинцева куля після падіння й удару), то mgh = cmΔT, звідки:

$$\Delta T=\frac{gh}{c}$$

Приклад: падіння свинцевої кулі

Свинцева куля падає з висоти 130 м. Уся механічна енергія після удару переходить у внутрішню й нагріває кулю. Питома теплоємність свинцю c = 130 Дж/(кг·К), g = 10 м/с². На скільки кельвінів нагріється куля?

Етап 1 — падіння: потенціальна енергія переходить у кінетичну (закон збереження механічної енергії): mgh = mv²/2.

Етап 2 — удар і нагрівання: кінетична енергія переходить у внутрішню: mv²/2 = cmΔT.

Зв'язкова величина — швидкість v перед ударом. Але можна об'єднати рівняння: mgh = cmΔT, звідки:

$$\Delta T=\frac{gh}{c}=\frac{10\cdot 130}{130}=10\text{К}$$

Електричний струм і теплота з ККД

Електричний чайник перетворює електричну енергію на теплову. Корисна теплота йде на нагрівання води, а повна робота струму враховує втрати:

$$Q_{\text{корисна}}=cm\Delta T$$

$$A_{\text{повна}}=P\cdot t$$

$$\eta =\frac{Q_{\text{корисна}}}{A_{\text{повна}}}$$

Звідки час нагрівання:

$$t=\frac{cm\Delta T}{\eta \cdot P}$$

Приклад: електричний чайник

Чайник потужністю 1000 Вт з ККД 80 % нагріває 1 кг води від 20 °C до 100 °C. Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К). Знайди час нагрівання в хвилинах.

Корисна теплота: Q = 4200 · 1 · (100 − 20) = 4200 · 80 = 336 000 Дж = 336 кДж.

Повна робота: A = P·t.

ККД: η = Q / A ⇒ A = Q / η = 336 000 / 0,8 = 420 000 Дж.

Час: t = A / P = 420 000 / 1000 = 420 с = 7 хв.

Або за формулою: t = (4200 · 1 · 80) / (0,8 · 1000) = 336 000 / 800 = 420 с = 7 хв.

Запам'ятай: ККД завжди переводять у частку (80 % → 0,8). Якщо підставити 80 замість 0,8, час вийде в 100 разів меншим — типова помилка!

Фотоефект — явище виривання електронів з речовини під дією світла. У комбінованих задачах фотоефект часто поєднують з електричним полем: вирваний електрон потрапляє в гальмівне поле, і затримувальна напруга дозволяє визначити його енергію.

Рівняння фотоефекту й затримувальна напруга

Енергія фотона витрачається на роботу виходу електрона з металу й на його кінетичну енергію:

$$h\nu =A_{\text{вих}}+E_{\text{к}}$$

Якщо електрон потрапляє в гальмівне електричне поле, воно виконує роботу, яка дорівнює зміні кінетичної енергії електрона. Затримувальна напруга Uз — це така напруга, за якої електрон зупиняється:

$$e{U}_{\text{з}}=E_{\text{к}}$$

де e — елементарний заряд (1,6·10⁻¹⁹ Кл). Об'єднуючи обидва рівняння, отримуємо:

$$h\nu =A_{\text{вих}}+e{U}_{\text{з}}$$

Приклад: фотоефект і гальмівне поле

Енергія фотона дорівнює 5 еВ, робота виходу електрона з металу — 3 еВ. Знайди затримувальну напругу.

Етап 1 — фотоефект: кінетична енергія фотоелектрона Eк = hν − Aвих = 5 − 3 = 2 еВ.

Етап 2 — гальмівне поле: робота поля дорівнює кінетичній енергії: eUз = Eк. Оскільки 1 еВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж, а заряд електрона e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, то чисельно Uз = Eк / e = 2 еВ / e = 2 В.

Зручний факт: якщо енергія виражена в електронвольтах, то затримувальна напруга у вольтах чисельно дорівнює кінетичній енергії в електронвольтах, оскільки 1 еВ = e · 1 В.

Механіка + електрика: рух зарядженої частинки в полі

Заряджена кулька в однорідному електричному полі зазнає дії сили F = qE. За другим законом Ньютона вона отримує прискорення a = qE / m. Далі рух описується кінематикою (рівномірно прискорений рух). Тут поєднуються закони електростатики (сила), динаміки (прискорення) і кінематики (шлях, час, швидкість).

Як розв'язувати, коли законів більше двох

Коли в задачі три й більше закони, діють за таким планом:

1. Запиши всі рівняння, що описують кожен етап, використовуючи мінімум позначень.

2. Виділи невідомі величини — те, що треба знайти, і проміжні величини.

3. Виключи проміжні величини: вирази одну через іншу й підстав у наступне рівняння.

4. Лише після того, як отримав формулу в загальному вигляді, підставляй числа.

Наприклад, у задачі «фотоефект + гальмівне поле + визначення частоти» спочатку записують hν = A + eUз, потім виражають ν = (A + eUз) / h і лише тоді підставляють числа. Жодних проміжних обчислень у джоулях — усе в загальному вигляді.

Розгляньмо чотири типові комбіновані задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожна з них поєднує два закони з різних розділів фізики.

Приклад 1. Удар — підйом

Куля масою 10 г летить горизонтально зі швидкістю 400 м/с і застрягає в бруску масою 1,99 кг, підвішеному на нитці. На яку висоту (у см) підніметься брусок після удару? Вважай g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Етап 1 — непружний удар. Застосовуємо закон збереження імпульсу: m₁v₁ = (m₁ + m₂)u.

2. Знаходимо зв'язкову величину — швидкість після удару: u = m₁v₁ / (m₁ + m₂) = 0,01·400 / (0,01 + 1,99) = 4 / 2 = 2 м/с.

3. Етап 2 — підйом. Застосовуємо закон збереження механічної енергії: (m₁ + m₂)u²/2 = (m₁ + m₂)gh.

4. Маса скорочується: h = u²/(2g) = 4 / 20 = 0,2 м = 20 см.

Відповідь: 20 см.

Чому не можна застосувати один закон? Під час удару діють сили деформації (непотенціальні), тому механічна енергія не зберігається. Але зовнішні сили (тяжіння, натяг) за короткий час удару не встигають змінити імпульс системи, тому імпульс зберігається.

Приклад 2. Падіння — нагрівання

Свинцева куля падає з висоти 130 м. Уся механічна енергія після удару об землю переходить у внутрішню й нагріває кулю. Питома теплоємність свинцю c = 130 Дж/(кг·К), g = 10 м/с². На скільки кельвінів нагріється куля?

Розв'язання:

1. Етап 1 — падіння. Потенціальна енергія переходить у кінетичну: mgh = mv²/2.

2. Етап 2 — удар і нагрівання. Кінетична енергія переходить у внутрішню: mv²/2 = cmΔT.

3. Об'єднуємо рівняння: mgh = cmΔT. Маса скорочується.

4. ΔT = gh / c = 10·130 / 130 = 10 К.

Відповідь: 10 К.

Зверни увагу: зміна температури в кельвінах чисельно дорівнює зміні в градусах Цельсія, тому відповідь можна записати як 10 К або 10 °C.

Приклад 3. Електричний чайник

Електричний чайник потужністю 1000 Вт має ККД 80 %. Скільки часу (у хвилинах) потрібно, щоб нагріти 1 кг води від 20 °C до 100 °C? Питома теплоємність води c = 4200 Дж/(кг·К).

Розв'язання:

1. Корисна теплота: Q = cmΔT = 4200·1·(100 − 20) = 4200·80 = 336 000 Дж.

2. ККД: η = Q / A, де A = P·t — повна робота струму.

3. Виражаємо час: t = Q / (η·P) = 336 000 / (0,8·1000) = 336 000 / 800 = 420 с.

4. Переводимо в хвилини: 420 с / 60 = 7 хв.

Відповідь: 7 хв.

Типова помилка: підставити ККД 80 замість 0,8. Тоді t = 336 000 / (80·1000) = 4,2 с — абсурдний результат.

Приклад 4. Фотоефект і затримувальна напруга

Енергія фотона дорівнює 6 еВ, робота виходу електрона з металу — 4 еВ. Визнач затримувальну напругу (у вольтах), за якої фотоелектрони перестануть досягати анода.

Розв'язання:

1. Етап 1 — фотоефект. Рівняння Ейнштейна: hν = Aвих + Eк.

2. Кінетична енергія фотоелектрона: Eк = hν − Aвих = 6 − 4 = 2 еВ.

3. Етап 2 — гальмівне поле. Робота поля дорівнює кінетичній енергії: eUз = Eк.

4. Оскільки 1 еВ = e·1 В, то Uз = Eк / e = 2 еВ / e = 2 В.

Відповідь: 2 В.

Ключовий момент: енергія в електронвольтах і напруга у вольтах чисельно збігаються, тому що електронвольт — це енергія, яку набуває електрон, пройшовши різницю потенціалів 1 В.

• Застосовувати один закон збереження до всього процесу. Найчастіша помилка — писати закон збереження механічної енергії для моменту удару: «m₁v₁²/2 = (m₁ + m₂)gh». Це неправильно, бо під час удару діють непотенціальні сили деформації. Правильно: для удару — закон збереження імпульсу, для підйому — закон збереження енергії.

• Забувати, що після непружного удару маса системи — сума мас. У формулі імпульсу після удару фігурує (m₁ + m₂), а не m₁. Якщо взяти тільки m₁, швидкість після удару вийде завищеною, а висота підйому — нереалістично великою.

• Брати температуру в °C у формулі, де потрібні кельвіни. У формулі Q = cmΔT фігурує зміна температури, а не її абсолютне значення. На щастя, ΔT в °C і в K чисельно однакова, тому помилка виникає лише тоді, коли плутають абсолютну температуру (T, у K) зі зміною (ΔT).

• Забувати про ККД або брати його у відсотках без переведення в частку. ККД 80 % — це 0,8. Якщо підставити 80 замість 0,8, результат буде в 100 разів меншим. Правильно: η = 80 % / 100 % = 0,8.

• Змішувати еВ і Дж. Енергія фотона може бути дана в електронвольтах, а робота виходу — теж в еВ. У такому разі кінетична енергія виходить в еВ, і затримувальна напруга — у вольтах. Не треба переводити все в джоулі, якщо цього не вимагає умова. Правильно: якщо всі енергії в еВ, затримувальна напруга в В чисельно дорівнює Eк в еВ.

• Підставляти числа до виключення проміжних величин. Якщо спочатку обчислити швидкість після удару (2 м/с), а потім підставити її у формулу висоти — це прийнятно. Але коли законів три й більше, краще спочатку вивести загальну формулу, а числа підставити в кінці. Це зменшує ризик арифметичних помилок і дозволяє перевірити розмірність.

Комбіновані задачі на кілька законів фізики — за експертною оцінкою, одна з найскладніших тем у програмі НМТ. Вони перевіряють уміння бачити структуру процесу, застосовувати різні закони до різних етапів і знаходити зв'язкову величину.

Місце в програмі НМТ

Програма НМТ з фізики (тема 1.3) вимагає розв'язувати комбіновані задачі з кількох розділів механіки. За експертною оцінкою (не за даними УЦОЯО), закони збереження в комбінованих задачах належать до найскладніших тем тесту.

Формат завдань

Комбіновані задачі можуть траплятися серед завдань з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті). Кожне таке завдання оцінюється в 0 або 2 бали — часткових балів не передбачено. Відповідь — ціле число або десятковий дріб в одиницях, указаних в умові.

Приклади з демоваріанта 2026

У демоваріанті НМТ-2026 деякі задачі з короткою відповіддю мають допоміжну тему:

• № 18 — доцентрове прискорення супутника (поєднує закон всесвітнього тяжіння й кінематику руху по колу);

• № 19 — рівняння теплового балансу під час змішування (поєднує кількість теплоти й теплову рівновагу).

Формули до всіх тем є в довідкових матеріалах, які видають на тестуванні. Тому важливо не вивчити всі формули напам'ять, а вміти вибрати потрібну для кожного етапу.

Стратегія виконання

1. Прочитай умову й випиши всі етапи в порядку часу.

2. Для кожного етапу назви закон, що його описує (ЗЗІ, ЗСЕ, рівняння теплового балансу, рівняння фотоефекту тощо).

3. Знайди зв'язкову величину — те, що переходить з етапу на етап.

4. Розв'язуй у загальному вигляді: запиши формулу, вирази невідоме, підстав числа лише в кінці.

5. Перевір розмірність і округли відповідь до вимог умови.

Пам'ятай: завдання з короткою відповіддю не прощають помилок в одиницях вимірювання. Якщо в умові просять відповідь у см, а ти подаєш у м — відповідь не зарахують.

• Ділити процес у задачі на етапи — кожен етап описується своїм законом.

• Шукати зв'язкову величину між етапами — те, що переходить з одного етапу на наступний (швидкість, енергія, температура, напруга).

• Удар — закон збереження імпульсу; підйом чи падіння — закон збереження енергії; нагрівання — Q = cmΔT; струм — P·t; фотоефект — hν = A + Eк.

• Розв'язувати в загальному вигляді: спочатку вивести формулу, числа підставляти в кінці.

• Перевіряти одиниці вимірювання: відповідь подавати в тих одиницях, які зазначені в умові.