Графіки швидкості і координати рівноприскореного руху

~20 хв · 8 розділів · 9 тестових запитань

Механіка

Фізичні величини, графіки й вимірювання

Фізика НМТ

Частина кар’єрної траєкторії НМТ 2027: 3 обов’язкові + фізика.

Увійдіть, щоб приєднатися Назад до траєкторії

Аналізуй графіки vₓ(t), x(t) і aₓ(t) рівноприскореного руху: визначай прискорення за нахилом, переміщення і шлях за площею під графіком, момент розвороту за перетином осі часу, а також перебудовуй один графік в інший.

Графік vₓ(t): нахил — це прискорення

У рівноприскореному прямолінійному русі проєкція швидкості змінюється лінійно з часом: $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ . Тому графік $v_{x} (t)$ — це завжди похила пряма (або кілька прямолінійних відрізків, якщо прискорення змінюється стрибком). Вісь, на якій відкладають час, називають віссю $t$ , а вісь проєкції швидкості — віссю $v_{x}$ .

Нахил прямої — проєкція прискорення

Кут нахилу прямої $v_{x} (t)$ до осі часу визначає проєкцію прискорення. Чисельно:

$a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{v _{x} ( t _{2} ) - v _{x} ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$

Якщо пряма піднімається, то $a_{x} > 0$ ; якщо опускається, то $a_{x} < 0$ . Віддалення графіка від осі $t$ чи наближення до неї показує лише розгін чи гальмування, а не знак $a_{x}$ . Чим крутіша пряма, тим більший модуль прискорення. Точка перетину прямої з віссю $v_{x}$ дає початкову швидкість $v_{0 x}$ .

Характер руху за графіком $v_{x} (t)$

За тим, як змінюється відстань від графіка до осі часу, визначають:

розгін — графік віддаляється від осі $t$ , модуль швидкості $∣ v_{x} ∣$ зростає;
гальмування — графік наближається до осі $t$ , модуль швидкості спадає;
рівномірний рух — графік горизонтальний, $a_{x} = 0$ .

Коли пряма $v_{x} (t)$ перетинає вісь часу, швидкість у цей момент дорівнює нулю. Це момент зупинки й розвороту: одразу після нього проєкція швидкості змінює знак, тобто тіло починає рухатися в протилежному напрямку.

Графік $a_{x} (t)$ за графіком $v_{x} (t)$

Оскільки прискорення стале на кожній ділянці з незмінним нахилом, графік $a_{x} (t)$ складається з горизонтальних відрізків. Висота кожного відрізка дорівнює нахилу відповідної ділянки $v_{x} (t)$ . Якщо $v_{x} (t)$ — одна пряма, то $a_{x} (t)$ — одна горизонтальна лінія.

Два тіла на одному графіку

Коли на одному рисунку зображено графіки $v_{x} (t)$ двох тіл, крутіша пряма відповідає більшому модулю прискорення. Точка перетину цих графіків — момент, коли швидкості тіл однакові. Це не момент зустрічі: для зустрічі потрібно, щоб збігалися координати, а не швидкості.

mermaid

graph TD
    A["Графік v_x(t) — похила пряма"] --> B["Нахил = a_x"]
    A --> C["Перетин з віссю v_x = v_{0x}"]
    A --> D["Перетин з віссю t — момент розвороту"]
    B --> E["a_x > 0: пряма піднімається"]
    B --> F["a_x < 0: пряма опускається"]
    B --> G["a_x = 0: рівномірний рух"]
    D --> H["v_x змінює знак"]

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Площа під графіком vₓ(t): переміщення і шлях

Проєкція переміщення $s_{x}$ за проміжок часу $Δ t$ чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу. Це випливає з означення: $s_{x} = v_{x сер} Δ t$ , а для рівноприскореного руху середня швидкість дорівнює півсумі початкового й кінцевого значень, що геометрично відповідає площі трапеції або трикутника.

Знак площі: над віссю і під віссю

Площа між графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу має знак:

над віссю $t$ (де $v_{x} > 0$ ) — площа додатна, переміщення в додатному напрямку осі $x$ ;
під віссю $t$ (де $v_{x} < 0$ ) — площа від'ємна, переміщення в протилежному напрямку.

Шлях $l$ — це довжина траєкторії, тому він завжди додатний. Шлях дорівнює сумі модулів площ усіх ділянок, а проєкція переміщення — алгебраїчній сумі (додатні площі додають, від'ємні віднімають). Якщо графік перетинає вісь $t$ , шлях більший за модуль переміщення.

Приклад 1: рух без зміни напрямку

Розгляньмо графік $v_{x} (t)$ :

0–4 с: швидкість рівномірно зростає від 0 до 8 м/с;
4–8 с: швидкість стала, 8 м/с;
8–10 с: швидкість рівномірно спадає до 0.

Площі окремих ділянок:

0–4 с: площа трикутника $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ м;
4–8 с: площа прямокутника $8 \cdot 4 = 32$ м;
8–10 с: площа трикутника $\frac{8 \cdot 2}{2} = 8$ м.

Шлях за 10 с: $16 + 32 + 8 = 56$ м. Оскільки графік увесь час над віссю $t$ , переміщення теж дорівнює 56 м.

Приклад 2: рух із розворотом

Нехай $v_{0 x} = 6$ м/с, $a_{x} = - 2$ м/с². Рівняння швидкості: $v_{x} = 6 - 2 t$ . Графік перетинає вісь $t$ у момент $t = 3$ с — це момент зупинки й розвороту. Розгляньмо проміжок 0–5 с.

0–3 с: $v_{x} > 0$ , площа трикутника $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ м (над віссю);
3–5 с: $v_{x} < 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (під віссю).

Шлях: $l = 9 + 4 = 13$ м. Проєкція переміщення: $s_{x} = 9 - 4 = 5$ м. Тіло від'їхало на 9 м уперед, потім повернулося на 4 м назад, тому опинилося на відстані 5 м від початкової точки, але подолало 13 м.

Рендеринг діаграми…

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Графік x(t): парабола і її вершина

Рівняння координати для рівноприскореного прямолінійного руху: $x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a _{x} t ^{2}}{2}$ . Це квадратична функція, тому її графік — парабола. За формою параболи можна визначити знак проєкції прискорення, а за нахилом дотичної — миттєву швидкість.

Форма параболи та знак прискорення

Якщо $a_{x} > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору. Якщо $a_{x} < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз. Точка перетину параболи з віссю $x$ дає початкову координату $x_{0}$ .

Знак $a_{x}$	Форма параболи $x (t)$	Характер руху
$a_{x} > 0$	Вітки вгору	Швидкість зростає (розгін) або спадає до нуля й зростає в протилежному напрямку
$a_{x} < 0$	Вітки вниз	Швидкість спадає (гальмування) або зростає в протилежному напрямку

Вершина параболи — момент зупинки й розвороту

Вершина параболи відповідає моменту, коли миттєва швидкість дорівнює нулю: $v_{x} = 0$ . У цей момент тіло зупиняється й змінює напрямок руху. Час вершини знаходять за формулою:

$t_{верш} = - \frac{v _{0 x}}{a _{x}}$

Якщо тіло починає рух зі стану спокою ( $v_{0 x} = 0$ ), вершина параболи лежить у точці $t = 0$ — це початок руху.

Миттєва швидкість — нахил дотичної

Миттєву швидкість у будь-який момент часу визначають як нахил дотичної до графіка $x (t)$ у цій точці. Чим крутіша дотична, тим більша швидкість. У вершині параболи дотична горизонтальна — це відповідає $v_{x} = 0$ .

Ніколи не плутай значення $x$ у точці зі швидкістю! Швидкість — це нахил дотичної, а не сама координата. Тіло може мати велику координату, але нульову швидкість (наприклад, у вершині параболи).

Зв'язок графіків $x (t)$ і $v_{x} (t)$

Між графіками $x (t)$ і $v_{x} (t)$ існує прямий зв'язок:

$v_{x} (t)$ перетинає вісь $t$ у той самий момент, коли $x (t)$ має вершину;
на ділянці, де $v_{x} > 0$ , координата $x$ зростає (графік $x (t)$ піднімається);
на ділянці, де $v_{x} < 0$ , координата $x$ спадає (графік $x (t)$ опускається).

Прискорення у вершині параболи

Важливий момент: у вершині параболи швидкість дорівнює нулю, але прискорення — ні. Прискорення стале протягом усього руху, тому воно не змінюється в момент зупинки. Саме стале прискорення «змушує» тіло зупинитися й почати рух у протилежному напрямку.

Рендеринг діаграми…

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Розбираємо завдання

Приклад 1. Шлях за графіком vₓ(t) без розвороту

Завдання (коротка відповідь). На рисунку зображено графік залежності проєкції швидкості тіла від часу. На ділянці 0–4 с швидкість рівномірно зростає від 0 до 6 м/с, на ділянці 4–8 с швидкість стала й дорівнює 6 м/с, на ділянці 8–10 с швидкість рівномірно спадає до 0. Визнач шлях, який пройшло тіло за перші 10 с руху. Відповідь дай у метрах.

Розв'язання. Розбиваємо графік на три ділянки й обчислюємо площу під кожною:

0–4 с: трикутник з основою 4 с і висотою 6 м/с. Площа: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ м.
4–8 с: прямокутник зі сторонами 4 с і 6 м/с. Площа: $6 \cdot 4 = 24$ м.
8–10 с: трикутник з основою 2 с і висотою 6 м/с. Площа: $\frac{6 \cdot 2}{2} = 6$ м.

Шлях — це сума площ усіх ділянок, оскільки графік увесь час лежить над віссю часу: $l = 12 + 24 + 6 = 42$ м.

Відповідь: 42.

Приклад 2. Момент розвороту й прискорення за графіком vₓ(t)

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Графік $v_{x} (t)$ — пряма лінія, яка при $t = 0$ проходить через точку 10 м/с, а при $t = 4$ с — через точку -10 м/с. Визнач момент розвороту тіла (у секундах) і проєкцію прискорення (у м/с²).

Розв'язання. Момент розвороту — це момент, коли $v_{x} = 0$ . Оскільки графік лінійний, нульове значення припадає на середину проміжку: $t_{розв} = 2$ с. Проєкцію прискорення знаходимо як нахил прямої:

$a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{- 10 - 10}{4 - 0} = \frac{- 20}{4} = - 5$ м/с².

Відповідь: 2 с і -5 м/с².

Чому інші варіанти неправильні:

4 с і -5 м/с² — момент розвороту не 4 с, бо в цей момент $v_{x} = - 10$ м/с, а не 0.
2 с і 5 м/с² — знак прискорення неправильний: швидкість спадає від 10 до -10, тому $a_{x} < 0$ .
2 с і -2,5 м/с² — нахил обчислено неправильно: $Δ v_{x} = - 20$ м/с, а не -10 м/с.

Приклад 3. Аналіз графіка x(t) — параболи

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Графік $x (t)$ — парабола з вершиною в точці (3 с; 9 м), вітки напрямлені вниз. Що відбувається з тілом у момент $t = 3$ с?

Розв'язання. Вершина параболи $x (t)$ відповідає моменту, коли миттєва швидкість дорівнює нулю. Оскільки вітки параболи напрямлені вниз ( $a_{x} < 0$ ), до вершини координата зростала (тіло рухалося в додатному напрямку), а після вершини спадає (тіло рухається в протилежному напрямку). Отже, у момент $t = 3$ с тіло зупиняється й починає рух у протилежному напрямку.

Чому інші варіанти неправильні:

«Тіло має найбільшу швидкість» — навпаки, у вершині швидкість дорівнює нулю, дотична горизонтальна.
«Прискорення дорівнює нулю» — прискорення стале й не дорівнює нулю, саме воно «примушує» тіло зупинитися.
«Тіло проходить початок координат» — вершина має координату 9 м, а не 0.

Приклад 4. Шлях і переміщення за графіком vₓ(t) з розворотом

Завдання (коротка відповідь). Графік $v_{x} (t)$ — пряма лінія, яка при $t = 0$ проходить через точку 4 м/с, а при $t = 4$ с — через точку -4 м/с. Визнач шлях, який пройшло тіло за 4 с. Відповідь дай у метрах.

Розв'язання. Графік перетинає вісь часу в момент $t = 2$ с — це момент розвороту. Розбиваємо на дві ділянки:

0–2 с: $v_{x} > 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (над віссю).
2–4 с: $v_{x} < 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (під віссю).

Шлях — сума модулів площ: $l = 4 + 4 = 8$ м. Проєкція переміщення — алгебраїчна сума: $s_{x} = 4 - 4 = 0$ м. Тіло повернулося в початкову точку, подолавши 8 м.

Відповідь: 8.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Типові помилки й пастки

Шукати швидкість за значенням x(t) у точці замість нахилу дотичної. На графіку $x (t)$ миттєва швидкість — це нахил дотичної до кривої в цій точці, а не сама координата $x$ . Наприклад, у вершині параболи $x$ може бути великим, а $v_{x} = 0$ .
Вважати перетин графіків vₓ(t) двох тіл моментом їхньої зустрічі. Перетин графіків $v_{x} (t)$ показує лише момент, коли швидкості тіл однакові. Для зустрічі потрібно, щоб збігалися координати $x (t)$ , а це зовсім інша умова.
Віднімати площу під віссю часу, коли шукають шлях. Шлях — це сума модулів площ усіх ділянок. Якщо графік перетинає вісь $t$ , віднімання площі дасть переміщення, а не шлях. Приклад: за графіком від 4 до -4 м/с за 4 с шлях 8 м, а переміщення 0 м.
Брати значення vₓ у точці за прискорення, плутаючи висоту точки з нахилом. Прискорення — це нахил прямої $v_{x} (t)$ , тобто $Δ v_{x} /Δ t$ , а не саме значення $v_{x}$ в окремій точці.
Вважати, що у вершині параболи x(t) прискорення дорівнює нулю. У вершині $v_{x} = 0$ , але прискорення $a_{x}$ стале й не змінюється. Саме воно спричиняє зупинку й подальший розворот.
Не звертати уваги на одиниці й множники на осях (с і хв, м і км). Завжди перевіряй, у яких одиницях подано час і швидкість. Якщо вісь $t$ у хвилинах, а $v_{x}$ у км/год, площу треба перераховувати в метри або кілометри.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Як це перевіряють на НМТ

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») вимагає аналізувати графіки залежності кінематичних величин від часу в рівномірному й рівноприскореному рухах, визначати за ними параметри руху й будувати графік однієї величини за графіком іншої.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 наведено формули рівноприскореного руху: $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ , $x = x_{0} + v_{0 x} t + a_{x} t^{2} /2$ , $v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2} = 2 a_{x} s_{x}$ . Однак графічні прийоми — нахил, площа під графіком, вершина параболи — треба знати самостійно, вони в довіднику не пояснюються.

Формати завдань на НМТ, де перевіряють цю тему:

Завдання з вибором однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14) — графічне завдання, де треба визначити прискорення, момент розвороту, характер руху або вибрати правильний графік. Оцінюється в 1 бал.
Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22) — обчислення шляху або переміщення за графіком $v_{x} (t)$ . Оцінюється в 0 або 2 бали.

Стратегія виконання

Щоб успішно розв'язати графічне завдання на НМТ, дотримуйся такого алгоритму:

Прочитай осі й одиниці вимірювання. Переконайся, що вісь часу в секундах (с), а вісь швидкості в метрах на секунду (м/с). Якщо одиниці інші (хв, км/год), переведи їх у СІ.
Розбий графік на ділянки. Знайди межі, де змінюється нахил або де графік перетинає вісь часу. Кожна ділянка з постійним нахилом — окрема зона для обчислень.
Обчисли площу кожної ділянки. Для прямокутника — добуток сторін, для трикутника — половина добутка основи на висоту, для трапеції — півсума основ на висоту.
Визнач, що питають: шлях чи переміщення. Шлях — сума модулів площ, переміщення — алгебраїчна сума (площі над віссю додатні, під віссю від'ємні).

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Питання й відповіді

Як за графіком vₓ(t) відрізнити шлях від переміщення?

Шлях — це сума модулів площ усіх ділянок між графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу. Переміщення — це алгебраїчна сума тих самих площ: площі над віссю $t$ беруть зі знаком «+», а площі під віссю $t$ — зі знаком «−». Якщо графік увесь час лежить над віссю $t$ , шлях і модуль переміщення збігаються. Якщо графік перетинає вісь $t$ , шлях більший за модуль переміщення.

Чому у вершині параболи x(t) швидкість нульова, а прискорення — ні?

Швидкість — це похідна координати за часом. У вершині параболи дотична горизонтальна, тому $v_{x} = 0$ . Але прискорення — це похідна швидкості за часом, тобто друга похідна координати. Для квадратичної функції $x = x_{0} + v_{0 x} t + a_{x} t^{2} /2$ друга похідна дорівнює $a_{x}$ і є сталою величиною. Отже, прискорення не змінюється в момент зупинки — саме воно «примушує» тіло спочатку сповільнитися до нуля, а потім розігнатися в протилежному напрямку.

Що означає точка перетину графіків швидкості двох тіл?

Перетин графіків $v_{x} (t)$ двох тіл означає, що в цей момент часу їхні швидкості однакові. Це не означає, що тіла зустрілися: для зустрічі потрібно, щоб збігалися їхні координати $x (t)$ . Тіла можуть мати однакову швидкість, але перебувати в різних точках простору. Щоб визначити момент зустрічі, треба аналізувати графіки $x (t)$ або розв'язувати рівняння $x_{1} (t) = x_{2} (t)$ .

Як за графіком x(t) зрозуміти, розганяється тіло чи гальмує?

За графіком $x (t)$ безпосередньо видно лише знак швидкості (зростання $x$ — $v_{x} > 0$ , спадання $x$ — $v_{x} < 0$ ) і знак прискорення (вітки параболи вгору — $a_{x} > 0$ , вітки вниз — $a_{x} < 0$ ). Щоб визначити, розганяється тіло чи гальмує, треба порівняти знаки $v_{x}$ і $a_{x}$ : якщо знаки однакові — модуль швидкості зростає (розгін); якщо різні — модуль швидкості спадає (гальмування). Наприклад, парабола з вітками вниз ( $a_{x} < 0$ ) на ділянці, де $x$ зростає ( $v_{x} > 0$ ), означає гальмування.

Як побудувати графік aₓ(t), маючи графік vₓ(t)?

Графік $a_{x} (t)$ будують за нахилом графіка $v_{x} (t)$ . Для кожної прямолінійної ділянки $v_{x} (t)$ обчислюють нахил $a_{x} = Δ v_{x} /Δ t$ . Це значення буде сталим на всій ділянці. На графіку $a_{x} (t)$ цій ділянці відповідає горизонтальний відрізок на висоті $a_{x}$ . Якщо $v_{x} (t)$ складається з кількох прямолінійних відрізків з різними нахилами, то $a_{x} (t)$ матиме кілька горизонтальних відрізків різної висоти. Якщо $v_{x} (t)$ — одна похила пряма, то $a_{x} (t)$ — одна горизонтальна лінія.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Коротко: головне

$v_{x} (t)$ — пряма: нахил = $a_{x}$ , площа під графіком = проєкція переміщення.
Шлях — сума модулів площ, переміщення — алгебраїчна сума площ (над віссю «+», під віссю «−»).
Перетин $v_{x} (t)$ з віссю $t$ — момент зупинки й розвороту (швидкість змінює знак).
$x (t)$ — парабола: вітки вгору при $a_{x} > 0$ , вітки вниз при $a_{x} < 0$ ; вершина — зупинка й розворот.
Швидкість за графіком $x (t)$ — нахил дотичної, а не значення $x$ у точці.
$a_{x} (t)$ — горизонтальні відрізки на рівні нахилу кожної ділянки $v_{x} (t)$ .

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Самоперевірка

Перевірте себе на цьому юніті

Спробуйте ці 5 запитань — оберіть відповідь, щоб побачити, чи ви праві й чому. Приєднайтеся, щоб пройти повний тест юніту, який іде в глибину по цьому юніту.

1. Тіло рухається вздовж осі Ox. Графік vₓ(t) — пряма, що проходить через точки (0 с; 8 м/с) і (4 с; −8 м/с). Визначте момент часу (у секундах), коли тіло змінило напрямок руху на протилежний, і проєкцію прискорення (у м/с²).

2. Тіло рухається вздовж осі Ox. Графік vₓ(t) — пряма, яка перетинає вісь часу. Площа фігури, обмеженої графіком і віссю часу, над віссю становить 15 м, а під віссю — 6 м. Визначте шлях (у метрах), пройдений тілом за весь час спостереження.

3. Тіло рухається вздовж осі Ox. Графік залежності координати x від часу t має форму параболи, вітки якої напрямлені вгору. Яким є знак проєкції прискорення тіла?

4. Тіло рухається вздовж осі Ox. Графік залежності координати x від часу t має форму параболи, вітки якої напрямлені вниз, а вершина відповідає моменту t = 2 с. У який момент часу проєкція швидкості тіла дорівнювала нулю?

5. Тіло рухається вздовж осі Ox. На рисунку зображено графік залежності проєкції швидкості vₓ від часу t — пряму, що проходить через точки (0 с; 6 м/с) і (3 с; 0 м/с). Визначте проєкцію прискорення тіла.

Це лише дрібка самоперевірки — повний тест юніту йде в глибину й використовує всі 9 запитань цього юніта і точно визначає, що вивчати.

Приєднатися, щоб пройти тест

Графік vₓ(t): нахил — це прискорення

Нахил прямої — проєкція прискорення

Характер руху за графіком vx​(t)

Графік ax​(t) за графіком vx​(t)

Два тіла на одному графіку

Площа під графіком vₓ(t): переміщення і шлях

Знак площі: над віссю і під віссю

Приклад 1: рух без зміни напрямку

Приклад 2: рух із розворотом

Графік x(t): парабола і її вершина

Форма параболи та знак прискорення

Вершина параболи — момент зупинки й розвороту

Миттєва швидкість — нахил дотичної

Зв'язок графіків x(t) і vx​(t)

Прискорення у вершині параболи

Розбираємо завдання

Приклад 1. Шлях за графіком vₓ(t) без розвороту

Приклад 2. Момент розвороту й прискорення за графіком vₓ(t)

Приклад 3. Аналіз графіка x(t) — параболи

Приклад 4. Шлях і переміщення за графіком vₓ(t) з розворотом

Типові помилки й пастки

Як це перевіряють на НМТ

Стратегія виконання

Питання й відповіді

Коротко: головне

Перевірте себе на цьому юніті

Характер руху за графіком $v_{x} (t)$

Графік $a_{x} (t)$ за графіком $v_{x} (t)$

Зв'язок графіків $x (t)$ і $v_{x} (t)$