Графіки ізопроцесів у координатах p–V, p–T і V–T

Ізопроцеси — це процеси, у яких один із трьох макроскопічних параметрів газу (тиск p, об'єм V або температура T) залишається сталим. Залежно від того, який параметр не змінюється, розрізняють ізотермічний (T = const), ізобарний (p = const) та ізохорний (V = const) процеси. Кожен із них має характерний вигляд у різних системах координат. Ти вже знаєш закони Бойля–Маріотта, Гей-Люссака й Шарля — тепер навчишся впізнавати ці процеси на графіках.

Графіки в координатах p–V

У системі координат, де по вертикалі відкладено тиск p, а по горизонталі — об'єм V:

• Ізотерма (T = const) — гіпербола, яку описує рівняння p = const / V. Що вища температура газу, то далі від осей координат розташована гіпербола. Це випливає з рівняння Клапейрона: pV = νRT — добуток pV сталий для даної ізотерми, а зі зростанням T цей добуток збільшується.

• Ізобара (p = const) — горизонтальний відрізок (пряма, паралельна осі V).

• Ізохора (V = const) — вертикальний відрізок (пряма, паралельна осі p).

Будь-яка пряма на графіку p–V, яка не є ні горизонталлю, ні вертикаллю, не відповідає жодному з трьох ізопроцесів — це процес, у якому змінюються всі три параметри (p, V і T).

Графіки в координатах V–T

Тут по вертикалі — об'єм V, по горизонталі — температура T (обов'язково в кельвінах).

• Ізобара (p = const) — пряма лінія, продовження якої проходить через початок координат. Рівняння: V = (νR/p) · T, тобто V ∝ T. Коефіцієнт пропорційності νR/p — це нахил прямої.

• Ізотерма (T = const) — вертикальний відрізок (паралельний осі V).

• Ізохора (V = const) — горизонтальний відрізок (паралельний осі T).

Графіки в координатах p–T

По вертикалі — тиск p, по горизонталі — температура T (у кельвінах).

• Ізохора (V = const) — пряма лінія, продовження якої проходить через початок координат. Рівняння: p = (νR/V) · T, тобто p ∝ T. Нахил прямої дорівнює νR/V.

• Ізотерма (T = const) — вертикальний відрізок (паралельний осі p).

• Ізобара (p = const) — горизонтальний відрізок (паралельний осі T).

Важливе застереження про пряму через початок координат

Якщо на графіку в координатах p–T або V–T зображено пряму, яка не проходить через початок координат, то це не ізохора й не ізобара. Чому? Тому що закони Шарля (p ∝ T при V = const) і Гей-Люссака (V ∝ T при p = const) вимагають прямої пропорційності, а вона завжди дає лінію через нуль. Якщо ж на графіку шкала температури подана в градусах Цельсія (°C), то пряма, продовжена вліво, перетне вісь T при −273 °C (абсолютний нуль). У такому разі це справжня ізохора або ізобара, просто вісь зсунуто. На НМТ зазвичай використовують кельвіни, але будь уважним.

Одна з ключових навичок для НМТ — уміти порівнювати параметри газу за виглядом графіків, не виконуючи обчислень. Тут тобі знадобиться рівняння стану ідеального газу: pV = νRT.

Нахил ізохор у координатах p–T

Ізохора в p–T описується рівнянням p = (νR/V) · T. Коефіцієнт νR/V — це кутовий коефіцієнт (нахил) прямої. Оскільки ν і R — сталі для даної маси газу, нахил визначається лише об'ємом V: чим менший об'єм, тим більший дріб νR/V, тобто пряма йде крутіше. Отже, ізохора меншого об'єму має більший нахил. Якщо на одному графіку p–T зображено дві ізохори для однакової маси газу, то крутіша відповідає меншому об'єму, а пологіша — більшому.

Нахил ізобар у координатах V–T

Ізобара в V–T має рівняння V = (νR/p) · T. Нахил дорівнює νR/p. Тут нахил визначається тиском: чим менший тиск, тим більший дріб νR/p, тобто пряма крутіша. Отже, ізобара меншого тиску має більший нахил. На графіку V–T крутіша ізобара відповідає меншому тиску, пологіша — більшому.

Положення ізотерм у координатах p–V

Ізотерма в p–V — це гіпербола, задана рівнянням pV = const. Добуток pV дорівнює νRT, тому для більшої температури T добуток pV більший. Це означає, що гіпербола, яка лежить вище й далі від осей координат, відповідає вищій температурі. Якщо на графіку зображено три ізотерми, то T₃ > T₂ > T₁ для тих, що розташовані все далі від початку координат.

Визначення температури за добутком pV

У будь-якій точці на графіку p–V температуру можна порівняти, обчисливши добуток pV. Чим більший цей добуток, тим вища температура. Це особливо зручно для вершин циклу, де тиск і об'єм відомі з графіка, а числових значень температури не дано. Наприклад, якщо в стані 1 маємо p₀ і V₀, а в стані 2 — 2p₀ і V₀, то добуток у стані 2 удвічі більший, отже, T₂ = 2T₁.

Як змінюються параметри на графіку

Завжди перевіряй, у який бік змінюється кожна величина. Якщо об'єм зростає — газ розширюється й виконує роботу. Якщо тиск зростає за сталого об'єму — газ нагрівається. Якщо температура стала, а об'єм зростає — тиск падає (закон Бойля–Маріотта). Ці прості міркування допомагають не помилитися з назвою процесу.

Коли на графіку зображено не одну лінію, а кілька послідовних ділянок, утворюється цикл. Щоб проаналізувати кожну ділянку, став собі три запитання: яка величина стала? як змінюються дві інші? який це процес?

Структура циклу

Кілька ділянок, з'єднаних послідовно, утворюють замкнений цикл 1 → 2 → 3 → 1. У координатах p–V напрямок обходу має фізичний зміст: якщо цикл обходиться за годинниковою стрілкою, газ виконує додатну роботу за цикл (робота чисельно дорівнює площі всередині циклу). Якщо проти годинникової стрілки — робота від'ємна, тобто зовнішні сили виконують роботу над газом.

Приклад аналізу циклу в p–V

Розгляньмо цикл, що складається з трьох ділянок:

• Ділянка 1–2: вертикальний відрізок угору. Це ізохорне нагрівання: V = const, p зростає, отже, T зростає (за законом Шарля).

• Ділянка 2–3: гіпербола вниз-вправо. Це ізотермічне розширення: T = const, V зростає, p спадає (за законом Бойля–Маріотта).

• Ділянка 3–1: горизонталь ліворуч. Це ізобарне стиснення й охолодження: p = const, V спадає, отже, T спадає (за законом Гей-Люссака).

Температуру в вершинах циклу можна порівняти за добутком pV, не знаючи числових значень. Наприклад, якщо в стані 1 маємо p₀ і V₀, у стані 2 — 2p₀ і V₀ (добуток 2p₀V₀), а в стані 3 — p₀ і 2V₀ (добуток 2p₀V₀), то T₂ = T₃ = 2T₁.

Схема аналізу будь-якої ділянки

Щоб не помилитися, завжди дій за таким алгоритмом:

1. Подивись, яка координата не змінюється (горизонтальна чи вертикальна лінія, або гіпербола).

2. Визнач, чи це ізобара (p = const), ізохора (V = const) чи ізотерма (T = const).

3. Подивись, у який бік змінюється друга координата, і зроби висновок про зміну третього параметра.

Найскладніше завдання з графіків ізопроцесів — перебудувати замкнений цикл з однієї системи координат в іншу. Наприклад, маючи цикл у p–V, зобразити його в координатах V–T або p–T. Розгляньмо алгоритм і конкретний приклад.

Алгоритм перебудови

1. Познач стани (вершини циклу) цифрами 1, 2, 3 у тому порядку, у якому їх обходять.

2. Для кожної вершини визнач (p, V, T). Якщо числових значень не дано, познач їх через p₀, V₀, T₀ і використай рівняння стану, щоб знайти співвідношення.

3. Для кожного переходу (1→2, 2→3, 3→1) визнач, який параметр сталий (p, V або T).

4. У новій системі координат нанеси вершини й з'єднай їх відрізками відповідно до типу процесу.

Конкретний приклад

Розгляньмо цикл, який ми вже аналізували в попередньому розділі. У координатах p–V він має такий вигляд:

• Стан 1: (p₀, V₀, T₀)

• 1→2: ізохорне нагрівання — V = V₀, p зростає до 2p₀, отже, T зростає до 2T₀. Стан 2: (2p₀, V₀, 2T₀)

• 2→3: ізотермічне розширення — T = 2T₀, V зростає до 2V₀, p спадає до p₀. Стан 3: (p₀, 2V₀, 2T₀)

• 3→1: ізобарне стиснення — p = p₀, V спадає до V₀, T спадає до T₀.

Перебудова в координати V–T

У V–T по вертикалі — об'єм V, по горизонталі — температура T.

• 1→2: ізохорне нагрівання (V = const = V₀). У V–T це горизонтальний відрізок вправо: V = V₀, T від T₀ до 2T₀.

• 2→3: ізотермічне розширення (T = const = 2T₀). У V–T це вертикальний відрізок угору: T = 2T₀, V від V₀ до 2V₀.

• 3→1: ізобарне стиснення (p = const). У V–T ізобара — пряма через початок координат. Відрізок від (2V₀, 2T₀) до (V₀, T₀) лежить на прямій V = (νR/p) · T, яка проходить через (0, 0).

Перебудова в координати p–T

У p–T по вертикалі — тиск p, по горизонталі — температура T.

• 1→2: ізохорне нагрівання (V = const). У p–T ізохора — пряма через початок координат. Відрізок від (p₀, T₀) до (2p₀, 2T₀) лежить на прямій p = (νR/V) · T.

• 2→3: ізотермічне розширення (T = const = 2T₀). У p–T це вертикальний відрізок униз: T = 2T₀, p від 2p₀ до p₀.

• 3→1: ізобарне стиснення (p = const = p₀). У p–T це горизонтальний відрізок ліворуч: p = p₀, T від 2T₀ до T₀.

Підсумкова схема перебудови

Зверни увагу: у V–T ізобара — пряма через початок координат, а в p–T ізохора — пряма через початок координат. Якщо ти запам'ятаєш цю симетрію, перебудова циклів стане набагато простішою.

Розв'яжемо кілька типових завдань НМТ на графіки ізопроцесів. Кожне завдання супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Ізобара на V–T

Завдання: На графіку в координатах V–T зображено пряму лінію, продовження якої проходить через початок координат. Який ізопроцес описує ця лінія?

Розв'язання: У координатах V–T пряма, що проходить через початок координат, описує пряму пропорційність V ∝ T. Згідно із законом Гей-Люссака, V ∝ T при сталому тиску p = const. Отже, це ізобарний процес.

Відповідь: ізобарний.

Чому інші варіанти неправильні: Ізотерма в V–T — це вертикальний відрізок, а не пряма через початок. Ізохора в V–T — горизонтальний відрізок. Будь-який інший процес не має вигляду прямої через початок координат.

Приклад 2. Відповідність ділянок p–V і назв процесів

Завдання: Установи відповідність між ділянками графіка в координатах p–V (1 — горизонтальна, 2 — вертикальна, 3 — гіпербола) і назвами ізопроцесів (А — ізобарний, Б — ізохорний, В — ізотермічний, Г — адіабатний, Д — ізоентропійний).

Розв'язання: Горизонтальна ділянка в p–V означає p = const — це ізобарний процес (1 → А). Вертикальна ділянка означає V = const — це ізохорний процес (2 → Б). Гіпербола означає T = const — це ізотермічний процес (3 → В). Варіанти Г і Д — зайві.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Чому інші варіанти неправильні: Адіабатний процес на p–V має вигляд кривої, крутішої за ізотерму (pV^γ = const), але він не є ізопроцесом у розумінні НМТ (не входить до програми як окремий ізопроцес). Ізоентропійний — те саме, що адіабатний.

Приклад 3. Порівняння об'ємів за ізохорами в p–T

Завдання: На графіку в координатах p–T зображено дві ізохори для однієї й тієї самої маси газу. Ізохора A має більший кут нахилу до осі T, ніж ізохора B. Яка з них відповідає більшому об'єму?

Розв'язання: Ізохора в p–T описується рівнянням p = (νR/V) · T. Нахил дорівнює νR/V. Чим більший об'єм V, тим менший нахил. Отже, пологіша ізохора (менший нахил) відповідає більшому об'єму. Ізохора B має менший нахил — вона відповідає більшому об'єму.

Відповідь: ізохора B (менш крута).

Чому інші варіанти неправильні: Якщо вважати, що крутіша лінія відповідає більшому об'єму, це помилка — нахил обернено пропорційний об'єму. Також не можна плутати p–T і V–T: у V–T нахил ізобар обернено пропорційний тиску, а не об'єму.

Приклад 4. Цикл у p–V і його ділянка в V–T

Завдання: Замкнений цикл у координатах p–V має форму трикутника. Ділянка 1–2 — вертикальний відрізок угору, 2–3 — гіпербола вниз-вправо, 3–1 — горизонталь ліворуч. Яка з ділянок цього циклу в координатах V–T буде горизонтальним відрізком?

Розв'язання: Вертикальний відрізок 1–2 у p–V — це ізохорне нагрівання (V = const). У V–T при V = const маємо горизонтальний відрізок. Отже, саме ділянка 1–2 у V–T буде горизонтальною. Ділянка 2–3 (ізотерма) у V–T — вертикальний відрізок. Ділянка 3–1 (ізобара) у V–T — пряма через початок координат.

Відповідь: ділянка 1–2.

Чому інші варіанти неправильні: Якщо не позначити стани й не визначити тип кожного процесу, легко помилитися. Наприклад, можна подумати, що ізобара (3–1) у V–T горизонтальна, але насправді в V–T ізобара — пряма через початок, а горизонтальною є ізохора.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час аналізу графіків ізопроцесів. Кожну з них варто запам'ятати, щоб не втратити бали на НМТ.

• Вважати будь-яку пряму на графіку ізопроцесом. Насправді ізопроцесів лише три: ізотермічний, ізобарний та ізохорний. Пряма на p–V, яка не є горизонталлю чи вертикаллю, не відповідає жодному з них. У p–T і V–T пряма має обов'язково проходити через початок координат, щоб бути ізохорою чи ізобарою.

• Забувати, що пряма в p–T чи V–T має проходити через початок координат (температура в кельвінах). Якщо графік подано в градусах Цельсія, продовження прямої перетинає вісь T при −273 °C — це абсолютний нуль, і така пряма справді є ізопроцесом. Але на НМТ зазвичай використовують кельвіни, тому перевіряй, чи проходить лінія через (0, 0).

• Плутати, який із двох графіків ізохор відповідає більшому об'єму. У p–T нахил ізохори νR/V: чим менший V, тим крутіша пряма. Отже, крутіша ізохора — менший об'єм, пологіша — більший об'єм. Не плутай із V–T, де нахил ізобар залежить від тиску.

• Вважати, що в p–V ізобара вертикальна, а ізохора горизонтальна. Запам'ятай раз і назавжди: у p–V ізобара (p = const) — горизонталь, ізохора (V = const) — вертикаль. У V–T навпаки: ізобара — похила пряма через початок, ізохора — горизонталь. У p–T: ізохора — похила пряма через початок, ізобара — горизонталь.

• Не позначати стани 1, 2, 3 і плутати напрямок обходу циклу. Під час перебудови циклу завжди спочатку познач вершини цифрами в порядку обходу. Для кожної вершини запиши (p, V, T). Лише після цього визначай, яким відрізком з'єднати точки в новій системі координат.

Графіки ізопроцесів входять до програми НМТ з фізики, тож завдання на них цілком можливі. Важливо знати, чого саме очікувати.

Вигляд графіків ізопроцесів у різних координатах довідкових матеріалів НМТ не містить — його треба знати напам'ять. Програма НМТ вимагає аналізувати й будувати графіки ізопроцесів у різних системах координат. Це означає, що ти маєш не лише впізнавати готові графіки, а й уміти самостійно зображати процес у заданих координатах.

У демоваріанті 2026 року завдання № 15 (тема 2.2, формат «логічні пари», 0–3 бали) перевіряє перший закон термодинаміки для процесів, заданих графіком p(V). Хоча там ідеться про енергію, а не про розпізнавання процесів, уміння читати графік p(V) є обов'язковим і для цього завдання. Без навички визначати тип процесу за графіком ти не зможеш правильно застосувати перший закон термодинаміки.

Стратегія виконання: для кожної ділянки графіка спочатку запиши, яка величина залишається сталою. Лише після цього співвіднось ділянку з назвою процесу. Наприклад, побачив горизонталь у p–V → запиши «p = const» → назва «ізобарний». Такий підхід мінімізує ризик помилки.

Формати завдань на НМТ, які можуть містити графіки ізопроцесів:

• Вибір однієї правильної відповіді з чотирьох (1 бал) — наприклад, назвати процес за виглядом графіка або порівняти параметри.

• Логічні пари (0–3 бали) — установити відповідність між ділянками графіка й назвами процесів.

• Коротка відповідь — число (0 або 2 бали) — обчислити параметр газу, використовуючи дані з графіка.

Пам'ятай: навіть якщо завдання здається суто розрахунковим, спочатку визнач тип процесу на кожній ділянці — це підкаже, який закон застосувати.

• Ізотерма в p–V — гіпербола; ізобара — горизонталь; ізохора — вертикаль.

• У V–T ізобара — пряма через початок координат; ізотерма — вертикаль; ізохора — горизонталь.

• У p–T ізохора — пряма через початок координат; ізотерма — вертикаль; ізобара — горизонталь.

• Ізохора меншого об'єму крутіша в p–T (нахил νR/V обернено пропорційний V).

• Ізобара меншого тиску крутіша у V–T (нахил νR/p обернено пропорційний p).

• Для циклу: на кожній ділянці спочатку визнач сталу величину, потім назви процес.

• Температуру в p–V порівнюють за добутком pV: чим більший добуток, тим вища T.

• Пряма в p–T або V–T, що не проходить через початок координат (у кельвінах), не є ізопроцесом.