Формула тонкої лінзи і лінійне збільшення

Формула тонкої лінзи — це ключове співвідношення геометричної оптики, яке пов'язує фокусну відстань лінзи з відстанями до предмета й до зображення. Вона дає змогу кількісно описати, де саме утвориться зображення, і є основою для розрахунку оптичних приладів.

Формула має вигляд:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

де F — фокусна відстань лінзи, d — відстань від предмета до лінзи, f — відстань від лінзи до зображення. Усі три величини мають бути в однакових одиницях: або всі в метрах, або всі в сантиметрах.

Оптична сила лінзи

Оптична сила D — це величина, обернена до фокусної відстані:

$$D=\frac{1}{F}$$

Якщо фокусну відстань підставляти в метрах, оптична сила виражається в діоптріях (дптр). Наприклад, лінза з F = 0,25 м має оптичну силу D = 4 дптр. Для збиральної лінзи D > 0, для розсіювальної D < 0.

Як знайти відстань до зображення

Щоб знайти f, виразимо його з формули:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}$$

Розгляньмо числовий приклад. Збиральна лінза має фокусну відстань F = 10 см. Предмет розташований на відстані d = 30 см від лінзи. Тоді:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{3-1}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$$

Отже, f = 15 см. Зображення дійсне (промені перетинаються по другий бік лінзи) і розташоване між фокусом F і подвійним фокусом 2F.

Як знайти відстань до предмета

Якщо відомі фокусна відстань і положення зображення, відстань до предмета знаходять аналогічно:

$$\frac{1}{d}=\frac{1}{F}-\frac{1}{f}$$

Приклад: лінза з F = 20 см дає зображення на відстані f = 60 см. Знайдемо d:

$$\frac{1}{d}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{3-1}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}$$

Отже, d = 30 см. Предмет розташований між F і 2F, що дає збільшене дійсне зображення.

Особливі випадки

• Якщо d = F (предмет у фокусі), то 1/f = 1/F − 1/F = 0, отже f → ∞. Зображення на нескінченності — промені після лінзи йдуть паралельним пучком.

• Якщо d = 2F (предмет на подвійній фокусній відстані), то 1/f = 1/F − 1/(2F) = 1/(2F), отже f = 2F. Зображення дійсне, обернене, рівне за розміром предмету.

На схемі видно, як змінюється положення й характер зображення залежно від відстані до предмета для збиральної лінзи.

Формула тонкої лінзи працює зі знаками: вона однаково описує збиральні й розсіювальні лінзи, а також дійсні й уявні зображення. Щоб не помилитися, треба запам'ятати просту домовленість про знаки.

Домовленість про знаки

Предмет завжди дійсний, тому d > 0 в усіх задачах НМТ.

Приклад уявного зображення (збиральна лінза)

Збиральна лінза має F = 10 см. Предмет розташований між лінзою і фокусом: d = 5 см. Тоді:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{10}-\frac{1}{5}=\frac{1-2}{10}=-\frac{1}{10}$$

Отже, f = −10 см. Знак «мінус» означає, що зображення уявне — промені не перетинаються, а їхні продовження перетинаються по той самий бік лінзи, де розташований предмет.

Приклад розсіювальної лінзи

Розсіювальна лінза має F = −20 см (знак мінус, бо лінза розсіювальна). Предмет на відстані d = 20 см. Підставляємо:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{-20}-\frac{1}{20}=-\frac{1}{20}-\frac{1}{20}=-\frac{2}{20}=-\frac{1}{10}$$

Отже, f = −10 см. Зображення уявне, зменшене, пряме — саме таке завжди дає розсіювальна лінза.

Лінійне збільшення

Лінійне збільшення Γ (гамма) показує, у скільки разів зображення більше або менше за предмет:

$$\Gamma =\frac{H}{h}=\frac{|f|}{d}$$

де H — висота (або лінійний розмір) зображення, h — висота предмета. У формулі беруть модуль |f|, тому збільшення завжди додатне.

Для прикладу з попереднього розділу: d = 30 см, f = 15 см. Тоді Γ = 15/30 = 0,5 — зображення зменшене вдвічі.

Для уявного зображення збиральної лінзи (F = 10 см, d = 5 см): Γ = |−10|/5 = 10/5 = 2. Зображення пряме й у 2 рази вище за предмет.

У цьому розділі навчимося поєднувати формулу тонкої лінзи з лінійним збільшенням, щоб знаходити положення предмета або зображення за заданим збільшенням.

Дійсне зображення, збільшене вдвічі

Нехай дійсне зображення вдвічі більше за предмет. Тоді Γ = 2. Для дійсного зображення f > 0, і збільшення Γ = f/d. Отже, f = 2d. Підставимо це у формулу тонкої лінзи:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{2d}=\frac{2+1}{2d}=\frac{3}{2d}$$

Звідси d = 3F/2. Для лінзи з F = 20 см маємо d = 30 см, f = 60 см.

Загальний випадок: дійсне зображення з довільним збільшенням Γ

Якщо дійсне зображення має збільшення Γ, то f = Γ·d. Підставляємо у формулу тонкої лінзи:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{\Gamma d}=\frac{\Gamma +1}{\Gamma d}$$

Звідси отримуємо зручні формули:

$$d=F\frac{\Gamma +1}{\Gamma },f=F(\Gamma +1)$$

Наприклад, для Γ = 2,5 і F = 20 см:

$$d=20\cdot \frac{2,5+1}{2,5}=20\cdot \frac{3,5}{2,5}=20\cdot 1,4=28\text{см}$$

$$f=20\cdot (2,5+1)=20\cdot 3,5=70\text{см}$$

Розмір зображення

Знаючи збільшення, легко знайти висоту зображення: H = Γ·h. Якщо предмет завдовжки h = 4 см, а Γ = 2,5, то зображення має довжину H = 2,5·4 = 10 см.

Відстань між предметом і екраном

Якщо зображення отримують на екрані, то відстань між предметом і екраном дорівнює сумі L = d + f. Нехай L = 90 см і зображення вдвічі більше за предмет (f = 2d). Тоді:

$$d+2d=90\Rightarrow 3d=90\Rightarrow d=30\text{см},f=60\text{см}$$

Фокусну відстань знаходимо з формули тонкої лінзи:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2+1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\Rightarrow F=20\text{см}$$

Перевірка розв'язку

Завжди перевіряйте відповідь двома способами:

• Підставте знайдені d і f у формулу 1/d + 1/f і порівняйте з 1/F.

• Переконайтеся, що знак f відповідає фізичному сенсу: дійсне зображення збиральної лінзи не може мати f < F, а уявне зображення не може мати f > 0.

Приклад 1. Відстань до зображення

Завдання: Предмет розташований на відстані 30 см від збиральної лінзи з фокусною відстанню 20 см. Знайди відстань до зображення в сантиметрах.

Розв'язання:

• Записуємо формулу тонкої лінзи: 1/F = 1/d + 1/f

• Виражаємо 1/f = 1/F − 1/d

• Підставляємо: 1/f = 1/20 − 1/30 = (3 − 2)/60 = 1/60

• Отже, f = 60 см

Відповідь: 60 см.

Чому інші відповіді неправильні? Якщо просто відняти F − d = 20 − 30 = −10 — це груба помилка, бо формула оперує оберненими величинами. Якщо поділити d/F = 30/20 = 1,5 — це не дає відстані до зображення.

Приклад 2. Положення предмета для збільшеного зображення

Завдання: На якій відстані від лінзи з F = 20 см (у сантиметрах) треба поставити предмет, щоб дійсне зображення було збільшене вдвічі?

Розв'язання:

• Збільшення Γ = f/d = 2, отже f = 2d

• Підставляємо у формулу: 1/F = 1/d + 1/(2d) = 3/(2d)

• Звідси d = 3F/2 = 3·20/2 = 30 см

Відповідь: 30 см.

Поширена помилка: вважати, що d = F·Γ = 40 см. Насправді залежність складніша, бо f теж змінюється.

Приклад 3. Розсіювальна лінза — якісна характеристика

Завдання: Предмет висотою 3 см розташований на відстані 15 см від розсіювальної лінзи з F = −30 см. Яке зображення дає лінза?

Розв'язання:

• Для розсіювальної лінзи F < 0, тому F = −30 см

• Обчислюємо 1/f = 1/(−30) − 1/15 = −1/30 − 2/30 = −3/30 = −1/10

• Отже, f = −10 см — зображення уявне (f < 0)

• Збільшення Γ = |f|/d = 10/15 ≈ 0,67 — зменшене

• Уявне зображення в розсіювальній лінзі завжди пряме

Відповідь: уявне, пряме, зменшене.

Чому інші варіанти неправильні? Дійсне зображення неможливе, бо f < 0. Збільшене зображення неможливе, бо Γ < 1. Оберненим буває лише дійсне зображення.

Приклад 4. Висота зображення

Завдання: Предмет висотою 4 см розташований на відстані 60 см від збиральної лінзи з фокусною відстанню 20 см. Знайди висоту зображення в сантиметрах.

Розв'язання:

• Спочатку знаходимо f: 1/f = 1/20 − 1/60 = (3 − 1)/60 = 2/60 = 1/30 → f = 30 см

• Збільшення: Γ = f/d = 30/60 = 0,5

• Висота зображення: H = Γ·h = 0,5·4 = 2 см

Відповідь: 2 см.

Типова помилка: забути знайти f і одразу обчислити Γ = F/d = 20/60 ≈ 0,33, що дало б H ≈ 1,3 см — неправильно.

Приклад 5. Оптична сила лінзи

Завдання: Лінза утворила на екрані зображення на відстані 30 см від лінзи, а предмет розташований на відстані 15 см. Знайди оптичну силу лінзи в діоптріях.

Розв'язання:

• Переводимо в метри: d = 0,15 м, f = 0,30 м

• Оптична сила: D = 1/F = 1/d + 1/f

• D = 1/0,15 + 1/0,30 = 6,666... + 3,333... = 10 дптр

Відповідь: 10 дптр.

Важливо: переводити сантиметри в метри, бо діоптрія — це обернений метр. Якщо залишити сантиметри, D = 1/15 + 1/30 = 0,1 — число в 100 разів менше, ніж правильне.

• Неправильні знаки у формулі для уявного зображення й розсіювальної лінзи. Запам'ятай: розсіювальна лінза завжди має F < 0; уявне зображення завжди має f < 0. Якщо забути знак мінус, результат буде фізично безглуздим.

• Змішувати одиниці: d у сантиметрах, F у метрах. Усі відстані у формулі тонкої лінзи мають бути в однакових одиницях. Якщо в умові всі відстані дано в сантиметрах, підставляй F, d і f у сантиметрах. Для оптичної сили обов'язково переведи відстані в метри.

• Перевертати дріб: 1/f = 1/F − 1/d, а не f = F − d. Формула тонкої лінзи оперує оберненими величинами. Ніколи не віднімай d від F безпосередньо — це дасть неправильний результат.

• Плутати збільшення Γ = f/d із f/F або d/f. Лінійне збільшення — це відношення відстані до зображення до відстані до предмета (або їхніх модулів). Не плутай з оптичною силою чи фокусною відстанню.

• Не перевіряти сенс відповіді: дійсне зображення збиральної лінзи не може мати f < F. Якщо ти отримав f = 5 см для лінзи з F = 10 см, але предмет далі за фокус — щось не так. Дійсне зображення завжди далі від лінзи, ніж фокус. Перевіряй правдоподібність результату.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 21 (коротка відповідь, 2 бали) перевіряло формулу тонкої лінзи й оптичну силу. Це означає, що ти маєш бути готовий до розрахункової задачі, де потрібно знайти одну з трьох величин — d, f або F — за двома іншими.

Формула тонкої лінзи, оптична сила й лінійне збільшення є в довідкових матеріалах НМТ. Однак правил знаків для розсіювальної лінзи й уявного зображення в довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Програма НМТ (тема «Оптика») вимагає застосовувати формулу тонкої лінзи. Відповідь у завданні — ціле число або десятковий дріб в одиниці, указаній в умові. Наприклад, якщо в умові всі відстані в сантиметрах, то й відповідь дають у сантиметрах.

Стратегія розв'язування:

• Накресли хід променів (хоча б подумки), щоб визначити, яким буде зображення — дійсним чи уявним. Це підкаже знак f.

• Визнач знак F за типом лінзи: збиральна → F > 0, розсіювальна → F < 0.

• Підстав значення у формулу 1/F = 1/d + 1/f і розв'яжи рівняння.

• Перевір, чи має відповідь фізичний сенс: дійсне зображення не може бути ближче за фокус.

• Формула тонкої лінзи: 1/F = 1/d + 1/f; оптична сила: D = 1/F

• Лінійне збільшення: Γ = H/h = f/d (для уявного зображення беруть |f|)

• Знаки: розсіювальна лінза F < 0; уявне зображення f < 0; дійсний предмет завжди d > 0

• Збільшене дійсне зображення збиральної лінзи: F < d < 2F

• Усі відстані у формулі — в однакових одиницях (усі в метрах або всі в сантиметрах)

• Для дійсного зображення зі збільшенням Γ: d = F(Γ + 1)/Γ, f = F(Γ + 1)