Другий закон Ньютона і рівнодійна сил

У динаміці головне — зрозуміти, чому тіло рухається саме так, а не інакше. Для цього потрібні три базові поняття: сила, маса і рівнодійна.

Сила як векторна величина

Сила F⃗ — це векторна міра дії одного тіла на інше. Вона може змінювати швидкість тіла або спричиняти його деформацію. Як будь-який вектор, сила має модуль (числове значення), напрям і точку прикладання. Одиниця сили в СІ — ньютон (Н). Один ньютон — це сила, яка тілу масою 1 кг надає прискорення 1 м/с²: 1 Н = 1 кг · м/с².

На рисунку силу завжди позначають стрілкою, що виходить із точки прикладання. Довжина стрілки в обраному масштабі показує модуль сили, а напрям стрілки — напрям дії.

Маса як міра інертності

Маса m — це скалярна фізична величина, яка характеризує інертність тіла. Інертність — це властивість тіла чинити опір зміні його швидкості. Що більша маса тіла, то важче змінити його швидкість: та сама сила надасть тілу вдвічі більшої маси вдвічі менше прискорення. Одиниця маси в СІ — кілограм (кг).

Рівнодійна сил

Рівнодійна F⃗ — це одна сила, яка діє на тіло так само, як усі прикладені до нього сили разом. Її знаходять як векторну суму всіх сил: F⃗ = F⃗₁ + F⃗₂ + F⃗₃ + … Розгляньмо найпростіші випадки.

Коли сили напрямлені під довільним кутом, зручно знаходити рівнодійну через проєкції на осі координат. Спочатку проєктуємо кожну силу на вісь X і вісь Y:

Fₓ = F₁ₓ + F₂ₓ + …  Fᵧ = F₁ᵧ + F₂ᵧ + …

Потім обчислюємо модуль рівнодійної: F = √(Fₓ² + Fᵧ²). Напрям рівнодійної визначають знаки Fₓ і Fᵧ.

Другий закон Ньютона — це основний закон динаміки. Він пов'язує силу, масу і прискорення й дає змогу кількісно описати, як змінюється рух тіла під дією сил.

Формулювання закону

Прискорення тіла прямо пропорційне рівнодійній усіх прикладених до нього сил і обернено пропорційне його масі. Напрям прискорення збігається з напрямом рівнодійної.

У вигляді формули:

a⃗ = F⃗ / m  або  F⃗ = m · a⃗

Тут F⃗ — рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, m — маса тіла, a⃗ — прискорення, якого набуває тіло.

Напрям прискорення: ключовий момент

Прискорення завжди напрямлене так само, як рівнодійна сил. Це не обов'язково збігається з напрямом швидкості! Наприклад, під час гальмування автомобіля сила тертя (рівнодійна) напрямлена назад, проти руху, тому й прискорення напрямлене назад — швидкість зменшується. Тіло може рухатися праворуч, а прискорення мати ліворуч.

Інерціальні системи відліку

Другий закон Ньютона виконується лише в інерціальних системах відліку — таких, де тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, коли на нього не діють сили (перший закон Ньютона). Якщо рівнодійна дорівнює нулю, то a⃗ = 0 — це окремий випадок другого закону, який збігається з першим законом.

Пропорційні міркування

З формули F = ma випливають важливі висновки:

• Та сама сила надає тілу вдвічі більшої маси вдвічі менше прискорення. Маса — міра інертності.

• Та сама маса отримує вдвічі більше прискорення, якщо сила вдвічі більша.

• Коли сила зникає, прискорення стає нульовим, але швидкість зберігається — тіло рухається за інерцією.

Важливо: сила визначає прискорення в кожен момент часу, а не швидкість. Швидкість залежить від того, як довго діяла сила. Якщо на тіло діє стала сила, воно рухається зі сталим прискоренням, а швидкість лінійно зростає (або спадає).

Запам'ятай: F⃗ = m · a⃗ — це векторне рівняння. Щоб розв'язувати задачі, його записують у проєкціях на осі координат.

Задачі на другий закон Ньютона розв'язують за чітким алгоритмом. Дотримання цих кроків допомагає не заплутатися в силах і правильно вибрати знаки проєкцій.

Покроковий алгоритм

1. Зроби рисунок: познач тіло й усі сили, що діють на нього. Кожну силу малюй стрілкою з точки прикладання. Підпиши, яке тіло створює кожну силу.

2. Вибери осі координат: одну вісь (зазвичай X) напрям уздовж очікуваного прискорення, другу (Y) — перпендикулярно до неї.

3. Запиши проєкції всіх сил на осі. Сила, напрямлена вздовж осі, має додатну проєкцію; проти осі — від'ємну; перпендикулярна сила має нульову проєкцію.

4. Склади рівняння другого закону в проєкціях: Fₓ = m · aₓ, Fᵧ = m · aᵧ. Тут Fₓ — сума проєкцій усіх сил на вісь X.

5. Розв'яжи рівняння в загальному вигляді (буквами), потім підстав числа й обчисли відповідь.

Важливе зауваження: «сили руху» не існує

Поширена помилка — малювати на рисунку додаткову силу, яка «штовхає» тіло вперед, коли воно рухається. Насправді в інерціальній системі відліку тіло рухається за інерцією, якщо рівнодійна дорівнює нулю. Якщо тіло прискорюється, то причиною є реальна сила (наприклад, сила тяги двигуна, сила пружності пружини, сила тертя тощо). Жодної окремої «сили руху» в природі не існує.

Приклад 1: автомобіль розганяється

Автомобіль масою 1200 кг розганяється з прискоренням 2 м/с². Сила опору руху становить 600 Н. Знайдемо силу тяги.

На автомобіль діють: сила тяги Fт (у напрямі руху), сила опору Fоп (проти руху). Обираємо вісь X у напрямі руху. Проєкція сили тяги додатна, сили опору — від'ємна. За другим законом:

Fт − Fоп = m · a

Звідси: Fт = m · a + Fоп = 1200 · 2 + 600 = 2400 + 600 = 3000 Н.

Приклад 2: перпендикулярні сили на шайбу

На шайбу масою 0,5 кг на гладкому льоду (тертям нехтуємо) діють дві горизонтальні сили: 3 Н на схід і 4 Н на північ. Знайдемо прискорення.

Сили перпендикулярні, тому рівнодійна: F = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 Н. За другим законом: a = F / m = 5 / 0,5 = 10 м/с². Прискорення напрямлене так само, як рівнодійна, — під кутом 53° до напряму сили 3 Н (arctg(4/3)).

Зв'язок з кінематикою

Прискорення, знайдене з другого закону Ньютона, можна підставити в рівняння кінематики, щоб знайти швидкість або переміщення. І навпаки: якщо з кінематики відоме прискорення, через другий закон можна знайти силу. Наприклад, знаючи, що автомобіль за 10 с розігнався з 0 до 20 м/с, знаходимо a = 2 м/с², а потім — силу тяги.

Розгляньмо чотири типові задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожна ілюструє один із ключових аспектів другого закону Ньютона.

Приклад 1. Напрям прискорення

Тіло рухається праворуч. Уздовж горизонталі на нього діють дві сили: 5 Н праворуч і 8 Н ліворуч. Куди напрямлене прискорення тіла?

Розв'язання: рівнодійна сил уздовж горизонталі: F = 5 − 8 = −3 Н (знак «мінус» означає, що рівнодійна напрямлена ліворуч). За другим законом Ньютона прискорення напрямлене так само, як рівнодійна, тобто ліворуч. Напрям швидкості (праворуч) не впливає на напрям прискорення.

Відповідь: ліворуч.

Чому інші варіанти неправильні:

• «Праворуч, як швидкість» — прискорення не обов'язково збігається з напрямом швидкості.

• «Вертикально» — обидві сили горизонтальні, тому рівнодійна не має вертикальної складової.

• «Прискорення дорівнює нулю» — рівнодійна не нульова (3 Н), тому прискорення існує.

Приклад 2. Сила тяги через кінематику

Автомобіль масою 1,5 т рушає з місця й за 10 с набирає швидкість 20 м/с. Сила опору руху 1000 Н. Знайди силу тяги в кілоньютонах.

Розв'язання: спочатку переводимо масу в кілограми: 1,5 т = 1500 кг. Знаходимо прискорення з кінематики: a = (v − v₀) / t = (20 − 0) / 10 = 2 м/с². Записуємо другий закон у проєкції на вісь руху: Fт − Fоп = m · a. Звідси Fт = m · a + Fоп = 1500 · 2 + 1000 = 3000 + 1000 = 4000 Н = 4 кН.

Відповідь: 4.

Приклад 3. Пропорційність сили і маси

Сила F надає тілу масою m прискорення 6 м/с². Яке прискорення надасть сила 2F тілу масою 3m?

Розв'язання: за другим законом a = F / m. У першому випадку: 6 = F / m, звідки F / m = 6. У другому випадку: a₂ = (2F) / (3m) = (2/3) · (F/m) = (2/3) · 6 = 4 м/с².

Відповідь: 4 м/с².

Чому інші варіанти неправильні:

• 9 м/с² — помилка: множать 6 на 3/2 замість 2/3.

• 36 м/с² — помилка: множать 6 на 2 і на 3, не враховуючи ділення.

• 1 м/с² — помилка: ділять 6 на 6 замість множення на 2/3.

Приклад 4. Перпендикулярні сили

На тіло масою 2 кг діють дві перпендикулярні сили: 6 Н і 8 Н. Знайди модуль прискорення в м/с².

Розв'язання: рівнодійна перпендикулярних сил: F = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 Н. За другим законом: a = F / m = 10 / 2 = 5 м/с².

Відповідь: 5.

На НМТ перевіряють не лише знання формул, а й уміння уникнути типових пасток. Ось найпоширеніші помилки в задачах на другий закон Ньютона.

• Додавання вигаданої «сили руху». На рисунку до сил, що реально діють на тіло, додають стрілку «вперед», яка нібито штовхає тіло. Насправді в інерціальній системі відліку такої сили немає. Якщо тіло рухається рівномірно, то рівнодійна дорівнює нулю. Якщо прискорюється — причиною є конкретна реальна сила (тяги, пружності, тертя тощо).

• Прискорення напрямлене як швидкість. Багато хто вважає, що прискорення завжди збігається з напрямом руху. Насправді прискорення напрямлене як рівнодійна сил. Під час гальмування швидкість напрямлена вперед, а прискорення — назад.

• Підстановка однієї із сил у F = ma. Помилково підставляють у формулу F = ma одну з діючих сил замість рівнодійної. Наприклад, якщо на тіло діють 10 Н праворуч і 4 Н ліворуч, помилково пишуть 10 = ma, хоча рівнодійна — 6 Н праворуч.

• Додавання модулів сил під кутом як чисел. Якщо сили напрямлені під кутом, їх не можна просто додавати. Для перпендикулярних сил використовують теорему Піфагора, для інших кутів — правило паралелограма або проєкції.

• Не переведені одиниці. Масу в тоннах не переводять у кілограми (1,5 т = 1500 кг), силу залишають у кН замість Н, або навпаки — забувають перевести відповідь у кН. Уважно читай, у яких одиницях треба дати відповідь.

• Коли сила зникає, тіло одразу зупиняється. Це неправда: коли сила зникає, прискорення стає нульовим, але швидкість зберігається — тіло рухається за інерцією (перший закон Ньютона).

Розуміння формату допомагає ефективно розподілити час на іспиті. Ось що варто знати про перевірку другого закону Ньютона на НМТ.

• У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 2 (вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал) перевіряло напрям прискорення за схемою сил, зображених у масштабі. Потрібно було додати сили (знайти рівнодійну) й за другим законом Ньютона визначити, куди напрямлене прискорення.

• У довідкових матеріалах НМТ-2026, які доступні під час тесту, є формули: рівнодійна сил, другий і третій закони Ньютона, а також проєкції вектора на осі координат. Користуйся ними!

• Програма НМТ (тема 1.2) вимагає вміння розв'язувати задачі на рух тіла під дією однієї або кількох сил. Це стосується як завдань з вибором відповіді, так і задач з короткою відповіддю.

• У формі з короткою відповіддю (номери 17–22) завдання оцінюють у 0 або 2 бали. Відповідь — число в одиницях, указаних в умові (наприклад, у кН). Якщо число вийшло в ньютонах, а в умові просять кілоньютони — поділи на 1000.

• Стратегія для схеми сил на клітинках: спочатку окремо додай горизонтальні складові всіх сил, потім окремо вертикальні. За знаками сум визнач, у який бік напрямлена рівнодійна. Пам'ятай: прискорення напрямлене так само, як рівнодійна.

• Другий закон Ньютона: a⃗ = F⃗ / m, де F⃗ — рівнодійна всіх сил, що діють на тіло.

• Прискорення завжди напрямлене так само, як рівнодійна, а не обов'язково як швидкість.

• Маса — міра інертності: та сама сила надає тілу вдвічі більшої маси вдвічі менше прискорення.

• Одиниця сили — ньютон: 1 Н = 1 кг · м/с².

• Алгоритм розв'язання: сили → осі → проєкції → рівняння Fₓ = maₓ → розв'язок.

• «Сили руху» не існує — в інерціальній системі відліку тіло рухається за інерцією, коли рівнодійна дорівнює нулю.

• Рівнодійна перпендикулярних сил: F = √(F₁² + F₂²).

• Коли сила зникає, прискорення стає нульовим, а швидкість зберігається.