Дефект мас і енергія зв’язку ядра

Коли з окремих протонів і нейтронів утворюється атомне ядро, відбувається дивовижне явище: маса ядра виявляється меншою, ніж сума мас тих самих нуклонів, узятих у вільному стані. Ця різниця — не помилка вимірювання, а фундаментальний наслідок взаємозв'язку маси та енергії, який описав Ейнштейн.

Чому маса зникає?

Під час злиття нуклонів у ядро виділяється величезна енергія — енергія зв'язку. За формулою $E=m{c}^2$ ця енергія «забирає» з собою частину маси. Тому маса ядра $M_{\text{я}}$ завжди менша за суму мас його складових. Різницю називають дефектом мас і позначають $\Delta m$.

Формула дефекту мас:

$$\Delta m=Z\cdot m_p+N\cdot m_n-M_{\text{я}}$$

де $Z$ — кількість протонів, $N$ — кількість нейтронів, $m_p$ — маса протона, $m_n$ — маса нейтрона, $M_{\text{я}}$ — маса ядра.

Які маси використовувати?

В умовах задач НМТ зазвичай наводять такі значення (в атомних одиницях маси, а. о. м.):

• маса протона $m_p\approx 1,00728$ а. о. м.

• маса нейтрона $m_n\approx 1,00867$ а. о. м.

• маса електрона $m_e\approx 0,00055$ а. о. м.

Ці числа завжди наведено в умові — запам'ятовувати їх не потрібно.

Уважно перевір, що саме дано в умові: маса ядра $M_{\text{я}}$ чи маса нейтрального атома $M_{\text{ат}}$? Різниця між ними — це маса електронів: $M_{\text{ат}}=M_{\text{я}}+Z\cdot m_e$. Якщо в умові наведено масу атома, спочатку відніми $Z\cdot m_e$, щоб отримати масу ядра.

Приклад: ядро літію-7

Ядро ${}_3^7\text{Li}$ містить $Z=3$ протони і $N=4$ нейтрони. Маса ядра літію-7 дорівнює $7,01436$ а. о. м. Обчислимо дефект мас:

$$\Delta m=3\cdot 1,00728+4\cdot 1,00867-7,01436$$

$$\Delta m=3,02184+4,03468-7,01436=0,04216\text{а. о. м.}$$

Отже, під час утворення ядра літію-7 «зникає» $0,04216$ а. о. м. маси — саме стільки перейшло в енергію зв'язку.

Енергія зв'язку ядра — це мінімальна енергія, яку потрібно затратити, щоб повністю розщепити ядро на окремі вільні нуклони. Вона дорівнює тій енергії, що виділяється під час утворення ядра з нуклонів. За формулою Ейнштейна:

$$E_{\text{зв}}=\Delta m\cdot c^2$$

де $c=3\cdot 10^8$ м/с — швидкість світла у вакуумі.

Зручний перехід: а. о. м. → МеВ

Обчислювати енергію зв'язку в джоулях через $c^2$ незручно, бо $\Delta m$ дуже мала. Тому в ядерній фізиці використовують співвідношення:

$$1\text{а. о. м.}\approx 931,5\text{МеВ}$$

Це означає, що маса $1$ а. о. м., повністю перетворена на енергію, дає приблизно $931,5$ МеВ. Тому енергію зв'язку в МеВ знаходять простим множенням:

$$E_{\text{зв}}[\text{МеВ}]=\Delta m[\text{а. о. м.}]\cdot 931,5$$

Якщо в умові дано співвідношення 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ, тобі не потрібно переводити а. о. м. у кілограми і підносити $c$ до квадрата. Достатньо помножити дефект мас на $931,5$ — і відповідь у МеВ готова.

Приклад: ядро гелію-4

Ядро ${}_2^4\text{He}$ (альфа-частинка) має $Z=2$, $N=2$. За масами з умови:

• $m_p=1,00728$ а. о. м.

• $m_n=1,00867$ а. о. м.

• $M_{\text{я}}=4,00151$ а. о. м.

Обчислюємо дефект мас:

$$\Delta m=2\cdot 1,00728+2\cdot 1,00867-4,00151$$

$$\Delta m=2,01456+2,01734-4,00151=0,03039\text{а. о. м.}$$

Тепер енергія зв'язку:

$$E_{\text{зв}}=0,03039\cdot 931,5\approx 28,3\text{МеВ}$$

Питома енергія зв'язку

Питома енергія зв'язку — це енергія зв'язку, що припадає на один нуклон:

$$\frac{E_{\text{зв}}}{A}$$

де $A=Z+N$ — масове число (загальна кількість нуклонів).

Для гелію-4: $E_{\text{зв}}/A=28,3/4\approx 7,1$ МеВ/нуклон.

Чим більша питома енергія зв'язку, тим стійкіше ядро. Якщо порівняти два ядра, стійкішим буде те, у якого $E_{\text{зв}}/A$ більша. Наприклад, питома енергія зв'язку ядра заліза-56 становить близько $8,8$ МеВ/нуклон — тому ядра заліза найстійкіші.

Якщо побудувати графік залежності питомої енергії зв'язку $E_{\text{зв}}/A$ від масового числа $A$, отримаємо криву, яка пояснює, звідки береться енергія в ядерних реакціях.

Графік показує, що питома енергія зв'язку:

• швидко зростає для найлегших ядер (від $1,1$ МеВ/нуклон у дейтерію до $7,1$ у гелію-4);

• досягає максимуму близько $8,8$ МеВ/нуклон для ядер середньої маси в районі заліза ($A\approx 56$);

• повільно спадає для важких ядер (до $7,6$ МеВ/нуклон у урану-238).

Чому вивільняється енергія?

Форма кривої має вирішальне значення для розуміння джерел ядерної енергії. Система завжди прямує до стану з більшою стійкістю, тобто до більшої питомої енергії зв'язку. Якщо в результаті реакції нуклони опиняються в ядрі з більшим $E_{\text{зв}}/A$, енергія вивільняється.

Поділ важких ядер

Важке ядро (наприклад, ${}_{92}^{235}\text{U}$) має $E_{\text{зв}}/A\approx 7,6$ МеВ/нуклон. Коли воно ділиться на два ядра середньої маси, кожне з яких має $E_{\text{зв}}/A\approx 8,5$ МеВ/нуклон, нуклони переходять у стійкіший стан. Різниця питомих енергій зв'язку (близько $0,9$ МеВ на нуклон) помножена на кількість нуклонів дає величезний енергетичний вихід — саме так працюють ядерні реактори.

Синтез легких ядер

Два легких ядра (наприклад, дейтерій ${}_1^2\text{H}$ і тритій ${}_1^3\text{H}$) мають малу питому енергію зв'язку. Під час їхнього злиття утворюється важче ядро (гелій-4) з набагато більшою $E_{\text{зв}}/A$. Різниця питомих енергій тут значно більша, ніж у випадку поділу, тому синтез легких ядер дає більше енергії на нуклон, ніж поділ важких. Термоядерний синтез легких ядер живить зорі; на Сонці це протон-протонний цикл, у якому чотири протони перетворюються на ядро гелію-4.

Ключова ідея: і поділ важких ядер, і синтез легких ядер переводять нуклони в стан із більшою питомою енергією зв'язку. Різниця енергій вивільняється назовні. До заліза (ліва гілка кривої) вигідний синтез, після заліза (права гілка) — поділ. Ядра заліза — найстійкіші, тому реакції, що ведуть до заліза, екзотермічні.

Докладніше про механізми поділу та синтезу — у відповідному юніті «Поділ і синтез ядер».

Приклад 1. Обчислення енергії зв'язку за дефектом мас

Дефект мас ядра дорівнює $0,02$ а. о. м. Визнач енергію зв'язку цього ядра в МеВ. Відповідь округли до цілого числа.

Розв'язання:

Енергію зв'язку знаходимо за формулою $E_{\text{зв}}=\Delta m\cdot 931,5$ (МеВ), оскільки $1$ а. о. м. відповідає $931,5$ МеВ.

$$E_{\text{зв}}=0,02\cdot 931,5=18,63\text{МеВ}$$

Округлюємо до цілого: $19$ МеВ.

Відповідь: 19 МеВ.

Типова помилка: забути помножити на $931,5$ і написати $0,02$ МеВ — це значення дефекту мас, а не енергії. Інша помилка: округлити $18,63$ до $18$, а не до $19$.

Приклад 2. Порівняння стійкості ядер

Питома енергія зв'язку ядра X дорівнює $7$ МеВ/нуклон, а ядра Y — $8,5$ МеВ/нуклон. Яке ядро стійкіше?

• А) ядро X

• Б) ядро Y

• В) обидва однаково стійкі

• Г) стійкість залежить лише від масового числа A

Розв'язання: Стійкість ядра визначається питомою енергією зв'язку $E_{\text{зв}}/A$: чим вона більша, тим ядро стійкіше. Оскільки $8,5>7$, ядро Y стійкіше.

Відповідь: Б) ядро Y.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) ядро X — менша питома енергія зв'язку означає меншу стійкість.

• В) обидва однаково стійкі — значення різні, тому стійкість різна.

• Г) стійкість залежить лише від A — насправді стійкість визначає питома енергія зв'язку, а не саме A.

Приклад 3. Обчислення питомої енергії зв'язку

Енергія зв'язку ядра з масовим числом $A=20$ дорівнює $160$ МеВ. Визнач питому енергію зв'язку цього ядра в МеВ/нуклон.

Розв'язання: Питома енергія зв'язку — це енергія зв'язку, поділена на кількість нуклонів:

$$\frac{E_{\text{зв}}}{A}=\frac{160}{20}=8\text{МеВ/нуклон}$$

Відповідь: 8 МеВ/нуклон.

Типова помилка: поділити $160$ на $Z$ (кількість протонів), а не на $A$. Оскільки $Z$ в умові не дано, це неможливо зробити — і це підказка, що ділити треба на $A$.

Приклад 4. Чому вивільняється енергія під час синтезу?

Чому під час синтезу двох легких ядер в одне важче вивільняється енергія?

• А) тому що продукт синтезу має більшу масу, ніж сума мас вихідних ядер

• Б) тому що ядерні сили між нуклонами зникають

• В) тому що питома енергія зв'язку продукту більша, тож дефект мас зростає

• Г) тому що кулонівське відштовхування між протонами зростає

Розв'язання: Під час синтезу легких ядер утворюється ядро з більшою питомою енергією зв'язку (див. криву — ліва гілка зростає). Більша питома енергія зв'язку означає, що нуклони стали стійкішими, а різниця енергій вивільнилася. Зі збільшенням енергії зв'язку зростає і дефект мас.

Відповідь: В) тому що питома енергія зв'язку продукту більша, тож дефект мас зростає.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) продукт має меншу масу, ніж сума вихідних ядер (дефект мас), а не більшу.

• Б) ядерні сили не зникають — саме вони утримують нуклони в новому ядрі.

• Г) кулонівське відштовхування справді зростає (більше протонів в одному ядрі), але це не причина вивільнення енергії, а навпаки — фактор, що ускладнює синтез.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення дефекту мас та енергії зв'язку. Уважно прочитай кожну — і на НМТ ти їх уникнеш.

• Змішувати маси атома і ядра, не враховуючи маси електронів. Якщо в умові дано масу нейтрального атома $M_{\text{ат}}$, а ти підставляєш її у формулу дефекту мас як $M_{\text{я}}$, то помилка становить $Z\cdot m_e$. Завжди перевіряй: маса атома = маса ядра + маса електронів.

• Забувати помножити $m_p$ і $m_n$ на $Z$ і $N$ відповідно. Формула $\Delta m=Z\cdot m_p+N\cdot m_n-M_{\text{я}}$ вимагає множення. Не можна просто додати $m_p+m_n$ і відняти $M_{\text{я}}$.

• Вважати дефект мас негативним або енергію зв'язку від'ємною. Дефект мас — це додатна величина ($M_{\text{я}}<Z\cdot m_p+N\cdot m_n$), тому $\Delta m>0$ і $E_{\text{зв}}>0$.

• Розраховувати енергію зв'язку в джоулях, забувши $c^2$, або змішувати а. о. м. і кг. Якщо дефект мас подано в а. о. м., то $E_{\text{зв}}$ у джоулях потребує переведення в кілограми ($1$ а. о. м. $=1,66\cdot 10^{-27}$ кг) і множення на $c^2$. Якщо в умові дано співвідношення 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ, простіше: помнож $\Delta m$ (в а. о. м.) на $931,5$ — отримаєш МеВ.

• Ділити енергію зв'язку не на $A$, а на $Z$. Питома енергія зв'язку — це енергія на один нуклон ($A$), а не на один протон ($Z$).

Тема «Дефект мас і енергія зв'язку ядра» входить до розділу 5.3 програми НМТ з фізики. Від тебе вимагають уміти обчислювати дефект мас, енергію зв'язку й енергетичний вихід ядерних реакцій.

Що дозволено на тестуванні

• Формули енергії зв'язку ($E_{\text{зв}}=\Delta m\cdot c^2$) і дефекту мас ($\Delta m=Z\cdot m_p+N\cdot m_n-M_{\text{я}}$) є в довідкових матеріалах НМТ — їх не треба запам'ятовувати.

• Маси нуклонів, ядер, значення атомної одиниці маси та швидкості світла наводять в умові задачі. Таблиці мас у довідкових матеріалах немає.

• Співвідношення $1$ а. о. м. $\approx 931,5$ МеВ у довідкових матеріалах немає. Якщо його дано в умові, множ Δm на 931,5; якщо дано c і масу 1 а. о. м. у кілограмах, обчислюй E = Δm·c² у джоулях.

Формат завдань

Розрахункові завдання з цієї теми можуть бути як у форматі вибору однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14, 0 або 1 бал), так і у форматі короткої відповіді (№ 17–22, 0 або 2 бали). У завданнях з короткою відповіддю потрібно вписати ціле число або десятковий дріб з одиницею, указаною в умові.

Стратегія розв'язування

• У кожній задачі насамперед перевір, що дано: маса ядра чи маса нейтрального атома. Якщо дано масу атома, відніми $Z\cdot m_e$.

• Визнач, в яких одиницях вимагають відповідь: МеВ чи Дж. Якщо в МеВ — просто помнож $\Delta m$ (в а. о. м.) на $931,5$.

• Для питомої енергії зв'язку поділи отриману $E_{\text{зв}}$ на масове число $A$.

• Якщо запитують, чи вивільняється енергія в реакції, порівняй питомі енергії зв'язку ядер до і після реакції.

• Дефект мас: $\Delta m=Z\cdot m_p+N\cdot m_n-M_{\text{я}}$ — маса ядра завжди менша за суму мас нуклонів.

• Енергія зв'язку: $E_{\text{зв}}=\Delta m\cdot c^2$; зручний перехід — $1$ а. о. м. $\approx 931,5$ МеВ, тому $E_{\text{зв}}[\text{МеВ}]=\Delta m[\text{а. о. м.}]\cdot 931,5$.

• Питома енергія зв'язку: $E_{\text{зв}}/A$ — енергія на один нуклон; чим вона більша, тим стійкіше ядро.

• Максимум питомої енергії зв'язку (близько $8,8$ МеВ/нуклон) — у ядер середньої маси в районі заліза ($A\approx 56$).

• Енергію вивільняють і поділ важких ядер, і синтез легких ядер, тому що в обох випадках нуклони переходять у стан із більшою питомою енергією зв'язку.

• До заліза вигідний синтез, після заліза — поділ; синтез дає більше енергії на нуклон.