Завдання 22 НМТ: рівняння з параметром
~30 хв · 9 розділів · 13 тестових запитань
Частина кар’єрної траєкторії НМТ 2027: 3 обов’язкові + біологія.
№ 22 НМТ: аналізуй умову, знаходь особливі значення параметра, зводь рівняння до квадратного заміною змінної й записуй числову відповідь — суму, кількість або крайнє значення параметра.
Крок 1: з'ясуй, що записати у відповідь
Завдання № 22 ніколи не просить «знайдіть усі значення a» — це була б множина, а поле для короткої відповіді приймає лише одне число. Уважно прочитай кінець умови. Там сказано: «Знайдіть суму цілих значень a», «Знайдіть кількість цілих значень a», «Знайдіть найбільше ціле значення a» або «Знайдіть найменше ціле значення a». Якщо в умові «знайдіть значення a», то мова про одне конкретне число, яке задовольняє умову. Запиши в чернетці одразу: «Відповідь — це …» — і підстав літеру з питання: сума, кількість, найбільше, найменше.
Крок 2: особливі значення параметра
Перш ніж зводити рівняння до квадратного, перевір, чи є таке значення a, при якому старший коефіцієнт при x² дорівнює нулю. Якщо так, то рівняння стає лінійним — і корінь (або його відсутність) треба розглянути окремо. Наприклад, у рівнянні (a − 1)x² − 4x + 1 = 0 при a = 1 зникає квадратний член, і ми маємо −4x + 1 = 0, x = 0,25 — єдиний корінь. Це значення a теж зараховується до відповіді, якщо умова задачі виконується. Іноді рівняння вироджується не через коефіцієнт, а через ОДЗ: наприклад, у дробовому рівнянні (x − a)/(x − 3) = 0 знаменник не може дорівнювати нулю, тому a ≠ 3.
Крок 3: зведення до квадратного — заміна змінної
Якщо рівняння містить показникову, логарифмічну чи тригонометричну функцію, зроби заміну, щоб отримати квадратне рівняння f(t) = 0. Одразу запиши, яких значень може набувати t: для t = aˣ маємо t > 0; для t = sin x чи t = cos x маємо −1 ≤ t ≤ 1; для t = logₐ x обмежень на t немає. Кожен корінь t, що лежить у допустимій множині, дає один або кілька коренів x — залежно від функції.
Крок 4: переклад умови задачі на корені t
Тепер прочитай умову ще раз: «рівняння не має коренів» — це означає, що квадратне рівняння f(t) = 0 не має жодного кореня t у допустимій множині; «має єдиний корінь» — рівно один корінь t (або два збіжні) належить множині; «має два різні корені» — два різні корені t належать множині. Переклади словесну умову на нерівності для дискримінанта D і для самих коренів. Для квадратного рівняння at² + bt + c = 0: не має коренів — D < 0 або D ≥ 0, але жоден корінь не потрапляє в допустиму множину; має єдиний корінь — D = 0 і корінь належить множині, або (для лінійного випадку) один корінь.
Крок 5: розв'язати нерівності й відповісти на питання
Розв'яжи нерівності щодо a, знайди множину значень параметра, що задовольняють умову. Потім повернися до кроку 1: з цієї множини обери ті значення, які потрібні за питанням — цілі, натуральні, найбільше, найменше, або порахуй суму чи кількість. Обов'язково перевір хоча б одне значення a підстановкою у вихідне рівняння: це займає 30 секунд, але рятує від втрати 2 балів.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Особливе значення: старший коефіцієнт дорівнює нулю
У квадратному рівнянні з параметром найпоширеніша пастка — не помітити, що при деякому a коефіцієнт при x² стає нулем. Тоді рівняння перестає бути квадратним і стає лінійним, а лінійне рівняння має рівно один корінь (якщо коефіцієнт при x не нуль). Це значення параметра треба розглянути окремо, а потім об'єднати з розв'язками, отриманими з дискримінанта.
Розгляньмо рівняння (a − 1)x² − 4x + 1 = 0. Умова: знайти суму всіх значень a, при яких рівняння має єдиний корінь. Крок 1: a = 1 — рівняння стає лінійним: −4x + 1 = 0, звідки x = 0,25. Один корінь — умова виконана. Крок 2: a ≠ 1 — рівняння квадратне. Єдиний корінь квадратного рівняння буває, коли дискримінант дорівнює нулю: D = (−4)² − 4(a − 1)·1 = 16 − 4a + 4 = 20 − 4a. D = 0 ⇒ 20 − 4a = 0 ⇒ a = 5. Крок 3: обидва значення a = 1 і a = 5 задовольняють умову. Їх сума: 1 + 5 = 6. Якби ми забули про a = 1, то отримали б відповідь 5 — і втратили б 2 бали.
Умова «не має коренів»
Для квадратного рівняння x² + 2ax + 4a − 3 = 0 знайдімо цілі значення a, при яких воно не має коренів. Дискримінант (зручніше через D/4): D/4 = a² − (4a − 3) = a² − 4a + 3. Рівняння не має коренів, коли D/4 < 0, тобто a² − 4a + 3 < 0. Розв'язуємо квадратну нерівність: корені a = 1 і a = 3, парабола вітками вгору, тому нерівність виконується на інтервалі 1 < a < 3. Єдине ціле число в цьому проміжку — a = 2. Відповідь: 2. Зверни увагу: при a = 1 або a = 3 дискримінант дорівнює нулю, рівняння має один корінь, тому ці значення не входять у відповідь.
Знаки коренів за теоремою Вієта
Іноді умова стосується не кількості коренів, а їхніх знаків. Наприклад: x² − (a + 1)x + a − 2 = 0 має корені різних знаків. За теоремою Вієта добуток коренів дорівнює a − 2. Корені різних знаків ⇔ їхній добуток від'ємний: a − 2 < 0 ⇒ a < 2. Чи треба перевіряти дискримінант? Коли добуток від'ємний, дискримінант завжди додатний (один корінь додатний, другий від'ємний — вони не можуть збігтися), тому D > 0 виконується автоматично. Відповідь: a ∈ (−∞; 2). Якщо питання про цілі значення, то рахуємо далі.
Параметр у дробовому рівнянні
Дробове рівняння (x − a)/(x − 3) = 0 має корінь, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Чисельник: x − a = 0 ⇒ x = a. Знаменник: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3. Отже, корінь існує ⇔ a ≠ 3. Якщо a = 3, то рівняння набуває вигляду (x − 3)/(x − 3) = 0, що після скорочення дає 1 = 0 — коренів немає. Це простий приклад, але він ілюструє, що параметр може впливати не лише на дискримінант, а й на ОДЗ.
Умова | Математичний переклад | Приклад рівняння | Розв'язок |
|---|---|---|---|
Не має коренів | D < 0 або корені t поза допустимою множиною | x² + 2ax + 4a − 3 = 0 | 1 < a < 3 ⇒ єдине ціле a = 2 |
Має єдиний корінь | a = a₀ (лінійний) або D = 0 | (a − 1)x² − 4x + 1 = 0 | a = 1 або a = 5, сума 6 |
Корені різних знаків | x₁x₂ < 0, D > 0 автоматично | x² − (a + 1)x + a − 2 = 0 | a < 2 |
Дріб має корінь | Чисельник = 0, знаменник ≠ 0 | (x − a)/(x − 3) = 0 | a ≠ 3 |
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Показникове рівняння: t = aˣ, t > 0
Показникова функція aˣ (де a > 0, a ≠ 1) набуває лише додатних значень. Тому після заміни t = aˣ одразу записуємо умову t > 0. Кожному додатному t відповідає рівно один x = logₐ t. Отже, кількість коренів x дорівнює кількості додатних коренів t. Якщо квадратне рівняння має два корені, з яких один додатний, а другий від'ємний, то x має рівно один корінь. Якщо обидва корені додатні — x має два корені. Якщо жодного додатного — x не має коренів.
Розгляньмо рівняння 9ˣ − 4·3ˣ + a = 0. Помічаємо, що 9ˣ = (3²)ˣ = 3²ˣ = (3ˣ)². Заміна t = 3ˣ > 0 дає квадратне рівняння: t² − 4t + a = 0. Сума коренів цього квадратного рівняння дорівнює 4 (додатна), тому при D ≥ 0 хоча б один корінь обов'язково буде додатним (якщо обидва корені додатні або один додатний, а інший невід'ємний). Отже, рівняння не має коренів лише тоді, коли квадратне рівняння взагалі не має дійсних коренів, тобто D < 0. D = 16 − 4a < 0 ⇒ a > 4. Відповідь: a > 4. Якби умова була «має єдиний корінь», то треба було б розглянути D = 0 (a = 4, корінь t = 2 > 0 — підходить) або D > 0 з одним додатним і одним недодатним коренем.
Логарифмічне рівняння: t = logₐ x — без обмежень
Логарифмічна функція logₐ x визначена для x > 0, але сама може набувати будь-якого дійсного значення. Тому після заміни t = logₐ x обмежень на t немає. Кожному t відповідає рівно один x = aᵗ. Отже, кількість коренів x дорівнює кількості дійсних коренів t. Для рівняння log₂²x − 6 log₂ x + a = 0 робимо заміну t = log₂ x, t ∈ ℝ, і отримуємо t² − 6t + a = 0. Умова «має два різні корені» означає, що дискримінант додатний: D = 36 − 4a > 0 ⇒ a < 9. Якщо питання — кількість натуральних значень a, то a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — всього 8 значень. Зверни увагу: при a = 9 дискримінант дорівнює нулю, корінь t = 3 — один, тому a = 9 не підходить.
Тригонометричне рівняння: t = sin x або cos x, |t| ≤ 1
Функції sin x і cos x набувають значень від −1 до 1 включно. Тому після заміни t = sin x (або t = cos x) маємо −1 ≤ t ≤ 1. Кожному t з цього проміжку відповідає безліч коренів x (періодичність), але для завдання № 22 важлива саме наявність хоча б одного кореня, а не їхня кількість на проміжку.
Приклад: sin²x − sin x = a. Заміна t = sin x, −1 ≤ t ≤ 1. Отримуємо t² − t = a. Позначимо g(t) = t² − t. Нам потрібно, щоб рівняння g(t) = a мало хоча б один корінь t на [−1; 1]. Знайдемо множину значень g(t) на цьому відрізку. Вершина параболи — у точці t = 0,5 (входить у відрізок). g(0,5) = 0,25 − 0,5 = −0,25. На кінцях: g(−1) = 1 + 1 = 2, g(1) = 1 − 1 = 0. Отже, найменше значення на відрізку — −0,25, найбільше — 2. Множина значень: [−0,25; 2]. Рівняння має корені ⇔ a ∈ [−0,25; 2].
Графічний прийом
Коли маєш рівняння g(t) = a з обмеженням на t, уяви графік функції y = g(t) на допустимій множині. Горизонтальна пряма y = a перетинає цей графік у стількох точках, скільки коренів t має рівняння. Якщо потрібно, щоб коренів не було — пряма не перетинає графік; якщо хоча б один — пряма має хоча б одну спільну точку. Цей підхід особливо корисний, коли квадратне рівняння має обмеження на область значень t.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Що дає № 22 і скільки коштує
Завдання № 22 — це 2 бали з 32 можливих, або приблизно 6 % від загальної суми. Часткових балів немає: або ти записуєш правильне число в поле відповіді й отримуєш 2 бали, або отримуєш 0. Жоден крок розв'язання не оцінюється окремо — має значення лише фінальне число. Орієнтовно заклади на № 22 10–15 хвилин (це рекомендація, а не офіційна статистика). Це єдине завдання демоваріанта 2026, що потребує профільного рівня. За експертною оцінкою, саме № 22 розрізняє результати 180–200 балів.
Коли варто пропустити № 22
Якщо твоя ціль — 150–170 балів, № 22 можна сміливо пропустити. Чому? Знайдена помилка в завданнях № 19–21 дає ті самі 2 бали, але потребує менше часу. Краще витратити 10–15 хвилин на перевірку трьох завдань з короткою відповіддю (№ 19, 20, 21), ніж на одне складне № 22. Якщо ж ти впевнений у своїх силах і цілишся на 190+, то № 22 обов'язкове — без нього максимальний бал неможливий.
Якщо часу мало: запиши заміну й обмеження
Буває, що часу на повне розв'язання не вистачає. У такому разі зроби хоча б найпростіші кроки в чернетці: визнач тип рівняння, зроби заміну, запиши обмеження на t і особливі значення параметра. Іноді цього достатньо, щоб інтуїтивно вгадати відповідь або звузити пошук до одного-двох кандидатів. Порожнє поле гарантує 0 балів, тому будь-яке число, записане з міркувань, дає шанс. Але спершу переконайся, що № 1–21 мають заповнені відповіді.
Тренування: власні задачі-аналоги
Найкращий спосіб підготуватися до будь-якого варіанта № 22 — створити власні задачі-аналоги. Візьми одну й ту саму умову, наприклад «не має коренів», і застосуй її до різних типів рівнянь: квадратного, показникового (з t = aˣ), тригонометричного (з t = sin x). Простеж, як обмеження на t змінює відповідь. Для квадратного достатньо D < 0. Для показникового треба D < 0 або обидва корені ≤ 0. Для тригонометричного — корені t мають лежати поза [−1; 1]. Такий підхід формує гнучке розуміння, а не механічне запам'ятовування.
Пам'ятай: № 22 варто брати останнім. Спочатку дай відповіді на всі 21 попереднє завдання, перевір їх, і лише тоді, якщо лишився час, берися за параметр.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Приклад 1. Показникове рівняння: найменше ціле a
Завдання: Знайдіть найменше ціле значення a, при якому рівняння 25ˣ − 6·5ˣ + a = 0 не має коренів.
Розв'язання крок за кроком:
Заміна: 25ˣ = (5²)ˣ = (5ˣ)². Нехай t = 5ˣ > 0. Тоді рівняння набуває вигляду t² − 6t + a = 0.
Сума коренів квадратного рівняння дорівнює 6 > 0. Це означає, що якщо дискримінант D ≥ 0, то хоча б один корінь буде додатним, бо сума додатна — обидва корені не можуть бути від'ємними або нулем одночасно.
Отже, рівняння не має коренів лише тоді, коли D < 0. D = 36 − 4a < 0 ⇒ 36 < 4a ⇒ a > 9.
Найменше ціле число, більше за 9, — це 10. Перевіряємо: a = 10, тоді t² − 6t + 10 = 0, D = 36 − 40 = −4 < 0 — коренів t немає, а отже, і коренів x немає.
Відповідь: 10.
Пастка: узяти D ≤ 0 і отримати a ≥ 9, тоді найменше ціле — 9. Але при a = 9 маємо D = 0, t = 3 > 0, звідки 5ˣ = 3 ⇒ x = log₅ 3 — рівняння має корінь. Тому a = 9 не задовольняє умову!
Приклад 2. Квадратне рівняння: сума значень a
Завдання: Знайдіть суму всіх значень a, при яких рівняння (a − 3)x² + 2x − 1 = 0 має єдиний корінь.
Особливе значення: a = 3. При a = 3 рівняння стає лінійним: 0·x² + 2x − 1 = 0 ⇒ 2x − 1 = 0 ⇒ x = 0,5. Один корінь — умова виконана.
При a ≠ 3 маємо квадратне рівняння. Єдиний корінь буває при D = 0. D = 4 − 4·(a − 3)·(−1) = 4 + 4(a − 3) = 4a − 8. D = 0 ⇒ 4a − 8 = 0 ⇒ a = 2.
Перевіряємо a = 2: (2 − 3)x² + 2x − 1 = −x² + 2x − 1 = −(x² − 2x + 1) = −(x − 1)² = 0 ⇒ x = 1 — єдиний корінь.
Сума значень a: 3 + 2 = 5.
Відповідь: 5.
Пастка: розглянути лише квадратний випадок і знайти a = 2. Тоді відповідь була б 2. Але a = 3 теж підходить! Лінійний випадок — найчастіша втрата бала в № 22.
Приклад 3. Тригонометричне рівняння: кількість цілих a
Завдання: Скільки існує цілих значень a, при яких рівняння sin²x − 4 sin x = a має хоча б один корінь?
Заміна: t = sin x, −1 ≤ t ≤ 1. Отримуємо g(t) = t² − 4t = a.
Функція g(t) = t² − 4t — парабола вітками вгору з вершиною в t = 2. Але t = 2 не входить у відрізок [−1; 1]. На відрізку функція спадає (бо вершина праворуч), тому найбільше значення — на лівому кінці: g(−1) = 1 + 4 = 5; найменше — на правому кінці: g(1) = 1 − 4 = −3.
Множина значень g(t) на [−1; 1] — це [−3; 5]. Рівняння має хоча б один корінь, коли a ∈ [−3; 5].
Цілі значення a в цьому проміжку: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 — всього 9 значень.
Відповідь: 9.
Пастка: знайти найменше значення g(t) у вершині t = 2: g(2) = 4 − 8 = −4, тоді a ∈ [−4; 5], цілих значень 10. Але t = 2 не належить [−1; 1], тому до уваги беремо лише значення на кінцях відрізка!
Приклад 4. Логарифмічне рівняння: натуральні a
Завдання: Скільки існує натуральних значень a, при яких рівняння log₂²x − 6 log₂ x + a = 0 має два різні корені?
Заміна: t = log₂ x, t ∈ ℝ (без обмежень). Рівняння: t² − 6t + a = 0.
Два різні корені t ⇒ D > 0. D = 36 − 4a > 0 ⇒ a < 9.
Натуральні числа, менші за 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — всього 8 значень.
Чому не a = 9? При a = 9 маємо D = 0, корінь t = 3 — один, умова «два різні корені» не виконується.
Відповідь: 8.
Пастка: узяти D ≥ 0, отримати a ≤ 9, і порахувати a = 1, …, 9 — 9 значень. Але «два різні корені» вимагають D > 0, a = 9 дає лише один корінь.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Пропустити особливе значення параметра, при якому рівняння стає лінійним. Наприклад, у (a − 3)x² + 2x − 1 = 0 забути про a = 3. Виправлення: завжди спершу перевіряй, при якому a старший коефіцієнт дорівнює нулю, і розглядай цей випадок окремо.
Після заміни t = aˣ не вимагати t > 0. Від'ємне t дає уявний x, якого не існує в дійсних числах. Пам'ятай: t > 0 для показникової функції, |t| ≤ 1 для sin x і cos x.
Для умови «не має коренів» брати D ≤ 0 замість D < 0. При D = 0 рівняння має один корінь, і якщо він лежить у допустимій множині t, то умова не виконується. Завжди перевіряй граничний випадок D = 0 підстановкою.
Шукати найменше значення g(t) у вершині параболи, що лежить поза відрізком [−1; 1]. Вершина може бути за межами допустимої множини — тоді найменше значення на одному з кінців. Завжди перевіряй, чи належить t₀ = −b/(2a) відрізку.
Знайти множину значень a, а у відповідь записати не ту характеристику. Наприклад, знайшов a > 9, а питання — «найменше ціле a». Відповідь: 10. Або знайшов a < 9, а питання — «кількість натуральних a». Відповідь: 8. Щоб не помилитися, підкресли в умові, що саме просять: суму, кількість, найбільше чи найменше значення.
Витратити на № 22 чверть часу тесту, не перевіривши № 1–21. № 22 — останнє завдання. Спочатку дай відповіді на всі попередні, перевір їх, і лише тоді берися за параметр. Помилка в № 19 виправляється швидше, ніж правильне № 22.
Запам'ятай: половина помилок у № 22 — не через складні обчислення, а через недотримання цих простих правил. Особливе значення, обмеження після заміни, D < 0 замість D ≤ 0 — ось три кити, на яких тримається успіх.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
У демоваріанті 2026 року № 22 — показникове рівняння з параметром з умовою відсутності коренів (тема 2.1 програми, профільний рівень). Формат — коротка відповідь (число), оцінювання — 0 або 2 бали, часткових балів немає.
У вибірці тестів 2023–2024 років на позиції № 22 стояли: квадратне рівняння з параметром, логарифмічне рівняння з параметром, тригонометричне рівняння з параметром. Це означає, що жоден тип рівняння не є «улюбленим» — може випасти будь-який. Тому важливо вміти працювати з усіма видами обмежень після заміни.
№ 22 — єдине завдання демоваріанта 2026, що потребує профільного рівня. За експертною оцінкою в аналізі програми, воно розрізняє результати 180–200 балів. Часткових балів немає: пропущене особливе значення чи обмеження на t коштує обох балів. Відповідь записується лише десятковим дробом (ціле число записують без коми, дробове — через кому).
Стратегія: № 22 виконуй останнім, після того як № 1–21 мають заповнені відповіді. Якщо часу обмаль — запиши в чернетці заміну й обмеження, це дасть хоч якийсь шанс на вгадування. Порожнє поле гарантує 0 балів.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Чи варто розв'язувати № 22, якщо моя ціль — 150 балів?
Ні, не варто. Для 150 балів достатньо впевнено розв'язати завдання № 1–21, де кожне дає 1 бал, відповідності — до 3 балів, а № 19–21 — по 2 бали. № 22 дає лише 2 бали, але орієнтовно забирає 10–15 хвилин. Краще витрати цей час на перевірку № 19–21 — знайдена помилка там дасть ті самі 2 бали, а ймовірність знайти помилку вища. Якщо ж ти цілишся на 180+, то № 22 обов'язкове.
Чому треба окремо розглядати значення параметра, при якому зникає x²?
Тому що при цьому значенні рівняння з квадратного перетворюється на лінійне. Лінійне рівняння має зовсім інші умови існування коренів: воно завжди має рівно один корінь (якщо коефіцієнт при x не нуль) або не має коренів (якщо коефіцієнт при x нуль і вільний член не нуль). Якщо не розглянути цей випадок окремо, ти можеш втратити ціле значення a, яке задовольняє умову. У прикладі (a − 3)x² + 2x − 1 = 0 лінійний випадок a = 3 дає корінь x = 0,5, і без нього сума значень a була б 2 замість правильної 5.
Як зрозуміти, що рівняння після заміни t = 5ˣ не має коренів?
Ключове спостереження: оскільки t = 5ˣ > 0, рівняння 25ˣ − 6·5ˣ + a = 0 не має коренів, коли квадратне рівняння t² − 6t + a = 0 не має жодного додатного кореня t. За теоремою Вієта сума коренів дорівнює 6 > 0. Якщо дискримінант D ≥ 0, то хоча б один корінь обов'язково додатний (бо сума додатна, обидва корені не можуть бути від'ємними). Отже, коренів x немає лише тоді, коли D < 0, тобто 36 − 4a < 0 ⇒ a > 9. При a = 9 маємо D = 0, корінь t = 3 > 0, звідки x = log₅ 3 — корінь існує.
Що робити, якщо вершина параболи g(t) лежить поза відрізком [−1; 1]?
Коли вершина параболи (t₀ = −b/(2a)) не належить відрізку, на якому ми шукаємо множину значень, функція g(t) на цьому відрізку є монотонною (або зростає, або спадає). Тому найбільше й найменше значення досягаються на кінцях відрізка. Наприклад, для g(t) = t² − 4t на [−1; 1] вершина в t = 2 — поза відрізком праворуч. На відрізку функція спадає, тому g(−1) = 5 — максимум, g(1) = −3 — мінімум. Просто підстав обидва кінці й обери більший/менший результат.
Як тренувати № 22, не копіюючи офіційних завдань?
Найефективніший спосіб — створювати власні задачі-аналоги. Візьми базову умову, наприклад «не має коренів», і напиши три рівняння: квадратне (x² + ax + 1 = 0), показникове (4ˣ − 3·2ˣ + a = 0) і тригонометричне (sin²x − 2 sin x = a). Розв'яжи кожне, порівняй відповіді. Ти побачиш, як обмеження t > 0 чи |t| ≤ 1 змінює результат. Також змінюй питання: замість «не має коренів» візьми «має єдиний корінь» або «має два різні корені». Це тренує гнучке мислення, яке й потрібне на НМТ.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.
Спершу з'ясуй, що записати у відповідь: суму цілих a, їх кількість, найбільше чи найменше значення. У поле йде одне число.
Особливе значення параметра (старший коефіцієнт = 0) розглядай окремо — рівняння стає лінійним і може дати додаткову відповідь.
Після заміни обов'язково запиши обмеження: t > 0 для aˣ, |t| ≤ 1 для sin x і cos x, без обмежень для logₐ x.
Умову на x перекладай в умову на корені t у допустимій множині: «не має коренів» → D < 0 або корені t поза множиною; «має єдиний корінь» → D = 0 і корінь у множині або лінійний випадок.
Множину значень g(t) на відрізку [m; n] шукай, зіставляючи значення на кінцях і у вершині, якщо вона належить відрізку. Не бери вершину, що лежить поза відрізком.
№ 22 виконуй останнім. Для цілі 150–170 балів його можна пропустити й витратити час на перевірку № 1–21. Порожнє поле гарантує 0 балів.
Запам'ятай чотири числа-підказки: «не має коренів» → D < 0 (не D ≤ 0); t = aˣ → t > 0; t = sin x → |t| ≤ 1; особливе a → перевір окремо. Дотримуючись цих правил, ти уникнеш 90 % помилок у № 22.
Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.