Взаємне розміщення прямих і площин у просторі

Стереометрія — це розділ геометрії, у якому вивчають властивості фігур у просторі. Основних фігур три: точка, пряма і площина. Точки позначають великими латинськими літерами (A, B, C), прямі — малими латинськими (a, b, c), а площини — грецькими літерами (α, β, γ) або трьома точками, через які проходить площина, наприклад (ABC).

Аксіоми стереометрії

Аксіоми — це твердження, які приймають без доведення. У стереометрії їх три:

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна й лише одна площина.

• Якщо дві точки прямої лежать у площині, то вся пряма лежить у цій площині.

• Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Перша аксіома пояснює, чому тринога табуретка стоїть стійко на будь-якій підлозі — три точки опори (ніжки) задають єдину площину. Чотиринога табуретка може хитатися, бо чотири точки не завжди лежать в одній площині, якщо підлога нерівна.

Способи задати площину

З аксіом випливають наслідки — способи однозначно задати площину:

• Три точки, що не лежать на одній прямій (аксіома 1).

• Пряма й точка поза нею.

• Дві прямі, що перетинаються.

• Дві паралельні прямі.

Наприклад, через ребро AB куба й точку C (яка не лежить на AB) проходить єдина площина — площина основи (ABC). Через дві твірні SA і SB конуса, які перетинаються у вершині S, проходить єдина площина.

Позначення на рисунках

Розгляньмо куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Його основою є квадрат ABCD (площина (ABC) або (ABD) — те саме). Бічна грань AA₁B₁B — це площина, що проходить через ребра AA₁ і AB. Для позначення взаємного розміщення використовують такі записи:

• a ⊂ α — пряма a лежить у площині α (наприклад, AB ⊂ (ABC)).

• a ∩ α = M — пряма a перетинає площину α в точці M.

• a ∥ α — пряма a паралельна площині α.

• α ∩ β = a — площини α і β перетинаються по прямій a.

У піраміді SABCD площина (ABC) — це основа піраміди, а кожна бічна грань, наприклад SAB, задається вершиною S і ребром основи AB.

У просторі дві прямі можуть мати три різні варіанти взаємного розміщення. Визначити, який саме випадок маємо, допомагає уявлення про те, чи лежать прямі в одній площині.

Три можливі випадки

Мимобіжні прямі — це принципово нове поняття порівняно з планіметрією. У просторі дві прямі можуть не перетинатися і при цьому не бути паралельними, тому що вони не лежать в одній площині.

Взаємне розміщення ребер куба

Розгляньмо куб ABCDA₁B₁C₁D₁ і ребро AB. Усього в кубі 12 ребер. Їх можна поділити на три групи:

• Перетинають AB: AD, AA₁, BC, BB₁ (4 ребра). Вони мають спільну точку з AB — або A, або B.

• Паралельні AB: DC, A₁B₁, D₁C₁ (3 ребра). Вони лежать в одній площині з AB і не перетинають його.

• Мимобіжні з AB: DD₁, CC₁, A₁D₁, B₁C₁ (4 ребра). Вони не лежать в одній площині з AB.

Як перевірити, що AB і DD₁ — мимобіжні? Ознака: якщо одна пряма лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то прямі мимобіжні. AB лежить у площині основи (ABC). DD₁ перетинає цю площину в точці D, яка не належить AB. Отже, AB і DD₁ — мимобіжні.

Властивість транзитивності: дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Наприклад, AB ∥ DC (як протилежні сторони квадрата), DC ∥ D₁C₁ (як протилежні сторони грані DD₁C₁C), тому AB ∥ D₁C₁.

Елементи конуса

Розгляньмо конус із вершиною S, центром основи O, висотою SO, твірними SA і SB, діаметром AB і хордою CD, яка не проходить через центр O. Взаємне розміщення прямих:

• Дві твірні SA і SB перетинаються у вершині S (лежать в одній площині).

• Висота SO і діаметр AB перетинаються в центрі O.

• Твірна SA і радіус OA перетинаються в точці A.

• Висота SO і хорда CD — мимобіжні, бо SO перетинає площину основи в точці O, а CD не проходить через O, і вони не лежать в одній площині.

Твірна SA і будь-яка пряма площини основи: або перетинаються (якщо пряма проходить через точку A), або мимобіжні. Паралельними вони бути не можуть, бо твірна перетинає площину основи — а якщо вона перетинає площину, то не може бути паралельною жодній прямій цієї площини.

Після того як ми навчилися розрізняти випадки для двох прямих, перейдімо до взаємного розміщення прямої та площини, а також двох площин.

Пряма й площина

Пряма відносно площини може займати одне з трьох положень:

• Пряма лежить у площині — має з нею безліч спільних точок. За аксіомою 2, якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині. Наприклад, AB ⊂ (ABC).

• Пряма перетинає площину — має рівно одну спільну точку. Наприклад, пряма CC₁ перетинає площину основи (ABC) у точці C.

• Пряма паралельна площині — не має з нею жодної спільної точки. Наприклад, пряма A₁B₁ паралельна площині (ABC).

Ознака паралельності прямої й площини

Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якійсь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Застосуймо цю ознаку. У кубі A₁B₁ ∥ AB, а AB лежить у площині (ABC). Отже, A₁B₁ ∥ (ABC). У піраміді SABCD з основою-паралелограмом ABCD маємо BC ∥ AD. Оскільки AD ⊂ (SAD), то BC ∥ (SAD).

Важливо: якщо пряма паралельна площині, вона не обов'язково паралельна кожній прямій цієї площини. Наприклад, A₁B₁ ∥ (ABC), але A₁B₁ і AD — мимобіжні. Пряма, паралельна площині, паралельна лише тим прямим площини, які лежать із нею в одній площині.

Дві площини

Дві площини можуть:

• Перетинатися по прямій — мають спільну пряму. Наприклад, сусідні грані куба перетинаються по ребру: (ABC) ∩ (AA₁B₁) = AB.

• Бути паралельними — не мають жодної спільної точки. Наприклад, протилежні грані куба (ABC) ∥ (A₁B₁C₁).

Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Для куба: у площині (ABC) візьмемо прямі AB і BC, які перетинаються в точці B. У площині (A₁B₁C₁) прямі A₁B₁ ∥ AB і B₁C₁ ∥ BC. Отже, (ABC) ∥ (A₁B₁C₁). Аналогічно, (AA₁B₁) ∥ (DD₁C₁).

Властивість паралельних площин

Якщо третя площина перетинає дві паралельні площини, то лінії перетину паралельні. Наприклад, площина (AA₁C₁) перетинає нижню основу (ABC) по діагоналі AC, а верхню основу (A₁B₁C₁) — по діагоналі A₁C₁. Оскільки AC ∥ A₁C₁, ця властивість справджується.

Коли ми малюємо куб, піраміду чи конус на аркуші паперу, ми користуємося методом паралельного проєктування. Саме завдяки йому плоский рисунок передає просторову фігуру.

Суть методу

Паралельне проєктування: через кожну точку просторової фігури проводимо пряму, паралельну заданому напряму, і знаходимо точку її перетину з площиною проєкцій. Усі ці точки перетину утворюють проєкцію фігури. Напрям проєктування обирають так, щоб рисунок був наочним.

Що зберігається під час проєктування?

• Пряма лінія переходить у пряму лінію (або в точку, якщо вона паралельна напряму проєктування).

• Паралельні відрізки переходять у паралельні відрізки (або у відрізки однієї прямої).

• Відношення відрізків на одній прямій або на паралельних прямих зберігається. Зокрема, середина відрізка переходить у середину його проєкції.

Що не зберігається?

• Довжини відрізків — вони зазвичай змінюються.

• Величини кутів — прямий кут може виглядати гострим або тупим.

Саме тому квадратна грань куба на рисунку зображається паралелограмом. Коло основи конуса проєктується як еліпс. Прямий кут між ребрами куба на рисунку може бути зображений гострим або тупим.

Практичні наслідки

• Зображення паралелограма — паралелограм, трапеції — трапеція. Вигляд фігури зберігається.

• Середину ребра на рисунку знаходять як середину його зображення (властивість зберігається).

• Невидимі ребра многогранника малюють штриховою лінією.

• Якщо зображення двох прямих на рисунку перетинаються, це ще не означає, що прямі перетинаються в просторі — вони можуть бути мимобіжними.

Приклад: на рисунку куба зображення прямої AB і прямої CC₁ можуть перетинатися на папері, але в просторі ці прямі мимобіжні. Не довіряй перетину зображень — перевіряй, чи лежать прямі в одній площині.

Приклад 1. Мимобіжне ребро в кубі

У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ вкажіть ребро, мимобіжне з ребром AB.

Крок 1. Згадаймо, що мимобіжні прямі не лежать в одній площині. Ребро AB належить площинам (ABC), (AA₁B₁) і (ABD).

Крок 2. Перевірмо кожне ребро куба (усього їх 12). DC, A₁B₁, D₁C₁ — паралельні AB. AD, AA₁, BC, BB₁ — перетинають AB (мають спільну точку A або B).

Крок 3. Ребра, що залишилися: DD₁, CC₁, A₁D₁, B₁C₁ — вони мимобіжні з AB. У завданні може бути запропоновано будь-яке з них.

Відповідь: CC₁ (або DD₁, A₁D₁, B₁C₁).

Чому інші варіанти неправильні: DC і A₁B₁ паралельні AB, AD і BB₁ перетинають AB. Усі вони лежать в одній площині з AB.

Приклад 2. Мимобіжні прямі в конусі

Дано конус із вершиною S, центром основи O. SO — висота, SA і SB — твірні, AB — діаметр основи, CD — хорда основи, що не проходить через центр O. Вкажіть пару мимобіжних прямих.

Крок 1. Розгляньмо кожну пару:

• SA і SB — перетинаються у вершині S (лежать в одній площині).

• SO і AB — перетинаються в центрі O (SO ⟂ площині основи, AB — діаметр, проходить через O).

• SA і AB — перетинаються в точці A (твірна й радіус мають спільну точку A).

• SB і OB — перетинаються в точці B.

• SO і CD — не лежать в одній площині. SO перетинає площину основи в точці O, а CD — хорда, що не проходить через O. Тому SO і CD — мимобіжні.

Відповідь: SO і CD.

Чому інші варіанти неправильні: SA і SB перетинаються, SO і AB перетинаються, SA і AB перетинаються, SB і OB перетинаються — усі вони мають спільну точку.

Приклад 3. Площина, паралельна прямій

У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ вкажіть площину, паралельну прямій A₁C₁.

Крок 1. За ознакою паралельності, пряма паралельна площині, якщо вона не лежить у цій площині й паралельна якійсь прямій цієї площини.

Крок 2. A₁C₁ ∥ AC (як діагоналі протилежних граней паралелепіпеда). AC лежить у площині (ABC). Сама A₁C₁ не лежить у (ABC). Отже, A₁C₁ ∥ (ABC).

Крок 3. Перевірмо інші варіанти: (AA₁C₁) — пряма A₁C₁ лежить у цій площині (не паралельна, а належить). (BB₁D₁) — пряма перетинає її в центрі верхньої грані. (AA₁B₁) — має спільну точку A₁. (DD₁C₁) — має спільну точку C₁.

Відповідь: (ABC).

Чому інші варіанти неправильні: (AA₁C₁) містить пряму A₁C₁, а решта площин мають з нею спільну точку, тобто перетинають її.

Приклад 4. Паралельна проєкція квадрата

Яка з фігур не може бути паралельною проєкцією квадрата на площину?

Крок 1. Паралельне проєктування зберігає паралельність відрізків. Сторони квадрата попарно паралельні, тому їхні проєкції також будуть попарно паралельними. Отже, проєкція квадрата — це завжди паралелограм (або його часткові випадки: ромб, прямокутник, квадрат).

Крок 2. Паралельне проєктування також зберігає відношення довжин паралельних відрізків. У квадрата протилежні сторони рівні, тому в проєкції вони залишаються рівними. Отже, проєкція квадрата — це паралелограм із рівними протилежними сторонами.

Крок 3. Трапеція має лише одну пару паралельних сторін, і вони не обов'язково рівні. Тому трапеція не може бути проєкцією квадрата.

Відповідь: трапеція з нерівними основами.

Чому інші варіанти можливі: квадрат, прямокутник, ромб і паралелограм — це окремі випадки паралелограма, тому всі вони можуть бути проєкцією квадрата залежно від напряму проєктування.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на взаємне розміщення прямих і площин.

• Помилка 1. Вважають паралельними будь-які прямі, що не перетинаються, забуваючи про мимобіжні. Приклад: AB і CC₁ у кубі не перетинаються, але вони не паралельні — вони мимобіжні. Завжди перевіряй, чи лежать прямі в одній площині.

• Помилка 2. Довіряють рисунку. На папері зображення мимобіжних прямих можуть перетинатися, а прямий кут виглядати гострим. Пам'ятай: паралельне проєктування спотворює довжини й кути.

• Помилка 3. Роблять висновок, що пряма, паралельна площині, паралельна кожній прямій цієї площини. Насправді A₁B₁ ∥ (ABC), але A₁B₁ і AD — мимобіжні.

• Помилка 4. Вважають, що через будь-які три точки проходить одна площина. За аксіомою 1, це правильно лише для трьох точок, що не лежать на одній прямій. Якщо три точки лежать на одній прямій, через них проходить безліч площин.

• Помилка 5. Вважають твірну конуса паралельною якійсь прямій площини основи. Твірна перетинає площину основи, тому не може бути паралельною жодній прямій цієї площини.

• Помилка 6. Вважають, що мимобіжні прямі не можуть бути перпендикулярними. Це не так: AB і CC₁ у кубі мимобіжні, але кут між ними дорівнює 90° (бо CC₁ ⟂ (ABC), а AB ⊂ (ABC)).

Тема «Прямі та площини у просторі» (розділ «Стереометрія» програми НМТ) охоплює аксіоми стереометрії, взаємне розміщення прямих, прямої та площини, площин, а також паралельність і паралельне проєктування. Це матеріал рівня стандарту. Ознака мимобіжних прямих належить до профільного рівня (позначка «П» у програмі), однак вона допомагає аналізувати рисунки.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 5 — це вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д) на 1 бал, присвячене взаємному розміщенню прямих у просторі на елементах конуса. Усього в демоваріанті 2026 року стереометрія представлена трьома завданнями з 22 (номери 5, 8, 21), які разом дають 4 бали з 32 максимальних.

Стратегія розв'язування

• Для кожної пари прямих визнач, чи лежать вони в одній площині. Шукай спільну грань, осьовий переріз або будь-яку площину, що містить обидві прямі.

• Якщо спільної площини немає — прямі мимобіжні.

• Якщо спільна площина є — подивись, чи мають прямі спільну точку. Мають — перетинаються, не мають — паралельні.

• Не довіряй перетину зображень на рисунку — він може бути наслідком паралельного проєктування.

• Дві прямі в просторі можуть перетинатися, бути паралельними або мимобіжними. Мимобіжні прямі не лежать в одній площині.

• «Не перетинаються» ще не означає «паралельні» — прямі можуть бути мимобіжними.

• Пряма паралельна площині, якщо вона не лежить у цій площині й паралельна якійсь прямій цієї площини.

• Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини.

• У кубі кожне ребро перетинають 4 ребра, 3 ребра йому паралельні й 4 з ним мимобіжні.

• Паралельне проєктування зберігає паралельність і середину відрізка, але не зберігає довжини й кути.

• Перетин зображень на рисунку не означає, що прямі перетинаються в просторі — вони можуть бути мимобіжними.