Визначений інтеграл і формула Ньютона–Лейбніца

У цьому розділі ти познайомишся з поняттям визначеного інтеграла — одним із найважливіших інструментів математичного аналізу. На відміну від невизначеного інтеграла (первісної), який є сім'єю функцій, визначений інтеграл — це конкретне число.

Запис ∫ₐᵇ f(x) dx читають: «інтеграл від a до b еф від ікс де ікс». Тут:

• a — нижня межа інтегрування;

• b — верхня межа інтегрування (a ≤ b, хоча можливий і випадок a > b);

• f(x) — підінтегральна функція;

• dx — диференціал, який показує, за якою змінною інтегруємо.

Формула Ньютона–Лейбніца

Основний спосіб обчислення визначеного інтеграла дає формула Ньютона–Лейбніца:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

де F — будь-яка первісна функції f на проміжку [a; b]. Іншими словами: спочатку знаходимо первісну F(x), потім обчислюємо її значення у верхній межі b і віднімаємо значення в нижній межі a.

На практиці часто використовують скорочений запис:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

Вертикальна риска з межами означає «підставити межі й відняти».

Чому не пишуть сталу C?

Ти вже знаєш, що первісна визначається з точністю до сталої: F(x) + C. Підставимо в формулу:

$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

Стала C скорочується, тому її можна не писати. Це важливо: у відповіді до визначеного інтеграла ніколи не дописують «+ C».

Приклад обчислення

Обчислимо ∫₀² (3x² − 1) dx.

1. Знаходимо первісну: F(x) = x³ − x (бо (x³)' = 3x², (x)' = 1).

2. Записуємо: (x³ − x)|₀².

3. Обчислюємо: F(2) = 2³ − 2 = 8 − 2 = 6; F(0) = 0³ − 0 = 0.

4. Віднімаємо: 6 − 0 = 6.

Отже, ∫₀² (3x² − 1) dx = 6.

Геометричний зміст (коротко)

Якщо f(x) ≥ 0 на проміжку [a; b], то визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції — фігури, обмеженої графіком функції y = f(x), віссю Ox і прямими x = a, x = b. Докладно про площі йтиметься в наступному юніті «Площа криволінійної трапеції та інтеграл за графіком».

За програмою НМТ формула Ньютона–Лейбніца належить до профільного рівня (П). Вона є в довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, і потрібна для обчислення площ фігур.

У цьому розділі навчимося обчислювати визначені інтеграли від основних табличних функцій: степеневих, показникової, тригонометричних. Головне — правильно знайти первісну за таблицею й акуратно підставити межі.

Степеневі функції

Для степеневої функції xⁿ (n ≠ −1) первісною є xⁿ⁺¹/(n+1). Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. ∫₁³ x² dx. Первісна: F(x) = x³/3. Тоді:

$${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^3=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$$

Приклад 2. ∫₁⁴ √x dx. Запишемо √x як x^{1/2}. Первісна: F(x) = (2/3)x^{3/2}. Тоді:

$${\int }_1^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$$

Приклад 3. ∫₁² dx/x². Запишемо 1/x² як x⁻². Первісна: F(x) = −1/x. Тоді:

$${\int }_1^2\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}{|}_1^2=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$

Інші табличні функції

Розглянемо інтеграли від функції 1/x (її первісна — ln x), показникової та тригонометричних функцій.

$${\int }_1^e\frac{dx}{x}=\ln x{|}_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1$$

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2$$

$${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\pi /2}=\sin (\pi /2)-\sin 0=1-0=1$$

$${\int }_0^{\pi /4}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x{|}_0^{\pi /4}=\mathrm{tg}(\pi /4)-\mathrm{tg}0=1-0=1$$

Увага: F(0) не завжди дорівнює нулю

Поширена помилка — вважати, що значення первісної в нулі завжди нуль. Це не так! Наприклад:

• Для eˣ первісна eˣ: F(0) = e⁰ = 1.

• Для sin x первісна −cos x: F(0) = −cos 0 = −1.

• Для cos x первісна sin x: F(0) = sin 0 = 0 — тут пощастило.

Висновок: нижню межу підставляємо завжди, не здогадуючись, чи дасть вона нуль.

Від'ємна нижня межа

Коли нижня межа від'ємна, обов'язково беріть її в дужки, щоб не помилитися зі знаком.

Приклад. ∫₋₁² (2x + 1) dx. Первісна: F(x) = x² + x. Тоді:

$${\int }_{-1}^2(2x+1)dx=(x^2+x){|}_{-1}^2=(4+2)-((-1{)}^2+(-1))=6-(1-1)=6-0=6$$

Інтеграл може бути від'ємним або нулем

Визначений інтеграл не завжди додатний. Він може дорівнювати нулю або бути від'ємним.

Приклад. ∫₀² (x − 2) dx. Первісна: F(x) = x²/2 − 2x. Тоді:

$${\int }_0^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_0^2=(2-4)-0=-2$$

Приклад. ∫₋₁¹ x³ dx. Первісна: F(x) = x⁴/4. Тоді:

$${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_{-1}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$$

Запам'ятай: визначений інтеграл — це число. Воно може бути додатним, від'ємним або нулем. Сталу C до відповіді не дописують.

Визначений інтеграл має кілька важливих властивостей, які значно спрощують обчислення. Їх варто знати, бо в довідкових матеріалах НМТ цих властивостей немає.

Лінійність

Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

$${\int }_a^b(f(x)\pm g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$$

Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

$${\int }_a^{b}k\cdot f(x)dx=k\cdot {\int }_a^{b}f(x)dx$$

Ці дві властивості разом називають лінійністю інтеграла. Вони дозволяють інтегрувати многочлен почленно, а потім додавати результати.

Властивості меж інтегрування

Якщо верхня й нижня межі збігаються, інтеграл дорівнює нулю:

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

Якщо поміняти межі місцями, інтеграл змінює знак:

$${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

Це випливає з формули Ньютона–Лейбніца: F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a)).

Адитивність за проміжком

Якщо проміжок [a; c] розбити на дві частини [a; b] і [b; c], то інтеграл по всьому проміжку дорівнює сумі інтегралів по частинах:

$${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$$

Це працює для будь-якого розташування точок a, b, c, якщо враховувати знаки.

Приклад. Відомо, що ∫₀³ f(x) dx = 5 і ∫₀⁷ f(x) dx = 12. Знайдемо ∫₃⁷ f(x) dx:

$${\int }_0^{7}f(x)dx={\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_3^{7}f(x)dx\Rightarrow 12=5+{\int }_3^{7}f(x)dx\Rightarrow {\int }_3^{7}f(x)dx=7$$

Поєднання властивостей без формули f

Іноді треба обчислити інтеграл, знаючи лише значення інтеграла від f(x), а не саму функцію. Наприклад, якщо ∫₀³ f(x) dx = 5, то:

$${\int }_0^3(2f(x)+1)dx=2{\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_0^{3}1dx=2\cdot 5+3=13$$

Тут ∫₀³ 1 dx = 3, бо інтеграл від сталої 1 на проміжку довжиною 3 дорівнює 3. Взагалі, ∫ₐᵇ 1 dx = b − a — це довжина проміжку інтегрування.

Кусково задані функції

Якщо функція задана різними формулами на різних частинах проміжку, її інтегрують частинами, застосовуючи адитивність. Наприклад, якщо:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x\le 1\\ 2x,& 1<x\le 3\end{array}$$

то ∫₀³ f(x) dx = ∫₀¹ x² dx + ∫₁³ 2x dx. Кожен інтеграл обчислюємо окремо за своєю формулою.

Властивостей інтеграла (лінійність, адитивність, переставлення меж) у довідкових матеріалах НМТ немає — їх треба знати напам'ять.

У цьому розділі розглянемо, як знаходити невідому межу інтегрування або невідомий коефіцієнт у підінтегральній функції, коли відоме значення інтеграла. Також навчимося застосовувати визначений інтеграл для обчислення шляху тіла за його швидкістю.

Невідома межа інтегрування

Якщо відоме значення визначеного інтеграла, а одна з меж невідома, складають рівняння за формулою Ньютона–Лейбніца й розв'язують його. Важливо перевірити, чи задовольняє знайдений корінь умову задачі.

Приклад 1. Знайдіть додатне значення b, при якому ∫₀ᵇ 2x dx = 9.

Розв'язання. Первісна: F(x) = x². За формулою Ньютона–Лейбніца:

$${\int }_0^{b}2xdx=x^2{|}_0^b=b^2-0=b^2$$

Маємо рівняння b² = 9, звідки b = 3 або b = −3. За умовою b > 0, тому b = 3. Від'ємний корінь b = −3 відкидаємо.

Приклад 2. Знайдіть b, при якому ∫₁ᵇ dx/x = 2.

Розв'язання. Первісна: F(x) = ln x. Тоді:

$${\int }_1^b\frac{dx}{x}=\ln x{|}_1^b=\ln b-\ln 1=\ln b$$

Маємо ln b = 2, звідки b = e². Оскільки e² > 1, умова задачі виконується.

Невідомий коефіцієнт

Іноді невідомим є не межа, а коефіцієнт у підінтегральній функції. Діємо аналогічно: обчислюємо інтеграл, прирівнюємо до заданого числа й розв'язуємо рівняння.

Приклад. Знайдіть k, якщо ∫₀¹ (kx + 1) dx = 3.

Розв'язання. Первісна: F(x) = k·x²/2 + x. Тоді:

$${\int }_0^1(kx+1)dx=\left(\frac{k{x}^2}{2}+x\right){|}_0^1=\frac{k}{2}+1-0=\frac{k}{2}+1$$

Маємо рівняння k/2 + 1 = 3, звідки k/2 = 2, отже k = 4.

Шлях тіла за його швидкістю

Одне з фізичних застосувань визначеного інтеграла — обчислення шляху, пройденого тілом за проміжок часу, якщо відома його швидкість v(t). Якщо v(t) ≥ 0 на проміжку [t₁; t₂], то шлях s дорівнює:

$$s={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

Це випливає з того, що швидкість — похідна шляху, тому шлях — первісна швидкості.

Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 3t² + 2t (м/с). Який шлях воно подолає за перші 2 секунди?

Розв'язання. Шукаємо інтеграл від 0 до 2:

$$s={\int }_0^2(3t^2+2t)dt=(t^3+t^2){|}_0^2=(8+4)-0=12\text{ м}$$

Відповідь: 12 м.

Формат відповіді

У завданнях з короткою відповіддю на НМТ результат треба записати десятковим дробом. Звичайні дроби перетворюють у десяткові:

• 1/2 → 0,5

• −3/4 → −0,75

• 26/3 = 8,(6) — скінченним десятковим дробом не записати; якщо умова вимагає округлити (наприклад, до сотих), записують 8,67 (до тисячних — 8,667); просто відкидати цифри (8,666) не можна

Сталу C до відповіді не дописуємо — визначений інтеграл це число, а не сім'я функцій.

Розгляньмо чотири типові задачі на визначений інтеграл, які можуть трапитися на НМТ. Кожну розв'яжемо покроково й проаналізуємо типові помилки.

Приклад 1. Обчислення інтеграла від многочлена

Завдання. Обчисліть ∫₁² (6x² − 2x) dx. Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання.

1. Знаходимо первісну: F(x) = 2x³ − x² (бо (2x³)' = 6x², (x²)' = 2x).

2. Обчислюємо F(2) = 2·8 − 4 = 16 − 4 = 12.

3. Обчислюємо F(1) = 2·1 − 1 = 2 − 1 = 1.

4. За формулою Ньютона–Лейбніца: F(2) − F(1) = 12 − 1 = 11.

Відповідь: 11.

Розбір пасток:

• 12 — якщо не відняти F(1), а взяти лише F(2).

• −11 — якщо обчислити F(1) − F(2) замість F(2) − F(1).

• 16 — якщо підставити межі в підінтегральну функцію: f(2) − f(1) = (24 − 4) − (6 − 2) = 20 − 4 = 16.

Приклад 2. Інтеграл від тригонометричної функції

Завдання. Обчисліть ∫₀^π sin x dx.

Розв'язання. Первісна sin x дорівнює −cos x. Тоді:

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2$$

Відповідь: 2.

Розбір дистракторів:

• −2 — якщо взяти первісною cos x замість −cos x: cos π − cos 0 = −1 − 1 = −2.

• 0 — якщо обчислити sin π − sin 0 = 0 − 0 = 0 (межі підставлено в підінтегральну функцію).

• 1 — якщо не відняти значення первісної в нижній межі (вважати F(0) = 0): −cos π = 1.

• π — якщо сплутати з інтегралом від сталої.

Приклад 3. Використання властивостей

Завдання. Відомо, що ∫₁⁵ f(x) dx = 8 і ∫₁³ f(x) dx = 3. Обчисліть ∫₃⁵ (2f(x) − 1) dx.

Розв'язання. Спочатку знайдемо ∫₃⁵ f(x) dx за адитивністю:

$${\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx\Rightarrow 8=3+{\int }_3^{5}f(x)dx\Rightarrow {\int }_3^{5}f(x)dx=5$$

Тепер обчислимо шуканий інтеграл:

$${\int }_3^5(2f(x)-1)dx=2{\int }_3^{5}f(x)dx-{\int }_3^{5}1dx=2\cdot 5-(5-3)=10-2=8$$

Відповідь: 8.

Розбір дистракторів:

• 10 — якщо не відняти інтеграл від −1 (забули про сталий доданок).

• 9 — якщо відняти 1 замість 2 (довжина проміжку 2, а не 1).

• 20 — якщо додати інтеграли замість віднімання: ∫₃⁵ f(x) dx = 8 + 3 = 11, тоді 2 · 11 − 2 = 20.

• 5 — якщо взяти лише ∫₃⁵ f(x) dx без множення на 2 і віднімання.

Приклад 4. Невідома межа інтегрування

Завдання. Знайдіть додатне значення b, при якому ∫₀ᵇ (2x − 1) dx = 6.

Розв'язання. Первісна: F(x) = x² − x. За формулою Ньютона–Лейбніца:

$${\int }_0^b(2x-1)dx=(x^2-x){|}_0^b=(b^2-b)-0=b^2-b$$

Маємо рівняння b² − b = 6, тобто b² − b − 6 = 0. Розв'язуємо: D = 1 + 24 = 25, корені b = (1 ± 5)/2, тобто b = 3 або b = −2. За умовою b > 0, тому b = 3.

Відповідь: 3.

Пастка: записати −2 або обидва корені «3; −2». Умова вимагає лише додатне значення, тому від'ємний корінь відкидаємо.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення визначених інтегралів. Уникай їх — і твої шанси на високий бал зростуть.

• Обчислюють F(a) − F(b) замість F(b) − F(a). Формула Ньютона–Лейбніца вимагає від значення у верхній межі відняти значення в нижній. Запам'ятай: «верх мінус низ».

• Підставляють межі в підінтегральну функцію, а не в первісну: f(b) − f(a). Це груба помилка: спочатку знаходять первісну F(x), і тільки потім підставляють межі.

• Вважають F(0) = 0 і не підставляють нижню межу, коли первісна — eˣ або −cos x (підінтегральні функції eˣ і sin x). Для eˣ первісна eˣ дає F(0) = 1, для −cos x дає F(0) = −1. Нижню межу підставляємо завжди.

• Беруть первісною sin x функцію cos x замість −cos x. Похідна cos x дорівнює −sin x, тому первісною sin x є −cos x, а не cos x.

• Помиляються в знаках при від'ємній нижній межі, не беручи її в дужки. Наприклад, для межі −1 записують −1² замість (−1)², отримуючи −1 замість 1. Завжди став від'ємне число в дужки.

• Дописують сталу C до значення визначеного інтеграла. Визначений інтеграл — це число, а не сім'я функцій. Стала C скорочується, її не пишуть.

• У рівнянні з невідомою межею не відкидають корінь, що не задовольняє умову. Якщо в задачі сказано «додатне значення b», то від'ємний корінь треба відкинути, навіть якщо він математично правильний.

Розгляньмо, як саме тема «Визначений інтеграл» представлена в програмі НМТ і в якому форматі її можуть запитати на тестуванні.

Місце в програмі

Тема програми «Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ плоских фігур» (розділ «Функції») містить:

• Означення визначеного інтеграла — рівень стандарту (базова підготовка).

• Формула Ньютона–Лейбніца й «нескладні задачі, що зводяться до знаходження інтеграла» — профільний рівень (П).

НМТ з математики — єдиний тест для всіх учасників: окремих тестів стандартного й профільного рівнів немає. Формулу Ньютона–Лейбніца програма відносить до профільного рівня, але обчислення площі плоскої фігури за допомогою інтеграла — рівень стандарту; у демоваріанті НМТ-2026 цьому присвячено завдання 12. Тому цю тему треба опрацювати всім.

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є:

• Формула Ньютона–Лейбніца: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

• Таблиця первісних (для степеневої, показникової, тригонометричних функцій).

Властивостей інтеграла (лінійність, адитивність, переставлення меж) у довідкових матеріалах немає — їх треба знати напам'ять.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ-2026 інтеграл трапляється як завдання 12: площа фігури через визначений інтеграл, вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал.

У вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років на позиції 19 в одному тесті був інтеграл. Завдання з короткою відповіддю (число) оцінюється в 0 або 2 бали — без часткових балів.

Стратегія обчислення

Щоб уникнути помилок, дотримуйся такого порядку:

1. Випиши первісну F(x) за таблицею.

2. Окремо обчисли F(b) і F(a), записавши їх у дужках.

3. Лише потім відніми: F(b) − F(a).

4. Перевір, чи не треба відкинути зайві корені (для задач з невідомою межею).

5. Запиши відповідь десятковим дробом (для короткої відповіді).

Пам'ятай: визначений інтеграл — це число. Сталу C не дописуй, а результат може бути від'ємним.

Тут зібрано відповіді на найчастіші запитання про визначений інтеграл і формулу Ньютона–Лейбніца.

Підсумуймо найважливіше з теми «Визначений інтеграл і формула Ньютона–Лейбніца».

• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a): значення у верхній межі мінус значення в нижній. Запам'ятай: «верх мінус низ».

• Сталу C не пишемо — вона скорочується. Визначений інтеграл — це число, а не сім'я функцій.

• Визначений інтеграл — число, воно може бути від'ємним чи нулем. Не лякайся, якщо результат вийшов від'ємним.

• Властивості: сума, сталий множник, адитивність, зміна знака при переставленні меж. Їх немає в довідкових матеріалах — вивчи їх.

• Межі підставляємо в первісну, а не в підінтегральну функцію. Спочатку F(x), потім F(b) − F(a).

• Невідома межа — рівняння F(b) − F(a) = c з відбором коренів за умовою. Від'ємні корені відкидаємо, якщо в задачі сказано «додатне значення».