Відсоток від числа й число за його відсотком

Відсоток (1 %) — це одна сота частина числа: $1\%=\frac{1}{100}=0,01$. Українське слово «відсоток» буквально означає «від сотні», а його синонім «процент» походить від латинського pro centum — «на сотню». Отже, $p\%$ — це $\frac{p}{100}$ числа. Ціле, від якого рахують відсотки, завжди становить $100\%$: увесь клас, уся початкова ціна, уся маса розчину.

Дві дії, які мають бути автоматичними:

• відсотки → десятковий дріб: поділи на 100, тобто перенеси кому на два знаки вліво: 35 % = 0,35; 4 % = 0,04 (а не 0,4!); 120 % = 1,2; 0,5 % = 0,005;

• дріб → відсотки: помнож на 100: 0,625 = 62,5 %; $\frac{3}{8}=0,375=37,5\%$; $\frac{7}{20}=0,35=35\%$.

Деякі відсотки варто знати як звичайні дроби — з ними рахунок стає усним:

Два прийоми для чернетки. Перший — складати відсотки з простих: 15 % = 10 % + 5 %, тож 15 % від 360 — це $36+18=54$. Другий — переставляти множники: $a\%$ від $b$ дорівнює $b\%$ від $a$, бо обидва вирази дорівнюють $\frac{ab}{100}$. Тому 8 % від 25 легко рахувати як 25 % від 8, тобто 2.

Відсотків може бути й більше за 100: 150 % зарплати — це півтори зарплати, а 300 % — утричі більше за ціле. А от частина цілого не може перевищувати 100 %: якщо в задачі частина вийшла більшою за ціле, десь помилка.

Правило. Щоб знайти $p\%$ від числа $a$, треба помножити $a$ на $\frac{p}{100}$:

$$a\cdot \frac{p}{100}=\frac{a\cdot p}{100}$$

Чому так? 1 % від $a$ — це $\frac{a}{100}$, а $p\%$ — у $p$ разів більше: $\frac{a}{100}\cdot p$. На практиці зручно множити на десятковий дріб: 18 % від 250 — це $250\cdot 0,18=45$.

Ще кілька прикладів:

• 2,5 % від 480: $480\cdot 0,025=12$;

• 150 % від 60: $60\cdot 1,5=90$ — більше за саме число, бо відсотків більше за 100;

• 6 % від 250 г розчину: $250\cdot 0,06=15$ г солі.

Останній приклад показує відсотковий вміст (концентрацію) речовини: 6-відсотковий розчин солі означає, що сіль становить 6 % маси всього розчину. Щоб знайти масу солі, шукаємо відсоток від маси розчину.

Знижка й ціна після знижки — різні числа. Нехай куртка коштує 1200 грн, знижка 15 %. Сама знижка — це 15 % від ціни: $1200\cdot 0,15=180$ грн. А заплатити треба $1200-180=1020$ грн. Те саме можна знайти однією дією: після знижки покупець платить $100\%-15\%=85\%$ ціни, тобто $1200\cdot 0,85=1020$ грн. Друга дія швидша, і саме вона стане основою наступних юнітів про зміни на відсотки.

Прочитай питання двічі: «скільки становить знижка», «скільки треба заплатити» і «скільки заощадив покупець» — різні питання, і серед варіантів відповіді можуть трапитися відповіді на кожне з них.

Коли відсоток незручний, розбивай його: 35 % від 80 — це 30 % від 80 плюс 5 % від 80, тобто $24+4=28$. Або користуйся тим, що 35 % від 80 дорівнює 80 % від 35, тобто $35\cdot 0,8=28$.

Обернена задача: відома частина $b$ і те, скільки відсотків $p$ вона становить від цілого. Треба знайти ціле $x$. Складаємо рівняння за попереднім правилом: $x\cdot \frac{p}{100}=b$, звідки

$$x=b:\frac{p}{100}=\frac{b\cdot 100}{p}.$$

Словами: частину ділимо на десятковий дріб, що відповідає її відсоткам. Або через 1 %: знаходимо, скільки припадає на 1 % ($b:p$), і множимо на 100.

Приклад: 15 % учнів класу — це 6 учнів. Скільки учнів у класі? $x=6:0,15=40$. Перевірка: 15 % від 40 — це $40\cdot 0,15=6$. Правильно.

Дві задачі легко переплутати, тому порівняй їх у таблиці:

Проста перевірка напряму: якщо $p<100$, ціле більше за частину. Якщо «ціле» вийшло меншим за відому частину (наприклад, 0,9 учня замість 40), ти помножив там, де треба було ділити.

Прихований відсоток. Часто відсоток частини не названо прямо, його треба обчислити. Після знижки на 20 % товар коштує 960 грн. Ця ціна — не 100 %, а $100\%-20\%=80\%$ початкової. Тому початкова ціна $960:0,8=1200$ грн. Так само «прочитано 35 % книжки, залишилося 156 сторінок» означає, що 156 сторінок — це 65 % книжки, і в ній $156:0,65=240$ сторінок.

Обидві основні задачі розв’язує один універсальний прийом — пропорція «величина — відсотки». Частина прямо пропорційна своїм відсоткам (ціле те саме), тож записуємо два рядки: ціле відповідає 100 %, частина — $p\%$.

Звідси $\frac{x}{6}=\frac{100}{15}$ і $x=\frac{6\cdot 100}{15}=40$. Та сама схема знаходить і частину, і відсоток — невідоме може стояти в будь-якій клітинці. Цей прийом зручний, коли сумніваєшся, множити чи ділити: пропорція «сама» ставить числа на місця.

Відсоток від частини. Часто другий відсоток рахують уже не від усього цілого, а від його частини. Наприклад, 30 % учнів школи — хлопці, а 40 % хлопців займаються футболом. Яку частину всіх учнів становлять футболісти? База другого відсотка — хлопці, тому футболісти — це 40 % від 30 %: $0,4\cdot 0,3=0,12$, тобто 12 % усіх учнів, а не 40 % і не 70 %.

Так само з «рештою». Оля прочитала 40 % книжки, а потім ще 30 % решти. Решта після першого дня — 60 % книжки, 30 % від неї — це $0,3\cdot 60\%=18\%$ книжки. Разом прочитано $40\%+18\%=58\%$, залишилося 42 %. Якщо ж від 100 % відняти 40 % і 30 %, вийде хибна відповідь — 30 %: відсотки від різних баз не можна просто додавати чи віднімати.

Концентрація після зміни розчину. У 400 г розчину міститься 6 % солі, тобто $400\cdot 0,06=24$ г. Якщо долити воду, маса солі не зміниться, а її відсоток зменшиться, бо зросло ціле. Щоб розчин став 5-відсотковим, 24 г мають становити 5 % нової маси: $24:0,05=480$ г. Отже, треба долити $480-400=80$ г води. Тут спершу знаходимо відсоток від числа, а потім — число за його відсотком.

Чотири задачі — від однокрокової до такої, де треба двічі змінити базу.

Приклад 1. Скільки учнів у класі

15 % учнів класу — це 6 учнів. Скільки учнів у класі?

1. Відомо частину (6 учнів) і її відсоток (15 %), шукаємо ціле — це задача на число за його відсотком.

2. $x=6:0,15=40$.

3. Перевірка: $40\cdot 0,15=6$.

Відповідь: 40 учнів. Хто помножить замість поділити, отримає $6\cdot 0,15=0,9$ — менше одного учня, що абсурдно. Відповідь 90 ($6\cdot 15$) виникає, коли забувають поділити на 100.

Приклад 2. Скільки заплатити зі знижкою

Пилосос коштує 1350 грн, у магазині діє знижка 12 %. Скільки гривень заплатить покупець?

1. Після знижки покупець платить $100\%-12\%=88\%$ ціни.

2. $1350\cdot 0,88=1188$ грн.

3. Перевірка іншим способом: знижка $1350\cdot 0,12=162$ грн, $1350-162=1188$ грн.

Відповідь: 1188 грн. Пастки серед варіантів: 162 грн (це розмір знижки, а не ціна) і 1338 грн (від ціни відняли 12 гривень, а не 12 %).

Приклад 3. Початкова ціна за ціною після знижки

Після знижки на 20 % кросівки коштують 960 грн. Скільки вони коштували до знижки?

1. 960 грн — це $100\%-20\%=80\%$ початкової ціни.

2. Початкова ціна: $960:0,8=1200$ грн.

3. Перевірка: 20 % від 1200 — це 240 грн, $1200-240=960$ грн.

Відповідь: 1200 грн. Найпопулярніша помилка — $960+0,2\cdot 960=1152$ грн. Вона рахує 20 % від нової ціни, а знижку робили від старої. Перевірка одразу її викриває: 20 % від 1152 — це 230,4 грн, і після знижки вийшло б 921,6 грн, а не 960.

Приклад 4. Скільки води долити

У 400 г розчину міститься 6 % солі. Скільки грамів води треба долити, щоб вміст солі став 5 %?

1. Маса солі: $400\cdot 0,06=24$ г. Під час доливання води вона не змінюється.

2. У новому розчині 24 г — це 5 % маси: $24:0,05=480$ г.

3. Долити треба $480-400=80$ г води.

Відповідь: 80 г. Хибна відповідь «4 г» з’являється, коли від 400 г беруть 1 % різниці відсотків: $400\cdot 0,01=4$. Відсотки тут рахують від різних мас (400 г і 480 г), тому різниця відсотків нічого не каже про масу води.

Помилки, через які найчастіше втрачають бали в задачах на відсотки:

• Помножили замість поділити. «15 % класу — 6 учнів» розв’язують як $6\cdot 0,15=0,9$. Правильно: відома частина, шукаємо ціле, тому ділимо: $6:0,15=40$. Перевір, чи ціле більше за частину.

• Неправильно перевели відсотки в дріб. Пишуть 4 % = 0,4 або 0,5 % = 0,5. Правильно: ділимо на 100, тобто 4 % = 0,04, а 0,5 % = 0,005.

• Узяли відсоток від неправильної бази. Ціну до знижки 20 % шукають як «нова ціна плюс 20 % від неї». Правильно: нова ціна — це 80 % старої, тому ділимо на 0,8.

• Відповіли на інше питання. Питають, скільки заплатити, а обирають розмір знижки, або навпаки. Правильно: після обчислення ще раз прочитай, яку саме величину шукають.

• Додали відсотки від різних баз. «Прочитала 40 %, потім 30 % решти» вважають разом 70 %. Правильно: 30 % решти — це $0,3\cdot 60\%=18\%$ книжки, разом 58 %.

• Не помітили абсурдної відповіді. 0,9 учня, від’ємна маса чи знижка, більша за ціну, — сигнал, що дію вибрано неправильно. Правильно: наприкінці завжди перевіряй результат зворотною дією.

Відсотки належать до теми 1.2 програми («Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі»). За оглядом тестів НМТ 2023–2024 років ця тема дає від 0 до 2 завдань на тест, у середньому близько одного, а в демоваріанті НМТ-2026 їй відповідають два завдання — № 3 і № 7.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). У демоваріанті НМТ-2026 завдання 7 — текстова задача на відсотки. Перші позиції тесту — дані з таблиці чи діаграми й «життєві» задачі, де теж можуть знадобитися відсотки: ціни, знижки, частки. Відповіді для «помножив замість поділити» чи для неправильної бази цілком можуть бути серед п’яти варіантів, тож перевіряй результат зворотною дією. Орієнтир — 1–2 хвилини на завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). У демоваріанті 2026 і розібраних тестах ці позиції займали прогресія чи похідна, комбінаторика, стереометрія й параметр, тож окремої задачі на відсотки тут не чекай. Але правило запису варто знати: у поле вносять лише число десятковим дробом (наприклад, 12,5), без знака «%» і одиниць вимірювання. Часткових балів немає: правильно — 2 бали, інакше — 0.

Як діяти:

1. Визнач, що відомо: ціле (множимо) чи частина та її відсоток (ділимо). Якщо сумніваєшся, склади пропорцію «величина — відсотки».

2. Перевір базу: від чого саме рахують кожен відсоток — від початкової ціни, від решти, від усього класу.

3. Перевір відповідь зворотною дією і прочитай питання ще раз.

У довідкових матеріалах НМТ немає формул для відсотків — усе в цьому юніті треба знати напам’ять. Натомість це одні з найдешевших балів тесту: для порогу потрібно лише 5 тестових балів з 32, і задача на відсотки — один із найпевніших кроків до нього.

• 1 % — це сота частина числа; $p\%$ — це $\frac{p}{100}$, тобто 35 % = 0,35, а 4 % = 0,04.

• Відсоток від числа: $a\cdot \frac{p}{100}$ — множимо.

• Число за його відсотком: $b:\frac{p}{100}$ — ділимо; ціле має вийти більшим за частину.

• Ціна після знижки на $p\%$ — це $(100-p)\%$ старої ціни; стару ціну знаходимо діленням.

• Універсальний спосіб — пропорція: ціле відповідає 100 %, частина — $p\%$.

• Відсоток від частини рахують множенням дробів: 40 % від 30 % — це 12 % цілого.

• Після обчислення перевір зворотною дією і перечитай, яку величину питають.