Типові завдання НМТ: похідна та інтеграл

Похідна — одне з ключових понять математичного аналізу, яке перевіряють на НМТ у кількох форматах. У довідці, яку ти отримаєш на тестуванні, є таблиця похідних основних функцій і правила диференціювання. Навчимося користуватися ними швидко й безпомилково.

Похідна за таблицею й правилами

Нагадаємо базові формули з довідки НМТ. Для степеневої функції: $(x^n)^{\prime} = n \cdot x^{n-1}$. Для сталої: $(C)^{\prime} = 0$. Правила: $(u \pm v)^{\prime} = u^{\prime} \pm v^{\prime}$, $(u \cdot v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}$, $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime} v - u v^{\prime}}{v^2}$. Розгляньмо конкретні приклади.

Нехай $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$. Застосовуємо правило різниці й табличну похідну степеня: $f^{\prime}(x) = 2 \cdot 3x^2 - 6 \cdot 1 + 0 = 6x^2 - 6$. Тепер знайдемо значення похідної в точці $x_0 = 1$: $f^{\prime}(1) = 6 \cdot 1^2 - 6 = 0$. Для добутку $f(x) = x \cdot e^x$ маємо $f^{\prime}(x) = (x)^{\prime} e^x + x (e^x)^{\prime} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.

Геометричний зміст похідної

У довідці НМТ геометричного змісту похідної немає, але на тесті можуть дати рисунок дотичної до графіка функції. Запам’ятай: значення похідної в точці $x_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою $x_0$. Іншими словами, $f^{\prime}(x_0) = k = \tg \alpha$, де $\alpha$ — кут між дотичною й додатним напрямом осі $Ox$. Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві точки $(x_1; y_1)$ і $(x_2; y_2)$, обчислюють за формулою $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Як працювати з рисунком

Уяви, що на рисунку дотична до графіка функції проходить через точки $(1; 2)$ і $(4; 8)$. Тоді $f^{\prime}(x_0) = k = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ — дотична напрямлена вгору, кут гострий. Якщо дотична спадає (наприклад, проходить через точки $(0; 3)$ і $(2; -1)$), то $k = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = -2$, і похідна від’ємна. Горизонтальна дотична (паралельна осі $Ox$) має $k = 0$, отже, $f^{\prime}(x_0) = 0$.

Розгляньмо ще приклад із кутом нахилу. Для функції $f(x) = x^2 - 3x$ у точці $x_0 = 2$ знайдемо спочатку похідну: $f^{\prime}(x) = 2x - 3$. Тоді $f^{\prime}(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Оскільки $\tg \alpha = 1$, то $\alpha = 45^{\circ}$. Отже, дотична до графіка в точці $x_0 = 2$ нахилена до осі $Ox$ під кутом 45°.

Важливо: геометричний зміст похідної не дають у довідці, тому його треба знати напам’ять. Якщо на НМТ трапиться рисунок із дотичною, ти знатимеш, що робити.

Похідна допомагає визначити, як поводиться функція: де вона зростає, де спадає, і де досягає найбільших чи найменших значень на проміжку. Це називають дослідженням функції за допомогою похідної.

Ознаки зростання й спадання

Якщо на деякому проміжку $f^{\prime}(x) > 0$, то функція на цьому проміжку зростає. Якщо $f^{\prime}(x) < 0$, то функція спадає. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними. Якщо в критичній точці похідна змінює знак, то ця точка є точкою екстремуму.

Повний приклад: $f(x) = x^3 - 12x$

Крок 1. Знаходимо похідну: $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 12$.

Крок 2. Прирівнюємо до нуля: $3x^2 - 12 = 0$ ⇒ $x^2 = 4$ ⇒ $x = \pm 2$. Критичні точки: $-2$ і $2$.

Крок 3. Визначаємо знак похідної на кожному з проміжків. Для цього зручно намалювати числову вісь і позначити критичні точки:

На проміжку $(-\infty; -2)$ візьмемо $x = -3$: $f^{\prime}(-3) = 27 - 12 = 15 > 0$ — зростає. На проміжку $(-2; 2)$ візьмемо $x = 0$: $f^{\prime}(0) = -12 < 0$ — спадає. На проміжку $(2; +\infty)$ візьмемо $x = 3$: $f^{\prime}(3) = 27 - 12 = 15 > 0$ — зростає.

Крок 4. Висновки. Функція зростає на проміжках $(-\infty; -2]$ і $[2; +\infty)$, спадає на проміжку $[-2; 2]$. У точці $x = -2$ похідна змінює знак із «+» на «−», тому це точка максимуму: $f(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) = -8 + 24 = 16$. У точці $x = 2$ похідна змінює знак із «−» на «+», тому це точка мінімуму: $f(2) = 8 - 24 = -16$.

Екстремуми за графіком похідної

Іноді на НМТ дають не графік самої функції, а графік її похідної $y = f^{\prime}(x)$. Тоді точки, в яких графік похідної перетинає вісь $Ox$ зі зміною знака, є точками екстремуму функції $f(x)$. Якщо зліва від точки графік похідної лежить вище осі (знак «+»), а справа — нижче (знак «−»), це точка максимуму. Навпаки — точка мінімуму.

Найбільше й найменше значення на відрізку

Щоб знайти найбільше або найменше значення функції на відрізку $[a; b]$, треба: 1) знайти критичні точки всередині відрізка; 2) обчислити значення функції в цих точках і на кінцях відрізка; 3) порівняти отримані числа. Найбільше з них і буде найбільшим значенням на відрізку, найменше — найменшим. Не плутай точку екстремуму (це $x$) зі значенням функції в ній (це $y$).

Первісна — це функція, похідна від якої дорівнює заданій функції. Якщо $F^{\prime}(x) = f(x)$, то $F$ називають первісною для $f$. У довідці НМТ є таблиця первісних основних функцій.

Загальний вигляд первісної

Якщо $F(x)$ — одна первісна для $f(x)$, то будь-яка інша первісна має вигляд $F(x) + C$, де $C$ — довільна стала. Чому так? Бо похідна від сталої дорівнює нулю: $(F(x) + C)^{\prime} = F^{\prime}(x) = f(x)$. Тому первісних у функції безліч — вони відрізняються на сталу.

Приклад: для $f(x) = 3x^2 - 4x$ знаходимо первісну за таблицею: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Отже, $F(x) = \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$. Перевірка: $(x^3 - 2x^2 + C)^{\prime} = 3x^2 - 4x$ — правильно.

Первісна, що проходить через задану точку

Якщо додатково відомо, що графік первісної проходить через точку $(x_0; y_0)$, сталу $C$ можна знайти. Нехай $F(1) = 5$ для первісної з попереднього прикладу. Підставляємо: $1^3 - 2 \cdot 1^2 + C = 5$ ⇒ $1 - 2 + C = 5$ ⇒ $C = 6$. Отже, шукана первісна: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 6$.

Перевірка диференціюванням

Найнадійніший спосіб переконатися, що первісну знайдено правильно, — продиференціювати її. Похідна має збігтися з початковою функцією. Наприклад, варіант $F(x) = x^3 - 4x^2$ не є первісною для $f(x) = 3x^2 - 4x$, бо $F^{\prime}(x) = 3x^2 - 8x \neq f(x)$. Завжди виконуй перевірку — це займає кілька секунд.

Первісні тригонометричних і показникових функцій

Зверни увагу: первісною для $\sin x$ є саме $-\cos x$, а не $\cos x$. Це часта помилка. Перевірка: $(-\cos x + C)^{\prime} = \sin x$, що й потрібно.

Визначений інтеграл дозволяє обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій. На НМТ це завдання типу «вибір формули за рисунком» (демо 2026, № 12) або обчислення площі в завданнях з короткою відповіддю.

Площа криволінійної трапеції

Криволінійною трапецією називають фігуру, обмежену графіком неперервної функції $y = f(x)$, віссю $Ox$ і двома вертикальними прямими $x = a$, $x = b$. Якщо на відрізку $[a; b]$ функція $f(x) \ge 0$, то площа такої фігури дорівнює визначеному інтегралу: $S = \int_a^b f(x) \, dx$. Для обчислення використовують формулу Ньютона–Лейбніца, яка є в довідці.

Фігура між двома графіками

Якщо фігура обмежена двома графіками $y = f(x)$ (вищий) і $y = g(x)$ (нижчий) на $[a; b]$, то площа: $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx$. Межі інтегрування $a$ і $b$ — це абсциси точок перетину графіків.

Приклад: фігура, обмежена параболою $y = 4 - x^2$ і віссю $Ox$ ($y = 0$). Знаходимо точки перетину: $4 - x^2 = 0$ ⇒ $x = \pm 2$. Оскільки на $[-2; 2]$ парабола лежить над віссю, площа: $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\big|_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$.

Площа під віссю Ox

Якщо на відрізку $[a; b]$ функція $f(x) \le 0$ (графік лежить нижче осі $Ox$), то визначений інтеграл дає від’ємне число. Площа ж завжди додатна, тому її обчислюють як $S = -\int_a^b f(x) \, dx$.

Наприклад: $\int_0^3 (x - 3) \, dx = \left(\frac{x^2}{2} - 3x\right)\big|_0^3 = \left(\frac{9}{2} - 9\right) - 0 = -4{,}5$. Площа фігури між прямою $y = x - 3$ і віссю $Ox$ на відрізку $[0; 3]$ дорівнює $4{,}5$.

Інтеграл за графіком ламаної

Якщо дано графік у вигляді ламаної (наприклад, графік кусково-лінійної функції), визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі площ: площа над віссю $Ox$ береться зі знаком «+», площа під віссю — зі знаком «−». Щоб знайти цю суму, можна обчислити площі трикутників і трапецій, на які ламана розбиває фігуру, і додати їх з відповідними знаками.

Приклад 1. Дотична за рисунком

Завдання (вибір однієї з п'яти): Дотична до графіка функції $y = f(x)$ у точці з абсцисою $x_0$ проходить через точки $(-1; 5)$ і $(2; -1)$. Знайдіть $f^{\prime}(x_0)$.

Розв'язання. Кутовий коефіцієнт прямої через дві точки: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$. Отже, $f^{\prime}(x_0) = -2$.

Відповідь: $-2$.

Чому інші варіанти неправильні: $2$ — забули знак «мінус» (узяли модуль кутового коефіцієнта: ${}6/3 = 2$); $-0{,}5$ — поділили $\Delta x$ на $\Delta y$ замість навпаки; $0{,}5$ — поділили $\Delta x$ на $\Delta y$ і втратили знак; $4$ — помилка в арифметиці.

Приклад 2. Первісна функції

Завдання (вибір однієї з п'яти): Укажіть первісну функції $f(x) = 6x^2 - 2\sin x$.

Розв'язання. За таблицею первісних: для $6x^2$ первісна $6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$; для $-2\sin x$ первісна $-2 \cdot (-\cos x) = 2\cos x$. Отже, $F(x) = 2x^3 + 2\cos x$.

Перевірка диференціюванням: $(2x^3 + 2\cos x)^{\prime} = 6x^2 - 2\sin x$ — збігається з $f(x)$.

Відповідь: $2x^3 + 2\cos x + C$.

Чому інші варіанти неправильні: $2x^3 - 2\cos x$ — неправильний знак у первісної синуса; $12x - 2\cos x$ — помилково продиференціювали замість узяти первісну; $3x^3 + 2\cos x$ — не поділили $6x^2$ на 3; $2x^3 + 2\sin x$ — взяли первісну синуса як синус замість $-\cos x$.

Приклад 3. Площа фігури через інтеграл

Завдання (вибір однієї з п'яти): Укажіть формулу площі фігури, обмеженої графіком $y = x^2 - 4x$ і віссю $Ox$.

Розв'язання. Знаходимо точки перетину параболи з віссю $Ox$: $x^2 - 4x = 0$ ⇒ $x(x - 4) = 0$ ⇒ $x = 0$, $x = 4$. На проміжку $[0; 4]$ парабола $y = x^2 - 4x$ лежить нижче осі (оскільки $x^2 - 4x \le 0$ на $[0; 4]$). Тому площа: $S = -\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx = \int_0^4 (4x - x^2)\,dx$.

Відповідь: $\int_0^4 (4x - x^2)\,dx$.

Чому інші варіанти неправильні: $\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx$ — дасть від'ємне число, а площа не може бути від'ємною; $\int_0^2 (4x - x^2)\,dx$ — неправильні межі (брати половину інтервалу); $\int_{-4}^0 (4x - x^2)\,dx$ — неправильні межі (підставили значення $y$ замість коренів рівняння); $\int_0^4 (x^2 + 4x)\,dx$ — неправильний знак у підінтегральному виразі.

Приклад 4. Точка максимуму

Завдання (коротка відповідь): Знайдіть точку максимуму функції $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

Розв'язання. Крок 1. Знаходимо похідну: $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$.

Крок 2. Прирівнюємо до нуля: $3(x - 3)(x + 1) = 0$ ⇒ $x = 3$ або $x = -1$.

Крок 3. Визначаємо знак похідної на проміжках. На $(-\infty; -1)$ візьмемо $x = -2$: $f^{\prime}(-2) = 3 \cdot (-5) \cdot (-1) = 15 > 0$ («+»). На $(-1; 3)$ візьмемо $x = 0$: $f^{\prime}(0) = 3 \cdot (-3) \cdot 1 = -9 < 0$ («−»). На $(3; +\infty)$ візьмемо $x = 4$: $f^{\prime}(4) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$ («+»).

Крок 4. Похідна змінює знак із «+» на «−» у точці $x = -1$ — це точка максимуму. У точці $x = 3$ знак змінюється з «−» на «+» — це точка мінімуму.

Відповідь: $-1$.

Пастки: відповідь $3$ — це точка мінімуму, а не максимуму; відповідь $7$ — це значення функції в точці максимуму $f(-1) = 7$, а не сама точка. Уважно читай, що питають: точку максимуму (аргумент $x$) чи максимум (значення $y$).

• Плутають табличні похідні. Найпоширеніші помилки: $(\cos x)^{\prime} = \sin x$ (правильно: $-\sin x$), $(1/x)^{\prime} = 1/x^2$ (правильно: $-1/x^2$). Користуйся довідкою уважно.

• Забувають сталу $C$ у загальному вигляді первісної. Якщо в умові не сказано «первісна, що проходить через точку», відповідь має містити $+ C$. І навпаки: якщо дано точку, сталу треба знайти — не залишай $C$ невизначеною.

• Записують площу фігури під віссю $Ox$ від'ємним числом. Площа завжди додатна. Якщо інтеграл вийшов від'ємним, візьми його зі знаком «мінус» або поміняй підінтегральну функцію місцями: $S = -\int_a^b f(x)\,dx$.

• За рисунком дотичної ділять $\Delta x$ на $\Delta y$ замість правильного $\Delta y / \Delta x$. Або беруть точки, що не лежать на дотичній. Переконайся, що обидві точки належать саме дотичній, а не графіку функції.

• Плутають точку екстремуму (аргумент $x$) і екстремум функції (значення $y$). Уважно читай запитання: «точка максимуму» — це $x$, «максимум функції» — це $f(x)$.

• Вважають найбільше значення на відрізку рівним максимуму функції, не перевіривши кінців відрізка. Найбільше значення може виявитися на кінці відрізка, а не в критичній точці. Завжди порівнюй значення в усіх кандидатах.

Завдання на похідну, дослідження функції, первісну й інтеграл зустрічаються в різних частинах НМТ.

• У демоваріанті 2026 року завдання № 12 — площа фігури через визначений інтеграл, вибір формули за рисунком (тема 3.5). Тип: вибір однієї з п'яти; оцінювання: 0 або 1 бал.

• Завдання № 19 — значення кусково заданої функції та її похідної (теми 3.3 + 3.2). Тип: коротка відповідь; оцінювання: 0 або 2 бали.

• За аналізом програми НМТ, тема 3.3 (похідна та її застосування) дає приблизно 0,5 завдання на тест (0–1), тема 3.4 (дослідження функції за допомогою похідної) — 0–0,5, тема 3.5 (первісна та визначений інтеграл) — приблизно 0,5 (0–1).

• У довідці, яку надають на тестуванні, є таблиця похідних і правила диференціювання, таблиця первісних основних функцій і формула Ньютона–Лейбніца. Геометричного й фізичного змісту похідної та рівняння дотичної в довідці немає — це треба знати напам'ять.

• В аналізі програми похідну та її застосування й первісну за графіком названо серед найскладніших тем (експертна оцінка). Варто приділити цим завданням додаткову увагу під час підготовки.

• Значення похідної в точці $x_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної: $f^{\prime}(x_0) = k = \tg \alpha$. Геометричного змісту в довідці НМТ немає — вивчи його напам'ять.

• Похідна змінює знак з «+» на «−» у точці максимуму, з «−» на «+» — у точці мінімуму. Точки, де $f^{\prime}(x) = 0$ або не існує, — кандидати в екстремуми.

• Первісна визначена з точністю до сталої $C$. Завжди перевіряй правильність первісної диференціюванням.

• Площа фігури під віссю $Ox$ обчислюється як інтеграл зі знаком «мінус»: $S = -\int_a^b f(x)\,dx$. Площа завжди додатна.

• Межі інтегрування — це абсциси точок перетину графіків, що обмежують фігуру.

• Найбільше значення на відрізку: порівняй значення в критичних точках і на кінцях відрізка. Не роби висновок тільки за критичними точками.