Типові завдання НМТ: комбінаторика, ймовірність і статистика

На НМТ завдання зі статистики перевіряють, чи вмієш ти читати дані, подані в діаграмі або таблиці частот. Формул для вибіркових характеристик у довідці тесту немає — їх треба знати напам’ять. На щастя, тут усього чотири означення, і кожне з них інтуїтивно зрозуміле.

Чотири характеристики вибірки

Працюємо з рядом чисел

Розгляньмо ряд: 5, 8, 3, 8, 6, 10. Щоб знайти медіану, спершу впорядкуймо числа:

3, 5, 6, 8, 8, 10

Кількість значень n = 6 (парна). Тому медіана — півсума третього й четвертого членів ряду:

$Me=\frac{6+8}{2}=7$

Мода — значення, яке повторюється найчастіше. Тут це 8 (зустрічається двічі). Розмах: $R=10-3=7$. Середнє значення:

$\bar{x}=\frac{3+5+6+8+8+10}{6}=\frac{40}{6}=6,(6)$

Працюємо зі стовпчастою діаграмою

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 1 — це читання стовпчастої діаграми. Уяви діаграму, де по горизонталі позначено оцінки учнів (від 8 до 11), а висота стовпчика показує кількість учнів, які отримали цю оцінку:

Тепер обчислимо всі чотири характеристики.

Мода: оцінка 11 трапляється найчастіше (7 учнів), отже Mo = 11.

Медіана: маємо 20 значень. Упорядкуймо їх: спершу чотири вісімки, потім шість дев'яток, далі три десятки й сім одинадцяток. 10-те й 11-те значення — це 9 і 10. Отже:

$Me=\frac{9+10}{2}=9,5$

Середнє: спершу сума: $8\cdot 4+9\cdot 6+10\cdot 3+11\cdot 7=32+54+30+77=193$.

$\bar{x}=\frac{193}{20}=9,65$

Розмах: $R=11-8=3$.

Порада: завдання за діаграмою дає надійний бал за 1–2 хвилини. Напиши на чернетці таблицю частот, упорядкуй дані й обчисли — і ти не помилишся.

Класична ймовірність — це відношення кількості сприятливих наслідків до кількості всіх рівноможливих наслідків випадкового експерименту. Формула є в довідці НМТ:

$P(A)=\frac{k}{n}$, де $n$ — кількість усіх рівноможливих наслідків, $k$ — кількість сприятливих наслідків.

Завжди пам'ятай: $0\le P(A)\le 1$. Якщо отримала число, більше за 1, або від'ємне — шукай помилку.

Один гральний кубик

У кубика 6 граней. Кидаємо один кубик. Яка ймовірність випадання числа, кратного 3? Сприятливі наслідки: 3 і 6 — їх два. Отже:

$P(\text{кратне 3})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Два гральні кубики

Коли кидають два кубики, кількість усіх можливих упорядкованих пар дорівнює $6\cdot 6=36$. Кожну пару записують як (число на першому кубику; число на другому).

Знайдемо ймовірність того, що сума очок дорівнює 8. Перелічимо сприятливі пари: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Їх п'ять. Отже:

$P(\text{сума 8})=\frac{5}{36}$

Важливо: пари (2; 6) і (6; 2) — це різні наслідки, бо кубики різні (перший і другий). Ніколи не об'єднуй їх.

Дві монети

Підкидають дві монети. Кожна монета може показати герб (Г) або цифру (Ц). Кількість усіх рівноможливих наслідків — чотири:

ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ

Зверни увагу: ГЦ і ЦГ — це різні наслідки (перша монета — герб, друга — цифра, і навпаки). Тому наслідків саме 4, а не 3.

Яка ймовірність того, що випаде один герб і одна цифра? Сприятливі наслідки: ГЦ і ЦГ — їх два. Отже:

$P(\text{один герб і одна цифра})=\frac{2}{4}=0,5$

Кульки та картки

У коробці 5 червоних і 7 синіх кульок. Навмання виймають одну кульку. Ймовірність дістати синю:

$P(\text{синя})=\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$

У наборі картки з числами від 1 до 20. Яка ймовірність витягнути картку з простим числом? Прості числа в цьому проміжку: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — усього 8 чисел. Отже:

$P(\text{просте})=\frac{8}{20}=0,4$

Протилежна подія

Якщо подія A не відбувається, настає протилежна подія Ā (читають «не A»). Їхні ймовірності пов'язані просто:

$P(\bar{A})=1-P(A)$

Це дуже зручно, коли сприятливих наслідків багато, а несприятливих — мало. Приклад: кидають дві монети. Яка ймовірність того, що випаде хоча б один герб? Протилежна подія — «не випало жодного герба», тобто ЦЦ. Ймовірність ЦЦ — 1/4. Отже:

$P(\text{хоча б один герб})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0,75$

Коли випадковий експеримент полягає у виборі групи об'єктів навмання, кількість усіх рівноможливих наслідків n рахують за допомогою формул комбінаторики. У довідці НМТ є три формули: кількість перестановок $P_n=n!$, кількість розміщень $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ і кількість комбінацій $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Яку формулу обрати?

Вибір групи навмання

У завданнях НМТ на комбінаторну ймовірність часто йдеться про вибір кількох осіб (або предметів) із загальної групи. Оскільки порядок, у якому вибирають, не має значення, кількість усіх можливих груп обчислюють через комбінації.

Приклад. У групі 6 хлопців і 4 дівчини. Навмання вибирають двох учнів. Скільки всього способів вибрати двох із десяти?

$n=C_{10}^2=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{10\cdot 9}{2}=45$

Знайдемо ймовірність того, що обидва вибрані учні — дівчата. Сприятливих випадків: вибрати двох дівчат із чотирьох можна $C_4^2=6$ способами. Отже:

$P(\text{обидві — дівчата})=\frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$

А тепер знайдемо ймовірність того, що виберуть одного хлопця й одну дівчину. Тут сприятливі наслідки — це всі пари, що складаються з одного хлопця (6 способів) і однієї дівчини (4 способи). За правилом добутку таких пар $6\cdot 4=24$. Отже:

$P(\text{хлопець і дівчина})=\frac{6\cdot 4}{45}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$

Порядок навмання

Інший тип завдань — коли об'єкти ставлять у випадковому порядку. Тут кількість усіх можливих розташувань — це $P_n=n!$.

Приклад. Чотири різні книжки ставлять на полицю навмання. Яка ймовірність того, що певна книжка опиниться з краю?

Усіх способів розставити 4 книжки: $n=4!=24$. Сприятливі випадки: книжка з краю — це або ліворуч, або праворуч (2 варіанти). Решту 3 книжки можна розставити в будь-якому порядку на решті місць: $3!=6$ способів. Отже:

$P(\text{книжка з краю})=\frac{2\cdot 3!}{4!}=\frac{2\cdot 6}{24}=\frac{12}{24}=0,5$

Це логічно: для випадкового порядку ймовірність опинитися на будь-якому конкретному місці однакова — 1/4. Крайніх місць два, тому 2/4 = 0,5.

Правило добутку: коли вибір складається з кількох послідовних незалежних кроків, загальну кількість способів знаходять множенням кількостей способів на кожному кроці. Наприклад, вибрати одного хлопця (6 способів) і одну дівчину (4 способи) — разом $6\cdot 4=24$ способи.

Приклад 1. Діаграма прочитаних книжок

На діаграмі подано кількість книжок, які учні прочитали за місяць: 0 книжок — 2 учні, 1 книжка — 5 учнів, 2 книжки — 8 учнів, 3 книжки — 4 учні, 4 книжки — 1 учень. Знайдіть медіану цього ряду даних.

Розв'язання. Спершу знайдемо загальну кількість учнів: $n=2+5+8+4+1=20$. Оскільки n парне, медіана — півсума 10-го й 11-го значень упорядкованого ряду.

Випишемо всі значення по порядку: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4.

10-те значення — 2, 11-те значення — теж 2. Отже:

$Me=\frac{2+2}{2}=2$

Відповідь: 2.

Розгляньмо, чим привабливі дистрактори:

• 8 — найбільша частота (кількість учнів, які прочитали 2 книжки), але це не медіана, а частота моди.

• 1,85 — середнє арифметичне. Його обчислили, поділивши суму на 20, але не впорядкували дані.

• 2,5 — хибний результат, наприклад півсума значень 2 і 3, узятих не з тих позицій упорядкованого ряду; це не медіана.

• 4 — розмах ряду.

Приклад 2. Два гральні кубики

Кидають два гральні кубики. Яка ймовірність того, що сума очок дорівнюватиме 10?

Розв'язання. Кількість усіх рівноможливих наслідків $n=6\cdot 6=36$. Перелічимо сприятливі пари, сума очок у яких дорівнює 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4). Їх три.

$P(\text{сума 10})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

Відповідь: 1/12.

Типові помилкові відповіді:

• 1/11 — учень подумав, що можливих сум від 2 до 12 є 11, і взяв одну з них. Але суми не є рівноможливими: сума 7 трапляється частіше, ніж сума 2.

• 1/18 — учень порахував (4; 6) і (6; 4) як один наслідок, вважаючи кубики нерозрізненими.

• 1/6 або 1/4 — груба помилка в підрахунку.

Приклад 3. Вибір групи навмання

У групі 10 хлопців і 6 дівчат. Навмання вибирають двох учнів. Знайдіть імовірність того, що обидва — дівчата.

Розв'язання. Загальна кількість способів вибрати двох учнів із 16:

$n=C_{16}^2=\frac{16!}{2!\cdot 14!}=\frac{16\cdot 15}{2}=120$

Кількість способів вибрати двох дівчат із 6:

$k=C_6^2=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$

Шукана ймовірність:

$P=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}=0,125$

Відповідь: 0,125.

Пастка: деякі учні беруть ймовірність 6/16 = 0,375, ігноруючи той факт, що вибирають двох осіб, а не одну.

Приклад 4. Ряд даних із невідомим значенням

Ряд даних 12, 15, x, 9, 14 має розмах 10, причому x > 15. Знайдіть середнє значення ряду.

Розв'язання. Розмах — різниця найбільшого й найменшого значень. Найменше значення в ряду — 9. Оскільки $x>15$, саме x є найбільшим. За умовою розмах дорівнює 10:

$x-9=10\Rightarrow x=19$

Тепер знайдемо середнє значення ряду 12, 15, 19, 9, 14:

$\bar{x}=\frac{12+15+19+9+14}{5}=\frac{69}{5}=13,8$

Відповідь: 13,8.

Пастка: якщо не врахувати умову $x>15$ і взяти $x=5$, то розмах теж буде 10 (15 − 5 = 10). Умова x > 15 відкидає цей випадок, тому $x=19$, а не 5.

Нижче зібрано найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ в завданнях на статистику, комбінаторику та ймовірність. Прочитай уважно, щоб не втратити бали на простому.

• Брати медіану невпорядкованого ряду. Медіану визначають лише після того, як усі числа розташовано за зростанням. Ніколи не шукай «середнє за порядком» у вихідному, невпорядкованому ряду.

• Плутати моду з її частотою. Мода — це значення величини (наприклад, «оцінка 11»), а не кількість, скільки разів воно трапилося. Якщо 7 учнів отримали 11 балів, то Mo = 11, а не 7.

• Вважати, що для двох монет лише 3 наслідки (ГГ, ГЦ, ЦЦ). Четвертий наслідок ЦГ зникає, якщо монети не розрізняти, але в теорії ймовірностей монети завжди різні (перша й друга). Правильних наслідків чотири: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ.

• Рахувати (4; 6) і (6; 4) для двох кубиків як один наслідок. Кубики різні, тому впорядковані пари різні. Завжди множ $6\cdot 6=36$ і перелічуй обидва порядки окремо.

• Брати $A_n^k$ замість $C_n^k$ для кількості способів вибрати групу навмання. Якщо з групи навмання вибирають кількох осіб, порядок вибору не має значення — використовуй комбінації $C_n^k$, а не розміщення $A_n^k$.

• У середньому за таблицею частот ділити на кількість різних значень. Наприклад, для оцінок 8, 9, 10, 11 ділити на 4 — неправильно. Ділити треба на загальну кількість учнів (20), а не на кількість різних оцінок.

• Отримати ймовірність, більшу від 1, і не помітити помилки. Ймовірність завжди лежить у межах від 0 до 1. Якщо отримала, наприклад, 7/4 або 1,2 — негайно перевіряй обчислення. Сприятливих наслідків не може бути більше, ніж усіх можливих.

Тема «Комбінаторика, ймовірність і статистика» (код 4.1 за програмою НМТ) щороку з'являється в тесті. За аналізом програми, вона дає приблизно 1–2 завдання на тест, у середньому 1,75 завдання. У демоваріанті НМТ-2026 це 2 завдання загальним балом 3.

Що каже статистика попередніх років

У вибірці тестів 2023–2024 років на позиції № 20 (коротка відповідь) у трьох тестах із чотирьох стояла комбінаторика. В одному тесті — середнє значення вибірки. Тож готуйся до обох варіантів.

Що можна взяти з довідки

Довідка НМТ містить формули:

• $P(A)=k/n$ — класична ймовірність

• $P_n=n!$ — кількість перестановок

• $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — кількість розміщень

• $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — кількість комбінацій

А от формул для середнього значення, моди, медіани й розмаху в довідці немає. Їх треба знати напам'ять — і це чудова новина, бо вони дуже прості.

Стратегія на тесті

У методичних аналізах НМТ читання діаграм названо «дешевим балом» — те, що закривають першим для проходження порогу. Порада: розпочинаючи тест, одразу виконай завдання на статистику (діаграму або таблицю частот) — це займе 1–2 хвилини й дасть надійний бал.

Нагадування: число k (сприятливі наслідки) завжди менше або дорівнює n (усі наслідки), тому ймовірність ніколи не перевищує 1. Отримала дріб $7/4$ — негайно перевіряй.

• Медіану шукають лише у впорядкованому ряду. Для парної кількості — півсума двох середніх значень.

• Мода — це значення, а не частота. Mo = 11 означає, що найчастіше трапляється число 11.

• $P(A)=k/n$: n — кількість усіх рівноможливих наслідків, k — сприятливих.

• Два кубики — 36 наслідків, дві монети — 4. Пари (a; b) і (b; a) різні, якщо об'єкти розрізняють.

• Вибір групи навмання — кількість способів рахують через комбінації $C_n^k$.

• Протилежна подія: $P(\bar{A})=1-P(A)$. Зручно, коли P(A) знайти складніше.

• Ймовірність завжди $0\le P(A)\le 1$. Більше за 1 — шукай помилку.

• Формул середнього, моди, медіани й розмаху в довідці НМТ немає — вивчи їх напам'ять.