Теорема Піфагора

Прямокутний трикутник — це трикутник, один з кутів якого дорівнює 90° (прямий кут). У прямокутному трикутнику дві сторони, що утворюють прямий кут, називають катетами. Третю сторону, яка лежить навпроти прямого кута, називають гіпотенузою. Гіпотенуза завжди найбільша сторона трикутника — вона довша за кожен із катетів.

Теорема Піфагора — одна з найважливіших теорем геометрії. Вона встановлює зв'язок між довжинами сторін прямокутного трикутника.

Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо позначити катети через a і b, а гіпотенузу через c, то теорема має вигляд:

$$c^2=a^2+b^2$$

Звідси можна знайти будь-яку сторону:

• гіпотенуза: $c=\sqrt{a^2+b^2}$

• катет: $a=\sqrt{c^2-b^2}$

Ідея доведення теореми Піфагора через площі. На кожній стороні прямокутного трикутника зовні будують квадрат. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Якщо поділити великий квадрат і скласти з його частин два менші квадрати, рівність площ стає очевидною. Існує понад 400 різних доведень теореми Піфагора.

Приклад. Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 і 4. Тоді гіпотенуза: $c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Приклад. Гіпотенуза дорівнює 13, один із катетів — 5. Знайдіть другий катет: $a=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Обернена теорема Піфагора

Обернена теорема Піфагора дає змогу перевірити, чи є трикутник прямокутним, знаючи лише довжини його сторін.

Обернена теорема Піфагора: Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то цей трикутник прямокутний, причому прямий кут лежить проти найбільшої сторони.

Приклад. Сторони трикутника 7, 24, 25. Перевіримо: $7^2+24^2=49+576=625=25^2$. Оскільки рівність виконується, трикутник прямокутний, і сторона 25 — гіпотенуза.

Приклад. Сторони трикутника 6, 7, 9. Перевіримо: $6^2+7^2=36+49=85\ne 81=9^2$. Рівність не виконується, отже, трикутник не є прямокутним.

Піфагорова трійка — це три натуральні числа a, b, c, які задовольняють рівність $a^2+b^2=c^2$. Найвідоміші піфагорові трійки варто знати напам'ять: вони заощаджують час на НМТ, бо ви одразу впізнаєте прямокутний трикутник і не робитимете громіздких обчислень.

Основні піфагорові трійки

За переказами, давні єгиптяни будували прямі кути на місцевості за допомогою мотузки з вузлами, що ділили її на відрізки 3, 4 і 5. Звідси й назва — «єгипетський трикутник».

Кратні трійки

Якщо помножити всі числа піфагорової трійки на те саме натуральне число, знову отримаємо піфагорову трійку. Наприклад:

Як розпізнати трійку: якщо бачиш катети 9 і 12 — це масштаб 3 від трійки 3–4–5 (3·3 = 9, 3·4 = 12), тому гіпотенуза 3·5 = 15. Якщо гіпотенуза 26 і катет 10 — це масштаб 2 від трійки 5–12–13 (2·5 = 10, 2·13 = 26), отже, другий катет 2·12 = 24.

Квадратні корені й спрощення

Поширена помилка — вважати, що $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$. Це неправда! Наприклад, $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$, а $3+4=7$. Корінь із суми квадратів не дорівнює сумі чисел.

Якщо корінь не вилучається націло, його потрібно спростити:

• $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

• $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

• $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$

На НМТ у довідкових матеріалах є таблиця квадратів чисел від 10 до 49. Вона допомагає швидко знайти корінь: 29² = 841, отже, $\sqrt{841}=29$; 37² = 1369, отже, $\sqrt{1369}=37$.

Рівнобедрений прямокутний трикутник

Рівнобедрений прямокутний трикутник має два рівні катети a. За теоремою Піфагора: $c^2=a^2+a^2=2a^2$, тому гіпотенуза $c=a\sqrt{2}$. Діагональ квадрата зі стороною a — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами a, тому вона також дорівнює $a\sqrt{2}$.

Це варто запам'ятати: у рівнобедреному прямокутному трикутнику гіпотенуза в $\sqrt{2}$ разів довша за катет.

Теорема Піфагора працює не лише в чистому вигляді — вона допомагає розв'язувати багато практичних задач. Головне — знайти прямокутний трикутник у фігурі або на рисунку.

Діагональ прямокутника

Діагональ ділить прямокутник на два прямокутні трикутники. Катети — сторони прямокутника, гіпотенуза — діагональ.

Діагональ прямокутника: $d=\sqrt{a^2+b^2}$, де a та b — сторони прямокутника.

Приклад. Сторони прямокутника 6 см і 8 см. Діагональ: $d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ см. Це трійка 6–8–10, кратна 3–4–5.

Приклад. Діагональ екрана 17 дюймів, ширина 15 дюймів. Знайдемо висоту (другу сторону). Тут діагональ — гіпотенуза, ширина — один катет: $h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$ дюймів (трійка 8–15–17).

Висота рівнобедреного трикутника

Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, ділить основу навпіл і утворює два прямокутні трикутники. У кожному з них гіпотенуза — бічна сторона b, один катет — половина основи a/2, другий катет — висота h.

Висота рівнобедреного трикутника: $h=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$, де b — бічна сторона, a — основа.

Приклад. Бічна сторона рівнобедреного трикутника 17, основа 16. Половина основи: 8. Висота: $h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$.

Практичні задачі

Задача 1. Драбину завдовжки 5 м приставили до вертикальної стіни так, що її нижній кінець на відстані 1,4 м від стіни. На якій висоті верхній кінець драбини?

Драбина — гіпотенуза, відстань від стіни — один катет, висота — другий катет. $h=\sqrt{5^2-1,4^2}=\sqrt{25-1,96}=\sqrt{23,04}=4,8$ м.

Задача 2. Два пішоходи рушили від перехрестя двома перпендикулярними вулицями. Перший пройшов 600 м, другий — 800 м. Знайдіть відстань між ними.

Відстань між пішоходами — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 600 м і 800 м. $d=\sqrt{600^2+800^2}=\sqrt{360000+640000}=\sqrt{1000000}=1000$ м. Це трійка 6–8–10, збільшена в 100 разів.

Як виділити прямокутний трикутник

У задачах, де прямо не сказано «прямокутний трикутник», виконуй такі кроки:

• Знайди на рисунку прямий кут (90°). Познач його квадратиком.

• Визнач гіпотенузу — це сторона, яка лежить навпроти прямого кута.

• Якщо прямого кута немає, опусти перпендикуляр (висоту) — він утворить прямий кут.

• Запиши відомі катети й гіпотенузу в отриманому прямокутному трикутнику.

Наприклад, висота в рівнобедреному трикутнику, медіана до основи, діагональ прямокутника, драбина біля стіни — усі ці ситуації «ховають» прямокутний трикутник.

Розгляньмо типові завдання, які зустрічаються на НМТ; вони охоплюють пряме застосування теореми, піфагорові трійки, діагональ, висоту, практичний контекст і обернену теорему.

Приклад 1. Гіпотенуза за двома катетами

Умова: Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

Розв'язання: За теоремою Піфагора $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}$. За таблицею квадратів: 41² = 1681. Отже, гіпотенуза дорівнює 41.

Відповідь: 41.

Чому інші варіанти неправильні: 49 — це проста сума катетів (9 + 40), але гіпотенуза не дорівнює сумі катетів; $\sqrt{1519}$ — помилково відняли квадрати (40² − 9² = 1519); 31 — випадкове число; 1681 — квадрат гіпотенузи, а не сама гіпотенуза (забули добути корінь).

Приклад 2. Діагональ і периметр прямокутника

Умова: Діагональ прямокутника дорівнює 25 см, а одна з його сторін — 7 см. Знайдіть периметр прямокутника.

Розв'язання: Діагональ — гіпотенуза прямокутного трикутника, одна сторона — катет. Друга сторона (катет): $b=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ см. Цю трійку 7–24–25 ми знаємо. Периметр: $P=2\cdot (7+24)=2\cdot 31=62$ см.

Відповідь: 62 см.

Чому інші варіанти неправильні: 32 см — 7 + 25 (додали сторону й діагональ); 31 см — це півпериметр (7 + 24), а не повний периметр; 64 см — 2 · (7 + 25) — використали діагональ замість другої сторони; 168 см — 7 · 24, площа, а не периметр.

Приклад 3. Драбина біля стіни

Умова: Драбину завдовжки 6,5 м приставили до вертикальної стіни так, що її нижній кінець знаходиться на відстані 2,5 м від стіни. На якій висоті (у метрах) знаходиться верхній кінець драбини?

Розв'язання: Драбина — гіпотенуза (6,5 м), відстань від стіни до нижнього кінця — один катет (2,5 м). Висота — другий катет: $h=\sqrt{6,5^2-2,5^2}=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}=6$ м.

Відповідь: 6.

Типові пастки: 4 (різниця довжин 6,5 − 2,5 = 4) — так не можна, потрібно застосовувати теорему Піфагора; $\sqrt{48,5}$ — додали квадрати замість віднімання (6,5² + 2,5² = 42,25 + 6,25 = 48,5), але драбина — гіпотенуза, тому треба віднімати.

Приклад 4. Висота рівнобедреного трикутника

Умова: Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17, а основа — 30. Знайдіть висоту, проведену до основи.

Розв'язання: Висота в рівнобедреному трикутнику ділить основу навпіл. Половина основи: 30 : 2 = 15. Маємо прямокутний трикутник з гіпотенузою 17 і катетом 15. Висота — другий катет: $h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$.

Відповідь: 8.

Поширена помилка: не поділити основу навпіл — тоді обчислюють $\sqrt{17^2-30^2}=\sqrt{289-900}$, а це від'ємне число під коренем, що неможливо.

Приклад 5. Обернена теорема — перевірка

Умова: Які з трикутників зі сторонами I) 6, 8, 10; II) 5, 6, $\sqrt{61}$; III) 4, 5, 6 є прямокутними?

Розв'язання: Перевіримо кожний за оберненою теоремою Піфагора. Найбільшу сторону беремо як потенційну гіпотенузу.

• I) 6, 8, 10: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$ — прямокутний.

• II) 5, 6, $\sqrt{61}$: $5^2+6^2=25+36=61=(\sqrt{61}{)}^2$ — прямокутний.

• III) 4, 5, 6: $4^2+5^2=16+25=41\ne 36=6^2$ — не прямокутний.

Відповідь: I і II.

Чому інші варіанти неправильні: «лише I» — не враховують, що II теж прямокутний; «лише II» — пропускають I; «I і III» — III не є прямокутним; «усі три» — III не задовольняє теорему.

• Додають квадрати гіпотенузи й катета, коли шукають катет. Правильно: катет $a=\sqrt{c^2-b^2}$ — квадрати віднімаємо, а не додаємо.

• Вважають гіпотенузою сторону, що не лежить проти прямого кута. Пам'ятай: гіпотенуза завжди навпроти прямого кута і є найбільшою стороною. Діагональ прямокутника — гіпотенуза, висота трикутника — катет.

• Забувають добути квадратний корінь і дають у відповіді $c^2$ замість $c$. Наприклад, знаходять $c^2=25$ і пишуть 25 замість 5.

• Вважають, що $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$. Це груба помилка: корінь із суми квадратів не дорівнює сумі чисел. $\sqrt{3^2+4^2}=5$, а $3+4=7$.

• У висоті рівнобедреного трикутника не ділять основу навпіл. Висота ділить основу на два рівні відрізки. Якщо цього не зробити, отримаєш від'ємне число під коренем.

• Застосовують теорему Піфагора до непрямокутного трикутника. Теорема працює тільки для прямокутних трикутників! Для інших трикутників використовують теорему косинусів.

Теорема Піфагора — це зміст теми 5.3 програми НМТ з математики рівня стандарту. Вона входить до обов'язкового мінімуму, який має знати кожен учасник тестування.

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, є формула теореми Піфагора для прямокутного трикутника, а також таблиця квадратів чисел від 10 до 49. Це допомагає швидко добувати корені, не виконуючи додаткових обчислень.

Приклади з демоваріанту НМТ-2026

Завдання 18 (відповідність «логічні пари», 1–3 → А–Д, до 3 балів) — у ньому розглядають прямокутну трапецію, й для знаходження відрізків (наприклад, бічної сторони або висоти) потрібно застосувати теорему Піфагора.

Завдання 21 (коротка відповідь, 2 бали) — об'єм прямої призми, в основі якої ромб, знаходять через діагональний переріз. Теорема Піфагора потрібна для обчислення діагоналі ромба за його стороною або для знаходження висоти призми.

Це показує, що теорема Піфагора «працює» не лише в планіметрії, а й у стереометрії — усередині просторових тіл (призма, піраміда) часто ховається прямокутний трикутник.

Формат відповіді

У завданнях 19–22 (коротка відповідь) результат записують лише числом — десятковим дробом. Наприклад: 6 або 4,8. Одиниці вимірювання не пишуть. Якщо відповідь — ціле число, записують його без коми. Якщо десятковий дріб — через кому.

Наприклад, для задачі з драбиною відповідь «6», для задачі зі сторонами 5 м і 1,4 м — «4,8».

• У прямокутному трикутнику гіпотенуза — сторона проти прямого кута, найбільша сторона; катети утворюють прямий кут.

• Теорема Піфагора: $c^2=a^2+b^2$, де c — гіпотенуза, a та b — катети.

• Катет: $a^2=c^2-b^2$.

• Обернена теорема: якщо $c^2=a^2+b^2$, то трикутник прямокутний, кут проти сторони c прямий.

• Завчай піфагорові трійки: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25. Кратні їм заощаджують час.

• Не плутай: $\sqrt{a^2+b^2}\ne a+b$; завжди добувай корінь.

• Шукай прямий кут у фігурі: діагональ, висота, драбина біля стіни, шлях по перпендикулярних вулицях утворюють прямокутний трикутник.

• У висоті рівнобедреного трикутника обов'язково діли основу навпіл.

• Теорему Піфагора застосовуй тільки до прямокутних трикутників!