Сума n перших членів геометричної прогресії

Нехай маємо геометричну прогресію з першим членом b₁ і знаменником q. Запишемо суму її перших n членів:

$$S_n=b_1+b_{1}q+b_1{q}^2+\cdots +b_1{q}^{n-1}$$

Помножимо обидві частини цієї рівності на q:

$$q{S}_n=b_{1}q+b_1{q}^2+b_1{q}^3+\cdots +b_1{q}^n$$

Тепер віднімемо від другої рівності першу. Майже всі доданки взаємно знищаться — залишаться лише b₁qⁿ від qSₙ і b₁ від Sₙ:

$$q{S}_n-S_n=b_1{q}^n-b_1$$$$S_n(q-1)=b_1(q^n-1)$$

Звідси за умови q ≠ 1 отримуємо основну формулу:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}(q\ne 1)$$

Цю саму формулу можна записати інакше, помінявши знаки в чисельнику й знаменнику:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1)$$

Обидва варіанти рівносильні — використовуй той, який зручніший. Якщо q > 1, перша форма дає додатні чисельник і знаменник; якщо 0 < q < 1, друга форма зручніша, бо уникає від'ємних чисел.

Окремий випадок: q = 1

Якщо знаменник дорівнює одиниці, то всі члени прогресії однакові: b₁ = b₂ = b₃ = … = bₙ. Тоді сума n перших членів — це просто n разів узятий перший член:

$$S_n=n\cdot b_1(q=1)$$

Загальна формула при q = 1 не працює — знаменник q − 1 перетворюється на нуль, а ділити на нуль не можна.

Формула через останній член

Іноді зручно виразити суму через останній член bₙ. Оскільки bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, то bₙ · q = b₁ · qⁿ. Підставимо це в основну формулу:

$$S_n=\frac{b_{n}q-b_1}{q-1}(q\ne 1)$$

Чому в показнику стоїть n, а не n − 1?

Це найчастіше запитання новачків. n-й член прогресії дорівнює b₁ · qⁿ⁻¹ — показник на одиницю менший, бо перший член не множиться на q. Але сума містить n доданків, і після множення на q та віднімання в чисельнику з'являється саме qⁿ. Перевір на простому прикладі: для прогресії 3, 6, 12, 24, 48, 96 (шість членів, b₁ = 3, q = 2) маємо:

$$S_6=\frac{3(2^6-1)}{2-1}=3\cdot 63=189$$

Пряме додавання підтверджує: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189. Зверни увагу: b₆ = 3 · 2⁵ = 96, а в формулі суми фігурує 2⁶, тобто n у показнику формули суми — це кількість доданків (вона ж номер останнього члена), тоді як в останньому члені bₙ = b₁qⁿ⁻¹ показник на одиницю менший.

Ще один приклад

Нехай b₁ = 5, q = 2, n = 6. Тоді:

$$S_6=\frac{5(2^6-1)}{2-1}=5\cdot 63=315$$

Це число зустрінеш далі в розділі «Розбираємо завдання».

Формула суми працює для будь-якого знаменника, крім q = 1. Розгляньмо випадки, які часто викликають труднощі.

Від'ємний знаменник

Коли q < 0, члени прогресії почергово змінюють знак. Формула суми працює без змін, але слід уважно обчислювати степінь від'ємного числа.

Приклад: b₁ = 1, q = −2, n = 5. Члени прогресії: 1, −2, 4, −8, 16. Обчислимо суму за формулою:

$$S_5=\frac{1\cdot ((-2{)}^5-1)}{-2-1}=\frac{-32-1}{-3}=\frac{-33}{-3}=11$$

Перевірка прямим додаванням: 1 − 2 + 4 − 8 + 16 = 11. Збігається. Зверни увагу: (−2)⁵ = −32, а не 32 — непарний степінь від'ємного числа дає від'ємний результат.

Дробовий знаменник

Якщо знаменник — правильний дріб (|q| < 1), зручніше користуватися формою Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), щоб уникнути від'ємних чисел.

Приклад: b₁ = 64, q = 1/2, n = 6. Члени: 64, 32, 16, 8, 4, 2. Сума:

$$S_6=\frac{64\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^6\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{64\left(1-\frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}}=\frac{64\cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}=\frac{63}{\frac{1}{2}}=126$$

Перевірка: 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126.

Приклад із від'ємним дробовим знаменником: b₁ = 48, q = −1/2, n = 5. Члени: 48, −24, 12, −6, 3. Сума:

$$S_5=\frac{48\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5\right)}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{48\left(1-\left(-\frac{1}{32}\right)\right)}{1+\frac{1}{2}}=\frac{48\left(1+\frac{1}{32}\right)}{\frac{3}{2}}=\frac{48\cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}=\frac{49,5}{1,5}=33$$

Пряме додавання: 48 − 24 + 12 − 6 + 3 = 33.

Пошук n за відомою сумою

Іноді відомі b₁, q і сума Sₙ, а треба знайти кількість членів n. Підставляємо дані в формулу й зводимо рівняння до вигляду qⁿ = c.

Приклад: для прогресії 3, 6, 12, … сума деякої кількості перших членів дорівнює 381. Скільки членів узято?

Маємо b₁ = 3, q = 2, Sₙ = 381. Підставляємо:

$$\frac{3(2^n-1)}{2-1}=381\Rightarrow 3(2^n-1)=381\Rightarrow 2^n-1=127\Rightarrow 2^n=128$$

Оскільки 128 = 2⁷, маємо n = 7. Перевірка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381.

Пошук b₁ за відомою сумою

Приклад: сума чотирьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 120, знаменник q = 3. Знайти b₁.

$$\frac{b_1(3^4-1)}{3-1}=120\Rightarrow \frac{b_1(81-1)}{2}=120\Rightarrow \frac{80b_1}{2}=120\Rightarrow 40b_1=120\Rightarrow b_1=3$$

Перевірка: 3 + 9 + 27 + 81 = 120.

Сума частини прогресії

Як знайти суму членів, починаючи не з першого, а, скажімо, з b₄ по b₆? Є два способи:

• Відняти від суми шести членів суму трьох: S₆ − S₃.

• Розглянути нову геометричну прогресію з першим членом b₄ і тим самим знаменником q, і взяти суму трьох її членів.

Обидва способи дають однаковий результат. Перший спосіб потребує лише формули суми.

Задачі на геометричну прогресію часто мають практичний зміст. Найважливіше — правильно визначити, що саме питають: член прогресії (скільки стало в певний момент) чи суму членів (скільки всього за кілька кроків).

Член чи сума — як розрізнити?

Ключове слово «всього», «сумарно», «за весь час» вказує на суму. «Стало», «буде», «саме п'ятого дня» — на член.

Поширення новини

Першого дня новину дізналися 4 людини. Щодня нових обізнаних стає втричі більше, ніж напередодні. Скільки людей дізналися новину за перші 5 днів?

Тут питають «скільки всього за 5 днів» — це сума. b₁ = 4, q = 3, n = 5:

$$S_5=\frac{4(3^5-1)}{3-1}=\frac{4(243-1)}{2}=\frac{4\cdot 242}{2}=4\cdot 121=484$$

Відповідь: 484. Зверни увагу: якби питали, скільки людей дізналися новину саме п'ятого дня, ми б шукали b₅ = 4 · 3⁴ = 324.

Щорічне зростання на відсоток

Якщо певна величина щороку зростає на p %, то знаменник прогресії дорівнює:

$$q=1+\frac{p}{100}$$

Наприклад, зростання на 10 % дає q = 1,1, а не 0,1. Зростання на 25 % — q = 1,25.

Приклад: першого року підприємство випустило 1000 одиниць продукції, а щороку збільшує випуск на 10 %. Скільки всього одиниць випущено за перші 3 роки?

Маємо b₁ = 1000, q = 1,1, n = 3. Шукаємо суму:

$$S_3=\frac{1000(1,1^3-1)}{1,1-1}=\frac{1000(1,331-1)}{0,1}=\frac{1000\cdot 0,331}{0,1}=3310$$

Відповідь: 3310. Перевірка: 1000 + 1100 + 1210 = 3310.

Розмноження бактерій

Колонія бактерій подвоюється щогодини. Якщо спочатку було 200 бактерій, то b₁ = 200, q = 2. Через 4 години кількість бактерій становитиме b₅ = 200 · 2⁴ = 3200 — це член. А нових бактерій за 4 години з'явилося 200 + 400 + 800 + 1600 = S₄ = 200(2⁴ − 1) = 3000; разом із початковими це 3200 = b₅.

Якщо колонія зростає втричі щогодини, то q = 3.

У завданнях 19–22 НМТ відповідь — лише число, без одиниць вимірювання. Якщо отримав 484 людини — уведи в поле відповіді 484.

Розв'яжемо п'ять типових задач на суму геометричної прогресії. Усі вони відповідають формату НМТ — коротка відповідь (число).

Приклад 1. Сума шести членів з b₁ = 5, q = 2

Завдання: знайти суму шести перших членів геометричної прогресії, у якої перший член дорівнює 5, а знаменник дорівнює 2.

Розв'язання. Маємо b₁ = 5, q = 2, n = 6. Підставляємо в формулу:

$$S_6=\frac{5(2^6-1)}{2-1}=5(64-1)=5\cdot 63=315$$

Відповідь: 315.

Чому інші відповіді неправильні? Якщо підставити в показник n − 1 = 5, отримаємо 5(2⁵ − 1) = 5 · 31 = 155 — це сума п'яти, а не шести членів. Якщо забути відняти одиницю: 5 · 2⁶ = 320 — це не сума, а b₁ · qⁿ без віднімання.

Приклад 2. Сума п'яти членів з b₁ = 48, q = −1/2

Завдання: знайти суму п'яти перших членів геометричної прогресії, у якої b₁ = 48, q = −1/2.

Розв'язання. Використаємо формулу Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), бо знаменник дробовий:

$$S_5=\frac{48\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5\right)}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{48\left(1-\left(-\frac{1}{32}\right)\right)}{1+\frac{1}{2}}=\frac{48\left(1+\frac{1}{32}\right)}{\frac{3}{2}}=\frac{48\cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}=\frac{49,5}{1,5}=33$$

Відповідь: 33.

Перевірка прямим додаванням: 48 − 24 + 12 − 6 + 3 = 33. Типова помилка — неправильно обчислити (−1/2)⁵: дехто вважає, що це −1/32 (правильно), а хтось — −1/10 або 1/32 (неправильно).

Приклад 3. Поширення новини

Завдання: першого дня новину дізналися 4 людини. Кожного наступного дня нових обізнаних утричі більше, ніж напередодні. Скільки людей дізналися новину за перші 5 днів?

Розв'язання. Ключове слово «за перші 5 днів» — це сума. b₁ = 4 (першого дня), q = 3 (утричі більше), n = 5:

$$S_5=\frac{4(3^5-1)}{3-1}=\frac{4(243-1)}{2}=\frac{4\cdot 242}{2}=4\cdot 121=484$$

Відповідь: 484.

Поширена помилка — шукати b₅ = 4 · 3⁴ = 324 (скільки дізналися саме п'ятого дня), а не суму. Уважно читай умову!

Приклад 4. Висаджування дерев

Завдання: першого року висадили 200 дерев. Щороку висаджують у 1,5 раза більше, ніж попереднього. Скільки дерев висадять за 4 роки?

Розв'язання. b₁ = 200, q = 1,5, n = 4. Сума:

$$S_4=\frac{200(1,5^4-1)}{1,5-1}=\frac{200(5,0625-1)}{0,5}=\frac{200\cdot 4,0625}{0,5}=\frac{812,5}{0,5}=1625$$

Відповідь: 1625.

Перевірка прямим додаванням: 200 + 300 + 450 + 675 = 1625. Зверни увагу: 1,5⁴ = (3/2)⁴ = 81/16 = 5,0625. Якщо округлити 1,5⁴ до 5, сума вийде 1600 — це неправильно.

Приклад 5. Пошук n за сумою

Завдання: скільки перших членів прогресії 3, 6, 12, … треба взяти, щоб їхня сума дорівнювала 381?

Розв'язання. b₁ = 3, q = 2, Sₙ = 381. Складаємо рівняння:

$$\frac{3(2^n-1)}{2-1}=381\Rightarrow 3(2^n-1)=381\Rightarrow 2^n-1=127\Rightarrow 2^n=128$$

Оскільки 128 = 2⁷, маємо n = 7.

Відповідь: 7.

Перевірка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381. Типова помилка — зупинитися на 2ⁿ = 128 і не звести до степеня, або помилково вважати, що n = 6, бо 2⁶ = 64, а не 128.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ під час обчислення суми геометричної прогресії.

• Підставляють у формулу n − 1 замість n. Пам'ятай: у формулі суми Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) показник степеня — це кількість доданків n (вона ж номер останнього члена), а не показник останнього члена n − 1. Для шести членів пишемо q⁶, хоча шостий член дорівнює b₁ · q⁵.

• Плутають член прогресії з її сумою. Якщо в задачі питають «скільки бактерій стане через 5 годин» — це член b₆. Якщо «скільки всього людей дізналися за 5 днів» — це сума S₅. Завжди визначай, чи йдеться про «стало в певний момент» (член) чи «всього за період» (сума).

• Помилка в знаку степеня від'ємного знаменника. Наприклад, (−2)⁵ = −32, а не 32. Непарний степінь від'ємного числа — від'ємний. Парний — додатний. Перевіряй себе: (−2)⁴ = 16, (−2)⁵ = −32.

• Зростання на p % записують як q = p/100. Правильно: q = 1 + p/100. Зростання на 10 % — це q = 1,1, а не 0,1. Якщо взяти q = 0,1, прогресія спадатиме, а не зростатиме.

• Змішують дві форми формули. Формула Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) і Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — це те саме. Але якщо взяти (qⁿ − 1) у чисельнику й (1 − q) у знаменнику, знак суми зміниться на протилежний. Завжди використовуй одну пару: або (qⁿ − 1) і (q − 1), або (1 − qⁿ) і (1 − q).

• Застосовують загальну формулу при q = 1. Якщо q = 1, знаменник q − 1 = 0, і ділити на нуль не можна. У цьому випадку всі члени однакові, і Sₙ = n · b₁.

Геометрична прогресія входить до теми «Числові послідовності» розділу «Функції» програми. У переліку вмінь зазначено: «розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії».

Формули обох прогресій — n-й член і сума n перших членів — наведено в довідкових матеріалах, доступних під час НМТ в електронній формі. Тобто заучувати їх напам'ять не обов'язково, але треба вміти швидко знайти потрібну формулу й правильно підставити числа.

Завдання на прогресії зазвичай трапляються серед номерів 19–22 — це завдання з короткою відповіддю. Вони оцінюються в 0 або 2 бали, без часткових балів. Відповідь — лише число (десятковий дріб, за потреби зі знаком «мінус» перед першою цифрою). Жодних одиниць вимірювання, пояснень чи проміжних обчислень у полі відповіді не пишуть.

Позиція 19 змінна. У тестах 2023–2024 років (поза офіційними файлами) на цьому місці нерідко була прогресія. У демонстраційному варіанті 2026 року на позиції 19 опинилася похідна. Тож готуйся до того, що прогресія може з'явитися в будь-якому з номерів 19–22.

Стратегія: якщо в задачі фігурує невелика кількість членів (2–5), обов'язково перевір суму прямим додаванням. Це займає 10–15 секунд, але рятує від втрати 2 балів через помилку в обчисленні степеня чи знака.

• Сума n перших членів геометричної прогресії при q ≠ 1: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

• Якщо q = 1, то Sₙ = n · b₁ (усі члени однакові).

• У показнику степеня завжди стоїть n — кількість доданків, а не n − 1.

• При від'ємному q уважно стеж за знаком: непарний степінь від'ємного числа — від'ємний.

• «Скільки стало» — член прогресії; «скільки всього» — сума членів.

• Зростання на p % дає знаменник q = 1 + p/100.

• Для невеликих n перевіряй суму прямим додаванням — це рятує від втрати 2 балів.