Сума n перших членів арифметичної прогресії

Щоб вивести формулу суми n перших членів арифметичної прогресії, згадаймо легенду про юного Карла Гаусса. Учитель дав учням завдання: додати всі натуральні числа від 1 до 100. Поки решта рахувала, Гаусс майже миттєво назвав відповідь 5050. У чому його хитрість?

Гаусс помітив, що числа можна згрупувати в пари: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, і так далі. Таких пар — 50 (половина від 100). Тому сума дорівнює 50 · 101 = 5050. Ця ідея — ключ до формули суми будь-якої арифметичної прогресії.

Члени, рівновіддалені від кінців

У будь-якій арифметичній прогресії сума першого й останнього членів дорівнює сумі другого й передостаннього, третього й передпередостаннього тощо. Тобто a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = … . Наприклад, у прогресії 3, 7, 11, 15, 19: 3 + 19 = 7 + 15 = 11 + 11 = 22.

Звідси випливає перша формула суми n перших членів арифметичної прогресії:

$$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$$

Цю формулу використовують, коли відомі перший член a₁ та останній член aₙ. Прочитай її так: додай перший і останній члени, помнож на кількість членів і поділи навпіл.

Друга форма — через різницю

Якщо останній член aₙ невідомий, але відома різниця d, то заміни aₙ на вираз a₁ + d(n − 1). Після підстановки отримаємо другу формулу:

$$S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))\cdot n}{2}$$

Вона дає змогу обчислити суму, знаючи лише перший член, різницю та кількість членів.

Покрокові приклади

Розгляньмо прогресію з a₁ = 3 і d = 4. Знайдемо S₂₀. Спочатку знайдемо a₂₀: a₂₀ = 3 + 4 · (20 − 1) = 3 + 76 = 79. Тепер за першою формулою: S₂₀ = (3 + 79) · 20 / 2 = 82 · 20 / 2 = 1640 / 2 = 820. Або одразу за другою: S₂₀ = (2 · 3 + 4 · 19) · 20 / 2 = (6 + 76) · 20 / 2 = 82 · 20 / 2 = 820.

Ще один приклад: a₁ = −6, d = 2. Знайдемо a₂₅ = −6 + 2 · 24 = 42. Тоді S₂₅ = (−6 + 42) · 25 / 2 = 36 · 25 / 2 = 900 / 2 = 450. Сума — 450.

Важливе застереження

Sₙ — це сума n перших членів, а не n-й член. Багато учнів плутають Sₙ і aₙ. Запам'ятай: aₙ — одне число (n-й член), а Sₙ — сума n чисел (n членів). Якщо ти знайшов / знайшла Sₙ, а в умові питали aₙ, або навпаки — це помилка.

Перевіряй себе на малих значеннях. Наприклад, для прогресії 3, 7, 11, 15, 19 сума S₃ має дорівнювати 3 + 7 + 11 = 21. За формулою: a₁ = 3, a₃ = 11, n = 3 → S₃ = (3 + 11) · 3 / 2 = 14 · 3 / 2 = 21. Усе збігається.

Обидві формули суми в одній таблиці:

Ти можеш обрати будь-яку з них — результат буде однаковий. Пам'ятай: у довідкових матеріалах НМТ є лише перша формула суми, Sₙ = (a₁ + aₙ) · n/2. Другу формулу треба пам'ятати або швидко виводити, підставивши aₙ = a₁ + d(n − 1) у першу.

Не завжди в задачі одразу дано n. Іноді його треба знайти, а іноді питають суму не з першого, а з k-го до m-го члена. Розгляньмо такі випадки.

Як знайти кількість членів

Якщо відомі перший член a₁, останній член aₙ і різниця d, кількість членів знаходять за формулою:

$$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$$

Чому саме так? Бо від a₁ до aₙ — це (n − 1) кроків завбільшки d. Якщо поділити різницю aₙ − a₁ на d, отримаємо кількість цих кроків, а членів на один більше.

Приклад: знайдемо суму всіх двоцифрових натуральних чисел, кратних 7. Випишемо їх: 14, 21, 28, …, 98. Це арифметична прогресія з a₁ = 14, d = 7, aₙ = 98.

n = (98 − 14) / 7 + 1 = 84 / 7 + 1 = 12 + 1 = 13. Отже, таких чисел 13. Сума: S = (14 + 98) · 13 / 2 = 112 · 13 / 2 = 1456 / 2 = 728.

Сума частини прогресії (від aₖ до aₘ)

Іноді питають суму не перших n членів, а, наприклад, з шостого по п'ятнадцятий. Є два способи.

Спосіб 1: через різницю суми

Сума членів від aₖ до aₘ дорівнює Sₘ − Sₖ₋₁. Тобто знайди суму перших m членів, відніми суму перших (k − 1) членів — і маєш потрібний відрізок.

Для суми з a₆ до a₁₅: S₁₅ − S₅.

Спосіб 2: новий відлік

Розглянь ці члени як окрему арифметичну прогресію з першим членом aₖ, різницею d і кількістю членів m − k + 1. Тоді застосуй звичайну формулу суми.

Увага: від a₆ до a₁₅ включно — це 10 членів, а не 9! Перевір: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 — рівно 10 чисел. Формула: 15 − 6 + 1 = 10.

Знаходження n за відомою сумою

Іноді дано суму Sₙ, a₁ та d, а n — невідоме. Тоді підставляємо відомі величини в другу формулу суми й розв'язуємо квадратне рівняння.

Приклад: a₁ = 2, d = 0,5, Sₙ = 30. Знайти n.

Підставляємо: 30 = (2 · 2 + 0,5 · (n − 1)) · n / 2. Множимо обидві частини на 2: 60 = (4 + 0,5n − 0,5) · n = (3,5 + 0,5n) · n = 0,5n² + 3,5n.

Множимо на 2, щоб позбутися дробів: n² + 7n − 120 = 0. Дискримінант D = 49 + 480 = 529, √529 = 23. Корені: n = (−7 + 23) / 2 = 8, n = (−7 − 23) / 2 = −15.

n — це натуральне число (кількість членів), тому n = −15 не підходить. Лишається n = 8. Завжди відкидай від'ємні, дробові або нульові корені, коли шукаєш n.

Член через суми

Якщо відома формула Sₙ (залежність суми від n), то окремий член можна знайти як різницю сусідніх сум: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.

Приклад: Sₙ = 2n² − n. Знайти a₁₀.

S₁₀ = 2 · 100 − 10 = 200 − 10 = 190. S₉ = 2 · 81 − 9 = 162 − 9 = 153. Тоді a₁₀ = 190 − 153 = 37.

Цей спосіб варто запам'ятати.

Найцікавіше — застосувати формули до реальних ситуацій. У текстових задачах арифметична прогресія часто ховається в описах: кількість місць у рядах, щоденне тренування, штабелі колод або цеглин. Головне — правильно визначити a₁, d і n.

Ряди місць в амфітеатрі

У першому ряду амфітеатру 20 місць, у кожному наступному — на 2 місця більше. Скільки всього місць у 15 рядах?

Виписуємо параметри: a₁ = 20 (перший ряд), d = 2 (щоразу на 2 більше), n = 15 (рядів). Знаходимо a₁₅: a₁₅ = 20 + 2 · 14 = 48. Сума: S = (20 + 48) · 15 / 2 = 68 · 15 / 2 = 1020 / 2 = 510. Відповідь: 510 місць.

Щоденне тренування

Спортсмен першого дня пробіг 3 км, а кожного наступного — на 0,5 км більше. Скільки кілометрів він пробіг за 14 днів?

Тут a₁ = 3 (перший день), d = 0,5 (щоденне збільшення), n = 14 (днів). Використаємо другу формулу: S = (2 · 3 + 0,5 · 13) · 14 / 2 = (6 + 6,5) · 14 / 2 = 12,5 · 14 / 2 = 175 / 2 = 87,5 км.

Не плутай n і кількість збільшень. За 14 днів збільшень було 13 (з 1-го на 2-й день, з 2-го на 3-й, …, з 13-го на 14-й). Кількість днів — це n. У формулі d(n − 1) множник (n − 1) — це саме кількість збільшень, а n залишається кількістю днів.

Штабель колод

Колоди складено в штабель: у верхньому шарі 4 колоди, у кожному наступному нижньому шарі — на 1 колоду більше. У нижньому шарі 12 колод. Скільки всього колод?

Визначаємо: a₁ = 4 (верхній шар), d = 1 (на одну більше), aₙ = 12 (нижній шар). n — кількість шарів — знаходимо за формулою: n = (12 − 4) / 1 + 1 = 8 + 1 = 9 шарів. Сума: S = (4 + 12) · 9 / 2 = 16 · 9 / 2 = 144 / 2 = 72 колоди.

Як не заплутатися: алгоритм розпізнавання

Виписуй перші три члени прогресії в таблицю: 1-й ряд (день, шар), 2-й ряд, 3-й ряд. Це допоможе побачити закономірність.

Зверни увагу: «на … більше» вказує на арифметичну прогресію (додавання). Якби сказали «у … разів більше», це була б уже геометрична прогресія (множення). Не сплутай ці два типи.

Розв'яжемо п'ять завдань формату НМТ — усі з короткою відповіддю (тип завдань 19–22).

Приклад 1. Сума за a₁ та d

Знайдіть суму 25 перших членів арифметичної прогресії, якщо a₁ = −6, d = 2.

Розв'язання. Спочатку знайдемо 25-й член: a₂₅ = a₁ + d(n − 1) = −6 + 2 · 24 = −6 + 48 = 42. Далі за формулою Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2: S₂₅ = (−6 + 42) · 25 / 2 = 36 · 25 / 2 = 900 / 2 = 450. Можна було відразу за другою формулою: S₂₅ = (2 · (−6) + 2 · 24) · 25 / 2 = (−12 + 48) · 25 / 2 = 36 · 25 / 2 = 450.

Відповідь: 450.

Типові помилки: обчислити S₂₅ як a₂₅ = 42 (це 25-й член, а не сума) або забути поділити на 2.

Приклад 2. Задача про ряди в амфітеатрі

У першому ряду амфітеатру 18 місць, у кожному наступному ряду — на 3 місця більше. Скільки всього місць у 12 рядах?

Розв'язання. a₁ = 18, d = 3, n = 12. Знайдемо a₁₂: a₁₂ = 18 + 3 · 11 = 18 + 33 = 51. Тоді S₁₂ = (18 + 51) · 12 / 2 = 69 · 12 / 2 = 828 / 2 = 414. Отже, в амфітеатрі 414 місць.

Відповідь: 414.

Типова помилка: знайти a₁₂ = 18 + 3 · 12 = 54 (на додатковий крок більше, ніж треба). Пам'ятай: aₙ = a₁ + d(n − 1).

Приклад 3. Сума чисел, кратних 6

Знайдіть суму всіх натуральних чисел, кратних 6, які менші від 100.

Розв'язання. Натуральні числа, кратні 6: 6, 12, 18, …, 96. Це арифметична прогресія з a₁ = 6, d = 6. Знайдемо кількість членів: n = (96 − 6) / 6 + 1 = 90 / 6 + 1 = 15 + 1 = 16. Сума: S₁₆ = (6 + 96) · 16 / 2 = 102 · 16 / 2 = 1632 / 2 = 816.

Відповідь: 816.

Типова помилка: взяти 99 за останній член (99 не кратне 6) або порахувати n = 15 (забути додати 1).

Приклад 4. Знаходження n за сумою

Першого дня спортсменка пробігла 2 км, а кожного наступного — на 0,5 км більше. За скільки днів вона загалом пробіжить 30 км?

Розв'язання. a₁ = 2, d = 0,5, Sₙ = 30. Треба знайти n. Підставляємо в другу формулу: 30 = (2 · 2 + 0,5(n − 1)) · n / 2. Множимо на 2: 60 = (4 + 0,5n − 0,5) · n = (3,5 + 0,5n) · n = 0,5n² + 3,5n. Множимо на 2: n² + 7n − 120 = 0. D = 49 + 480 = 529, √D = 23. n₁ = (−7 + 23) / 2 = 8, n₂ = (−7 − 23) / 2 = −15. Від'ємний корінь відкидаємо. Отже, n = 8 днів.

Відповідь: 8.

Типова помилка: записати у відповідь −15 або залишити обидва корені. Пам'ятай: n — натуральне число (кількість днів).

Приклад 5. Член через суми

Сума n перших членів арифметичної прогресії задана формулою Sₙ = 2n² − n. Знайдіть a₁₀.

Розв'язання. Використаємо співвідношення aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. Знайдемо S₁₀ = 2 · 100 − 10 = 200 − 10 = 190. Знайдемо S₉ = 2 · 81 − 9 = 162 − 9 = 153. Тоді a₁₀ = 190 − 153 = 37.

Відповідь: 37.

Типова помилка: сплутати a₁₀ і S₁₀ та записати 190. a₁₀ — це десятий член, а S₁₀ — сума десяти членів.

Зібрали для тебе найпоширеніші помилки, яких припускаються випускники на НМТ із суми арифметичної прогресії. Вивчи їх, щоб не втратити бали.

• Неправильне n у сюжетній задачі: замість кількості рядів, днів або шарів беруть кількість збільшень (n − 1). Наприклад, у задачі про 14 днів тренування дехто підставляє n = 13. Запам'ятай: n — це кількість рядів/днів/шарів, а кількість збільшень — (n − 1).

• Останній член знайдено як a₁ + dn замість a₁ + d(n − 1). Двадцятий член — це a₁ + 19d, а не a₁ + 20d. Помилка виникає, коли вважають, що для 20-го члена треба додати d 20 разів. Насправді до першого члена d не додають жодного разу (a₁ = a₁ + 0 · d), тож до 20-го — 19 разів.

• Забуто поділити на 2. Формула Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 — у ній обов'язкове ділення на 2. Якщо його пропустити, сума буде вдвічі більшою.

• У сумі від a₆ до a₁₅ нараховано 9 членів замість 10. Запам'ятай: кількість членів від k до m дорівнює m − k + 1. Для 6–15 це 15 − 6 + 1 = 10.

• У відповідь записано aₙ, хоча питали Sₙ. Уважно читай умову: «суму перших 25 членів» — це S₂₅, а «25-й член» — це a₂₅. Не сплутай ці величини.

• Не відкинуто від'ємний або дробовий корінь, коли шукали n через квадратне рівняння. n — це натуральне число (1, 2, 3, …). Від'ємні й дробові корені не можуть бути кількістю членів.

Відповідно до чинної програми ЗНО з математики, за якою укладають НМТ, арифметична прогресія належить до теми «Числові послідовності» розділу «Функції». Від тебе вимагають уміння «розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії», зокрема застосовувати формулу суми n перших членів.

На НМТ завдання на прогресію найчастіше трапляються в блоці короткої відповіді — номери 19–22. Кожне таке завдання оцінюють у 0 або 2 бали без часткових балів. Або відповідь правильна, або ні.

Відповідь у завданнях 19–22 потрібно записувати лише десятковим дробом. Наприклад, 87,5 (а не 87.5, не 87½, не «87,5 км»). Якщо відповідь — ціле число, теж записуй цифрами, без одиниць вимірювання. Дроби пиши через кому, а не через крапку.

На основі аналізу вибірки тестів 2023–2024 років (неофіційні дані), прогресія з'являлася в позиції № 19 у трьох із чотирьох варіантів. У демонстраційному варіанті 2026 року на № 19 стояла похідна кусково заданої функції, тобто позиція прогресії може змінюватися. Тому важливо вміти розв'язати задачу з прогресії в будь-якому форматі.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, доступних під час НМТ, є формули aₙ = a₁ + d(n − 1) і Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Другої формули суми, Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))/2 · n, там немає: її треба пам'ятати або швидко виводити, підставивши aₙ = a₁ + d(n − 1) у першу.

Стратегія виконання

• Випиши в чернетку: a₁, d, n (або aₙ). У сюжетних задачах — окремо визнач, що є чим.

• Обери формулу суми: якщо відомий останній член — першу; якщо тільки a₁ та d — другу.

• Перевір суму додаванням перших 3–4 членів, якщо n невелике. Це допоможе виявити грубу помилку.

• Переконайся, що записав / записала десятковий дріб (не звичайний) і без одиниць вимірювання.

• Формула суми n перших членів (обидві форми рівносильні): Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 = (2a₁ + d(n − 1)) · n / 2.

• Кількість членів, якщо відомі перший, останній і різниця: n = (aₙ − a₁) / d + 1.

• У сюжетній задачі n — це кількість рядів, днів або шарів. Не плутай із кількістю збільшень (n − 1).

• Коли шукаєш n через квадратне рівняння, n — натуральне число, тому всі інші корені (від'ємні, дробові, нуль) відкидай.

• Відповідь у завданнях 19–22 — десятковий дріб (через кому) без одиниць вимірювання.

• Сума частини прогресії від aₖ до aₘ: Sₘ − Sₖ₋₁ або як сума (m − k + 1) членів із першим членом aₖ.

• Окремий член можна знайти через суми: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.