Розгортки призми й піраміди

Почнемо з головних будівельних блоків будь-якого многогранника. Многогранник — це геометричне тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості многокутників. Кожен такий многокутник називають гранню. Сторони граней — це ребра многогранника, а кінці ребер — його вершини. Інакше кажучи, ребро — спільна сторона двох граней, а вершина — спільна точка кількох ребер.

Кількісні формули для призми й піраміди

Для n-кутної призми (основа — n-кутник): граней n + 2, ребер 3n, вершин 2n. Чому так? Дві основи (n-кутники) дають 2n вершин, кожна вершина основи сполучена бічним ребром — це ще n ребер, а кожна основа має n ребер — разом 3n. Для n-кутної піраміди: граней n + 1, ребер 2n, вершин n + 1. Одна основа (n-кутник) і n бічних граней, n ребер в основі + n бічних ребер = 2n, вершин: n в основі + 1 верхівка.

Формула Ейлера для опуклих многогранників

Для будь-якого опуклого многогранника справджується формула Ейлера: В − Р + Г = 2, де В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней. Перевірмо: куб (8 − 12 + 6 = 2); чотирикутна піраміда (5 − 8 + 5 = 2). Це чудовий інструмент для самоперевірки.

Обернені задачі

Іноді в задачі дають кількість ребер або вершин, а треба визначити, який це многогранник. Наприклад: призма має 24 ребра. Оскільки ребер у призми 3n, маємо 3n = 24, звідки n = 8. Це восьмикутна призма — у неї 8 + 2 = 10 граней і 2 · 8 = 16 вершин. Інший приклад: піраміда має 10 вершин. Вершин у піраміди n + 1, тому n + 1 = 10, n = 9. Ребер: 2n = 2 · 9 = 18.

Розгортка многогранника — це плоска фігура, яку отримують, розрізавши поверхню многогранника вздовж кількох ребер і розклавши всі грані на одній площині без накладань. По суті, це «викрійка» для склеювання об'ємної фігури.

Розгортка прямої n-кутної призми

Уявімо пряму призму, у якої бічні ребра перпендикулярні до основи. Розріжемо її вздовж одного бічного ребра й розгорнемо бічну поверхню. Вона перетвориться на смугу з n прямокутників — бічних граней. Довжина цієї смуги дорівнює периметру основи Pосн, а ширина — висоті призми h. Два однакові n-кутники-основи прикладаються до протилежних боків цієї смуги. Така будова дає змогу легко обчислювати площу повної поверхні.

Розгортка піраміди

Розгортка піраміди складається з основи (многокутника) і n трикутників, прикладених до кожної сторони основи. Після згортання всі вершини трикутників, протилежні основі, збігаються в одній точці — вершині S піраміди. У правильної піраміди всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники, тому на розгортці вони однакові.

Наприклад, правильний тетраедр (чотиригранник, усі грані — рівносторонні трикутники) має дві типові розгортки: великий рівносторонній трикутник, поділений середніми лініями на чотири рівні трикутники, або смуга з чотирьох рівносторонніх трикутників.

Куб має 11 різних розгорток — усі вони складаються з шести однакових квадратів, але по-різному з'єднаних між собою. На НМТ важливо вміти відрізняти справжню розгортку від хибної.

Як розпізнати несправжню розгортку куба?

Ось три ознаки фігури, яка не є розгорткою куба:

• Блок 2 × 2 квадрати — чотири квадрати, що утворюють прямокутник 2 × 2. Така група при згортанні дає накладання граней.

• Ряд із п'яти квадратів в одну лінію — п'ятий квадрат не має пари, і дві грані накладуться.

• Дві грані, що після згортання лягають на одне й те саме місце (накладаються). Це трапляється, коли квадрати з'єднані так, що неможливо підняти всі шість без перекриття.

Протилежні грані на розгортці

У розгортці куба (прямокутного паралелепіпеда взагалі) протилежні грані ніколи не мають спільної сторони. У ряді з трьох квадратів перший і третій — протилежні. Це правило дуже зручне: якщо на розгортці бачиш три квадрати в ряд, крайні з них стануть протилежними гранями куба. Приклад із гральною кісткою: сума очок на протилежних гранях завжди дорівнює 7 (1 навпроти 6, 2 навпроти 5, 3 навпроти 4).

Які вершини збігаються після згортання?

Під час уявного згортання розгортки зверни увагу: дві вільні сторони, що виходять з однієї вершини під кутом 90°, склеюються, і їхні кінці збігаються. Щоб не заплутатись, позначай однаковими буквами пари сторін, які мають склеїтися. Це допомагає визначити, які вершини опиняться в одній точці.

Розгортка прямокутного паралелепіпеда

Прямокутний паралелепіпед із вимірами a, b, c має три пари рівних прямокутних граней: a × b, b × c та a × c. Його розгортка нагадує розгортку куба, але квадрати замінено прямокутниками відповідних розмірів. У розгортці обов'язково є три пари прямокутників різних розмірів (якщо всі виміри різні).

Площа повної поверхні многогранника дорівнює площі його розгортки. Це логічно: розгортка — це ті самі грані, лише розкладені на площині. Тому, щоб знайти площу поверхні, досить скласти площі всіх многокутників, із яких складається розгортка.

Площа поверхні призми за розгорткою

Повна поверхня прямої призми: Sповна = Pосн · h + 2Sосн. Перший доданок — площа бічної поверхні (смуга прямокутників), другий — дві основи. Наприклад, розгортка правильної трикутної призми зі стороною основи 4 і висотою 10: смуга має розміри 12 × 10 (периметр основи 3 · 4 = 12), її площа 120; площа одного рівностороннього трикутника зі стороною 4 дорівнює 4√3 (формула S = a²√3 / 4); дві основи — 8√3. Разом: S = 120 + 8√3.

Площа поверхні піраміди за розгорткою

У розгортці правильної піраміди є основа (многокутник) і n трикутників. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда зі стороною основи 6 і апофемою 5: основа — квадрат площею 36; чотири бічні грані — рівнобедрені трикутники з основою 6 і висотою 5, площа кожного ½ · 6 · 5 = 15; усіх чотирьох — 60. Повна поверхня: S = 36 + 60 = 96.

Розміри многогранника за розгорткою

Іноді треба йти від зворотного: за виглядом розгортки визначити розміри многогранника. Наприклад, розгортка-хрест із шести однакових квадратів 3 × 3 — це куб із ребром 3. Його повна поверхня S = 6 · 3² = 54, об'єм V = 3³ = 27.

Розв'яжемо п'ять типових задач на тему розгорток — саме такі можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Скільки ребер має шестикутна призма?

Завдання: вибери правильну відповідь.

Розв'язання: шестикутна призма має n = 6. Формула кількості ребер: 3n = 3 · 6 = 18.

Відповідь: 18.

Чому інші варіанти неправильні: 12 — це кількість вершин (2n), 8 — кількість граней (n + 2), 6 — кількість сторін основи, 24 — помилка (іноді думають 4n).

Приклад 2. Яка з фігур із шести квадратів є розгорткою куба?

Завдання: серед п'яти фігур обери ту, що можна згорнути в куб.

Розв'язання: справжня розгортка — ряд із чотирьох квадратів, і по одному квадрату над і під другим квадратом ряду (це одна з 11 розгорток куба). Інші варіанти: ряд із п'яти квадратів з одним збоку — п'ять у ряд неприпустимо; прямокутник 3 × 2 — це блок 2 × 2, накладання; ряд із чотирьох з двома квадратами над першим і другим — блок 2 × 2; ряд із чотирьох з двома квадратами над першим і третім — грані накладаються.

Приклад 3. Яка грань протилежна грані 1?

Завдання: на розгортці куба квадрати 1, 2, 3, 4 стоять у ряд, квадрат 5 — над квадратом 2, квадрат 6 — під квадратом 2. Яка грань протилежна грані 1?

Розв'язання: у ряду 1, 2, 3, 4 грані 1 і 3 — через одну, отже, вони протилежні. Грані 2, 4, 5, 6 — сусідні з 1, тому не можуть бути протилежними.

Відповідь: 3.

Приклад 4. Площа поверхні многогранника за розгорткою

Завдання: розгортка складається з квадрата зі стороною 8 і чотирьох рівних рівнобедрених трикутників з основою 8 і висотою 5, прикладених до сторін квадрата. Знайди площу поверхні многогранника.

Розв'язання: основа (квадрат) — S = 8² = 64. Чотири трикутники: площа одного ½ · 8 · 5 = 20, усіх 4 · 20 = 80. Повна поверхня: 64 + 80 = 144.

Відповідь: 144.

Поширені помилки: 80 — це лише бічна поверхня (забули додати основу); 224 — обчислення без множника ½ (8 · 5 = 40, 4 · 40 = 160, 160 + 64 = 224); 208 — дві основи замість однієї; 104 — довільна комбінація.

Приклад 5. Розпізнавання многогранника за розгорткою

Завдання: розгортка складається з двох рівних п'ятикутників і п'яти прямокутників. Який це многогранник?

Розв'язання: дві основи — п'ятикутники, бічні грані — п'ять прямокутників. Це п'ятикутна призма.

Чому не інші варіанти: п'ятикутна піраміда мала б одну основу й трикутники (не прямокутники); шестикутна піраміда — одну шестикутну основу й шість трикутників; семикутна призма мала б сім прямокутників, а не п'ять; прямокутний паралелепіпед має шість прямокутників (або квадратів) — трьох різних пар.

• Приймають за розгортку куба фігуру з блоком 2 × 2 квадрати або з двома гранями, що накладаються. Насправді блок 2 × 2 дає накладання граней при згортанні — така фігура не є розгорткою. Запам'ятай: у справжній розгортці куба ніколи не буде чотирьох квадратів, що утворюють прямокутник 2 × 2.

• Вважають сусідніми грані, які в ряду розгортки стоять через одну, хоча вони насправді протилежні. Якщо три квадрати в ряд — перший і третій після згортання стають протилежними гранями, а не сусідніми.

• Плутають формули для призми й піраміди: у n-кутної призми 3n ребер, а не 2n. Типова помилка — застосувати до призми формулу піраміди (2n) або навпаки.

• Рахують площу поверхні без однієї з основ (лише бічну поверхню) або забувають множник ½ у площі трикутних граней піраміди. Площа трикутника — це половина добутку основи на висоту, не цілий добуток.

• Не помічають, що обидві основи призми на розгортці мають бути з протилежних боків смуги бічних граней. Якщо обидві основи приєднані з одного боку смуги — це не розгортка призми.

Тема 6.2 програми НМТ вимагає «розрізняти розгортки основних видів многогранників (призм, пірамід) і елементи многогранників на розгортках» — це рівень стандарту, тому завдання не мають громіздких обчислень.

У тестах 2023–2024 років найпростіші факти геометрії (зокрема кількість граней призми) траплялися на позиціях 1–3. Це формат вибору однієї відповіді з п'яти (А–Д), який оцінюється в 0 або 1 бал.

Зверни увагу: у довідкових матеріалах НМТ є формули лише для бічної поверхні прямої призми (Sбіч = Pосн · h) і правильної піраміди (Sбіч = ½ · Pосн · l, де l — апофема). Тому площу основ до повної поверхні доведеться додавати самостійно — окремої формули повної поверхні там немає, але формули площ трикутника, прямокутника, паралелограма, ромба й трапеції є в розділі довідки з планіметрії.

Стратегія розв'язування задач із розгортками

Закріпи одну грань розгортки як «дно» куба чи призми й подумки піднімай сусідні грані. Пари сторін, що мають склеїтися, позначай однаковими буквами — це допомагає не заплутатися, які вершини збігаються. Для піраміди уяви, що трикутні грані піднімаються й зустрічаються в одній вершині над основою.

• n-кутна призма: n + 2 граней, 3n ребер, 2n вершин.

• n-кутна піраміда: n + 1 граней, 2n ребер, n + 1 вершин.

• Розгортка прямої призми — смуга з n прямокутників (бічна поверхня) і дві основи з протилежних боків смуги.

• Розгортка піраміди — основа й n трикутників, вершини яких після згортання збігаються в точці S.

• У розгортці куба немає блоку 2 × 2 квадрати та ряду з п'яти квадратів.

• У ряду з трьох квадратів на розгортці куба крайні — протилежні грані.

• Площа розгортки дорівнює площі повної поверхні многогранника.