Рівнобедрений трикутник та його властивості

Трикутники класифікують за сторонами на три види. Якщо всі три сторони різні — трикутник різносторонній. Якщо дві сторони рівні — трикутник рівнобедрений. Якщо всі три сторони рівні — трикутник рівносторонній (окремий випадок рівнобедреного). У рівнобедреному трикутнику дві рівні сторони називають бічними, а третю сторону — основою. Вершина — це спільний кінець бічних сторін, вона лежить навпроти основи.

Найважливіша властивість рівнобедреного трикутника: кути при основі рівні. Позначмо кут при основі як α, а кут при вершині як β. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°, маємо:

$$\alpha +\alpha +\beta =180^{\circ }\Rightarrow 2\alpha +\beta =180^{\circ }$$

Звідси:

• кут при вершині: $\beta =180^{\circ }-2\alpha$

• кут при основі: $\alpha =\frac{180^{\circ }-\beta }{2}$

Ще один важливий висновок: кут при основі рівнобедреного трикутника завжди гострий. Чому? Якщо б кут при основі був тупим (понад 90°) або прямим (90°), то два таких кути в сумі давали б уже 180° або більше, і на третій кут не залишилося б місця. Тому кут при основі завжди менший за 90°.

Ознака рівнобедреного трикутника

Справедлива й обернена властивість: якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений, і рівні сторони лежать навпроти рівних кутів. Наприклад, трикутник із кутами 50°, 80°, 50° — рівнобедрений, причому основою є сторона, що лежить навпроти кута 80°, а бічні сторони — навпроти кутів по 50°.

Два випадки: один невідомий кут

Найпоширеніша пастка задач НМТ: в умові сказано «один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює X°», але не вказано, при вершині він чи при основі. Тоді треба розглянути обидва можливі випадки.

Ключове правило: якщо даний кут — тупий (понад 90°), він може бути тільки кутом при вершині, бо кут при основі завжди гострий.

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, одночасно є бісектрисою кута при вершині й висотою. Це одна з найкорисніших властивостей, яку варто запам'ятати. Доведення просте: якщо в рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC провести медіану BD до основи, то трикутники ABD і CBD рівні за трьома сторонами (AB = BC як бічні, AD = DC за означенням медіани, BD — спільна). З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів: ∠ABD = ∠CBD (отже, BD — бісектриса) і ∠BDA = ∠BDC = 90° (отже, BD — висота).

Це означає, що висота, проведена до основи:

• ділить основу навпіл (як медіана);

• ділить кут при вершині навпіл (як бісектриса);

• утворює прямий кут із основою (як висота);

• розбиває трикутник на два рівні прямокутні трикутники.

Висота до основи: обчислення

Оскільки висота ділить основу навпіл, у кожному з утворених прямокутних трикутників:

$$h^2=b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

де b — бічна сторона, a — основа, h — висота до основи. Це звичайна теорема Піфагора для прямокутного трикутника з гіпотенузою b і катетами a/2 та h.

Приклади обчислення

1. Бічна сторона 10, основа 12. Тоді половина основи — 6. За теоремою Піфагора: $h^2=10^2-6^2=100-36=64$, отже $h=8$.

1. Бічна сторона 13, висота 12. Знаходимо половину основи: $x^2=13^2-12^2=169-144=25$, $x=5$. Отже, основа $a=2\cdot 5=10$.

Ознака рівнобедреного трикутника (через медіану/висоту)

Якщо в трикутнику медіана збігається з висотою або бісектриса збігається з висотою, то цей трикутник — рівнобедрений. Це дає змогу доводити, що трикутник рівнобедрений, навіть коли про сторони нічого не сказано, але відомо, що, наприклад, висота є й медіаною.

Увага: ця властивість (медіана = бісектриса = висота) справедлива ТІЛЬКИ для медіани, проведеної до основи. Медіана, проведена до бічної сторони, такої властивості не має.

Рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі три сторони рівні. Його часто розглядають як окремий випадок рівнобедреного трикутника, у якого основа дорівнює бічним сторонам.

Властивості рівностороннього трикутника

• Усі сторони рівні: $AB=BC=CA=a$.

• Усі кути рівні й дорівнюють 60°. Це випливає з суми кутів трикутника: $3\cdot 60^{\circ }=180^{\circ }$.

• Кожна медіана є одночасно бісектрисою й висотою. На відміну від рівнобедреного, де це стосується лише медіани до основи, у рівносторонньому трикутнику всі три медіани мають цю властивість.

• Периметр: $P=3a$.

Висота рівностороннього трикутника

Висоту рівностороннього трикутника можна знайти за теоремою Піфагора. Проведімо висоту до будь-якої сторони. Вона ділить сторону навпіл, утворюючи прямокутний трикутник з гіпотенузою a і катетами a/2 та h:

$$h^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$$

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Це одна з найважливіших формул планіметрії, яку варто запам'ятати, адже в довідкових матеріалах НМТ її немає.

Приклади

Ознаки рівностороннього трикутника

Трикутник є рівностороннім, якщо:

• два його кути дорівнюють 60° (тоді й третій дорівнює 60°);

• рівнобедрений трикутник має кут 60° (якщо кут при вершині 60°, то кути при основі — по (180°−60°)/2 = 60°; якщо кут при основі 60°, то другий кут при основі теж 60°, а кут при вершині — 180°−2·60° = 60°).

Периметр рівнобедреного трикутника обчислюють за формулою:

$$P=2b+a$$

де b — бічна сторона, a — основа. Якщо відомо периметр та одну зі сторін, другу можна знайти з цього рівняння.

Пряме застосування формули

Приклад: периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 30, основа — 8. Тоді $2b+8=30$, $2b=22$, $b=11$. Отже, бічні сторони по 11.

Задача з рівнянням

Якщо бічна сторона на 3 см більша за основу, а периметр становить 36 см, то нехай основа дорівнює x см. Тоді бічна сторона — x + 3 см. Складаємо рівняння:

$$2(x+3)+x=36\Rightarrow 2x+6+x=36\Rightarrow 3x=30\Rightarrow x=10$$

Основа — 10 см, бічні сторони — по 13 см.

Пастка з нерівністю трикутника

Найнебезпечніша задача цієї теми: дано дві сторони рівнобедреного трикутника — 4 і 9. Як визначити, яка з них основа, а яка — бічна сторона? Треба перевірити обидва варіанти за нерівністю трикутника (кожна сторона менша за суму двох інших).

Отже, існує лише один трикутник: бічні сторони по 9, основа 4. Його периметр: $P=2\cdot 9+4=22$.

Приклад 1. Один кут — 70°

Завдання: «Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. Яким може бути кут при вершині?»

Розв'язання. Оскільки не сказано, при основі цей кут чи при вершині, розглядаємо два випадки.

• Випадок 1: кут 70° — при основі. Тоді другий кут при основі теж 70°, а кут при вершині: $180^{\circ }-2\cdot 70^{\circ }=40^{\circ }$.

• Випадок 2: кут 70° — при вершині. Тоді кути при основі: $(180^{\circ }-70^{\circ })/2=55^{\circ }$.

Відповідь: кут при вершині може бути 40° або 70°. Чому не 55°? Бо 55° — це кут при основі в другому випадку, а питають саме кут при вершині.

Розбір дистракторів: «лише 40°» — ігнорує другий випадок; «лише 70°» — ігнорує перший; «55° або 70°» — плутає кут при основі з кутом при вершині; «40° або 55°» — бере кути при основі, а не при вершині.

Приклад 2. Висота за основою й бічною стороною

Завдання: «Основа рівнобедреного трикутника 16, бічна сторона 10. Знайдіть висоту, проведену до основи.»

Розв'язання. Висота ділить основу навпіл: половина основи — 8. За теоремою Піфагора:

$h^2=10^2-8^2=100-64=36$, отже $h=6$.

Відповідь: 6.

Чому не 8? 8 — це половина основи, а не висота. Чому не $2\sqrt{41}$? Так вийшло б, якби додали квадрати замість віднімання: $\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$. Чому не 12 і не 4? Ці числа не виходять із правильних кроків: висоту знаходять лише за теоремою Піфагора, $h^2=10^2-8^2=36$, тож $h=6$.

Приклад 3. Відповідність кутів

Завдання: «У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = BC) ∠B = 120°, BD — висота. Установіть відповідність між кутом (1 — ∠A, 2 — ∠ABD, 3 — ∠BDC) і його величиною (А 30°, Б 45°, В 60°, Г 90°, Д 120°).»

Розв'язання. Знайдемо всі кути по порядку.

• 1) ∠A — кут при основі. $\angle A=(180^{\circ }-120^{\circ })/2=30^{\circ }$. Отже, 1 → А.

• 2) ∠ABD — половина кута при вершині, бо BD — бісектриса кута B (властивість висоти до основи). $\angle ABD=120^{\circ }/2=60^{\circ }$. Отже, 2 → В.

• 3) ∠BDC — це кут між висотою BD і стороною DC. Висота перпендикулярна до основи, тому $\angle BDC=90^{\circ }$. Отже, 3 → Г.

Відповідь: 1–А, 2–В, 3–Г.

Приклад 4. Дві сторони 5 і 11

Завдання: «Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5 і 11. Знайдіть його периметр.»

Розв'язання. Розглядаємо два варіанти.

• Варіант А: основа 11, бічні сторони по 5. Перевіряємо нерівність трикутника: $5+5=10<11$ — такий трикутник НЕ ІСНУЄ.

• Варіант Б: основа 5, бічні сторони по 11. Перевіряємо: $5+11=16>11$, $11+11=22>5$ — трикутник існує. Периметр: $P=2\cdot 11+5=27$.

Відповідь: 27. Не забувай перевіряти нерівність трикутника в таких задачах!

Приклад 5. Висота рівностороннього трикутника

Завдання: «Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 8. Знайдіть його висоту.»

Розв'язання. За формулою $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ підставляємо $a=8$:

$h=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.

Відповідь: $4\sqrt{3}$. Типові помилки: $8\sqrt{3}$ — забули поділити на 2; 4 — взяли половину сторони; $4\sqrt{2}$ — сплутали з половиною діагоналі квадрата; $2\sqrt{3}$ — поділили зайвий раз.

• Розглядають лише один випадок у задачі «один кут 70°». Правильно: завжди розглядай два випадки (кут при основі або кут при вершині), якщо в умові не сказано, який саме це кут.

• Вважають, що кут 110° може бути кутом при основі. Правильно: кут при основі рівнобедреного трикутника завжди гострий (< 90°). Тупий кут може бути лише при вершині.

• Забувають поділити основу навпіл: пишуть $h^2=b^2-a^2$ замість $h^2=b^2-(a/2{)}^2$. Правильно: висота ділить основу навпіл, тому катет прямокутного трикутника — половина основи, а не вся основа.

• Вважають, що медіана до бічної сторони теж є бісектрисою й висотою. Правильно: властивість «медіана = бісектриса = висота» справедлива ТІЛЬКИ для медіани, проведеної до основи.

• У задачі з двома сторонами (4 і 9) не перевіряють нерівність трикутника й дають дві відповіді. Правильно: завжди перевіряй обидва варіанти за нерівністю трикутника — один із них може не існувати.

• Обчислюють висоту рівностороннього трикутника як $a\sqrt{2}/2$ чи $a/2$. Правильно: $h=a\sqrt{3}/2$ — виводиться з теореми Піфагора, а не з діагоналі квадрата.

Види трикутників (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній) і властивості рівнобедреного та рівностороннього трикутників належать до теми 5.3 чинної програми ЗНО/НМТ з математики рівня стандарту.

На НМТ завдання на цю тему можуть мати такі форми:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15) — 0 або 1 бал.

• Відповідність «логічні пари» (завдання 16–18): три ліві позиції (1–3) потрібно зіставити з п'ятьма правими (А–Д); дві букви зайві. По 1 балу за кожну правильну пару, максимум 3 бали.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 18 — геометрична відповідність (наприклад, обчислення відрізків прямокутної трапеції за теоремою Піфагора). Три обчислення пов'язані між собою: помилка в першому тягне за собою помилки в інших.

Що дозволено мати під рукою:

• Довідкові матеріали містять теорему Піфагора й суму кутів трикутника (180°). Означень медіани, бісектриси й висоти там немає — їх треба знати.

• Властивостей рівнобедреного трикутника (кути при основі рівні, медіана до основи є висотою) і формули $h=a\sqrt{3}/2$ у довідкових матеріалах немає. Їх треба знати напам'ять або вміти швидко вивести.

• У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні й обидва гострі.

• Медіана до основи — бісектриса й висота; вона ділить трикутник на два рівні прямокутні.

• Висота до основи: $h^2=b^2-(a/2{)}^2$ (за теоремою Піфагора).

• Рівносторонній трикутник: усі кути по 60°, висота $h=a\sqrt{3}/2$.

• Якщо не сказано, де кут чи яка сторона — основа, розглянь обидва випадки. Неможливий варіант відкинь за нерівністю трикутника або через тупий кут при основі.