Пряма й обернена пропорційність

Дві величини називають прямо пропорційними, якщо зі збільшенням (зменшенням) однієї з них у кілька разів друга збільшується (зменшується) у стільки ж разів. Рівносильне означення: відношення відповідних значень стале, $\frac{y}{x}=k$, тобто $y=kx$, де $k\ne 0$ — коефіцієнт пропорційності.

Приклади прямої пропорційності:

• вартість покупки й кількість товару за сталої ціни ($k$ — ціна за одиницю);

• пройдена відстань і час руху зі сталою швидкістю ($k$ — швидкість);

• маса й об’єм однорідної речовини ($k$ — густина);

• витрата пального й пройдена відстань за сталої витрати на кілометр.

Як це виглядає в таблиці — зошити по 15 грн:

Оскільки відношення стале, будь-які дві пари значень утворюють пропорцію з однаковим порядком: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$. Словами: у скільки разів зросла одна величина, у стільки ж разів зросла й інша. Якщо 5 зошитів коштують 75 грн, то для 8 зошитів маємо $\frac{5}{8}=\frac{75}{y}$, звідки $y=120$ грн.

Не кожна зростаюча залежність — пряма пропорційність. Поїздка таксі за тарифом «45 грн за посадку і 14 грн за кілометр» коштує 185 грн за 10 км і 325 грн за 20 км: відстань подвоїлася, а ціна — ні. Причина — сталий доданок 45 грн. Площа квадрата теж зростає разом зі стороною, але при подвоєнні сторони збільшується вчетверо.

Швидкий тест на пряму пропорційність: при $x=0$ має бути $y=0$, а подвоєння $x$ має подвоювати $y$. Якщо хоч одна умова не виконується, пропорцію складати не можна.

Дві величини називають обернено пропорційними, якщо зі збільшенням однієї з них у кілька разів друга зменшується у стільки ж разів. Рівносильне означення: сталий добуток відповідних значень, $x\cdot y=k$, тобто $y=\frac{k}{x}$, де $k\ne 0$ і $x\ne 0$.

Приклади оберненої пропорційності:

• швидкість і час руху на тій самій відстані ($k$ — відстань);

• кількість однакових робітників, насосів чи принтерів і час виконання того самого обсягу роботи ($k$ — обсяг роботи);

• ціна товару й кількість, яку можна купити на ту саму суму ($k$ — сума);

• довжина й ширина прямокутника зі сталою площею ($k$ — площа).

Чому сталий саме добуток? Нехай 6 однакових насосів наповнюють басейн за 8 год. Тоді басейн «коштує» $6\cdot 8=48$ насосо-годин роботи — стільки, скільки годин працював би один насос. Цей обсяг не залежить від того, скільки насосів увімкнули. Чотирьом насосам знадобиться $48:4=12$ год.

У пропорції для обернено пропорційних величин друге відношення перевертається: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$. Словами: у скільки разів менше насосів, у стільки разів більше часу. Насосів стало в $6:4=1,5$ раза менше, тому часу потрібно в $1,5$ раза більше: $8\cdot 1,5=12$ год.

Не кожна спадна залежність обернено пропорційна. Відстань, яку ще залишилося проїхати, зменшується з часом, але за законом «300 км мінус 60 км щогодини» і через 5 год стає нулем. Обернено пропорційна величина нулем не стає ніколи: $\frac{k}{x}$ лише наближається до нуля. Графік $y=\frac{k}{x}$ — гіпербола; її властивості докладно розглянуто в курсі про функції.

Головна помилка в задачах на пропорційні величини — не обчислення, а неправильно визначений тип залежності. Тому перш ніж складати пропорцію, постав собі одне питання: що станеться з другою величиною, якщо першу збільшити вдвічі, а все інше залишити без змін?

Слова «решту умов не змінюй» — ключові. Та сама пара величин може бути пов’язана по-різному залежно від того, що залишається сталим:

Друга умова — однаковість учасників. Фраза «6 насосів наповнюють басейн за 8 годин» дає обернену пропорційність лише тоді, коли насоси однакові. Якщо один насос потужніший за інший, «насосо-години» вже не рівноцінні. Такі задачі розв’язують через продуктивність кожного учасника — це тема юніта «Текстові задачі на спільну роботу».

Третя умова — відсутність сталих доданків. Абонплата, плата за посадку чи вартість доставки руйнують пропорційність. Тоді рахуй вартість за формулою «сталий доданок + ціна одиниці · кількість».

Корисна звичка — перевірити відповідь здоровим глуздом. Якщо робітників стало більше, а твоя відповідь каже, що часу треба теж більше, пропорцію складено як пряму замість оберненої.

Коли в задачі змінюються одразу дві величини, одна пропорція вже не допоможе. Наприклад: «5 робітників за 4 год виготовляють 40 деталей. Скільки деталей виготовлять 3 таких робітники за 6 год?» Тут кількість деталей залежить і від кількості робітників, і від часу.

Надійний спосіб — зведення до одиниці: знайти, скільки припадає на одну «одиницю роботи», а потім помножити на нові умови.

1. Один робітник за одну годину виготовляє $40:(5\cdot 4)=2$ деталі.

2. Три робітники за шість годин виготовлять $3\cdot 6\cdot 2=36$ деталей.

Чому це правильно? Кількість деталей прямо пропорційна кількості робітників (за сталого часу) і прямо пропорційна часу (за сталої кількості робітників). Отже, вона прямо пропорційна добутку «робітник · година», тобто кількості людино-годин. Було $5\cdot 4=20$ людино-годин і 40 деталей, стало $3\cdot 6=18$ людино-годин — деталей буде $40\cdot \frac{18}{20}=36$.

Той самий результат дає метод множників: розглядай кожну зміну окремо й вирішуй, пряма вона чи обернена.

Якщо ж шукають час, то він обернено пропорційний кількості робітників і прямо пропорційний обсягу роботи. Наприклад, скільки годин потрібно 4 таким робітникам на 64 деталі? Потрібно $64:2=32$ людино-години, отже, $32:4=8$ год.

Дробову відповідь у годинах переводь у хвилини множенням на 60: 1,2 год — це 1 год і $0,2\cdot 60=12$ хв, а не 1 год 20 хв. Десяткову частину години не можна читати як хвилини: 0,5 год — це 30 хв, а не 50 хв.

Чотири задачі: обернена й пряма пропорційність, рух і задача з двома змінними величинами.

Приклад 1. Насоси й басейн

6 однакових насосів наповнюють басейн за 8 год. За скільки годин наповнять цей басейн 4 такі насоси?

1. Тип залежності: менше насосів — більше часу, насоси однакові, басейн той самий. Залежність обернена.

2. Обсяг роботи: $6\cdot 8=48$ насосо-годин.

3. Час для 4 насосів: $48:4=12$ год.

Відповідь: 12 год. Пряма пропорція дала б $8\cdot \frac{4}{6}\approx 5,3$ год: виходить, що менша кількість насосів упоралася б швидше, а це суперечить здоровому глузду. Відповідь «10 год» ($8+2$, бо насосів на 2 менше) — адитивне мислення: пропорційні величини змінюються в разах, а не на стільки ж одиниць.

Приклад 2. Вартість покупки

За 3,5 кг яблук заплатили 147 грн. Скільки коштують 5 кг таких яблук?

1. Ціна стала, тож вартість прямо пропорційна масі.

2. Ціна 1 кг: $147:3,5=42$ грн.

3. Вартість 5 кг: $42\cdot 5=210$ грн.

Відповідь: 210 грн. Якщо помилково скласти обернену пропорцію, вийде $147\cdot 3,5:5=102,9$ грн — дешевше за більшу кількість, чого за сталої ціни не буває.

Приклад 3. Швидкість і час

Поїзд зі швидкістю 80 км/год долає перегін за 3 год. За скільки годин він подолає той самий перегін зі швидкістю 96 км/год?

1. Відстань стала, тому швидкість і час обернено пропорційні.

2. Відстань: $80\cdot 3=240$ км.

3. Новий час: $240:96=2,5$ год, тобто 2 год 30 хв.

Відповідь: 2,5 год. Пряма пропорція дає $3\cdot 96:80=3,6$ год — більша швидкість і більше часу, що неможливо. Зверни увагу й на запис: 2,5 год — це 2 год 30 хв, а не 2 год 50 хв.

Приклад 4. Дві змінні величини одночасно

4 однакові принтери друкують 1200 сторінок за 15 хв. Скільки хвилин знадобиться 6 таким принтерам, щоб надрукувати 2700 сторінок?

1. Зводимо до одиниці: один принтер за хвилину друкує $1200:(4\cdot 15)=20$ сторінок.

2. Шість принтерів за хвилину друкують $6\cdot 20=120$ сторінок.

3. Час: $2700:120=22,5$ хв.

Перевірка методом множників: принтерів більше, тому час множимо на $\frac{4}{6}$ (обернена залежність); сторінок більше, тому множимо на $\frac{2700}{1200}$ (пряма). $15\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{2700}{1200}=22,5$ хв. Хто врахує лише принтери, отримає 10 хв, а хто лише сторінки — 33,75 хв.

Найчастіші помилки в задачах на пряму й обернену пропорційність:

• Пряма пропорція «за замовчуванням». Задачу про робітників і час розв’язують як пряму: 8 робітників — 15 днів, отже, 12 робітників — 22,5 дня. Правильно: обсяг роботи сталий, залежність обернена, $8\cdot 15:12=10$ днів.

• Вважати пропорційною будь-яку зростаючу залежність. Вартість таксі з платою за посадку або тариф з абонплатою не подвоюються разом з кількістю кілометрів чи хвилин. Правильно: спершу перевір, чи немає сталого доданка.

• Ігнорувати умову «за інших рівних умов». Складають пропорцію для насосів різної потужності або для руху з різними ділянками маршруту. Правильно: пропорційність діє лише тоді, коли все інше стале, а учасники однакові.

• Не перевернути відношення в оберненій пропорції. Записують $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ для швидкості й часу. Правильно: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$, або просто через сталий добуток $x_1{y}_1=x_2{y}_2$.

• Міркувати «на стільки ж», а не «у стільки ж разів». Насосів на 2 менше — значить, часу на 2 год більше. Правильно: пропорційні величини змінюються в разах.

• Неправильно перевели десяткові години. 1,2 год записують як 1 год 20 хв. Правильно: $0,2\cdot 60=12$ хв, отже, 1 год 12 хв.

У НМТ-2026 з математики пропорційні величини — це не окрема позиція, а спосіб розв’язати кілька «життєвих» задач тестової частини.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). Найчастіше це перші позиції тесту: ціна й кількість, робітники чи машини й час, швидкість і час, витрата матеріалу. У демоваріанті НМТ-2026 завдання 3 перевіряє відношення величин. Відповідь, отримана через пряму пропорцію замість оберненої, чи неправильно переведені години цілком можуть бути серед п’яти варіантів, тож перевіряй напрям залежності ще до вибору. Орієнтир — 1–2 хвилини на завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). Окремої задачі на пропорційні величини тут не чекай: у демоваріанті 2026 і в розібраних тестах 2023–2024 ці позиції займали прогресія, похідна чи інтеграл, комбінаторика чи статистика, стереометрія й параметр. Ідея сталого добутку (обсяг роботи, відстань) знадобиться в текстових задачах на рух і спільну роботу (розділ «Текстові задачі»).

Порядок дій:

1. Визнач тип залежності подумки: «якщо першу величину подвоїти, що станеться з другою?»

2. Обчисли через одиницю (ціна 1 кг, насосо-години, деталі за людино-годину) — так менше ризику переплутати місця в пропорції.

3. Перевір напрям: більше учасників — менше часу, більша кількість — більша вартість.

Формул про пропорційні величини в довідкових матеріалах НМТ немає. На всю математику відведено орієнтовно 60 хвилин на 22 завдання, тож такі задачі треба розв’язувати швидко й без помилок — це надійні порогові бали.

• Пряма пропорційність: $y=kx$, відношення $\frac{y}{x}$ стале; величини зростають в однакову кількість разів.

• Обернена пропорційність: $xy=k$, добуток сталий; одна величина зростає, інша зменшується в стільки ж разів.

• Тип залежності визначай питанням: «що буде з другою величиною, якщо першу подвоїти за інших рівних умов?»

• Сталий доданок (посадка, абонплата) руйнує пропорційність — рахуй за формулою.

• У задачах про роботу обсяг вимірюй у «насосо-годинах» чи «людино-годинах»: він сталий.

• Коли змінюються дві величини, зводь до одиниці або множ на множник для кожної зміни окремо.

• Десяткові години переводь у хвилини множенням дробової частини на 60.