Пряма призма: площа поверхні й об’єм

У стереометрії призма — це многогранник, у якого дві грані (основи) є рівними n-кутниками, що лежать у паралельних площинах, а решта n граней (бічні) — паралелограми. Бічні ребра призми паралельні між собою й рівні за довжиною. Висота призми — це відстань між площинами її основ.

Пряма, похила й правильна призма

Якщо бічні ребра перпендикулярні до площини основи, таку призму називають прямою. У прямої призми всі бічні грані — прямокутники, а її висота h дорівнює довжині бічного ребра. Якщо ж бічні ребра не перпендикулярні до основи, призма називається похилою. У похилої призми бічні грані — паралелограми (але не обов'язково прямокутники), а висота менша за довжину бічного ребра.

Окремий важливий випадок — правильна призма. Це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. Наприклад:

• правильна трикутна призма — основа — рівносторонній трикутник;

• правильна чотирикутна призма — основа — квадрат;

• правильна шестикутна призма — основа — правильний шестикутник.

Зверни увагу: не кожна пряма призма є правильною — лише та, чия основа є правильним многокутником. Наприклад, пряма призма з прямокутним трикутником в основі є прямою, але не правильною.

Діагональний переріз прямої призми

Діагональний переріз прямої призми — це переріз площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній бічній грані. Такий переріз завжди є прямокутником, дві сторони якого — діагональ основи d і висота призми h.

Наприклад, у прямій призмі з ромбом в основі можна побудувати два різні діагональні перерізи: один проходить через меншу діагональ ромба, інший — через більшу. Обидва перерізи — прямокутники розмірами $d_1\times h$ і $d_2\times h$ відповідно.

Розуміння цих означень — основа для обчислення площі поверхні та об'єму призми, які ми розглянемо далі.

Площа бічної поверхні прямої призми обчислюється за формулою, яка є в довідкових матеріалах НМТ: $S_{\text{бічна}}=P_{\text{осн}}\cdot h$. Пояснення просте: якщо «розгорнути» бічну поверхню прямої призми в площину, утвориться прямокутник, одна сторона якого дорівнює периметру основи $P_{\text{осн}}$, а інша — висоті $h$.

Площа повної поверхні включає ще й дві основи: $S_{\text{повна}}=S_{\text{бічна}}+2S_{\text{осн}}$. Цієї формули в довідці немає — її треба складати самостійно. Найпоширеніша помилка: додати лише одну основу замість двох. Пам'ятай: у призми дві основи й бічна поверхня.

Приклад із правильною трикутною призмою

Розглянемо правильну трикутну призму зі стороною основи $a=4$ і висотою $h=5$. Оскільки основа — рівносторонній трикутник, її периметр $P_{\text{осн}}=3a=12$. Тоді:

$S_{\text{бічна}}=12\cdot 5=60$

Площа рівностороннього трикутника: $S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$

Площа повної поверхні: $S_{\text{повна}}=60+2\cdot 4\sqrt{3}=60+8\sqrt{3}$

Приклад із правильною чотирикутною призмою

Правильна чотирикутна призма — це пряма призма, в основі якої квадрат. Нехай сторона основи $a=3$, висота $h=7$. Периметр основи $P_{\text{осн}}=4a=12$. Бічна поверхня: $S_{\text{бічна}}=12\cdot 7=84$. Площа основи (квадрата): $S_{\text{осн}}=a^2=9$. Повна поверхня: $S_{\text{повна}}=84+2\cdot 9=102$.

Приклад із прямокутним трикутником в основі

Основа прямої призми — прямокутний трикутник з катетами $6$ і $8$. Гіпотенуза такого трикутника дорівнює $\sqrt{6^2+8^2}=10$. Периметр основи: $P_{\text{осн}}=6+8+10=24$. Площа основи: $S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.

Якщо висота призми $h=5$, то:

$S_{\text{бічна}}=24\cdot 5=120$

$S_{\text{повна}}=120+2\cdot 24=120+48=168$

Зверни увагу: у бічній поверхні ми множимо саме периметр основи на висоту, а не площу основи. Це часта пастка — не плутай $P_{\text{осн}}$ (суму сторін) і $S_{\text{осн}}$ (площу).

Формула об'єму призми є в довідкових матеріалах НМТ: $V=S_{\text{осн}}\cdot h$, де $h$ — висота призми. Вона працює для будь-якої призми — прямої, похилої, правильної. Головне — правильно знайти площу основи, використовуючи знання з планіметрії.

Площі основ, які тобі знадобляться на НМТ:

Приклад 1: ромб в основі

Основа прямої призми — ромб з діагоналями $6$ і $8$. Сторону ромба знайдемо за теоремою Піфагора: $a=\sqrt{(\frac{6}{2}{)}^2+(\frac{8}{2}{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Площа основи: $S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Якщо висота призми $h=10$, то об'єм: $V=24\cdot 10=240$. Бічна поверхня: $S_{\text{бічна}}=(4\cdot 5)\cdot 10=200$.

Приклад 2: рівнобічна трапеція в основі

Основа прямої призми — рівнобічна трапеція з основами $4$ і $10$ та бічною стороною $5$. Щоб знайти висоту трапеції, проведемо дві висоти з верхньої основи на нижню. Вони «відтинають» два прямокутні трикутники з горизонтальним катетом $\frac{10-4}{2}=3$. За теоремою Піфагора висота трапеції: $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$. Площа трапеції: $S_{\text{осн}}=\frac{4+10}{2}\cdot 4=28$. За висоти призми $h=3$ отримуємо об'єм: $V=28\cdot 3=84$.

Обернена задача — знаходження висоти за об'ємом

Іноді на НМТ дають об'єм призми й площу основи, а висоту треба знайти. Наприклад: об'єм прямої призми дорівнює $96$, а її основа — квадрат зі стороною $4$. Площа квадрата: $S_{\text{осн}}=4^2=16$. Тоді висота: $h=\frac{V}{S_{\text{осн}}}=\frac{96}{16}=6$.

Такий самий підхід працює для будь-якої основи: спочатку обчисли площу основи за планіметричною формулою, а потім поділи об'єм на цю площу.

Діагональний переріз — потужний інструмент для знаходження невідомих елементів призми. Нагадаємо: у прямій призмі діагональний переріз — це прямокутник, одна сторона якого дорівнює діагоналі основи d, а інша — висоті h. Якщо в основі лежить ромб, то в призмі можна побудувати два діагональні перерізи: один через меншу діагональ ромба $d_1$, інший — через більшу $d_2$. Їхні площі дорівнюють $S_1=d_1\cdot h$ і $S_2=d_2\cdot h$ відповідно.

Як знайти висоту через площу діагонального перерізу

Якщо відома площа діагонального перерізу S і відповідна діагональ основи d, то висоту призми знаходимо діленням: $h=\frac{S}{d}$. Після цього об'єм обчислюємо за формулою $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.

Розглянь приклад. Основа прямої призми — ромб з діагоналями $6$ і $8$. Площа більшого діагонального перерізу дорівнює $48$. Оскільки більша діагональ ромба дорівнює $8$, маємо $h=\frac{48}{8}=6$. Площа основи (ромба): $S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Тоді об'єм: $V=24\cdot 6=144$.

Діагональ бічної грані

Діагональ бічної грані теж допомагає знайти висоту. Бічна грань прямої призми — прямокутник, одна сторона якого дорівнює стороні основи a, а інша — висоті h. Діагональ бічної грані — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами a і h:

$d_{\text{грані}}^2=a^2+h^2$

Звідси $h=\sqrt{d_{\text{грані}}^2-a^2}$.

Приклад: у правильній чотирикутній призмі сторона основи $5$, а діагональ бічної грані $13$. Знайдемо висоту: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Площа основи (квадрата): $S_{\text{осн}}=5^2=25$. Об'єм: $V=25\cdot 12=300$.

Запам'ятай: діагональ бічної грані та діагональний переріз — різні поняття. Діагональ бічної грані лежить в одній грані, а діагональний переріз проходить через дві грані й містить діагональ основи.

Розгляньмо кілька типових завдань формату НМТ на тему прямої призми. Кожне завдання супроводжується покроковим розв'язанням.

Приклад 1. Площа бічної поверхні правильної трикутної призми

Умова: Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, сторона основи якої дорівнює $5$, а висота — $8$.

Розв'язання: Правильна трикутна призма має в основі рівносторонній трикутник. Її периметр основи: $P_{\text{осн}}=3\cdot 5=15$. Формула бічної поверхні: $S_{\text{бічна}}=P_{\text{осн}}\cdot h=15\cdot 8=120$.

Відповідь: $120$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $40$ — це площа лише однієї бічної грані ($5\cdot 8$), а не всієї бічної поверхні.

• $160$ — хтось міг помилково взяти чотири грані замість трьох ($4\cdot 5\cdot 8$).

• $120+12,5\sqrt{3}$ — це площа повної поверхні, а в задачі питають лише бічну.

• $60$ — можливий результат, якщо помножити периметр на половину висоти або взяти $3\cdot 5\cdot 4$.

Приклад 2. Об'єм призми з ромбом в основі (через діагональний переріз)

Умова: Основа прямої призми — ромб з діагоналями $10$ і $24$. Менший діагональний переріз цієї призми — квадрат. Знайдіть об'єм призми.

Розв'язання:

1. Менший діагональний переріз проходить через меншу діагональ ромба $d_1=10$. Оскільки переріз — квадрат, то $h=d_1=10$.

2. Площа основи (ромба): $S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120$.

3. Об'єм: $V=S_{\text{осн}}\cdot h=120\cdot 10=1200$.

Відповідь: $1200$.

Типові пастки:

• $2880$ — отримає той, хто візьме висоту $h=24$ (більшу діагональ) замість $10$.

• $2400$ — вийде, якщо обчислити площу ромба як $d_1\cdot d_2$ без ділення на $2$: $10\cdot 24=240$, а потім $240\cdot 10=2400$.

Приклад 3. Площа повної поверхні призми з прямокутним трикутником в основі

Умова: Основа прямої призми — прямокутний трикутник з катетами $5$ і $12$. Висота призми $10$. Знайдіть площу повної поверхні призми.

Розв'язання:

1. Гіпотенуза трикутника: $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

2. Периметр основи: $P_{\text{осн}}=5+12+13=30$.

3. Площа основи: $S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$.

4. Бічна поверхня: $S_{\text{бічна}}=30\cdot 10=300$.

5. Повна поверхня: $S_{\text{повна}}=300+2\cdot 30=300+60=360$.

Відповідь: $360$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $300$ — це лише бічна поверхня, без жодної основи.

• $330$ — додано лише одну основу замість двох ($300+30$).

• $420$ — площа трикутника взята як $5\cdot 12=60$ без ділення на $2$, тоді $S_{\text{повна}}=300+2\cdot 60=420$.

• $230$ — пропущено гіпотенузу в периметрі: $P$ взято як $5+12=17$, $S_{\text{бічна}}=170$, $S_{\text{повна}}=170+60=230$.

Приклад 4. Об'єм правильної чотирикутної призми через діагональ бічної грані

Умова: У правильній чотирикутній призмі сторона основи $6$, а діагональ бічної грані $10$. Знайдіть об'єм призми.

Розв'язання:

1. Бічна грань — прямокутник зі сторонами $6$ (сторона основи) і $h$ (висота). Діагональ $10$ є гіпотенузою.

2. $10^2=6^2+h^2\Rightarrow 100=36+h^2\Rightarrow h^2=64\Rightarrow h=8$.

3. Площа основи (квадрата): $S_{\text{осн}}=6^2=36$.

4. Об'єм: $V=36\cdot 8=288$.

Відповідь: $288$.

Типові пастки:

• $360$ — якщо взяти діагональ $10$ за висоту: $V=36\cdot 10=360$.

• $48$ — це площа однієї бічної грані ($6\cdot 8=48$), а не об'єм.

Приклад 5. Об'єм правильної шестикутної призми

Умова: Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми зі стороною основи $2$ і висотою $\sqrt{3}$.

Розв'язання:

1. Правильний шестикутник складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною $a=2$.

2. Площа одного такого трикутника: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.

3. Площа основи: $S_{\text{осн}}=6\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

4. Об'єм: $V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6\cdot 3=18$.

Відповідь: $18$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $3$ — це об'єм лише однієї з шести трикутних частин ($\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$), а не всієї призми.

• $6\sqrt{3}$ — записано площу основи замість об'єму.

• $36$ — якщо площу трикутника взяти як $a^2\sqrt{3}/2=2\sqrt{3}$, тоді $S_{\text{осн}}=6\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$, а $V=12\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=36$.

• $12\sqrt{3}$ — за висоту взяли сторону основи $2$: $6\sqrt{3}\cdot 2=12\sqrt{3}$.

Нижче перераховано найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення площі поверхні та об'єму прямої призми. Ознайомся з ними, щоб не втратити бали на НМТ.

• У площі повної поверхні додають лише одну основу. Правильно: $S_{\text{повна}}=S_{\text{бічна}}+2S_{\text{осн}}$. У призми завжди дві основи — верхня й нижня.

• У формулі бічної поверхні множать на висоту площу основи, а не периметр. Запам'ятай: $S_{\text{бічна}}=P_{\text{осн}}\cdot h$, а не $S_{\text{осн}}\cdot h$. Периметр — це сума сторін, а площа — добуток вимірів.

• Плутають діагональ основи з діагоналлю бічної грані чи діагоналлю призми. Діагональ основи лежить в основі, діагональ бічної грані — в бічній грані, а діагональ призми з'єднує вершини різних основ. Не плутай їх.

• У ромбі беруть площу як $d_1\cdot d_2$ без ділення на $2$. Правильна формула: $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$. Забути поділити навпіл — одна з найчастіших помилок.

• З діагонального перерізу беруть не ту діагональ ромба: більшу замість меншої. Якщо в задачі сказано «менший діагональний переріз», то він проходить через меншу діагональ ромба. Уважно читай умову.

• Площу правильного шестикутника рахують як $6a^2$ або $a^2\sqrt{3}/4$. Правильна формула: $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Вона походить від суми площ шести рівносторонніх трикутників: $6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Завдання на пряму призму трапляються в НМТ. Зокрема, у демоваріанті НМТ-2026 завдання 21 — це коротка відповідь (0 або 2 бали без часткових балів) на об'єм прямої призми з ромбом в основі через діагональний переріз. Воно поєднує стереометрію (призма) і планіметрію (ромб).

Що можна взяти з довідкових матеріалів:

• $V=S_{\text{осн}}\cdot H$ — об'єм призми (є в довідці)

• $S_{\text{бічна}}=P_{\text{осн}}\cdot H$ — бічна поверхня прямої призми (є в довідці)

• площі трикутника, ромба (через діагоналі) і трапеції — також у довідці

• площу повної поверхні $S_{\text{повна}}=S_{\text{бічна}}+2S_{\text{осн}}$ складаємо самостійно — у довідці її немає

Формат відповіді на НМТ:

• Завдання 19–22 — коротка відповідь (число), 0 або 2 бали.

• Відповідь записують лише десятковим дробом. Знак «мінус» ставлять перед першою цифрою.

• Одиниці виміру не пишемо — лише число.

• Завдання 1–15 — вибір однієї правильної відповіді з п'яти, 1 бал.

• Завдання 16–18 — логічні пари, 0–3 бали.

Стратегія розв'язання:

• Спочатку окремо знайди площу основи й висоту призми, а вже потім підстав у формулу. Не намагайся виконати всі дії в одному виразі — так легше помилитися.

• Для перевірки оціни, чи відповідь має розумний порядок. Наприклад, об'єм призми з основою площею 24 і висотою 6 не може дорівнювати 24 або 4 — це має бути близько 144.

• Якщо в основі ромб, трапеція або правильний шестикутник — спочатку знайди площу основи за планіметричною формулою, потім об'єм.

• Якщо дано діагональний переріз — використай його, щоб знайти висоту, а далі дій за алгоритмом.

• Пряма призма: бічні грані — прямокутники, висота дорівнює бічному ребру.

• $S_{\text{бічна}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ (є в довідці НМТ).

• $S_{\text{повна}}=S_{\text{бічна}}+2S_{\text{осн}}$ (складаємо самостійно).

• $V=S_{\text{осн}}\cdot h$ (є в довідці НМТ, працює для будь-якої призми).

• Діагональний переріз прямої призми — прямокутник зі сторонами d (діагональ основи) і h.

• Площа основи — з планіметрії: ромб $\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$, трапеція $\frac{a+b}{2}\cdot h$, правильний шестикутник $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

• Для оберненої задачі: $h=\frac{V}{S_{\text{осн}}}$.