Правило суми й правило добутку в комбінаториці

Комбінаторика — це розділ математики, який вивчає, скількома способами можна вибрати, розташувати або скомбінувати об’єкти з певної множини. Перші два правила, з яких починається будь-який комбінаторний підрахунок, — це правило суми й правило добутку. Розберімося з кожним.

Формулювання правила суми

Правило суми застосовують тоді, коли ми вибираємо один об’єкт з однієї з кількох груп, причому групи не перетинаються (не мають спільних елементів).

Якщо об’єкт з першої групи можна вибрати m способами, а об’єкт з другої групи — n способами, і спільних варіантів немає, то один об’єкт «з першої або з другої групи» можна вибрати m + n способами.

Для трьох і більше груп формула узагальнюється:

$$m_1+m_2+m_3+\dots$$

Сигнальні слова, які вказують на правило суми: «або», «один з», «чи», «хоча б один» (у певних контекстах). Головне — результат завжди дає кількість способів вибрати один об’єкт.

Найпростіший приклад

У кав’ярні пропонують 5 видів тістечок і 3 види морозива. Скількома способами можна вибрати один десерт?

Ми обираємо або тістечко (5 варіантів), або морозиво (3 варіанти). Групи не перетинаються — жоден десерт не є одночасно тістечком і морозивом. Тому за правилом суми: $5+3=8$ способів.

Обов’язкова умова: групи без спільних елементів

Найпоширеніша пастка правила суми — ігнорування умови «без спільних елементів». Розгляньмо приклад: «Скільки чисел від 1 до 20 є кратними 2 або 5?»

Чисел, кратних 2, у діапазоні 1–20 є 10 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Чисел, кратних 5, — 4 (5, 10, 15, 20). Але числа 10 і 20 належать до обох груп — вони спільні. Якщо просто додати $10+4=14$, то 10 і 20 буде пораховано двічі. Правильна відповідь: $10+4-2=12$. Спільні варіанти лічимо лише один раз.

Правило суми працює в чистому вигляді лише тоді, коли групи не мають спільних елементів. Якщо спільні елементи є, їх треба відняти (формула включення-виключення). У задачах на правило суми групи зазвичай не мають спільних елементів, але завжди перевіряй!

Більше ніж дві групи

Нехай у бібліотеці є 7 підручників з математики, 5 з фізики та 4 з хімії. Скількома способами можна взяти один підручник? Групи не перетинаються (книжка не може бути одночасно з математики й фізики). За правилом суми: $7+5+4=16$ способів.

Це і є суть правила суми: коли вибираєш «один із… або один із…», додаєш кількості варіантів у кожній групі, за умови що жоден варіант не входить у дві групи водночас.

Правило добутку застосовують, коли треба вибрати набір з кількох елементів у певному порядку — тобто зробити послідовно кілька виборів. Ключове слово-підказка: «і». Спочатку обираємо перший елемент і потім — другий і так далі.

Формулювання правила добутку

Якщо перший елемент можна вибрати m способами і після кожного такого вибору другий елемент — n способами, то пару (перший, другий) можна вибрати m · n способами.

Для k кроків правило узагальнюється як добуток кількостей варіантів на кожному кроці:

$$m_1\cdot m_2\cdot m_3\cdot \cdots \cdot m_k$$

Сигнальні слова: «і», «спочатку … потім», «комплект», «пара», «набір з одного … і одного …». У найпростіших задачах правило добутку дає відповідь однією дією — треба лише перемножити числа.

Комплекти одягу

У шафі є 4 сорочки, 3 пари штанів і 2 пари взуття. Скільки різних комплектів одягу (сорочка, штани, взуття) можна скласти?

Спочатку вибираємо сорочку — 4 способи. Для кожної сорочки вибираємо штани — 3 способи. Для кожної пари (сорочка, штани) вибираємо взуття — 2 способи. За правилом добутку: $4\cdot 3\cdot 2=24$ комплекти.

Маршрути

З міста A до міста B ведуть 3 дороги, а з міста B до міста C — 4 дороги. Скількома способами можна дістатися з A до C, проїжджаючи через B?

Перший вибір: дорога з A до B (3 варіанти). Другий вибір: дорога з B до C (4 варіанти). Усього: $3\cdot 4=12$ маршрутів.

Якщо ж треба повернутися назад (з C до A через B) і можна користуватися тими самими дорогами, то варіантів: $12\cdot 12=144$. А якщо жодну дорогу не можна проїжджати двічі, то на зворотний шлях залишається на одну дорогу менше на кожній ділянці: $3\cdot 4\cdot 3\cdot 2=72$ (спочатку 3 дороги A→B, 4 дороги B→C, назад 3 дороги C→B (одну з чотирьох уже використали) і 2 дороги B→A (одну з трьох уже використали)).

Дерево варіантів і таблиця

Правило добутку можна наочно перевірити за допомогою дерева варіантів або таблиці. Наприклад, якщо є 2 напої (чай, кава) і 3 булочки (з маком, з корицею, з вишнею), то кількість пар (напій, булочка) дорівнює $2\cdot 3=6$:

Та сама кількість вийде, якщо побудувати таблицю 2 × 3, де рядки — напої, а стовпці — булочки. У кожній клітинці — один варіант набору.

Порівняння правил

Основна відмінність: правило суми дає відповідь на питання «скількома способами можна вибрати один об’єкт?», а правило добутку — «скільки різних наборів (пар, трійок, комплектів) можна скласти?». Якщо в умові є «або» — додаємо; якщо «і» — множимо.

Коди й числа — класичний тип задач на правило добутку. Тут кожна позиція (цифра, символ) вибирається незалежно, а результат — добуток кількостей варіантів на кожній позиції.

Підрахунок кодів із повторенням символів

Якщо код має k позицій, і на кожній позиції може стояти будь-який із n символів (цифри, літери тощо), то загальна кількість кодів:

$$n^k=n\cdot n\cdot \cdots \cdot n(k\text{разів})$$

Приклади:

PIN-код з 4 цифр (0–9): $10^4=10000$ кодів.

Пароль із 3 символів, кожен з яких — одна з 5 літер (A, B, C, D, E): $5^3=125$ паролів.

Чотирицифровий код на домофоні (цифри 0–9) з умовою, що код не може починатися з 0: перша позиція — $9$ варіантів (1–9), решта 3 позиції — по $10$ варіантів: $9\cdot 10^3=9000$ кодів.

Числа із заданих цифр

Розгляньмо задачу: скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри можуть повторюватися?

На кожну з 4 позицій можна поставити будь-яку з 5 цифр. Обмежень на першу цифру немає (усі цифри ненульові). Отже: $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4=625$ чисел.

А скільки серед цих чисел парних? Парність числа визначає остання цифра. Парні цифри з набору — 2 і 4 — 2 варіанти. На перші три позиції обмежень немає — по 5 варіантів. Отже: $5^3\cdot 2=125\cdot 2=250$ парних чисел.

Заборона нуля на першій позиції

Коли серед доступних цифр є 0, найпоширеніша помилка — забути, що число не може починатися з нуля. Тризначне число не може мати 0 на першому місці — інакше це вже двоцифрове число.

Приклад: скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4 (цифри можуть повторюватися)?

Спочатку заповнюємо позицію з обмеженням — першу цифру. Вона не може бути 0, отже, 4 варіанти (1, 2, 3, 4). Друга цифра — будь-яка з 5, третя — будь-яка з 5. Разом: $4\cdot 5\cdot 5=100$ чисел. Хибна відповідь $5^3=125$ виникає, коли дозволяють 0 першою цифрою.

Усіх тризначних чисел у десятковій системі: перша цифра — 9 варіантів (1–9), друга — 10 (0–9), третя — 10: $9\cdot 10\cdot 10=900$.

Схема позицій

Найнадійніший спосіб не помилитися — намалювати схему:

$$\underset{\text{перша цифра}}{\underbrace{\_\_\_\_}}\underset{\text{друга цифра}}{\underbrace{\_\_\_\_}}\underset{\text{третя цифра}}{\underbrace{\_\_\_\_}}$$

Над кожним пропуском записуємо кількість варіантів, потім перемножуємо. Позиції з обмеженнями заповнюємо першими.

Наприклад, тризначні числа, кратні 5, складені з цифр 0–9 (з повторенням). Остання цифра — 0 або 5 (2 варіанти). Перша — 9 варіантів (1–9). Друга — 10 варіантів. За схемою: $9\cdot 10\cdot 2=180$ чисел.

Якщо цифри не можуть повторюватися

Коли в умові сказано «цифри не можуть повторюватися», варіантів на кожному наступному кроці стає на один менше. Наприклад, скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторень? Першу цифру вибираємо 5 способами, другу — 4 (одну вже використали), третю — 3: $5\cdot 4\cdot 3=60$ чисел. Це той самий принцип добутку, але вже без формули nᵏ. Готові формули для таких випадків — розміщення й перестановки — розглядаються в окремих юнітах.

Багато реальних задач не вкладаються в одне правило — доводиться спочатку розбити задачу на випадки (правило суми), а всередині кожного випадку застосувати правило добутку. Крім того, іноді простіше порахувати «від супротивного» — через доповнення.

Кілька випадків — сума добутків

Найчастіше така ситуація виникає в задачах на маршрути з різними варіантами шляху.

Приклад: з міста A до міста C можна дістатися через місто B (3 дороги A→B і 4 дороги B→C) або через місто D (2 дороги A→D і 5 доріг D→C). Скількома способами можна дістатися з A до C?

Розбиваємо на два випадки:

• Через B: $3\cdot 4=12$ маршрутів.

• Через D: $2\cdot 5=10$ маршрутів.

Оскільки жоден маршрут не може одночасно йти через B і через D (випадки не перетинаються), за правилом суми: $12+10=22$ способи.

Схематично: кожен випадок рахуємо правилом добутку (множимо), а випадки додаємо.

Пари предметів з різних груп

Ще один тип задач: «Скількома способами можна вибрати два предмети різних видів із трьох груп?»

Нехай є 5 книжок, 4 журнали та 3 газети. Скількома способами можна вибрати два видання різних видів?

Можливі три пари видів:

• Книжка і журнал: $5\cdot 4=20$ способів.

• Книжка і газета: $5\cdot 3=15$ способів.

• Журнал і газета: $4\cdot 3=12$ способів.

Випадки не перетинаються (набір «книжка + журнал» відрізняється від «книжка + газета»). За правилом суми: $20+15+12=47$ способів.

Підрахунок через доповнення («від супротивного»)

Коли в задачі є умова «хоча б один», прямий підрахунок часто потребує розгляду багатьох випадків. Набагато простіше порахувати всі варіанти без жодного обмеження, відняти варіанти, де потрібна ознака відсутня («жодного»), — і отримати варіанти «хоча б один».

Формула:

«Хоча б один» = Усі варіанти − Варіанти «без жодного»

Приклад 1: скільки існує тризначних чисел, у записі яких є хоча б одна цифра 7?

Усіх тризначних чисел: $9\cdot 10\cdot 10=900$.

Чисел, у яких немає жодної сімки: перша цифра — 8 варіантів (1–9, крім 7), друга — 9 (0–9, крім 7), третя — 9: $8\cdot 9\cdot 9=648$.

Чисел із хоча б однією сімкою: $900-648=252$.

Приклад 2: скільки чотирицифрових кодів (цифри 0–9, повторення дозволені) мають хоча б один нуль?

Усіх кодів: $10^4=10000$.

Кодів без жодного нуля (на кожній позиції 9 варіантів: 1–9): $9^4=6561$.

Кодів із хоча б одним нулем: $10000-6561=3439$.

Перевірка вибору правила

Щоб не помилитися, постав собі два простих запитання:

• Я вибираю один об’єкт чи складаю набір із кількох? Один — додаю (правило суми), набір — множу (правило добутку).

• Чи є в задачі кілька окремих випадків, які не перетинаються? Якщо так — рахуємо кожен випадок окремо (правилом добутку) і додаємо результати.

Якщо жоден із цих пунктів не підходить, спробуй підрахунок через доповнення.

Розв’яжемо кілька типових задач на правила суми й добутку — таких, які трапляються на НМТ. Кожен приклад розбираємо крок за кроком.

Приклад 1. Обід у їдальні

У їдальні є 4 перші страви, 5 других страв і 3 напої. Скільки різних обідів з однієї першої страви, однієї другої й одного напою можна скласти?

Розв’язання

Складаємо набір з трьох елементів: перша страва, друга страва, напій. Послідовний вибір «і» — застосовуємо правило добутку. Першу страву вибираємо 4 способами, другу — 5, напій — 3. Усього: $4\cdot 5\cdot 3=60$ обідів.

Відповідь: 60.

Типові помилки:

• 12 — 4 + 5 + 3 = 12, додали замість множення.

• 20 — порахували лише 4 · 5, забули про напої.

• 23 — 4 · 5 + 3 = 23, переплутали, що множити, а що додавати.

Приклад 2. П’ятицифрові числа з непарних цифр

Скільки існує п’ятицифрових чисел, записаних лише непарними цифрами, якщо цифри можуть повторюватися?

Розв’язання

Непарні цифри: 1, 3, 5, 7, 9 — усього 5 цифр. Число п’ятицифрове, на кожну з 5 позицій можна поставити будь-яку з 5 непарних цифр. Обмежень немає (жодна непарна цифра не є нулем, тож перша позиція не потребує окремого обмеження). За правилом добутку: $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^5=3125$.

Відповідь: 3125.

Типові помилки:

• 120 — $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$, порахували без повторень, хоча цифри можуть повторюватися.

• 25 — порахували $5\cdot 5=25$, подумавши, що «п’ятицифрове» означає дві позиції.

Приклад 3. Тризначні парні числа з обмеженим набором цифр

Скільки існує тризначних парних чисел, записаних лише цифрами 0, 3, 6, 8 (цифри можуть повторюватися)?

Розв’язання

Маємо цифри: 0, 3, 6, 8. Число має бути парним — остання цифра парна. Парні цифри з набору: 0, 6, 8 — 3 варіанти. Перша цифра не може бути 0 — отже, з доступних цифр (0, 3, 6, 8) лишаються 3, 6, 8 — 3 варіанти. Друга цифра — будь-яка з 4 цифр. За схемою позицій:

Перша (3 варіанти) × Друга (4 варіанти) × Третя (3 варіанти) = $3\cdot 4\cdot 3=36$.

Відповідь: 36.

Типові помилки:

• 64 — 4³ = 64, не врахували жодного обмеження: ні заборону нуля першою, ні парність останньої.

• 48 — 4 · 4 · 3 = 48, урахували парність, але дозволили 0 першою цифрою.

• 24 — 3 · 4 · 2 = 24, урахували заборону нуля першою, але на останню позицію взяли лише 2 варіанти (6, 8), забули, що 0 теж парна цифра.

Приклад 4. Маршрути з різними варіантами

З міста A до міста B ведуть 3 дороги, з B до C — 4 дороги, а з A до C напряму — 2 авіарейси. Скількома способами можна дістатися з A до C?

Розв’язання

Є два випадки, які не перетинаються:

• Через B: $3\cdot 4=12$ способів.

• Напряму (авіарейс): 2 способи.

Оскільки випадки не перетинаються, за правилом суми: $12+2=14$ способів.

Відповідь: 14.

Типові помилки:

• 12 — порахували лише маршрути через B, забули про авіарейси.

• 9 — 3 + 4 + 2 = 9, додали всі числа, не застосувавши правило добутку для маршруту через B.

Нижче зібрано найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування задач на правила суми й добутку. Вивчи їх — і на НМТ ти не потрапиш у ці пастки.

Плутанина «або» й «і»

Помилка: Додають там, де вибір послідовний («і»), і множать там, де вибирають один об’єкт («або»). Наприклад, у задачі про обід (4 перші · 5 других · 3 напої) дають 4 + 5 + 3 = 12 замість 4 · 5 · 3 = 60. Як уникнути: постав запитання — вибираю один об’єкт чи складаю набір з кількох? Один — додаю, набір — множу.

Нуль першою цифрою

Помилка: Дозволяють нуль на першому місці числа. Наприклад, тризначних чисел з цифр 0, 1, 2, 3, 4 рахують 5³ = 125 замість 4 · 5 · 5 = 100. Як уникнути: завжди позначай на схемі, що перша цифра — від 1 до 9. Якщо 0 є в наборі, просто прибери його з варіантів для першої позиції.

Повторення цифр: не читають умову

Помилка: Не перечитують, чи можуть цифри повторюватися. Якщо в умові сказано «цифри можуть повторюватися», а учень рахує 5 · 4 · 3 · 2 (як без повторень), або навпаки — коли повторення заборонені, рахує 5⁴. Як уникнути: підкресли в умові слова «можуть повторюватися» або «без повторень». Шукай в умові явну вказівку («цифри можуть повторюватися», «цифри не повторюються», «кожну цифру використано один раз») і рахуй відповідно до неї; не домислюй умову сам.

Ігнорують умову на конкретну позицію

Помилка: Ставлять на кожну позицію повну кількість цифр, ігноруючи умови (парність, кратність 5, «не нуль»). Наприклад, у задачі про тризначні парні числа з цифр 0, 3, 6, 8 рахують 4³ = 64 замість 3 · 4 · 3 = 36. Як уникнути: спочатку заповнюй позицію з обмеженням — саме для неї рахуй варіанти окремо.

Спільні варіанти при додаванні

Помилка: Додають групи зі спільними варіантами й рахують спільні двічі. Наприклад, чисел від 1 до 20, кратних 2 або 5, — рахують 10 + 4 = 14, хоча 10 і 20 входять в обидві групи. Правильно: 10 + 4 − 2 = 12. Як уникнути: завжди перевіряй, чи є елементи, що належать до обох груп одночасно.

«Хоча б один» — перебір замість доповнення

Помилка: Намагаються порахувати «хоча б один» прямим перебором випадків (рівно один, рівно два, …) і пропускають частину з них. Наприклад, кодів із хоча б одним нулем — пробують рахувати 10 · 9³ + 10² · 9² + … і помиляються. Як уникнути: завжди використовуй формулу «хоча б один = усі − жодного». Це простіше й безпечніше.

Розуміння того, як саме перевіряють тему на НМТ, допомагає правильно розподілити зусилля під час підготовки.

Місце в програмі

Комбінаторні правила суми та добутку входять до теми програми «Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку…» розділу «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики» (рівень стандарту). Уміння, яке перевіряють: «розв’язувати задачі на … комбінаторні правила суми та добутку».

Формат завдань

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 20 — коротка відповідь (ціле число), 2 бали без часткових. Воно перевіряє комбінації разом із правилом добутку. Відповідь записують без одиниць вимірювання — просто число.

У завданнях 1–15 — вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), 0 або 1 бал. Дистрактори (неправильні варіанти) часто побудовано на типових помилках: сума замість добутку, заборонений нуль першою цифрою, ігнорування умови «парне».

Довідкові матеріали

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами. У розділі комбінаторики там подано формули:

• Перестановки: $P_n=n!$

• Розміщення: $A_n^k=n(n-1)\dots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$

• Комбінації: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Однак там немає підказки, коли додавати, а коли множити, — це рішення ухвалюєш самостійно. Формул nᵏ (кодів із повторенням) теж немає в довіднику — але її легко вивести з правила добутку.

Стратегія для НМТ

Найнадійніша стратегія для задач на числа й коди — схема позицій:

• Накресли схему: по одному пропуску на кожну позицію.

• Над кожним пропуском записуєш кількість варіантів для цієї позиції (ураховуючи обмеження).

• Перемножуєш усі числа.

• Пам’ятай: позиції з обмеженнями (перша цифра не 0, остання — парна) заповнюєш першими.

Якщо задача містить кілька випадків («або через B, або через D»), спочатку рахуєш кожен випадок окремо, потім додаєш результати.

Основні формули й правила, які варто запам’ятати:

• «або» — вибір одного об’єкта з груп без спільних елементів — додаємо: m + n

• «і» — послідовний вибір кількох елементів — множимо: m · n

• З повторенням кожна позиція незалежна: k позицій по n варіантів — nᵏ

• Число не починається з нуля — це обмежує кількість варіантів на першій позиції

• Позиції з обмеженнями (перша, остання) заповнюємо першими

• Кілька випадків — сума добутків: кожен випадок рахуємо множенням, випадки додаємо

• «Хоча б один» = усі варіанти − варіанти без потрібної ознаки