Показникові нерівності

Показникова нерівність — це нерівність, у якій змінна міститься в показнику степеня. Наприклад: $2^x>8$, $(1/3{)}^x\le 27$, $5^{x-1}<0,2$. Щоб розв'язати таку нерівність, треба скористатися властивістю монотонності показникової функції $y=a^x$.

Функція $y=a^x$:

• зростає, коли $a>1$ — більшому аргументу відповідає більше значення функції;

• спадає, коли $0<a<1$ — більшому аргументу відповідає менше значення функції.

Звідси випливає головне правило для показникових нерівностей:

Якщо $a>1$: $a^{f(x)}>a^{g(x)}⟺f(x)>g(x)$ — знак нерівності зберігається. Якщо $0<a<1$: $a^{f(x)}>a^{g(x)}⟺f(x)<g(x)$ — знак нерівності змінюється на протилежний.

Приклади застосування

Розв'яжемо $2^x>8$. Записуємо $8$ як степінь двійки: $8=2^3$. Маємо $2^x>2^3$. Оскільки основа $2>1$, знак зберігається: $x>3$. Відповідь: $(3;+\infty )$.

Розв'яжемо $(1/2{)}^x>1/8$. Записуємо $1/8=(1/2{)}^3$. Маємо $(1/2{)}^x>(1/2{)}^3$. Основа $0,5<1$, тому знак змінюється: $x<3$. Перевіримо: підставимо $x=0$, отримаємо $1>1/8$ — істина, і справді $0<3$.

Особливі випадки: коли права частина недодатна

Показникова функція $y=a^x$ набуває лише додатних значень: $a^x>0$ для будь-якого дійсного $x$. Це дає два важливі висновки:

• Нерівність $a^x>b$ при $b\le 0$ виконується для всіх дійсних $x$, тобто $(-\infty ;+\infty )$. Наприклад, $3^x>-5$ — розв'язком є всі дійсні числа.

• Нерівність $a^x<b$ при $b\le 0$ не має розв'язків. Наприклад, $3^x<0$ або $3^x\le -1$ — жодне значення $x$ не задовольняє.

Також запам'ятай: при $a>1$ нерівність $a^x>1$ рівносильна $x>0$, оскільки $1=a^0$. Наприклад, $5^x>1⟺x>0$.

Найпоширеніший спосіб розв'язати показникову нерівність — звести обидві її частини до степенів з однаковою основою. Після цього застосовуєш правило монотонності: порівнюєш показники, зберігаючи або змінюючи знак залежно від основи.

Два шляхи звести до однієї основи

Розв'яжемо $(1/3{)}^x>9$. Можна піти двома шляхами.

• Шлях 1: записати $1/3$ як $3^{-1}$, тоді $(1/3{)}^x=3^{-x}$, а $9=3^2$. Маємо $3^{-x}>3^2$. Основа $3>1$, знак зберігається: $-x>2$, звідки $x<-2$. Відповідь: $(-\infty ;-2)$.

• Шлях 2: записати $9$ як степінь $1/3$: $9=(1/3{)}^{-2}$, бо $(1/3{)}^{-2}=3^2=9$. Маємо $(1/3{)}^x>(1/3{)}^{-2}$. Основа $1/3<1$, знак змінюється: $x<-2$. Той самий результат.

Обидва шляхи правильні. Вибирай той, який здається зручнішим.

Приклад з десятковим дробом

Розв'яжемо $0,5^{x-2}\le 4$. Записуємо $4$ як степінь $0,5$: $4=0,5^{-2}$, бо $0,5^{-2}=(1/2{)}^{-2}=2^2=4$. Маємо $0,5^{x-2}\le 0,5^{-2}$. Основа $0,5<1$, тому знак змінюється: $x-2\ge -2$, звідки $x\ge 0$. Відповідь: $[0;+\infty )$.

Степені, які треба впізнавати

На НМТ часто трапляються числа, які треба вміти записувати як степені. Ось найкорисніші:

Наприклад: $5^{x+1}\ge 1/25$. Записуємо $1/25=5^{-2}$. Маємо $5^{x+1}\ge 5^{-2}$. Основа $5>1$, знак зберігається: $x+1\ge -2$, звідки $x\ge -3$.

Степінь степеня

Коли основа сама є степенем, застосовуй правило $(a^m{)}^n=a^{mn}$. Наприклад:

• $9^x<27$: $9=3^2$, тому $9^x=(3^2{)}^x=3^{2x}$. Маємо $3^{2x}<3^3$. Основа $3>1$, знак зберігається: $2x<3$, звідки $x<1,5$. Відповідь: $(-\infty ;1,5)$.

• $4^{x-1}\ge 8$: $4=2^2$, тому $4^{x-1}=(2^2{)}^{x-1}=2^{2x-2}$. Маємо $2^{2x-2}\ge 2^3$. Основа $2>1$, знак зберігається: $2x-2\ge 3$, звідки $x\ge 2,5$. Відповідь: $[2,5;+\infty )$.

Коли праву частину не можна записати степенем

Іноді праву частину не вдається подати як степінь тієї самої основи. Наприклад, $2^x>5$. Тут $5$ не є степенем двійки. У такому разі розв'язок записують через логарифм: $x>{\log }_{2}5$. Основа $2>1$, знак зберігається. Відповідь: $({\log }_{2}5;+\infty )$. Знати про цей випадок варто.

Не всі показникові нерівності мають вигляд $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ одразу. Часто їх треба спершу спростити — винести спільний множник, зробити заміну або звести різні основи до однієї. Розглянемо три основні прийоми.

Винесення спільного множника

Якщо в лівій частині кілька доданків зі степенями, виносьмо степінь з найменшим показником як спільний множник.

Приклад: $3^{x+1}-3^x>18$.

1. Записуємо $3^{x+1}=3^x\cdot 3^1=3^x\cdot 3$.

2. Виносимо $3^x$: $3^x(3-1)>18$, тобто $3^x\cdot 2>18$.

3. Ділимо на $2$: $3^x>9$.

4. Записуємо $9=3^2$: $3^x>3^2$. Основа $3>1$, знак зберігається: $x>2$.

Відповідь: $(2;+\infty )$.

Квадратний показник

Коли показник містить квадратний тричлен, після зведення до однієї основи отримуємо квадратну нерівність.

Приклад: $2^{x^2-3x}<1/4$.

1. Записуємо $1/4=2^{-2}$: $2^{x^2-3x}<2^{-2}$.

2. Основа $2>1$, знак зберігається: $x^2-3x<-2$.

3. Переносимо все вліво: $x^2-3x+2<0$.

4. Розв'язуємо квадратну нерівність: корені $x_1=1$, $x_2=2$; парабола вітками вгору, тому $x^2-3x+2<0$ на проміжку $(1;2)$.

Відповідь: $(1;2)$.

Заміна $t=a^x$ з умовою $t>0$

Якщо нерівність містить степені різних показників, але з однією основою, можна зробити заміну $t=a^x$, де $t>0$, і звести до квадратної нерівності.

Приклад: $4^x-2^x-2<0$.

1. Помічаємо, що $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}=(2^x{)}^2$.

2. Заміна: $t=2^x$, $t>0$. Тоді $4^x=t^2$.

3. Отримуємо: $t^2-t-2<0$.

4. Розв'язуємо квадратну нерівність: корені $t_1=-1$, $t_2=2$; парабола вітками вгору, тому $t^2-t-2<0$ на проміжку $(-1;2)$.

5. Враховуємо умову $t>0$: маємо $0<t<2$, тобто $0<2^x<2$.

6. Оскільки $2^x>0$ завжди, залишається $2^x<2$. Записуємо $2=2^1$: $2^x<2^1$. Основа $2>1$, знак зберігається: $x<1$.

Відповідь: $(-\infty ;1)$.

Не забудь про умову $t>0$! Показникова функція $a^x$ ніколи не набуває від'ємних значень, тому після заміни від'ємну частину проміжку треба відкинути.

Різні основи зводимо до однієї

Коли ліва і права частини мають різні основи, спробуй записати одну з них як степінь іншої.

Приклад: $0,2^x\ge 5^{x-4}$.

1. Записуємо $0,2=1/5=5^{-1}$, тому $0,2^x=(5^{-1}{)}^x=5^{-x}$.

2. Маємо: $5^{-x}\ge 5^{x-4}$.

3. Основа $5>1$, знак зберігається: $-x\ge x-4$.

4. Переносимо: $-x-x\ge -4$, тобто $-2x\ge -4$.

5. Ділимо на $-2$ (знак змінюється!): $x\le 2$.

Відповідь: $(-\infty ;2]$.

Розгляньмо п'ять типових завдань на показникові нерівності в тому форматі, в якому вони трапляються на НМТ: вибір однієї правильної відповіді з п'яти варіантів (А–Д).

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність $(1/5{)}^x>25$

Завдання: вибрати проміжок, який є розв'язком нерівності $(1/5{)}^x>25$.

Розв'язання:

1. Записуємо $1/5$ як $5^{-1}$, тому $(1/5{)}^x=5^{-x}$.

2. Записуємо $25$ як степінь п'ятірки: $25=5^2$.

3. Маємо: $5^{-x}>5^2$. Основа $5>1$, знак зберігається: $-x>2$.

4. Ділимо на $-1$ (знак змінюється!): $x<-2$.

Відповідь: $(-\infty ;-2)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $(-2;+\infty )$ — не змінили знак нерівності при основі $0<1/5<1$.

• $(-\infty ;2)$ — неправильно звели $25$ до степеня $1/5$.

• $(2;+\infty )$ — і не змінили знак, і неправильно звели.

• $(-\infty ;-2]$ — включили $-2$, хоча нерівність строга ($>$).

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність $0,25^{x-1}\ge 8$

Завдання: вибрати проміжок, який є розв'язком нерівності $0,25^{x-1}\ge 8$.

Розв'язання:

1. Записуємо $0,25=2^{-2}$, тому $0,25^{x-1}=(2^{-2}{)}^{x-1}=2^{-2x+2}$.

2. Записуємо $8=2^3$.

3. Маємо: $2^{-2x+2}\ge 2^3$. Основа $2>1$, знак зберігається: $-2x+2\ge 3$.

4. Розв'язуємо: $-2x\ge 1$, ділимо на $-2$ (знак змінюється!): $x\le -0,5$.

Відповідь: $(-\infty ;-0,5]$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $[-0,5;+\infty )$ — не змінили знак при діленні на $-2$.

• $(-\infty ;-2,5]$ — розкрили $-2(x-1)$ як $-2x-2$ замість $-2x+2$.

• $(-\infty ;-0,5)$ — не включили $-0,5$, хоча нерівність нестрога ($\ge$).

• $[2,5;+\infty )$ — помилка в знаках на всіх етапах.

Приклад 3. Укажіть найменший цілий розв'язок нерівності $2^{x+3}>1/4$

Завдання: серед п'яти чисел вибрати найменше ціле число, яке задовольняє нерівність $2^{x+3}>1/4$.

Розв'язання:

1. Записуємо $1/4=2^{-2}$.

2. Маємо: $2^{x+3}>2^{-2}$. Основа $2>1$, знак зберігається: $x+3>-2$.

3. Звідси $x>-5$.

4. Найменше ціле число, більше за $-5$, — це $-4$.

Відповідь: $-4$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $-5$ — включили межу, але нерівність строга ($>$), тому $-5$ не підходить.

• $-6$ — менше за $-5$, не задовольняє нерівність.

• $-1$ і $0$ — теж задовольняють, але не є найменшими.

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність $3^{x+2}-3^x\le 72$

Завдання: вибрати проміжок, який є розв'язком нерівності $3^{x+2}-3^x\le 72$.

Розв'язання:

1. Записуємо $3^{x+2}=3^x\cdot 3^2=3^x\cdot 9$.

2. Виносимо $3^x$: $3^x(9-1)\le 72$, тобто $3^x\cdot 8\le 72$.

3. Ділимо на $8$: $3^x\le 9$.

4. Записуємо $9=3^2$: $3^x\le 3^2$. Основа $3>1$, знак зберігається: $x\le 2$.

Відповідь: $(-\infty ;2]$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $[2;+\infty )$ — переплутали знак нерівності.

• $(-\infty ;2)$ — не включили $2$, хоча нерівність нестрога ($\le$).

• $(-\infty ;9]$ — записали значення $3^x$ (тобто $9$) замість $x$.

• $[9;+\infty )$ — і знак переплутали, і записали $3^x$ замість $x$.

Приклад 5. Укажіть нерівність, яка виконується при всіх дійсних значеннях $x$

Завдання: серед п'яти нерівностей вибрати ту, що правильна для будь-якого дійсного $x$.

Розв'язання: Показникова функція $7^x$ набуває лише додатних значень. Тому $7^x>-1$ — істина для всіх $x$, адже будь-яке додатне число більше за $-1$.

Відповідь: $7^x>-1$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $7^x>1$ — виконується лише при $x>0$, бо $7^0=1$.

• $7^{x^2}>1$ — хибна при $x=0$, бо $7^0=1$, а нерівність строга.

• $7^x<0$ — не має розв'язків, бо $7^x>0$ завжди.

• $(1/7{)}^x\ge 1$ — виконується лише при $x\le 0$, бо $(1/7{)}^0=1$, а при $x>0$ значення менші за $1$.

• Не змінюють знак нерівності при основі $0<a<1$: розв'язуючи $(1/3{)}^x>9$, пишуть $x>-2$ замість правильного $x<-2$. Запам'ятай: основа $1/3$ менша від $1$, тому знак обов'язково змінюється.

• З $-x>2$ пишуть $x>-2$, забуваючи змінити знак під час ділення на $-1$. Ділення на від'ємне число завжди перевертає знак нерівності — це правило діє незалежно від того, чи маєш ти справу з показниковою нерівністю.

• Порівнюють показники при різних основах: з $2^x>3^2$ роблять висновок $x>2$. Це груба помилка — основи різні ($2$ і $3$), тому порівнювати показники без зведення до однієї основи не можна.

• Вважають, що $3^x>-5$ не має розв'язків, бо від'ємне число нібито не можна записати степенем трійки. Насправді $3^x$ завжди додатне, тому воно автоматично більше за будь-яке від'ємне число. Відповідь: усі дійсні числа.

• $3^{x+1}-3^x$ спрощують до $3^1=3$, віднімаючи показники замість винесення спільного множника. Правильно: $3^{x+1}-3^x=3^x\cdot 3-3^x=3^x(3-1)=3^x\cdot 2$.

• Після заміни $t=2^x$ переносять $-1<t<2$ на $x$ як $-1<x<2$ або забувають умову $t>0$. Пам'ятай: $t$ — це значення показникової функції, воно завжди додатне. Від'ємну частину проміжку треба відкинути.

Показникові нерівності входять до теми 2.1 програми НМТ як «найпростіші нерівності зі степеневими, показниковими, логарифмічними виразами». Це вимога рівня стандарту, тож такі завдання можуть трапитися в тесті.

Форма завдань

На НМТ показникові нерівності трапляються в першій частині тесту — завдання 1–15 з вибором однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д). Кожне таке завдання оцінюється в 0 або 1 бал. Тобі треба вибрати проміжок, який є розв'язком нерівності, або вказати найменший цілий розв'язок.

Варіанти-пастки

Укладачі НМТ свідомо додають варіанти, які перевіряють найпоширеніші помилки:

• проміжок з незміненим знаком нерівності (коли основа $0<a<1$);

• проміжок з іншою дужкою (кругла замість квадратної або навпаки);

• проміжок, де неправильно виконали ділення на від'ємне число.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ є властивості степенів, зокрема $a^{m/n}$, але правила зміни знака для показникових нерівностей там немає. Це означає, що ти маєш твердо знати: при $a>1$ знак зберігається, а при $0<a<1$ — змінюється.

Складність теми

За експертною оцінкою, показникові й логарифмічні нерівності — серед найважчих тем у програмі, бо знак нерівності залежить від основи, і це потребує окремого запам'ятовування. Багато учнів гублять бали саме через те, що автоматично переносять знак без урахування основи.

Стратегія для НМТ

Якщо сумніваєшся у відповіді, скористайся простою перевіркою: підстав зручне число (наприклад, $x=0$) у вихідну нерівність і відкинь варіанти, які неправильно його містять або не містять. Це часто допомагає виявити помилку, навіть якщо ти не впевнений у розв'язанні.

Пам'ятай: на всі 22 завдання тесту відведено орієнтовно 60 хвилин, тому на одне завдання з показниковою нерівністю варто планувати 2–4 хвилини.

• $a>1$ — знак для показників зберігається, $0<a<1$ — змінюється на протилежний.

• Спершу обидві частини треба записати як степені однієї основи. Корисні відповідності: $0,25=2^{-2}$, $1/9=3^{-2}$, $1=a^0$.

• $a^x>0$ завжди: $a^x>b$ при $b\le 0$ — усі $x$; $a^x<b$ при $b\le 0$ — розв'язків немає.

• Спільний множник виносимо як степінь з найменшим показником. Квадратний показник дає квадратну нерівність.

• Після заміни $t=a^x$ обов'язково пам'ятай про умову $t>0$.

• Відповідь перевір числом $x=0$ чи іншим зручним числом — це допомагає відкинути неправильні варіанти.