Показникова й логарифмічна функції: графіки та монотонність

Показниковою функцією називають функцію виду y = aˣ, де основа a — додатне число, що не дорівнює 1. Запис a > 0, a ≠ 1 — це не примха, а вимога означення. Якщо a = 1, то 1ˣ = 1 — отримуємо сталу функцію, не показникову. Якщо a < 0, то степінь aˣ визначений не для всіх дійсних x — наприклад, (−2)^(0,5) не існує в дійсних числах.

Область визначення показникової функції — уся множина дійсних чисел: D = (−∞; +∞). Який би x ти не підставив, aˣ буде обчислений. Область значень — лише додатні числа: E = (0; +∞). Степінь з додатною основою завжди додатний, тому графік ніколи не перетинає вісь Ox і не опускається нижче неї. Це принциповий факт: aˣ ≠ 0 ні для якого x і aˣ > 0 завжди.

Графік показникової функції завжди проходить через дві ключові точки: (0; 1) — бо a⁰ = 1 — і (1; a) — бо a¹ = a. Для y = 2ˣ маємо: x = −1 → y = 0,5; x = 0 → y = 1; x = 1 → y = 2; x = 2 → y = 4. Для y = (1/2)ˣ: x = −1 → y = 2; x = 0 → y = 1; x = 1 → y = 0,5; x = 2 → y = 0,25. Що більший x, то меншим стає результат — основа менша від 1.

Монотонність

Монотонність показникової функції залежить винятково від основи:

Графік y = (1/2)ˣ — це те саме, що y = 2⁻ˣ. Тому він симетричний графіку y = 2ˣ відносно осі Oy. Показникова функція не є ні парною, ні непарною (її графік не симетричний ні відносно осі Oy, ні відносно початку координат; лише графіки y = 2ˣ і y = 2⁻ˣ симетричні один одному відносно осі Oy).

Зсуви графіка

Якщо додати до aˣ сталу, область значень зміщується. Наприклад:

• y = 2ˣ + 1 — графік піднято на 1 вгору, тому E = (1; +∞)

• y = 3 − 2ˣ — графік перевернуто й піднято, E = (−∞; 3)

Уважно: 2ˣ ніколи не стає нулем, тому значення 2ˣ + 1 лише наближаються до 1, але не досягають її. Найменшого значення функція не має, проміжок відкритий.

Логарифмічною функцією називають функцію виду y = logₐ x, де основа a > 0, a ≠ 1. Вона є оберненою до показникової — про це докладно в окремому розділі. Зараз зосередимось на її власних властивостях.

Область визначення: D = (0; +∞). Логарифм існує лише від додатних чисел — logₐ 0 та logₐ (−5) не визначені. Тому графік логарифмічної функції лежить праворуч від осі Oy і ніколи її не перетинає. Область значень: E = (−∞; +∞) — логарифм може дорівнювати будь-якому дійсному числу, від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Ключові точки графіка: (1; 0) — бо logₐ 1 = 0 — і (a; 1) — бо logₐ a = 1. Розгляньмо приклади:

Зверни увагу: y = log₀,₅ x — спадна функція, тому більшому x відповідає менший y. Наприклад, log₀,₅ 2 = −1, а log₀,₅ 0,5 = 1.

Монотонність логарифмічної функції

Як і для показникової, монотонність визначається основою:

Єдиний нуль логарифмічної функції: x = 1. Знак функції залежить від основи:

• Якщо a > 1: logₐ x > 0 при x > 1 і logₐ x < 0 при 0 < x < 1. Приклад: log₂ 3 > 0, log₂ 0,7 < 0.

• Якщо 0 < a < 1: навпаки — logₐ x < 0 при x > 1 і logₐ x > 0 при 0 < x < 1. Приклад: log₀,₅ 3 < 0, а log₀,₅ 0,2 > 0.

Це випливає з означення логарифма: logₐ x — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати x. Якщо a > 1 і x > 1, показник додатний; якщо a > 1 і 0 < x < 1 — від'ємний. При 0 < a < 1 — навпаки.

Монотонність показникової та логарифмічної функцій — це зручний інструмент, щоб порівнювати числа без обчислень. Правило просте: якщо функція зростає, то більшому аргументу відповідає більше значення; якщо спадає — навпаки.

Основа більша за 1

Для a > 1 обидві функції зростають, тому знак нерівності між значеннями збігається зі знаком нерівності між аргументами:

• Показникова: якщо m < n, то aᵐ < aⁿ. Приклад: 2³ < 2⁴ — справді, 8 < 16.

• Логарифмічна: якщо m < n, то logₐ m < logₐ n. Приклад: log₃ 7 > log₃ 5, бо 7 > 5.

Основа між 0 і 1

Для 0 < a < 1 обидві функції спадають, тому знак нерівності змінюється на протилежний:

• Показникова: якщо m < n, то aᵐ > aⁿ. Приклад: 0,3² = 0,09 > 0,3³ = 0,027. Хоча 2 < 3, значення 0,3² більше.

• Ще приклад: (2/3)^(−1,5) > (2/3)^(−1). Основа 2/3 < 1, а показники: −1,5 < −1, отже, значення при −1,5 більше.

• Логарифмічна: якщо m < n, то logₐ m > logₐ n. Приклад: log₀,₅ 3 > log₀,₅ 5, бо 3 < 5.

Порівняння з 0 і 1

Іноді треба визначити, чи більше число за 0 або за 1. Ти можеш скористатись монотонністю або ключовими значеннями:

Зведення до спільної основи

Іноді числа записані в різних формах, і потрібно спершу звести їх до однієї основи.

Приклад: порівняй 0,25 і 0,5^1,5. Зауваж: 0,25 = 0,5². Отже, порівнюємо 0,5² і 0,5^1,5. Основа 0,5 < 1, функція спадає. Оскільки 2 > 1,5, то 0,5² < 0,5^1,5, тобто 0,25 < 0,5^1,5.

Зведення до спільної основи — це навичка, яка знадобиться і при розв'язуванні показникових рівнянь, але саме розв'язування нерівностей — матеріал окремого юніта.

Показникова та логарифмічна функції з однаковою основою — це взаємно обернені функції. Це означає, що вони «скасовують» одна одну: a^(logₐ x) = x при x > 0 і logₐ (aˣ) = x для всіх дійсних x. Найважливіша геометрична властивість: їхні графіки симетричні відносно прямої y = x.

Що це означає на практиці? Якщо точка (m; n) лежить на графіку y = aˣ, то точка (n; m) лежить на графіку y = logₐ x, і навпаки. Наприклад:

• Точка (2; 4) належить графіку y = 2ˣ — отже, (4; 2) належить y = log₂ x.

• Точка (8; 3) належить графіку y = log₂ x — отже, (3; 8) належить y = 2ˣ.

Області визначення та значень

Властивість взаємної оберненості проявляється також у тому, що область визначення однієї функції збігається з областю значень другої:

Бачиш: D(aˣ) = E(logₐ x) = (−∞; +∞) і E(aˣ) = D(logₐ x) = (0; +∞). Це логічно: те, що є аргументом для однієї функції, стає результатом для другої.

Знаходження основи за точкою

Симетрія допомагає знаходити основу. Припустимо, графік y = logₐ x проходить через точку (8; 3). Це означає, що logₐ 8 = 3, тобто a³ = 8, звідки a = 2. Тоді графік y = 2ˣ проходить через симетричну точку (3; 8).

Означення оберненої функції та формальні задачі на її знаходження програма відносить до профільного рівня. Для більшості завдань достатньо вміти користуватися симетрією графіків і співвідношенням D ↔ E. Утім, НМТ рівнів не розрізняє, тож означення оберненої функції теж варто знати.

Приклад 1. Вибрати графік логарифмічної функції з основою меншою за 1

Завдання: серед п'яти графіків обери той, що відповідає функції y = log₁/₃ x.

Розв'язання. Основа a = 1/3 < 1, отже, функція спадна. Графік логарифмічної функції лежить праворуч від осі Oy — отже, крива не заходить у ліву півплощину. Ключові точки: (1; 0) обов'язково належить графіку, і (a; 1) = (1/3; 1). Ще одна зручна точка: x = 3 → y = log₁/₃ 3 = −1, тобто (3; −1).

Відповідь: спадна крива, яка проходить через (1; 0) і, наприклад, (3; −1), розташована праворуч від осі Oy.

Чому інші варіанти неправильні?

• Зростаюча крива через (1; 0) і (3; 1) — це y = log₃ x (основа > 1).

• Спадна крива через (0; 1) — це y = (1/3)ˣ (показникова, не логарифмічна).

• Зростаюча крива через (0; 1) — це y = 3ˣ.

• Крива ліворуч від Oy через (−1; 0) і (−3; −1) — не логарифмічна, бо D = (0; +∞).

Приклад 2. Яка нерівність правильна?

Завдання: обери правильну нерівність серед запропонованих.

Розв'язання. Перевіримо кожну:

• 0,4³ < 0,4² — основа 0,4 < 1, функція спадає. Показники: 3 > 2, тому 0,4³ < 0,4². Правильно.

• 1,5^(−2) > 1,5^(−1) — основа 1,5 > 1, функція зростає. −2 < −1, тому 1,5^(−2) < 1,5^(−1). Неправильно.

• log₀,₃ 5 > log₀,₃ 2 — основа 0,3 < 1, функція спадає. 5 > 2, тому log₀,₃ 5 < log₀,₃ 2. Неправильно.

• log₂ 0,5 > 0 — log₂ 0,5 = −1, бо 2⁻¹ = 0,5. Отже, −1 < 0. Неправильно.

• 0,8⁰ < 0,8¹ — 0,8⁰ = 1, 0,8¹ = 0,8. 1 > 0,8. Неправильно.

Відповідь: 0,4³ < 0,4².

Приклад 3. Логічні пари: функція — властивість

Завдання: установи відповідність між функціями (1–3) та їхніми властивостями (А–Д).

Розв'язання. y = 3ˣ — показникова, a = 3 > 1, зростає на всій числовій прямій. f(1) = 3¹ = 3. Отже, 1 → В.

y = log₃ x — логарифмічна, її область визначення D = (0; +∞). Отже, 2 → А.

y = (1/3)ˣ — показникова, a = 1/3 < 1, спадає на всій числовій прямій. Набуває лише додатних значень, бо показникова функція завжди > 0. Отже, 3 → Б.

Відповідь: 1–В, 2–А, 3–Б.

Приклад 4. Область значень після зсуву

Завдання: знайди область значень функції y = 2ˣ + 1.

Розв'язання. Для y = 2ˣ область значень (0; +∞). Додавання 1 піднімає графік на 1 вгору. Отже, E(y) = (1; +∞). Чому проміжок відкритий? Бо 2ˣ ніколи не дорівнює 0, тому 2ˣ + 1 ніколи не дорівнює 1 — лише наближається до 1 зверху.

Відповідь: (1; +∞).

Чому інші варіанти неправильні?

• [1; +∞) — помилка: вважають, що 2ˣ може дорівнювати 0.

• (0; +∞) — ігнорують зсув.

• (−∞; +∞) — плутають з областю визначення.

• (2; +∞) — помилка: думають, що 2ˣ ≥ 1, тому 2ˣ + 1 ≥ 2.

Приклад 5. Симетрія точок

Завдання: графік функції y = logₐ x проходить через точку (8; 3). Через яку точку проходить графік y = aˣ?

Розв'язання. Функції y = logₐ x і y = aˣ — взаємно обернені. Їхні графіки симетричні відносно прямої y = x. Якщо точка (8; 3) належить логарифмічній, то точка (3; 8) належить показниковій.

Відповідь: (3; 8).

Чому інші варіанти неправильні?

• (8; 3) — залишили ту саму точку, не застосували симетрію.

• (2; 3) — за абсцису взяли основу a = 2 замість того, щоб переставити координати точки (8; 3).

• (3; 2) — абсцису знайшли правильно, але за ординату взяли основу a = 2; насправді 2³ = 8.

• (0; 8) — на графіку показникової функції при x = 0 завжди y = 1, тобто там лежить точка (0; 1).

• Вважати, що aˣ може дорівнювати нулю чи бути від'ємним, і записувати E = [0; +∞). Запам'ятай: aˣ > 0 завжди, проміжок відкритий зліва.

• Вважати logₐ x визначеним при x = 0 чи x < 0. Логарифм існує лише від додатних чисел, D = (0; +∞).

• Вважати, що при основі 0 < a < 1 функції теж зростають. Насправді при a < 1 обидві функції спадають. 0,3² = 0,09, а 0,3³ = 0,027 — більший показник дає менше значення.

• Переплутати ключові точки: показникова функція проходить через (0; 1), логарифмічна — через (1; 0). Не плутай: (0; 1) — це показникова, (1; 0) — логарифмічна.

• Шукати симетрію графіків aˣ і logₐ x відносно осі Oy чи Ox замість прямої y = x. Симетрія — саме відносно прямої y = x, а не осей координат.

• Забути, що основа a не дорівнює 1. 1ˣ = 1 — стала функція, а log₁ x не визначений.

Показникова та логарифмічна функції входять до розділу «Функції» програми, тема «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості». Означення функції, оберненої до заданої, програма відносить до вимог профільного рівня. НМТ рівнів не розрізняє, тому таке завдання не виключене.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 завдання № 16 (логічні пари, 1–3 → А–Д, 0–3 бали) перевіряє властивості логарифмічної, тригонометричної й дробово-раціональної функцій. У завданнях № 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) можна зустріти:

• вибрати графік функції за її формулою;

• порівняти числа aᵐ і aⁿ або logₐ m і logₐ n, використовуючи монотонність;

• визначити область значень функції після зсуву;

• знайти точку на графіку оберненої функції за симетрією.

Важливо: у довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є властивості степенів і логарифмів, але графіків і властивостей показникової та логарифмічної функцій у довідці немає. Тобто ключові точки (0; 1), (1; 0) і правило залежності монотонності від основи потрібно пам'ятати.

Стратегія: щоб не заплутатись, завжди спершу визначай, більша основа від 1 чи менша. Це одразу підкаже, зростає функція чи спадає, як порівнювати числа і де шукати ключові точки.

• Показникова функція y = aˣ: D = (−∞; +∞), E = (0; +∞), графік проходить через (0; 1).

• Логарифмічна функція y = logₐ x: D = (0; +∞), E = (−∞; +∞), графік проходить через (1; 0).

• a > 1 — обидві функції зростають; 0 < a < 1 — обидві спадають.

• При основі між 0 і 1 більшому показнику відповідає менше значення функції. Наприклад, 0,3² > 0,3³.

• Графіки y = aˣ і y = logₐ x симетричні відносно прямої y = x — функції взаємно обернені. Точка (m; n) на одному графіку відповідає точці (n; m) на другому.