Піраміда: площа поверхні й об’єм

У стереометрії піраміда — це многогранник, одна грань якого (основа) є n-кутником, а решта n граней (бічні) — трикутники, які мають спільну вершину S. Це означення діє для будь-якої піраміди, незалежно від того, чи вона правильна, чи похила.

Розгляньмо піраміду SABC… Назви вершин: S** — вершина піраміди, точки A, B, C, D, … — вершини основи. Відрізки SA, SB, SC, … називають **бічними ребрами. Основа — це многокутник ABC… Висотою піраміди називають перпендикуляр, опущений із вершини S на площину основи. Позначають висоту h (або H), а її основу — точкою O.

Правильна піраміда

Піраміду називають правильною, якщо:

• її основа — правильний многокутник (рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник тощо);

• основа висоти O збігається з центром основи — точкою, яка одночасно є центром вписаного й описаного кіл.

Для правильної піраміди справджуються важливі властивості:

• усі бічні ребра рівні;

• усі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники;

• кожна бічна грань має висоту, проведену з вершини S до ребра основи — це апофема, позначають l.

Апофема існує лише в правильної піраміди. На рисунку: SK ⊥ AB, точка K — середина AB. Довжина SK — це й є апофема l. Не плутай апофему з висотою піраміди: висота — це SO (перпендикуляр до площини основи), а апофема — висота бічної грані (перпендикуляр до ребра основи).

Правильний тетраедр

Окремий випадок — правильна трикутна піраміда, у якої всі шість ребер рівні (тобто бічні ребра дорівнюють стороні основи). Таку піраміду називають правильним тетраедром. Усі чотири грані тетраедра — рівні рівносторонні трикутники. Це єдиний правильний многогранник, який є одночасно пірамідою.

Зрізана піраміда (піраміда, у якої відсікли верхню частину площиною, паралельною основі) у програмі НМТ позначена як вимога лише профільного рівня (позначка П).

У правильній піраміді можна виділити три прямокутні трикутники, які пов'язують висоту h, апофему l, бічне ребро b, половину сторони основи a/2 та радіуси вписаного r і описаного R кіл основи. Ці трикутники — твій головний інструмент для обчислення будь-якого невідомого елемента.

Трикутник SOK (висота — апофема)

Точка O — центр основи, точка K — середина сторони основи AB. Відрізок OK — це радіус уписаного в основу кола r. Трикутник SOK — прямокутний, кут O — прямий (SO ⊥ (ABC), OK лежить у площині основи). За теоремою Піфагора:

$$h^2+r^2=l^2$$

Тут l — апофема (гіпотенуза), h — висота (катет), r — радіус уписаного кола основи (катет).

Трикутник SOA (висота — бічне ребро)

Точка A — вершина основи. Відрізок OA — це радіус описаного навколо основи кола R. Трикутник SOA — прямокутний, кут O — прямий:

$$h^2+R^2=b^2$$

Тут b — бічне ребро (гіпотенуза), h — висота (катет), R — радіус описаного кола основи (катет).

Трикутник SKA (апофема — бічне ребро)

Трикутник SKA — прямокутний, кут K — прямий (SK ⊥ AB). Відрізок AK — половина сторони основи a/2:

$$l^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$$

Радіуси вписаного й описаного кіл основи

Щоб користуватися формулами вище, треба знати r і R для кожного правильного многокутника. Ось таблиця найважливіших випадків:

Приклади застосування

Розгляньмо правильну чотирикутну піраміду (квадрат в основі) зі стороною основи a = 6 і висотою h = 4. Радіус уписаного кола (квадрат): r = a/2 = 3. За теоремою Піфагора з трикутника SOK: l = √(h² + r²) = √(16 + 9) = 5. Радіус описаного кола: R = a√2/2 = 6·√2/2 = 3√2 ≈ 4,24. Тоді бічне ребро з трикутника SOA: b = √(h² + R²) = √(16 + 18) = √34 ≈ 5,83. Перевіримо через трикутник SKA: b = √(l² + (a/2)²) = √(25 + 9) = √34 — те саме.

Тепер правильна трикутна піраміда (рівносторонній трикутник в основі) зі стороною a = 6√3. Тоді r = a√3/6 = 6√3·√3/6 = 6·3/6 = 3, R = a√3/3 = 6√3·√3/3 = 6·3/3 = 6. Якщо висота h = 8, то бічне ребро: b = √(h² + R²) = √(64 + 36) = 10, а апофема: l = √(h² + r²) = √(64 + 9) = √73 ≈ 8,54.

Площа поверхні піраміди складається з площі основи та суми площ усіх бічних граней. Розрізняють площу бічної поверхні (Sбічна) і площу повної поверхні (Sповна).

Формула бічної поверхні правильної піраміди

Для правильної піраміди існує компактна формула, яку можна використовувати у завданнях НМТ:

$$S_{\text{бічна}}=\frac{1}{2}\cdot P_{\text{осн}}\cdot l$$

де Pосн — периметр основи, l — апофема. Ця формула є в довідкових матеріалах НМТ. Вона випливає з того, що кожна бічна грань — трикутник площею (a·l)/2, а їх у піраміди рівно n штук.

Формула ½·Pосн·l працює ТІЛЬКИ для правильної піраміди. Якщо піраміда неправильна, бічну поверхню доведеться обчислити як суму площ окремих трикутників-граней.

Повна поверхня

Повна поверхня — це сума бічної поверхні та площі основи:

$$S_{\text{повна}}=S_{\text{бічна}}+S_{\text{осн}}$$

Важливо: у піраміди лише одна основа (на відміну від призми, де їх дві). Не додавай дві основи — це типова помилка.

Приклад 1: правильна чотирикутна піраміда

Нехай сторона основи a = 6, апофема l = 5. Периметр основи Pосн = 4·6 = 24. Бічна поверхня: Sбічна = ½·24·5 = 60. Площа основи (квадрат): Sосн = a² = 36. Повна поверхня: Sповна = 60 + 36 = 96.

Приклад 2: правильна трикутна піраміда

Сторона основи a = 6, бічне ребро b = 5. Спочатку знайдемо апофему l з трикутника SKA: l² = b² − (a/2)² = 25 − 9 = 16, отже l = 4. Периметр основи: Pосн = 3·6 = 18. Бічна поверхня: Sбічна = ½·18·4 = 36. Площа основи (рівносторонній трикутник): Sосн = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3. Повна поверхня: Sповна = 36 + 9√3.

Правильний тетраедр

У правильного тетраедра всі чотири грані — рівні рівносторонні трикутники. Тому повна поверхня тетраедра з ребром a:

$$S_{\text{повна}}=4\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$$

Наприклад, для a = 6: Sповна = 36√3.

Об'єм піраміди обчислюють за універсальною формулою, яка працює для будь-якої піраміди — правильної чи неправильної:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$$

де Sосн — площа основи, h — висота піраміди. У довідкових матеріалах НМТ цю формулу записано для правильної піраміди, але вона правильна для будь-якої. Важливо не забувати множник ⅓ — це найпоширеніша помилка. Об'єм піраміди втричі менший за об'єм призми з тією самою основою й висотою.

Приклад 1: правильна чотирикутна піраміда

Сторона основи a = 6, висота h = 4. Площа основи (квадрат): Sосн = 6² = 36. Об'єм: V = ⅓ · 36 · 4 = 48 кубічних одиниць.

Приклад 2: за стороною основи й бічним ребром

Правильна чотирикутна піраміда зі стороною основи a = 4√2 і бічним ребром b = 5. Спочатку знайдемо радіус описаного кола основи: для квадрата R = a√2/2 = 4√2·√2/2 = 4·2/2 = 4. Висоту знайдемо з трикутника SOA: h = √(b² − R²) = √(25 − 16) = 3. Площа основи: Sосн = (4√2)² = 16·2 = 32. Об'єм: V = ⅓ · 32 · 3 = 32.

Приклад 3: бічне ребро перпендикулярне до основи

У піраміді SABC ребро SA перпендикулярне до площини основи ABC. Тоді висотою піраміди є саме ребро SA. Нехай основа — прямокутний трикутник з катетами 3 і 4, а SA = 5. Площа основи: Sосн = ½·3·4 = 6. Об'єм: V = ⅓ · 6 · 5 = 10.

Обернені задачі

Іноді завдання дає об'єм і просить знайти висоту або площу основи. Наприклад, V = 48, основа — квадрат зі стороною 6. Знайдемо висоту: h = 3V / Sосн = 3·48 / 36 = 144 / 36 = 4.

Важливе спостереження: якщо всі бічні ребра піраміди рівні, то основа висоти — центр описаного кола основи. Це випливає з того, що рівні похилі мають рівні проєкції. На цьому принципі побудовано Приклад 4 з розділу «Розбираємо завдання».

Нижче розібрано п'ять завдань, схожих на ті, що можуть трапитися на НМТ. Кожне супроводжується покроковим розв'язанням та аналізом типових помилок.

Приклад 1. Об'єм правильної чотирикутної піраміди

Завдання: Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8√2, а бічне ребро — 10.

Розв'язання: Основа — квадрат. Знайдемо радіус описаного кола: R = a√2/2 = 8√2·√2/2 = 8·2/2 = 8. З трикутника SOA: h = √(b² − R²) = √(100 − 64) = √36 = 6. Площа основи: Sосн = (8√2)² = 64·2 = 128. Об'єм: V = ⅓ · 128 · 6 = 256.

Відповідь: 256.

Типові помилки: 768 — забули множник ⅓; 1280/3 — за висоту взяли бічне ребро 10; 256√17/3 — помилково взяли r = 4√2 (радіус вписаного кола) замість R; 128 — дали лише площу основи.

Приклад 2. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди

Завдання: У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 10, а висота — 12. Знайдіть площу бічної поверхні.

Розв'язання: Для квадрата r = a/2 = 5. З трикутника SOK: l = √(h² + r²) = √(144 + 25) = √169 = 13. Периметр основи: Pосн = 4·10 = 40. Sбічна = ½·40·13 = 260.

Відповідь: 260.

Пастки: 240 — якщо висоту 12 помилково взяти за апофему (Sбічна = ½·40·12 = 240); 360 — обчислено повну поверхню (Sповна = 260 + 100 = 360), хоча питали тільки бічну.

Приклад 3. Бічне ребро правильної трикутної піраміди

Завдання: У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 6, а висота — 2. Знайдіть бічне ребро.

Розв'язання: Основа — рівносторонній трикутник. R = a√3/3 = 6√3/3 = 2√3. З трикутника SOA: b = √(h² + R²) = √(4 + 12) = √16 = 4.

Відповідь: 4.

Дистрактори: √7 — взяли r = a√3/6 = √3 (помилка: r замість R); √13 — взяли половину сторони 3 замість R; 2√10 — взяли всю сторону 6 замість R; √31 — взяли всю медіану 3√3 замість R.

Приклад 4. Об'єм піраміди з прямокутником в основі

Завдання: Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 6 і 8. Усі бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть об'єм піраміди.

Розв'язання: Якщо всі бічні ребра рівні, то основа висоти — центр описаного кола основи, тобто точка перетину діагоналей прямокутника. Діагональ прямокутника: d = √(6² + 8²) = 10. Радіус описаного кола: R = d/2 = 5. З трикутника SOA: h = √(b² − R²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Площа основи: Sосн = 6·8 = 48. Об'єм: V = ⅓ · 48 · 12 = 192.

Відповідь: 192.

Пастки: 576 — забули множник ⅓ (48·12 = 576); 208 — висотою помилково взяли бічне ребро 13 (⅓·48·13 = 208).

Приклад 5. Об'єм піраміди з бічним ребром, перпендикулярним до основи

Завдання: У піраміді SABC ребро SA перпендикулярне до площини основи ABC. Трикутник ABC — рівносторонній зі стороною 4, SA = 3. Знайдіть об'єм піраміди.

Розв'язання: Оскільки SA ⊥ (ABC), то SA — висота піраміди. Площа рівностороннього трикутника: Sосн = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3. Об'єм: V = ⅓ · 4√3 · 3 = 4√3.

Відповідь: 4√3.

Дистрактори: 12√3 — забули множник ⅓ (4√3·3 = 12√3); 16 — площу основи взяли як a² = 16, ігноруючи формулу трикутника; 8√3 — площу трикутника взяли як a²√3/2 = 8√3 (помилкова формула); 2√3 — помилкове обчислення.

• Забувають множник ⅓ в об'ємі піраміди. Об'єм піраміди V = ⅓·Sосн·h, а не Sосн·h. Це найчастіша помилка в завданнях на цю тему.

• Плутають апофему (висоту бічної грані) з висотою піраміди чи з бічним ребром. Апофема l — це висота бічної грані, проведена з вершини S до ребра основи. Висота h — перпендикуляр з вершини на площину основи. Бічне ребро b сполучає вершину з вершиною основи. Це три різні відрізки.

• У трикутнику «висота — апофема» беруть R замість r, а в трикутнику «висота — бічне ребро» — r замість R. Запам'ятай: у трикутнику SOK катет OK = r (радіус вписаного кола), у трикутнику SOA катет OA = R (радіус описаного кола).

• Для правильної чотирикутної піраміди беруть R = a/2 або всю діагональ основи замість її половини. Правильно: R = a√2/2 — це половина діагоналі квадрата. Уся діагональ дорівнює a√2.

• У повну поверхню піраміди додають дві основи, як у призми. У піраміди лише одна основа. Sповна = Sбічна + Sосн (один раз).

• Застосовують формулу ½·Pосн·l до неправильної піраміди з різними бічними гранями. Ця формула працює ТІЛЬКИ для правильної піраміди, де всі бічні грані рівні. Для неправильної піраміди бічну поверхню знаходять як суму площ окремих трикутників.

Тема «Піраміда та її елементи, формули площ поверхонь і об'ємів піраміди» належить до теми «Многогранники, тіла обертання» розділу «Стереометрія» програми НМТ з математики. Зрізана піраміда в програмі позначена як вимога лише профільного рівня (П). НМТ укладають за повною програмою, тож гарантії, що її не буде, немає, але насамперед треба впевнено розв'язувати задачі на звичайну піраміду.

За типовим бланком НМТ, піраміда може з'явитися серед завдань 4–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал). Також стереометрія традиційно представлена в завданні № 21 — це коротка відповідь (число), яка оцінюється в 0 або 2 бали без часткових балів.

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є формули:

• V = ⅓ · Sосн · H — об'єм піраміди (записано для правильної, але працює для будь-якої);

• Sбічна = ½ · Pосн · l — бічна поверхня правильної піраміди.

Теорема Піфагора теж є в довідці. Саме нею ти будеш знаходити висоту, апофему та бічне ребро — готових формул для цих величин у довідці немає.

Стратегія виконання

Найкраща стратегія для будь-якої задачі на піраміду: намалюй окремо прямокутний трикутник SOK або SOA (залежно від того, що дано), підпиши на ньому відомі відрізки, познач невідомий як x і лише потім застосовуй теорему Піфагора. Це вбереже тебе від плутанини між r і R, а також між висотою, апофемою й бічним ребром.

• V = ⅓ · Sосн · h для будь-якої піраміди — не забувай множник ⅓.

• Правильна піраміда: Sбічна = ½ · Pосн · l, Sповна = Sбічна + Sосн (основа одна).

• Основа висоти правильної піраміди — центр основи (центр вписаного й описаного кіл).

• Три ключові прямокутні трикутники: h² + r² = l² (SOK), h² + R² = b² (SOA), l² + (a/2)² = b² (SKA).

• Квадрат: r = a/2, R = a√2/2. Правильний трикутник: r = a√3/6, R = a√3/3. Правильний шестикутник: r = a√3/2, R = a.

• Якщо всі бічні ребра рівні, висота падає в центр описаного кола основи.