Перпендикуляр і похила: відстань від точки до прямої

У цьому розділі познайомишся з трьома ключовими поняттями: перпендикуляр, похила та проєкція похилої. Вони постійно трапляються в задачах планіметрії, особливо коли йдеться про відстані.

Перпендикуляр до прямої

Нехай маємо пряму a і точку A поза нею. Щоб провести з A найкоротший відрізок до прямої, треба опустити перпендикуляр. Відрізок AH, для якого AH ⊥ a, називають перпендикуляром з точки A на пряму a. Точку H називають основою перпендикуляра. Важливо: з точки поза прямою можна провести до неї лише один перпендикуляр.

Якщо ж точка лежить на самій прямій, то перпендикуляр — це відрізок нульової довжини, тобто сама точка.

Похила

Будь-який інший відрізок, що з'єднує точку A з прямою a, але не є перпендикуляром, називають похилою. Позначмо його AM, де M — основа похилої (точка на прямій, до якої проведено похилу). З однієї точки можна провести безліч похилих, і всі вони будуть довшими за перпендикуляр.

Проєкція похилої

Відрізок між основою перпендикуляра й основою похилої називають проєкцією похилої. Позначмо його HM. Зверни увагу: проєкція завжди лежить на прямій a, а сама похила — ні.

Прямокутний трикутник «перпендикуляр — похила — проєкція»

Три точки A, H і M утворюють трикутник AHM. Оскільки AH ⊥ a, а M лежить на a, то кут при вершині H — прямий (∠H = 90°). Отже, AHM — прямокутний трикутник, де:

• похила AM — гіпотенуза;

• перпендикуляр AH — один катет;

• проєкція HM — другий катет.

За теоремою Піфагора:

$$A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2$$

Цю формулу називають «похила² = перпендикуляр² + проєкція²». Вона дає змогу знайти будь-який із трьох елементів, якщо відомі два інші.

Приклад обчислення

Нехай з точки A проведено перпендикуляр AH = 12 і похилу AM = 13. Тоді проєкція:

$$HM=\sqrt{A{M}^2-A{H}^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$$

Числа 5, 12, 13 утворюють піфагорову трійку — вони часто трапляються в задачах НМТ.

Тепер, коли ти знаєш, що таке перпендикуляр, похила та проєкція, розгляньмо, як ці поняття пов'язані з відстанню та як порівнювати похилі між собою.

Відстань від точки до прямої

Відстанню від точки до прямої називають довжину перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму. Чому саме перпендикуляра, а не похилої? Бо перпендикуляр — найкоротший відрізок серед усіх, що сполучають точку з прямою. У прямокутному трикутнику гіпотенуза (похила) завжди довша за будь-який катет (перпендикуляр).

Якщо точка лежить на прямій, то відстань від неї до прямої дорівнює нулю.

Порівняння похилих з однієї точки

Нехай з точки A до прямої a проведено дві похилі AM₁ і AM₂ з проєкціями H₁M₁ і H₂M₂ відповідно. Справедливі такі властивості:

• Рівні похилі мають рівні проєкції. Якщо AM₁ = AM₂, то H₁M₁ = H₂M₂, і навпаки.

• Більша похила має більшу проєкцію. Якщо AM₁ > AM₂, то H₁M₁ > H₂M₂.

Це випливає з того, що перпендикуляр AH спільний для обох похилих, а проєкція та похила пов'язані теоремою Піфагора.

Приклад: дві похилі з однієї точки

Точка A міститься на відстані 8 від прямої a (тобто AH = 8). З неї проведено похилі AM₁ = 10 і AM₂ = 17. Знайдемо проєкції:

$$H{M}_1=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$$

$$H{M}_2=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$

Отже, проєкції дорівнюють 6 і 15. Більша похила (17) має більшу проєкцію (15), що підтверджує правило.

Відстань між основами двох похилих

Розташування основ похилих залежить від того, по який бік від перпендикуляра вони лежать.

Це важливо: учні часто плутають, коли додавати, а коли віднімати проєкції. Запам'ятай: якщо обидві похилі по один бік від перпендикуляра, одна проєкція «накладається» на іншу, тому відстань між основами — це різниця. Якщо по різні боки — основи розходяться, і відстань між ними дорівнює сумі проєкцій.

Окремий і дуже важливий випадок перпендикуляра — серединний перпендикуляр до відрізка. Він постійно трапляється в задачах на рівнобедрені трикутники та знаходження відстаней.

Означення

Серединним перпендикуляром до відрізка AB називають пряму, яка проходить через середину AB і перпендикулярна до нього. Позначмо середину AB через точку O. Тоді серединний перпендикуляр проходить через O і ⊥ AB.

Властивість

Кожна точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Тобто якщо точка M лежить на серединному перпендикулярі до AB, то MA = MB.

Справедливе й обернене твердження: якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Зв'язок із рівнобедреним трикутником

Трикутник MAB з вершиною M на серединному перпендикулярі до AB є рівнобедреним (MA = MB), а основа AB ділиться точкою O навпіл. Відрізок MO — це висота, медіана й бісектриса, проведені до основи. Саме він є перпендикуляром з точки M на пряму AB.

Приклад обчислення

Нехай AB = 10, точка M лежить на серединному перпендикулярі до AB, і відстань від M до прямої AB дорівнює 12 (тобто MO = 12). Потрібно знайти MA:

Точка O — середина AB, отже, AO = OB = 5. Трикутник MOA прямокутний (∠O = 90°). MO = 12 — катет, AO = 5 — другий катет. Шукаємо гіпотенузу MA:

$$MA=\sqrt{M{O}^2+A{O}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$

Відповідь: MA = MB = 13. Знову піфагорова трійка 5, 12, 13.

Паралельні прямі часто трапляються в задачах з планіметрії. Важливо вміти знаходити відстань між ними, адже це ключ до обчислення висот у паралелограмах, трапеціях та інших фігурах.

Відстань між паралельними прямими

Нехай маємо дві паралельні прямі a і b (a ∥ b). Візьми будь-яку точку A на прямій a та опусти перпендикуляр на пряму b. Оскільки прямі паралельні, то цей перпендикуляр буде перпендикулярний і до a, і до b. Його називають спільним перпендикуляром.

Відстанню між паралельними прямими називають довжину будь-якого їхнього спільного перпендикуляра. Усі точки однієї з прямих рівновіддалені від другої прямої: яку б точку на a не взяти, відстань від неї до b буде однаковою.

Зв'язок із висотою

У паралелограмі й трапеції відстань між паралельними основами — це висота фігури. Бічна сторона трапеції або похила сторона паралелограма є похилою між паралельними прямими. Тому вона не коротша за висоту (адже будь-яка похила довша за перпендикуляр).

Обчислення за відрізком і проєкцією

Якщо між паралельними прямими проведено відрізок (похилу) завдовжки 25, а його проєкція на одну з прямих дорівнює 7, то відстань між прямими дорівнює:

$$d=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$

Тут відрізок — гіпотенуза, проєкція — один катет, а відстань (спільний перпендикуляр) — другий катет прямокутного трикутника.

Точка між двома паралельними прямими

Якщо точка A лежить між двома паралельними прямими, причому відстань від неї до першої прямої дорівнює 3, а до другої — 5, то відстань між прямими дорівнює сумі: 3 + 5 = 8.

Якщо ж точка лежить поза смугою між прямими (по один бік від обох), то відстань між прямими дорівнює різниці: 5 − 3 = 2.

Завжди перевіряй, де міститься точка: усередині смуги між прямими чи зовні. Від цього залежить, додавати відстані чи віднімати.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі НМТ на тему перпендикуляра й похилої. Кожну розберемо покроково.

Приклад 1. Знаходження проєкції похилої

З точки A до прямої проведено перпендикуляр AH = 8 і похилу AM = 10. Знайди проєкцію похилої.

Розв'язання. Маємо прямокутний трикутник AHM, де AM = 10 — гіпотенуза, AH = 8 — катет. Проєкція HM — другий катет. За теоремою Піфагора:

$$HM=\sqrt{A{M}^2-A{H}^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$$

Відповідь: 6.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 (10 − 8) — віднімання довжин замість квадратів;

• 18 (10 + 8) — сума замість різниці квадратів;

• 2√41 — додали квадрати похилої та перпендикуляра: √(100 + 64) = √164 = 2√41, але треба було віднімати;

• 9 — √(100 − 19) = √81 = 9, помилкове обчислення.

Приклад 2. Дві похилі по різні боки від перпендикуляра

З точки на відстані 8 від прямої проведено дві похилі завдовжки 10 і 17 по різні боки від перпендикуляра. Знайди відстань між їхніми основами.

Розв'язання. Перпендикуляр спільний, AH = 8. Знаходимо проєкції:

$$H{M}_1=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6$$

$$H{M}_2=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$

Оскільки похилі по різні боки від перпендикуляра, відстань між основами дорівнює сумі проєкцій: 6 + 15 = 21.

Відповідь: 21.

Типова пастка: узяти різницю (9), але різниця проєкцій дає відстань між основами, коли похилі по один бік від перпендикуляра.

Приклад 3. Серединний перпендикуляр

Точка M лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB = 16. MA = 17. Знайди відстань від точки M до прямої AB.

Розв'язання. Позначмо O — середину AB. Тоді AO = OB = 8. Трикутник MOA прямокутний (MO ⊥ AB). MA = 17 — гіпотенуза, AO = 8 — катет. Відстань MO — другий катет:

$$MO=\sqrt{M{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$

Відповідь: 15.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1 (17 − 16) — віднімання довжин замість квадратів;

• 8 — узяли половину AB замість відстані;

• √545 — додали квадрати: √(289 + 256) = √545, але треба віднімати;

• 9 — √(289 − 208) = 9, помилкове обчислення.

Приклад 4. Відстань між паралельними прямими (канал)

Береги каналу паралельні. Похилий пішохідний міст завдовжки 26 м має проєкцію на берег 10 м. Знайди ширину каналу (відстань між берегами).

Розв'язання. Береги — паралельні прямі. Міст — похила між ними завдовжки 26 м. Його проєкція на берег — 10 м. Ширина каналу — спільний перпендикуляр між берегами (відстань між паралельними прямими). За теоремою Піфагора:

$$d=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$$

Відповідь: 24 м.

Чому інші варіанти неправильні:

• 16 м (26 − 10) — віднімання довжин, а не квадратів;

• 26 м — узяли довжину моста (похилу) за відстань;

• √776 м — додали квадрати: √(676 + 100) = √776;

• 13 м — половина від 26, не пов'язана з умовою.

Під час виконання завдань НМТ на перпендикуляр і похилу учні найчастіше припускаються таких помилок. Ознайомся з ними, щоб не потрапити в пастки.

• Беруть за відстань від точки до прямої довжину похилої, а не перпендикуляра. Пам'ятай: відстань — це найкоротший відрізок, тобто перпендикуляр. Похила завжди довша.

• Плутають похилу з її проєкцією. Похила — відрізок від точки до прямої, що не перпендикулярний до неї. Проєкція лежить на самій прямій, а похила — ні.

• Додають квадрати похилої й перпендикуляра замість того, щоб відняти, коли шукають проєкцію. Проєкція — катет, тому з квадрата гіпотенузи (похилої) треба відняти квадрат відомого катета (перпендикуляра).

• Для похилих по різні боки від перпендикуляра віднімають проєкції, а по один бік — додають. Запам'ятай: по різні боки — сума (основи розходяться), по один бік — різниця (одна проєкція міститься всередині іншої).

• Вважають, що будь-яка точка, рівновіддалена від кінців відрізка, є його серединою. Це неправда: рівновіддалена точка лежить на серединному перпендикулярі, а не обов'язково на самому відрізку.

• Вимірюють відстань між паралельними прямими по бічній стороні (похилій), а не по перпендикуляру. Відстань між паралельними прямими — це завжди довжина спільного перпендикуляра, а не будь-якої похилої між ними.

Розуміння того, як саме перевіряють тему на НМТ, допоможе тобі правильно розподілити час і зусилля.

Зміст теми за програмою

Перпендикуляр і похила, серединний перпендикуляр, відстань від точки до прямої та відстань між паралельними прямими входять до теми 5.1 програми рівня стандарту («Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості»). Це базові поняття, які перевіряють у завданнях із планіметрії.

Форми завдань

Довідкові матеріали

На НМТ ти матимеш доступ до довідкових матеріалів, серед яких теорема Піфагора для прямокутного трикутника та таблиця квадратів натуральних чисел від 10 до 49. Це означає, що тобі не доведеться вручну підносити до квадрата числа на кшталт 17 або 24 — просто зазирни в таблицю.

Стратегія розв'язування

• 1. Знайди на рисунку прямий кут (90°) — він завжди вказує на перпендикуляр.

• 2. Познач похилу як гіпотенузу прямокутного трикутника, а перпендикуляр і проєкцію — як катети.

• 3. Застосуй теорему Піфагора: якщо шукаєш гіпотенузу (похилу) — додавай квадрати катетів; якщо шукаєш катет (перпендикуляр або проєкцію) — віднімай квадрат відомого катета від квадрата гіпотенузи.

• 4. Якщо похилих дві, визнач, по один чи по різні боки від перпендикуляра вони лежать, а тоді відповідно додай або відніми проєкції.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення теми.

• Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра. Похила завжди довша за перпендикуляр, тому її не можна брати за відстань.

• Перпендикуляр, похила й проєкція утворюють прямокутний трикутник. Співвідношення: похила² = перпендикуляр² + проєкція² (теорема Піфагора).

• Рівні похилі мають рівні проєкції, більша похила — більшу проєкцію. Це випливає зі спільного перпендикуляра й теореми Піфагора.

• Кожна точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Властивість працює в обидва боки: рівновіддалена точка обов'язково лежить на серединному перпендикулярі.

• Відстань між паралельними прямими однакова всюди — це довжина спільного перпендикуляра. У паралелограмі й трапеції ця відстань збігається з висотою.

• Відстань між основами похилих: по різні боки від перпендикуляра — сума проєкцій; по один бік — різниця проєкцій.