Область визначення й область значень функції

Поняття функції — одне з найважливіших у математиці. У повсякденні ми теж часто маємо справу з функціональними залежностями: вартість покупки залежить від кількості товару, температура повітря — від часу доби, а пройдений шлях — від часу руху. Формальне означення таке: функція — це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної x з деякої множини D відповідає єдине значення залежної змінної y.

Незалежну змінну x називають аргументом функції, а залежну змінну y — значенням функції. Запис y = f(x) читають як «ігрек дорівнює еф від ікс». Наприклад, для функції f(x) = x² − 3x значення при x = −2 обчислюють так: f(−2) = (−2)² − 3·(−2) = 4 + 6 = 10. Отже, f(−2) = 10 — це значення функції в точці −2.

Графік функції

Графік функції — це множина всіх точок координатної площини з координатами (x; f(x)), де x пробігає область визначення. Точка A(a; b) належить графіку функції y = f(x) тоді й лише тоді, коли f(a) = b. Наприклад, точка (2; 1) лежить на графіку y = 3x − 5, бо 3·2 − 5 = 1. А от точка (2; 4) не належить цьому графіку, адже 3·2 − 5 ≠ 4.

Важлива властивість: крива є графіком функції, лише якщо кожна вертикальна пряма перетинає її не більше ніж в одній точці. Коло цій умові не задовольняє — вертикальна пряма перетинає коло у двох точках, тому коло не є графіком функції.

Способи задання функції

Функцію можна задати чотирма основними способами:

• Формулою (аналітичний спосіб): y = √(x + 2), y = 3x − 5. Це найпоширеніший спосіб, який дає змогу обчислити значення функції для будь-якого x з області визначення.

• Графіком: функцію задають малюнком — лінією на координатній площині. Значення функції в точці знаходять як ординату точки графіка з відповідною абсцисою.

• Таблицею значень: для окремих значень аргументу вказують відповідні значення функції. Наприклад, x: 0, 1, 2 → y: 3, 5, 7. З таблиці можна прочитати лише ті значення, які в ній подано.

• Словесно: «кожному числу відповідає його квадрат» — це функція y = x².

Кусково задана функція

Окремий випадок — кусково задана функція, яка має різні формули на різних проміжках. Наприклад:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1,\\ 3-x,& x\ge 1.\end{array}$$

Щоб обчислити значення такої функції, спершу визначають, якому проміжку належить аргумент, а потім застосовують відповідну формулу. Для x = −2 (проміжок x < 1) маємо f(−2) = (−2)² = 4. Для x = 1 (проміжок x ≥ 1) маємо f(1) = 3 − 1 = 2. Для x = 4 (проміжок x ≥ 1) маємо f(4) = 3 − 4 = −1. Точку стику x = 1 завжди обчислюють за тією формулою, де стоїть нестрогий знак (≥ або ≤). Уміння обчислювати значення кусково заданої функції — перший крок завдання 19 демоваріанта НМТ-2026.

Область визначення функції позначають D(f) (від англ. domain — область). Це множина всіх значень аргументу, за яких формула, що задає функцію, має зміст. Якщо область визначення не вказано окремо, вважають, що вона складається з усіх x, для яких можна обчислити f(x).

Найпростіший випадок — многочлен. Функція y = x³ − 2x + 7 визначена при всіх дійсних x, тому D = (−∞; +∞). Те саме стосується будь-якого многочлена: скільки б не було доданків, він існує для будь-якого x.

Три основні обмеження

У цьому юніті розглядаємо три основні обмеження, за яких формула втрачає зміст. Їх треба знати напам'ять:

Є й інші обмеження: tg x визначений при x ≠ π/2 + πk, k ∈ ℤ; основа логарифма має бути додатною й не дорівнювати 1; степінь із дробовим показником визначений лише для додатної основи (за додатного показника — і для 0); вираз 0⁰ не має змісту.

Корінь непарного степеня (третього, п'ятого тощо) обмежень не дає: y = ∛(x − 5) визначена при всіх x, тобто D = (−∞; +∞). Те саме для кореня п'ятого степеня: y = ⁵√(x + 2) теж визначена всюди.

Важливі нюанси

Нуль у чисельнику дробу дозволений. Наприклад, функція y = x/(x − 2) визначена при x = 0, бо f(0) = 0/(0 − 2) = 0. Виключаємо лише x = 2, де знаменник дорівнює нулю.

Область визначення шукають до будь-яких спрощень. Функція y = (x² − 9)/(x − 3) не визначена при x = 3, хоча після скорочення вийшло б x + 3. Чому? Бо при x = 3 знаменник початкового дробу дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Тому D = (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

Корінь у чисельнику й у знаменнику — різні умови

Коли корінь парного степеня стоїть у чисельнику, умова нестрога: y = √(x − 3) визначена при x − 3 ≥ 0, тобто x ≥ 3. А коли корінь у знаменнику, умова стає строгою: y = 1/√(x − 3) визначена при x − 3 > 0, тобто x > 3. Адже знаменник не може дорівнювати нулю, а корінь дорівнює нулю саме при x = 3.

Логарифм у знаменнику додає дві умови: вираз під логарифмом має бути додатним, і сам логарифм не може дорівнювати нулю. Для y = 1/lg x маємо x > 0 і lg x ≠ 0, тобто x ≠ 1. Отже, D = (0; 1) ∪ (1; +∞).

Коли функція містить кілька «небезпечних» елементів — дріб, корінь, логарифм — кожне обмеження виписують окремо й об'єднують у систему. Область визначення — це переріз (спільна частина) множин розв'язків усіх нерівностей, а не їх об'єднання.

Приклад 1: дріб і корінь

Розглянемо функцію y = √(x + 2)/(x − 1). Маємо два обмеження:

• Корінь парного степеня: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2

• Знаменник дробу: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1

Беремо спільну частину (переріз): x ≥ −2 і x ≠ 1. На числовій прямій зафарбовуємо проміжок від −2 до +∞, а точку 1 виколюємо. Запис проміжками: D = [−2; 1) ∪ (1; +∞).

Приклад 2: корінь і логарифм

Для функції y = √(x + 5) + lg(3 − x) маємо:

• Корінь: x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5

• Логарифм: 3 − x > 0 → x < 3

Переріз: x ≥ −5 і x < 3 дає D = [−5; 3). Точка −5 входить (квадратна дужка), бо корінь допускає рівність нулю. Точка 3 не входить (кругла дужка), бо логарифм вимагає строгої додатності.

Приклад 3: дріб із квадратом знаменника

Функція y = √(4 − x)/(x² − 9) має три обмеження:

• Корінь: 4 − x ≥ 0 → x ≤ 4

• Знаменник: x² − 9 ≠ 0 → x ≠ −3 і x ≠ 3

Переріз: x ≤ 4, x ≠ −3, x ≠ 3. Запис проміжками: D = (−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 4].

Як правильно записувати відповідь

Квадратна дужка означає, що кінець проміжку належить області визначення (нестрогий знак нерівності). Кругла дужка — кінець не належить (строгий знак або виколота точка). Біля символів −∞ і +∞ дужка завжди кругла, бо нескінченність — не число.

Перевіряти себе варто підстановкою: взяти межове число й підставити у формулу. Якщо обчислення можливе — точка входить, якщо ні — не входить. Також варто підставити число, яке свідомо не належить D, і переконатися, що формула втрачає зміст.

Кількість цілих чисел в області визначення

Іноді в завданні питають, скільки цілих чисел належить області визначення. Наприклад, для y = √(x + 1) + √(5 − x) маємо x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1 і 5 − x ≥ 0 → x ≤ 5. Отже, D = [−1; 5]. Цілі числа на цьому проміжку: −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 — усього 7 чисел. Рахувати треба включно з обома кінцями, якщо вони входять до D.

Область значень функції позначають E(f) (від фр. ensemble — множина). Це множина всіх значень y, яких набуває функція, коли аргумент x пробігає всю область визначення.

Область значень за графіком

Якщо функцію задано графіком, область визначення читають як проєкцію графіка на вісь Ox (усі абсциси точок графіка), а область значень — як проєкцію на вісь Oy (усі ординати). Достатньо знайти найнижчу й найвищу точку графіка.

Кінці графіка можуть бути зафарбовані (точка належить графіку) або виколоті (не належить). Якщо найнижча точка графіка має координати (1; −2), найвища — (−3; 5), і обидві зафарбовані, то область значень E = [−2; 5]. Зверни увагу: область значень визначають ординати точок, а не абсциси. Навіть якщо область визначення — [−3; 4], область значень може бути зовсім іншою.

Область значень за формулою

Для найпростіших функцій область значень знаходять з оцінок основних виразів:

Лінійна функція на відрізку

Якщо лінійну функцію розглядають на відрізку, вона набуває всіх значень між значеннями на кінцях. Наприклад, y = 2x − 1 на проміжку [0; 3]: на лівому кінці f(0) = −1, на правому f(3) = 5. Оскільки функція лінійна й неперервна, вона набуває всіх значень між −1 і 5, тобто E = [−1; 5].

Функція y = 1/x

Для оберненої пропорційності y = 1/x область визначення D = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Функція ніколи не дорівнює нулю, тому 0 не належить області значень. Отже, E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞).

Приклад 1. Область визначення дробово-ірраціональної функції

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Знайдіть область визначення функції y = √(x + 4)/(x − 3).

Розв'язання. Виписуємо всі обмеження:

• Корінь парного степеня: x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4

• Знаменник дробу: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3

Беремо спільну частину (переріз): x ≥ −4 і x ≠ 3. Запис проміжками: D = [−4; 3) ∪ (3; +∞).

Відповідь: [−4; 3) ∪ (3; +∞).

Розбір дистракторів:

• [−4; +∞) — забули про знаменник, не виключили x = 3

• (−4; 3) ∪ (3; +∞) — кругла дужка біля −4, хоча корінь допускає рівність, тому має бути квадратна

• (−∞; 3) ∪ (3; +∞) — забули про корінь, не врахували x ≥ −4

• [−4; 3) — втратили проміжок (3; +∞)

Приклад 2. Логічні пари: функція — область визначення

Завдання (логічні пари). Установіть відповідність між функціями (1–3) та їхніми областями визначення (А–Д).

1) y = lg(x − 2); 2) y = √(2 − x); 3) y = 1/(x − 2).

А) (2; +∞); Б) (−∞; 2]; В) (−∞; 2) ∪ (2; +∞); Г) [2; +∞); Д) (−∞; +∞).

Розв'язання.

• 1) y = lg(x − 2): логарифм визначений при x − 2 > 0 → x > 2. Це проміжок (2; +∞) — А.

• 2) y = √(2 − x): корінь парного степеня: 2 − x ≥ 0 → x ≤ 2. Це проміжок (−∞; 2] — Б.

• 3) y = 1/(x − 2): знаменник не дорівнює нулю: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2. Це (−∞; 2) ∪ (2; +∞) — В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 3. Область значень за графіком

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Функцію задано графіком на відрізку [−3; 4]. Найнижча точка графіка — (1; −2), найвища — (−3; 5), правий кінець графіка — (4; 3). Знайдіть область значень функції.

Розв'язання. Область значень — це проєкція графіка на вісь Oy. Найнижча точка має ординату −2, найвища — 5. Обидві точки зафарбовані, тому E = [−2; 5].

Відповідь: [−2; 5].

Розбір дистракторів:

• [−3; 4] — узято область визначення замість області значень

• [3; 5] — узято ординати кінців графіка, а не найнижчої й найвищої точок

• [−2; 3] — правий кінець має ординату 3, але найвища точка має ординату 5

• (−2; 5) — круглі дужки, хоча кінці зафарбовані й належать графіку

Приклад 4. Значення кусково заданої функції

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Функцію задано формулою:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x<1,\\ x^2-4,& x\ge 1.\end{array}$$

Обчисліть f(−3) + f(3).

Розв'язання. Для x = −3 (проміжок x < 1): f(−3) = 2·(−3) + 1 = −6 + 1 = −5. Для x = 3 (проміжок x ≥ 1): f(3) = 3² − 4 = 9 − 4 = 5. Сума: −5 + 5 = 0.

Відповідь: 0.

Розбір дистракторів:

• 2 — обидва значення обчислено за першою формулою: f(−3) = −5, f(3) = 7, сума 2

• 10 — обидва значення обчислено за другою формулою: f(−3) = 5, f(3) = 5, сума 10

• 12 — формули переплутано: f(−3) = 5, f(3) = 7, сума 12

• −10 — значення f(−3) = −5 помилково взято двічі: (−5) + (−5) = −10 замість f(−3) + f(3) = −5 + 5 = 0

Приклад 5. Кількість цілих чисел в області визначення

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Скільки цілих чисел належить області визначення функції y = √(x + 2) + lg(4 − x)?

Розв'язання. Виписуємо обмеження:

• Корінь: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2

• Логарифм: 4 − x > 0 → x < 4

Переріз: D = [−2; 4). Цілі числа на цьому проміжку: −2, −1, 0, 1, 2, 3 — усього 6 чисел. Число 4 не входить, бо логарифм вимагає строгої додатності.

Відповідь: 6.

Розбір дистракторів:

• 7 — до D включено число 4, хоча логарифм не визначений при x = 4

• 5 — виключено число −2, хоча корінь допускає рівність нулю

• 4 — не враховано кілька цілих чисел

• 8 — зайве занижено або завищено кількість

• Забуто одне з обмежень, коли їх кілька. Для функції y = √(x + 2)/(x − 1) часто записують лише x ≥ −2, забуваючи про знаменник. Правильно: x ≥ −2 і x ≠ 1.

• Під логарифмом записують нестрогу нерівність. Помилка: x − 1 ≥ 0 замість правильної x − 1 > 0. Логарифм існує лише для строго додатних чисел.

• Під коренем у знаменнику ставлять «≥» замість «>». Для y = 1/√(x − 3) умова x − 3 ≥ 0 невірна: при x = 3 знаменник дорівнює нулю. Правильно: x − 3 > 0.

• Виключено точку, де нулю дорівнює чисельник. Для y = x/(x − 2) дехто викидає x = 0, хоча нуль у чисельнику цілком допустимий. Виключаємо лише x = 2.

• Область визначення знайдено після скорочення дробу. Функцію y = (x² − 9)/(x − 3) скорочують до x + 3 і вважають визначеною при x = 3. Насправді початковий дріб при x = 3 не існує.

• Переплутано осі. Область значень читають як проєкцію на Ox, а область визначення — на Oy. Запам'ятай: D — проєкція на Ox (горизонталь), E — проєкція на Oy (вертикаль).

• Обмеження кореня парного степеня перенесено на корінь непарного. Корінь третього степеня ∛(x − 5) визначений при всіх x, але дехто помилково вимагає x ≥ 5.

• Значення кусково заданої функції в точці стику обчислено не за тією формулою. Точку стику завжди обчислюють за формулою з нестрогим знаком (≥ або ≤). Якщо f(x) = x² при x < 1 і f(x) = 3 − x при x ≥ 1, то f(1) = 3 − 1 = 2, а не 1² = 1.

Тема належить до розділу «Функції» програми НМТ з математики. Програма вимагає знати означення функції, області визначення, області значень, графіка функції та способи задання функцій. Окреме вміння — «знаходити область визначення й область значень функції».

Формати завдань

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 16 перевіряє властивості логарифмічної, тригонометричної й дробово-раціональної функцій у форматі логічних пар. Завдання 19 перевіряє вміння обчислювати значення кусково заданої функції та її похідної — це завдання з короткою відповіддю на 2 бали.

Стратегія виконання

Виписуй у чернетці всі обмеження системою. Познач їх на числовій прямій — так простіше побачити переріз. Перевір межову точку підстановкою у вихідну формулу. Пам'ятай: чернетку не перевіряють, зараховують лише вибрану відповідь, тому дій максимально уважно.

• D(f) — область визначення: усі x, за яких формула має зміст. E(f) — область значень: усі значення y, яких набуває функція.

• Три основні обмеження: знаменник ≠ 0; під коренем парного степеня ≥ 0; під логарифмом > 0. Корінь непарного степеня обмежень не дає.

• Кілька обмежень — це система. Область визначення — переріз (спільна частина) розв'язків усіх умов, а не їх об'єднання.

• З графіка: D — проєкція на вісь Ox (абсциси), E — проєкція на вісь Oy (ординати). Враховуй зафарбовані та виколоті кінці.

• Для квадрата, модуля й кореня: x² ≥ 0, |x| ≥ 0, √x ≥ 0. Використовуй ці оцінки, щоб знайти E(f).

• У кусково заданій функції спершу обери проміжок аргументу, потім застосуй відповідну формулу. Точку стику — за формулою з нестрогим знаком.