Мода, медіана й розмах вибірки

Почнемо з найпростішої вибіркової характеристики. Мода (позначають Mo) — це значення, яке трапляється у вибірці найчастіше. Поглянь на ряд чисел:

3, 5, 5, 2, 5, 4

Тут число 5 трапляється тричі, решта — по одному разу. Отже, Mo = 5.

Важливо: мода — це саме значення (5), а не кількість його повторень (3). Якщо у відповіді напишеш 3 — це помилка.

У вибірці може бути кілька мод. Наприклад:

1, 2, 2, 3, 3

Числа 2 і 3 трапляються по два рази — це бімодальна вибірка, її моди 2 і 3. Якщо ж кожне значення трапляється однаково часто, як-от 4, 7, 9, — моду зазвичай не виділяють.

Як знайти моду за таблицею частот

Коли дані подано таблицею, мода — це те значення, якому відповідає найбільша частота. Розглянь таблицю:

Найбільша частота — 8, вона відповідає оцінці 9. Отже, Mo = 9.

На стовпчастій діаграмі частот мода — це значення під найвищим стовпчиком. Діаграму не треба будувати самому: її вже подано в умові, і досить просто подивитися, який стовпчик найвищий.

Де мода потрібна в житті

Мода — єдина вибіркова характеристика, яку можна застосовувати до нечислових даних. Найпопулярніший колір одягу, найходовіший розмір взуття, найчастіший день тижня для покупок — це все моди. Саме тому магазин взуття замовить більше пар 39-го розміру, а 46-го — лише кілька пар: 39 — мода попиту.

Медіана (позначають Me) — це значення, яке стоїть посередині впорядкованого ряду. Ключове слово — «впорядкованого». Перш ніж шукати медіану, завжди розташуй усі числа за зростанням. Повторювані значення не викидай — кожне зберігає своє місце.

Ніколи не шукай медіану в невпорядкованому ряді! «Середнє» число за початковим порядком — випадковість, а не медіана.

Непарна кількість даних

Нехай маємо числа: 7, 3, 9, 4, 6. Їх п'ять (n = 5, непарне). Упорядковуємо:

3, 4, 6, 7, 9

Медіана стоїть на місці (n + 1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3. Третє значення — 6. Отже, Me = 6.

Загальне правило: для непарної кількості n упорядкованих даних медіана — елемент, номер якого $(n+1)/2$.

Парна кількість даних

Візьмемо шість чисел: 2, 8, 5, 10, 4, 7. Упорядковуємо:

2, 4, 5, 7, 8, 10

Центральних значень два — на місцях n/2 = 3 (число 5) і n/2 + 1 = 4 (число 7). Медіана — середнє арифметичне цих двох чисел:

Me = (5 + 7) / 2 = 12 / 2 = 6

Зверни увагу: 6 не є значенням вибірки — це нормально. Медіана може збігатися з одним із даних, а може й ні.

Медіана за таблицею частот (накопичені частоти)

Коли дані подано таблицею, спершу обчислюють накопичені частоти. Накопичена частота — це сума частот від першого рядка до поточного включно. Вона показує, скільки значень «накопичилося» до певного рівня.

Розгляньмо таблицю оцінок 25 учнів. Спочатку оцінки 7, 8, 9:

Далі оцінки 9 і 10:

Усього 25 учнів — непарна кількість. Медіана — 13-те значення (місце (25 + 1) / 2 = 13). Дивимось на накопичені частоти: до оцінки 8 накопичено 10 учнів, до 9 — уже 18. Отже, 13-те значення — це оцінка 9. Me = 9.

Якби учнів було 26 (парна кількість), медіаною було б середнє арифметичне 13-го і 14-го значень — обидва належали б оцінці 9, тому Me = 9.

Розмах вибірки (позначають R) — це різниця між найбільшим і найменшим значенням у вибірці:

R = x_max − x_min

Розмах показує, наскільки широко розкидані дані. Чим більший розмах, тим більший розкид.

Простий приклад

Візьмемо числа: 3, 12, 7, 5. Найбільше — 12, найменше — 3. Розмах:

R = 12 − 3 = 9

Розмах з від'ємними числами

Температури за чотири дні: $-4$ °C, 2 °C, 5 °C, $-1$ °C. Найбільше — 5, найменше — $-4$. Розмах:

R = 5 − (−4) = 5 + 4 = 9

Поширена помилка: написати 5 − 4 = 1. Не можна ігнорувати знак мінус. Правильно: віднімаючи від'ємне число, додаємо його модуль.

Властивість, про яку варто знати

Розмах залежить лише від двох крайніх значень. Якщо у вибірці є одне аномальне значення (викид), розмах різко збільшується. Наприклад, у ряді 1, 2, 2, 3, 100 розмах дорівнює 99, хоча решта даних дуже близькі між собою. Тому розмах — груба міра розкиду: він чутливий до викидів.

Для порогу на НМТ

Мода, медіана й розмах не потребують жодних формул з довідкових матеріалів — лише уважного впорядкування й лічби. Це означає, що ці завдання можна виконати швидко й без підказок, що особливо важливо на початку тесту, коли потрібно набрати впевненість.

Одна й та сама вибірка має чотири різні характеристики. Розгляньмо на прикладі:

Вибірка: 2, 3, 3, 4, 8

Середнє арифметичне: x̄ = (2 + 3 + 3 + 4 + 8) : 5 = 20 : 5 = 4

Мода: 3 (трапляється двічі)

Медіана: упорядкований ряд — 2, 3, 3, 4, 8, третє значення — 3

Розмах: 8 − 2 = 6

Що зміниться, якщо замінити одне значення?

Замінимо найбільше значення 8 на 18. Отримаємо: 2, 3, 3, 4, 18.

Середнє: (2 + 3 + 3 + 4 + 18) : 5 = 30 : 5 = 6 — змінилося (було 4, стало 6).

Розмах: 18 − 2 = 16 — змінився (був 6, став 16).

Мода: усе ще 3 — не змінилася.

Медіана: упорядкований ряд — 2, 3, 3, 4, 18, третє значення — 3 — не змінилася.

Висновок: заміна найбільшого значення ще більшим впливає лише на середнє й розмах. Медіана й мода «не помічають» такої зміни. Медіана — стійка (робастна) до викидів характеристика.

Життєвий приклад: ціни на квартири

Уявімо ціни п'яти квартир в одному районі (у млн грн): 1,1; 1,3; 1,2; 1,4; 5,0. Одна квартира — елітна, приблизно вчетверо дорожча за решту.

Середнє: (1,1 + 1,3 + 1,2 + 1,4 + 5,0) : 5 = 10,0 : 5 = 2,0 млн грн.

Медіана: упорядковуємо — 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 5,0 — третє значення 1,3 млн грн.

Яка з цифр краще описує «типову» ціну квартири в цьому районі? 2,0 млн — завищена через одну елітну квартиру. 1,3 млн — реальніша. Саме тому в звітах про нерухомість частіше вказують медіану, а не середнє.

Коли яку характеристику обирати?

Нижче розібрано п'ять типових завдань, які можуть зустрітися на НМТ. Кожне розв'язано покроково.

Приклад 1. Медіана з непарною кількістю даних

Завдання: Знайдіть медіану вибірки 4, 10, 2, 7, 10, 5, 3.

Крок 1. Упорядковуємо ряд за зростанням: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 10.

Крок 2. Усього 7 чисел (непарна кількість). Медіана — значення на місці (7 + 1) / 2 = 4.

Крок 3. Четверте значення впорядкованого ряду — 5.

Відповідь: 5.

Пастки: 7 (четверте число невпорядкованого ряду), 10 (мода вибірки, а не медіана) і ≈ 5,86 (середнє арифметичне 41 : 7).

Приклад 2. Медіана з парною кількістю даних

Завдання: Знайдіть медіану вибірки 12, 7, 15, 9, 10, 20.

Крок 1. Упорядковуємо: 7, 9, 10, 12, 15, 20.

Крок 2. Усього 6 чисел (парна кількість). Центральні місця: 6/2 = 3 (число 10) і 6/2 + 1 = 4 (число 12).

Крок 3. Me = (10 + 12) / 2 = 22 / 2 = 11.

Відповідь: 11.

Пастки: 12 (узяли центр невпорядкованого ряду — (15 + 9) / 2 = 12) і 10 (узяли лише одне центральне значення замість середнього двох).

Приклад 3. Медіана за таблицею частот

Завдання: У таблиці подано розміри взуття, які придбали 30 покупців. Знайдіть медіану розміру.

Крок 1. Обчислюємо накопичені частоти: 38 — 6, 39 — 6 + 9 = 15, 40 — 15 + 5 = 20, 41 — 26, 42 — 30.

Крок 2. Усього 30 покупців (парна кількість). Медіана — середнє арифметичне 15-го і 16-го значень.

Крок 3. 15-те значення: накопичено 15 на розмірі 39 — це 39. 16-те значення: накопичено 20 на розмірі 40 — це 40.

Крок 4. Me = (39 + 40) / 2 = 39,5.

Відповідь: 39,5.

Пастки: 39 — це мода вибірки (найчастіший розмір), а не медіана; 40 — середній рядок таблиці, який не має стосунку до медіани.

Приклад 4. Зміна одного значення

Завдання: У вибірці 3, 5, 5, 6, 11 число 11 замінили на 21. Які характеристики змінилися?

Крок 1. Початкова вибірка: 3, 5, 5, 6, 11. Середнє = 30 / 5 = 6. Мода = 5. Медіана: впорядковано — 3, 5, 5, 6, 11, третє — 5. Розмах = 11 − 3 = 8.

Крок 2. Нова вибірка: 3, 5, 5, 6, 21. Середнє = 40 / 5 = 8 — змінилося. Мода = 5 — не змінилася. Медіана: 3, 5, 5, 6, 21, третє — 5 — не змінилася. Розмах = 21 − 3 = 18 — змінився.

Відповідь: середнє й розмах.

Пастки: «медіана» і «мода» — вони не змінилися (обидві дорівнюють 5); «лише середнє» — розмах теж змінився (було 8, стало 18).

Приклад 5. Розмах з від'ємними числами

Завдання: Температура повітря за 6 днів: $-3$ °C, 2 °C, $-7$ °C, 4 °C, 0 °C, 5 °C. Знайдіть розмах.

Крок 1. Найбільше значення: 5. Найменше значення: $-7$.

Крок 2. R = 5 − (−7) = 5 + 7 = 12.

Відповідь: 12.

Пастки: 2 (хтось помилково віднімає 5 − 7 = $-2$ і бере модуль 2, або 5 − 7 = $-2$ ігнорує мінус) і 8 (5 − (−3) = 8 — узяли найбільше і третє значення замість найменшого).

• Шукають медіану в невпорядкованому ряді. Найчастіша пастка: беруть центральне за номером число в тому порядку, в якому дані записано в умові. Завжди впорядковуй ряд перед пошуком медіани.

• При парній кількості даних беруть одне з двох центральних значень замість їхнього середнього. Наприклад, для ряду 2, 4, 5, 7, 8, 10 пишуть 5 або 7, а треба (5 + 7) / 2 = 6.

• Записують як моду частоту (3), а не значення (5). У вибірці 3, 5, 5, 2, 5, 4 мода — 5, а не 3.

• За таблицею частот беруть середній рядок таблиці замість значення з місця (n + 1) / 2 за накопиченими частотами. Накопичені частоти — єдиний правильний інструмент.

• У розмаху з від'ємними числами віднімають модулі: 5 − 7 замість 5 − (−7). Пам'ятай: віднімання від'ємного числа — це додавання.

• Упорядковуючи ряд, записують повторюване значення один раз і змінюють кількість даних. Якщо у вибірці три п'ятірки, в упорядкованому ряді має бути три п'ятірки.

• Плутають назви: медіану із середнім арифметичним, моду з медіаною. Медіана — середина впорядкованого ряду; мода — найчастіше значення; середнє — сума поділена на кількість.

Тема 4.1 програми НМТ з математики: «Означення вибіркових характеристик рядів даних — розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення; уміння обчислювати й аналізувати їх». Це означає, що від тебе вимагають не лише знайти число, а й порівняти характеристики чи вибрати, яка з них зміниться.

Формул моди, медіани й розмаху в довідкових матеріалах НМТ немає — означення треба знати напам'ять. Єдина формула, яка може знадобитися, — середнє арифметичне (сума поділена на кількість), але й воно виводиться з логіки.

Формат завдань

Завдання на статистику (мода, медіана, розмах, середнє) зазвичай дає 1 бал серед завдань 1–15 або 2 бали в завданні з короткою відповіддю — вагомий внесок у поріг 5 тестових балів з 32.

Стратегія успіху

1. У чернетці завжди впорядковуй ряд за зростанням, навіть якщо здається, що не треба.

1. Перелічуй значення, щоб не збитися з кількістю.

1. Для таблиці частот обов'язково обчисли накопичені частоти.

1. Якщо питають, яка характеристика зміниться — порівняй стару й нову вибірки.

1. Перевір, чи не заплутав моду (найчастіше значення) з медіаною (середина ряду).

• Мода — найчастіше значення вибірки, а не його частота. Мод може бути кілька.

• Медіана — середина впорядкованого ряду. При парній кількості — середнє двох центральних.

• Розмах = найбільше − найменше значення. З від'ємними числами не забувай про знаки.

• Медіану за таблицею частот шукай за накопиченими частотами.

• Заміна найбільшого значення ще більшим змінює середнє й розмах, а медіану й моду — ні.

• Формул моди, медіани й розмаху в довідкових матеріалах НМТ немає — вивчи означення.