Геометрична прогресія: знаменник і формула n-го члена

Геометрична прогресія — це числова послідовність, яка має особливу властивість: кожен її член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме ненульове число. Це число називають знаменником геометричної прогресії й позначають літерою q.

Означення

Геометричною прогресією називають послідовність ненульових чисел b₁, b₂, b₃, …, bₙ, …, у якій для всіх натуральних n виконується рівність:

$$b_{n+1}=b_n\cdot q$$

або, що те саме,

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$

Число q називають знаменником геометричної прогресії. Він може бути будь-яким числом, крім нуля: q ≠ 0.

Приклади геометричних прогресій

Від'ємний знаменник — чергування знаків

Якщо q < 0, то знаки членів прогресії чергуються. Члени з непарними номерами мають знак b₁, а з парними — протилежний. Наприклад, у прогресії 2, −6, 18, −54, 162, … додатні члени стоять на непарних місцях, а від'ємні — на парних.

Що не може бути геометричною прогресією?

Нуль не може бути членом геометричної прогресії. Якщо хоч один член дорівнює нулю, то наступний член bₙ₊₁ = 0 · q = 0, і вся решта теж стане нулем. Тоді частка bₙ₊₁/bₙ стає невизначеною (0/0). Тому в означенні геометричної прогресії всі члени мають бути ненульовими.

Послідовність 1, 0, 0, 0, … або 5, 0, 0, … НЕ є геометричною прогресією.

Як перевірити, чи є послідовність геометричною прогресією?

Достатньо знайти частки сусідніх членів. Якщо всі вони однакові — послідовність є геометричною прогресією. Якщо хоч одна частка відрізняється — ні.

Не плутай: в арифметичній прогресії кожен наступний член отримують додаванням сталої різниці (5, 10, 15 — різниця 5), а в геометричній — множенням на сталий знаменник (5, 10, 20 — знаменник 2).

Якщо відомі перший член b₁ і знаменник q геометричної прогресії, то можна обчислити будь-який її член, не виписуючи всіх попередніх. Для цього існує формула n-го члена геометричної прогресії.

Виведення формули

За означенням:

$$b_2=b_1\cdot q$$$$b_3=b_2\cdot q=b_1\cdot q\cdot q=b_1\cdot q^2$$$$b_4=b_3\cdot q=b_1\cdot q^3$$

Помічаємо закономірність: показник степеня при q на одиницю менший від номера члена. Отже,

Формула n-го члена геометричної прогресії: $$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

У цій формулі n — номер шуканого члена. Від першого члена до n-го ми множимо на q рівно n − 1 разів.

Приклади обчислень

Додатний цілий знаменник

Нехай b₁ = 5, q = 2. Знайдемо b₆:

$$b_6=5\cdot 2^{6-1}=5\cdot 2^5=5\cdot 32=160$$

Перевіримо: 5, 10, 20, 40, 80, 160 — справді шостий член дорівнює 160.

Дробовий і від'ємний знаменник

Нехай b₁ = 81, q = −1/3. Знайдемо b₄ і b₅.

$$b_4=81\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=81\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)=-3$$

$$b_5=81\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^4=81\cdot \frac{1}{81}=1$$

Зверни увагу: непарний степінь від'ємного q дає від'ємний результат, тому b₄ має знак, протилежний до b₁. Парний степінь дає додатне число, тому b₅ збігається за знаком із b₁.

Перехід від відомого члена

Іноді зручніше використовувати формулу, що виражає n-й член через будь-який інший відомий член bₘ:

$$b_n=b_m\cdot q^{n-m}$$

Наприклад, якщо відомо b₄ = 5 і q = 3, то b₇ = b₄ · q³ = 5 · 27 = 135. Ця форма зручна, коли не знаємо першого члена.

Знаходження номера члена

Бувають задачі, у яких відомі b₁, q і значення деякого члена, а потрібно знайти його номер n. Для цього підставляємо дані у формулу й розв'язуємо показникове рівняння, зводячи обидві частини до степенів з однією основою.

Приклад. У геометричній прогресії 2, 6, 18, … знайти номер члена, що дорівнює 486.

Маємо b₁ = 2, q = 3. Підставляємо:

$$2\cdot 3^{n-1}=486$$$$3^{n-1}=243$$$$3^{n-1}=3^5$$$$n-1=5$$$$n=6$$

Отже, член 486 має номер 6. Перевіримо: 2, 6, 18, 54, 162, 486 — справді шостий член.

Підказка: у довідкових матеріалах НМТ подано формули bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ та Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Користуйся ними, але пам'ятай, що показник степеня — саме n − 1, а не n.

Найцікавіші задачі на геометричну прогресію починаються тоді, коли відомі не перший член і знаменник, а два довільні члени. За ними можна знайти q, а потім і b₁. Однак тут є важливий нюанс: знак знаменника може бути неоднозначним.

Два відомі члени: парна різниця номерів

Нехай у геометричній прогресії відомо b₂ = 6 і b₄ = 54. Знайдемо q і b₁.

Скористаємося формулою bₙ = bₘ · qⁿ⁻ᵐ. Тут n = 4, m = 2, тому:

$$b_4=b_2\cdot q^{4-2}=b_2\cdot q^2$$

Звідси:

$$q^2=\frac{b_4}{b_2}=\frac{54}{6}=9$$

Рівняння q² = 9 має два розв'язки: q = 3 або q = −3. Далі знаходимо b₁:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{6}{3}=2\text{або}{b}_1=\frac{6}{-3}=-2$$

Отже, існують дві прогресії, що задовольняють умову:

2, 6, 18, 54, … (q = 3) та −2, 6, −18, 54, … (q = −3)

Зверни увагу: різниця номерів 4 − 2 = 2 — парна, тому ми отримали q², а це квадратне рівняння з двома коренями.

Непарна різниця номерів — один знаменник

Якщо різниця номерів непарна, то ми отримуємо q³ (або q⁵ тощо), і знак знаменника визначається однозначно.

Приклад: b₂ = 4, b₅ = −32. Різниця номерів 5 − 2 = 3 — непарна.

$$b_5=b_2\cdot q^3\Rightarrow q^3=\frac{b_5}{b_2}=\frac{-32}{4}=-8$$

$$q=\sqrt[3]{-8}=-2$$

Рівняння q³ = c має єдиний дійсний корінь q = ∛c, тому знаменник визначено однозначно.

Характеристична властивість геометричної прогресії

Геометрична прогресія має ще одну важливу властивість, яку називають характеристичною:

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$$

Це означає, що квадрат будь-якого члена геометричної прогресії (крім першого й останнього, якщо прогресія скінченна) дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів.

Для додатних членів звідси випливає:

$$b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$$

Тобто в прогресії з додатними членами кожен член (крім крайніх) є середнім геометричним своїх сусідів.

Приклад: вставлення члена між двома числами

Між числами 3 і 27 вставте число так, щоб утворилася геометрична прогресія.

Нехай шукане число — x. Тоді 3, x, 27 — послідовні члени геометричної прогресії. За характеристичною властивістю:

$$x^2=3\cdot 27=81$$

$$x=9\text{або}x=-9$$

Обидва числа утворюють геометричну прогресію: 3, 9, 27 (q = 3) і 3, −9, 27 (q = −3).

Знаходження змінної за характеристичною властивістю

Нехай числа x + 1, x + 4, x + 10 є послідовними членами геометричної прогресії. Знайдемо x.

За характеристичною властивістю:

$$(x+4{)}^2=(x+1)(x+10)$$

Розкриваємо дужки:

$$x^2+8x+16=x^2+11x+10$$

Скорочуємо x²:

$$8x+16=11x+10$$$$16-10=11x-8x$$$$6=3x$$$$x=2$$

Тоді члени прогресії: 3, 6, 12 — справді геометрична прогресія з q = 2.

Запам'ятай: характеристична властивість bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ — це не лише спосіб перевірки, а й потужний інструмент для знаходження невідомих членів або змінних.

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових задач на геометричну прогресію — саме таких, які трапляються на НМТ. Кожен приклад містить повний покроковий розв'язок і пояснення, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Обчислення n-го члена з від'ємним знаменником

Дано геометричну прогресію, у якій b₁ = 81, q = −1/3. Знайдіть b₅.

Розв'язання. За формулою n-го члена:

$$b_5=b_1\cdot q^{5-1}=81\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^4=81\cdot \frac{1}{81}=1$$

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• −1 — помилка в знаку: (−1/3)⁴ = 1/81, а не −1/81, тому результат додатний.

• −1/3 — узято qⁿ замість qⁿ⁻¹: обчислено 81 · (−1/3)⁵ = −1/3, але потрібен показник n − 1 = 4.

• 3 — узято показник 3 замість 4 і загублено знак: 81 · (1/3)³ = 3.

• 1/3 — узято показник n = 5 замість n − 1 і загублено знак: 81 · (1/3)⁵ = 1/3.

Приклад 2. Два відомі члени з обмеженням на знак знаменника

У геометричній прогресії b₂ = 12, b₄ = 48. Знаменник від'ємний. Знайдіть b₁.

Розв'язання. Різниця номерів 4 − 2 = 2 — парна, тому:

$$q^2=\frac{b_4}{b_2}=\frac{48}{12}=4$$

Звідси q = 2 або q = −2. За умовою знаменник від'ємний, тому q = −2.

Знаходимо b₁:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{-2}=-6$$

Відповідь: −6.

Приклад 3. Розпізнавання геометричної прогресії

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

• А) 1, 3, 5, 7

• Б) 2, 4, 8, 12

• В) 3, −6, 12, −24

• Г) 5, 10, 15, 30

• Д) 1, 0, 0, 0

Розв'язання. Перевіряємо частки сусідніх членів:

• А) 3:1 = 3, 5:3 ≈ 1,67 — частки різні, не прогресія (це арифметична прогресія з різницею 2).

• Б) 4:2 = 2, 8:4 = 2, 12:8 = 1,5 — частки різні, не прогресія.

• В) −6:3 = −2, 12:(−6) = −2, −24:12 = −2 — всі частки однакові (q = −2). Це геометрична прогресія.

• Г) 10:5 = 2, 15:10 = 1,5 — частки різні, не прогресія.

• Д) 0:1 = 0, 0:0 — невизначеність, нуль не може бути членом геометричної прогресії.

Відповідь: В) 3, −6, 12, −24.

Приклад 4. Знаходження змінної за характеристичною властивістю

При якому значенні x числа x + 1, x + 4, x + 10 є послідовними членами геометричної прогресії?

Розв'язання. За характеристичною властивістю:

$$(x+4{)}^2=(x+1)(x+10)$$

Розкриваємо дужки:

$$x^2+8x+16=x^2+11x+10$$

Скорочуємо x²:

$$8x+16=11x+10$$$$6=3x$$$$x=2$$

Тоді члени прогресії: 3, 6, 12 — геометрична прогресія з q = 2.

Відповідь: 2.

Приклад 5. Знаходження номера члена

Геометричну прогресію задано першими трьома членами: 2, 6, 18, … Який номер має член, що дорівнює 486?

Розв'язання. Знаходимо знаменник: q = 6/2 = 3. За формулою n-го члена:

$$2\cdot 3^{n-1}=486$$$$3^{n-1}=243$$$$3^{n-1}=3^5$$$$n-1=5$$$$n=6$$

Відповідь: 6.

Чому інші варіанти неправильні:

• 5 — узято 3ⁿ замість 3ⁿ⁻¹: з 2 · 3ⁿ = 486 виходить n = 5, але в показнику стоїть n − 1, тож n − 1 = 5 і n = 6.

• 7 — помилка в обчисленні степеня: 3⁶ = 729, а 2 · 729 = 1458, що не дорівнює 486.

• 243 — це значення 3ⁿ⁻¹, а не номер члена.

• 81 — це значення 3⁴, помилковий проміжний результат.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з геометричною прогресією. Знаючи їх, ти зможеш уникнути пасток на НМТ.

• З рівняння q² = 4 узято лише q = 2. Рівняння q² = c має два корені: q = √c і q = −√c. Якщо в умові немає додаткового обмеження (знаменник додатний, члени додатні тощо), треба розглянути обидва значення.

• Формула bₙ = b₁ · qⁿ замість bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Найпоширеніша механічна помилка. Показник степеня — n − 1, а не n. Перевіряй: b₂ = b₁ · q¹, а не b₁ · q².

• q = b₁/b₂ — частка в зворотному порядку. За означенням q = bₙ₊₁/bₙ, тобто наступний член ділимо на попередній. Якщо поділити попередній на наступний, отримаєш 1/q, а не q.

• Помилка в знаку непарного степеня від'ємного знаменника. Наприклад, (−1/3)³ = −1/27, а не 1/27. Непарний степінь від'ємного числа — від'ємний. Парний — додатний.

• З bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ узято лише додатний корінь. Якщо умова не обмежує знаки членів, то bₙ може бути як додатним, так і від'ємним. Наприклад, між 3 і 27 можна вставити 9 або −9.

• Сплутано геометричну прогресію з арифметичною. В арифметичній прогресії кожен наступний член отримують додаванням сталої різниці (2, 4, 6, 8 — різниця 2). У геометричній — множенням на сталий знаменник (2, 4, 8, 16 — знаменник 2). Перевіряй себе: знайди частку сусідніх членів, а не різницю.

Геометрична прогресія входить до теми «Числові послідовності» розділу «Функції» програми. Уміння, яке перевіряють: «розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії».

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є формули:

• bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ — формула n-го члена геометричної прогресії;

• Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) — сума n перших членів (але ця тема — окремий урок).

Формули можна й треба використовувати: під час НМТ довідкові матеріали доступні в електронній формі.

Форми завдань

У завданнях з вибором відповіді (1–15) ти обираєш одну правильну відповідь серед п'яти. У завданнях з короткою відповіддю (19–22) потрібно вписати число — ціле або десятковий дріб.

Як ураховують два знаменники

Коли з рівняння q² = c виходять два значення знаменника (додатне й від'ємне), умова задачі зазвичай додає обмеження, яке усуває неоднозначність. Наприклад: «знаменник від'ємний», «члени прогресії додатні», «прогресія зростає». Якщо обмеження немає, то в завданні з вибором відповіді правильним може бути варіант, що враховує обидва знаки.

Стратегія розв'язання

1. Визнач, чи маєш справу з геометричною прогресією: перевір сталість частки сусідніх членів.

2. Випиши відомі величини: b₁, q, n або значення члена.

3. Застосуй формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ або bₙ = bₘ · qⁿ⁻ᵐ.

4. Якщо знаходиш q через q² = c, випиши обидва значення й перевір кожне за умовою задачі.

5. Для знаходження номера члена зведи рівняння до степенів з однією основою.

6. Перевір відповідь підстановкою.

• q = bₙ₊₁/bₙ, q ≠ 0, усі члени ненульові. Геометрична прогресія — це послідовність, у якій частка кожного наступного члена до попереднього є сталою.

• bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ — формула n-го члена. Показник степеня — n − 1, а не n.

• При q < 0 знаки членів чергуються. Непарні номери мають знак b₁, парні — протилежний.

• q² = c дає два знаменники — перевір обидва. Якщо різниця номерів парна, то q може бути додатним або від'ємним. Непарна різниця дає один знак.

• bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ — характеристична властивість. Квадрат будь-якого члена (крім крайніх) дорівнює добутку сусідів. Для додатних членів bₙ — середнє геометричне сусідніх.