Зростання й спадання функції за похідною

Одне з найважливіших застосувань похідної — дослідження поведінки функції: чи зростає вона на певному проміжку, чи спадає, чи лишається сталою. Відповідь дає знак похідної.

Достатня умова монотонності

Нехай функція f визначена й неперервна на проміжку I і має похідну в кожній внутрішній точці цього проміжку. Тоді:

• якщо f′(x) > 0 для всіх x з проміжку, то функція зростає на цьому проміжку;

• якщо f′(x) < 0 для всіх x з проміжку, то функція спадає на цьому проміжку;

• якщо f′(x) = 0 для всіх x з проміжку, то функція стала на цьому проміжку.

Це твердження називають достатньою умовою зростання (спадання) функції на проміжку. Воно працює в один бік: додатна похідна гарантує зростання, але зростання можливе й тоді, коли похідна в окремих точках дорівнює нулю.

Геометричний зміст

Похідна f′(x₀) — це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці x₀. Якщо f′(x₀) > 0, дотична напрямлена вгору — отже, графік функції в цій точці піднімається. Якщо f′(x₀) < 0, дотична напрямлена вниз — графік опускається. Тому знак похідної одразу показує, у який бік рухається графік.

Умова достатня, але не необхідна

Важливо розуміти: умова f′(x) > 0 є достатньою для зростання, але не необхідною. Функція може зростати на всьому проміжку, навіть якщо в окремих точках похідна дорівнює нулю. Розгляньмо класичний приклад: y = x³. Її похідна y′ = 3x² дорівнює нулю в точці x = 0, але функція зростає на всій числовій прямій (−∞; +∞). Нуль похідної в одній точці не «ламає» зростання.

Ще один приклад: y = x − sin x. Похідна y′ = 1 − cos x ≥ 0 для всіх x, причому y′ = 0 в точках x = 2πk (k — ціле число). Попри це, функція зростає на всій числовій прямій.

Монотонність на всій прямій

Якщо похідна функції додатна (або від'ємна) для всіх дійсних чисел, то функція монотонна на всій числовій прямій. Наприклад:

• y = x³ + 2x − 5 ⇒ y′ = 3x² + 2 > 0 для всіх x — функція зростає на R;

• y = 3 − 2x − x³ ⇒ y′ = −2 − 3x² < 0 для всіх x — функція спадає на R.

У таких випадках не потрібно шукати критичні точки — достатньо побачити, що похідна не змінює знак.

Покроковий алгоритм

Щоб знайти проміжки зростання й спадання функції, дотримуйся такої послідовності кроків:

1. Знайди область визначення функції D(f).

2. Знайди похідну f′(x).

3. Знайди критичні точки — внутрішні точки області визначення, у яких f′(x) = 0 або f′(x) не існує.

4. Познач на числовій прямій критичні точки й точки, що не входять до D(f).

5. Визнач знак похідної на кожному з утворених проміжків — підстав пробну точку з проміжку в f′(x).

6. Зроби висновок: де f′ > 0 — функція зростає, де f′ < 0 — спадає.

Приклад: f(x) = x³ − 3x²

Область визначення: D(f) = R. Похідна: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Критичні точки: 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 і x = 2. Позначаємо їх на прямій. Проміжки: (−∞; 0), (0; 2), (2; +∞). Пробні точки: x = −1 ⇒ f′(−1) = 3·(−1)·(−3) = 9 > 0 (знак «+»); x = 1 ⇒ f′(1) = 3·1·(−1) = −3 < 0 («−»); x = 3 ⇒ f′(3) = 3·3·1 = 9 > 0 («+»).

Висновок: функція зростає на (−∞; 0] і [2; +∞), спадає на [0; 2]. Критичні точки x = 0 і x = 2 включено в проміжки, бо функція в них визначена й неперервна.

Кінці проміжків: квадратна чи кругла дужка?

Критичну точку, у якій функція визначена й неперервна, завжди включають у проміжок монотонності — ставлять квадратну дужку. Точку, яка не входить до області визначення, ніколи не включають — дужка кругла.

Приклад з точкою поза D(f): f(x) = x + 4/x

Область визначення: x ≠ 0. Похідна: f′(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = (x − 2)(x + 2)/x². Критичні точки: x = −2 і x = 2 (де чисельник дорівнює нулю). Точка x = 0 не входить до D(f). На числовій прямій позначаємо −2, 0, 2. Проміжки: (−∞; −2), (−2; 0), (0; 2), (2; +∞). Знаки: x = −3 ⇒ f′ = (9 − 4)/9 = 5/9 > 0; x = −1 ⇒ f′ = (1 − 4)/1 = −3 < 0; x = 1 ⇒ f′ = (1 − 4)/1 = −3 < 0; x = 3 ⇒ f′ = (9 − 4)/9 = 5/9 > 0.

Висновок: функція зростає на (−∞; −2] і [2; +∞), спадає на [−2; 0) і (0; 2]. Точку x = 0 не включаємо — вона поза областю визначення.

Область з логарифмом: f(x) = x − ln x

Область визначення: D(f) = (0; +∞). Похідна: f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. Критична точка: x = 1 (де чисельник дорівнює нулю). Точка x = 0 не входить до D(f). Проміжки: (0; 1) і (1; +∞). Знаки: x = 0,5 ⇒ f′ = (0,5 − 1)/0,5 = −1 < 0; x = 2 ⇒ f′ = (2 − 1)/2 = 0,5 > 0. Висновок: функція спадає на (0; 1], зростає на [1; +∞).

Чому не можна об'єднувати проміжки знаком ∪

Проміжки монотонності ніколи не записують через знак об'єднання ∪. Розгляньмо y = 1/x. Її похідна y′ = −1/x² < 0 на кожному з проміжків (−∞; 0) і (0; +∞). Функція спадає на кожному з цих проміжків окремо. Але на їхньому об'єднанні спадання немає: f(−1) = −1 < f(1) = 1 — значення зростає, а не спадає. Тому запис «спадає на (−∞; 0) ∪ (0; +∞)» — помилка. Правильно: спадає на (−∞; 0) і на (0; +∞).

У завданні можуть дати не формулу функції, а рисунок — графік її похідної y = f′(x). Запитання стосується поведінки самої функції f. Тут діє просте правило:

Функція f зростає там, де графік f′ лежить вище від осі Ox (f′ > 0), і спадає там, де графік f′ лежить нижче від осі Ox (f′ < 0).

Нулі похідної (точки перетину графіка f′ з віссю Ox) є межами проміжків монотонності. Поведінка самої похідної (чи зростає вона, чи спадає) не має значення. Якщо похідна спадає, але лишається додатною, функція f усе одно зростає — просто повільніше.

Приклад роботи з графіком похідної

Уяви графік y = f′(x) на проміжку [−4; 5]. Він перетинає вісь Ox у точках x = −2 і x = 3. На проміжку (−2; 3) графік лежить над віссю Ox (f′ > 0), а на проміжках [−4; −2) і (3; 5] — під віссю (f′ < 0). Отже, функція f зростає на [−2; 3] і спадає на [−4; −2] та [3; 5].

Зверни увагу: навіть якщо на проміжку (−2; 3) графік похідної спочатку зростає, а потім спадає, функція f весь цей час зростає, бо похідна додатна.

Як не сплутати графік функції з графіком похідної

Найпоширеніша помилка — читати графік похідної так, ніби це графік самої функції. Щоб її уникнути:

• Прочитай підпис. Якщо написано «графік функції y = f(x)» — дивишся на поведінку f. Якщо «графік похідної y = f′(x)» — дивишся на знак f′ відносно осі.

• Запам'ятай обернення: за графіком самої функції f знак похідної визначають навпаки: f′(x) > 0 там, де f зростає.

Які запитання можуть поставити за графіком похідної

За графіком похідної можуть запитати:

• на якому проміжку функція зростає (обираєш серед варіантів);

• скільки цілих точок у проміжку спадання;

• яка довжина проміжку зростання.

Приклад 1. Проміжок спадання за формулою

Завдання: Укажіть проміжок спадання функції f(x) = x³ − 12x.

Розв'язання. Область визначення: D(f) = R. Похідна: f′(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Критичні точки: x = −2 і x = 2. Позначаємо їх на прямій. Проміжки: (−∞; −2), (−2; 2), (2; +∞). Пробні точки: x = −3 ⇒ f′(−3) = 3·(−5)·(−1) = 15 > 0 («+»); x = 0 ⇒ f′(0) = 3·(−2)·2 = −12 < 0 («−»); x = 3 ⇒ f′(3) = 3·1·5 = 15 > 0 («+»).

Функція спадає там, де похідна від'ємна — на проміжку [−2; 2]. Ключ: [−2; 2].

Чому інші варіанти неправильні:

• «[2; +∞)» і «(−∞; −2]» — це проміжки зростання, а не спадання.

• «[−2√3; 2√3]» — хтось узяв нулі самої функції f(x) = 0 (x³ − 12x = 0 ⇒ x(x² − 12) = 0), а не нулі похідної.

• «(−∞; 2]» — загублено другу критичну точку x = −2: на (−∞; −2) похідна додатна (f′(−3) = 15), тож там функція зростає.

Приклад 2. Проміжок зростання за графіком похідної

Завдання: На рисунку зображено графік похідної y = f′(x) на проміжку [−5; 4]. Графік перетинає вісь Ox у точках −3 і 1, лежить нижче від осі на (−3; 1) і має найменшу точку при x = −1. Укажіть проміжок зростання функції f.

Розв'язання. Функція f зростає там, де f′(x) > 0, тобто де графік похідної лежить над віссю Ox. За умовою, графік перетинає вісь у точках −3 і 1. На проміжку (1; 4] графік лежить над віссю, отже, f зростає на [1; 4]. Ключ: [1; 4].

Чому інші варіанти неправильні:

• «[−3; 1]» — на цьому проміжку f′ < 0, отже, f спадає.

• «[−1; 4]» — тут плутають: зростає сама похідна (її графік іде вгору від x = −1), але на частині цього проміжку f′ від'ємна.

• «[−5; 1]» і «[−5; 4]» — охоплюють проміжки, де f′ < 0.

Приклад 3. Функція, що зростає на всій прямій

Завдання: Укажіть функцію, що зростає на всій числовій прямій.

Розв'язання. Перевіряємо кожну функцію за знаком похідної:

• y = x³ + 3x ⇒ y′ = 3x² + 3 > 0 для всіх x — зростає на R. Ключ.

• y = x³ − 3x ⇒ y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) — змінює знак, спадає на [−1; 1].

• y = x² + 3x ⇒ y′ = 2x + 3 — від'ємна для x < −1,5.

• y = −x³ ⇒ y′ = −3x² ≤ 0 — не зростає.

• y = 1/x — не визначена в нулі, не може зростати на всій прямій.

Ключ: y = x³ + 3x.

Приклад 4. Проміжок спадання з точкою поза областю визначення

Завдання: Укажіть проміжок, на якому спадає функція f(x) = x + 9/x.

Розв'язання. Область визначення: x ≠ 0. Похідна: f′(x) = 1 − 9/x² = (x² − 9)/x² = (x − 3)(x + 3)/x². Критичні точки: x = −3 і x = 3. Точка x = 0 поза D(f). Проміжки: (−∞; −3), (−3; 0), (0; 3), (3; +∞). Знаки: x = −4 ⇒ f′ = (16 − 9)/16 = 7/16 > 0; x = −1 ⇒ f′ = (1 − 9)/1 = −8 < 0; x = 1 ⇒ f′ = (1 − 9)/1 = −8 < 0; x = 4 ⇒ f′ = (16 − 9)/16 = 7/16 > 0.

Функція спадає на [−3; 0) і на (0; 3]. Серед варіантів відповіді шукаємо проміжок, що не перетинає точку x = 0. Ключ: (0; 3].

Чому інші варіанти неправильні:

• «[−3; 3]» — включає точку x = 0, яка не входить до області визначення.

• «[3; +∞)» — на цьому проміжку f′ > 0, функція зростає.

• «(−∞; −3]» — на цьому проміжку f′ > 0, функція зростає.

• «[−9; 9]» — межі ±9 узято з числа 9 в умові замість критичних точок ±3; цей проміжок містить точку x = 0, яка не входить до D(f), і ділянки зростання [−9; −3] та [3; 9].

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час виконання завдань на монотонність. Уникай їх — і твій результат буде вищим.

• Плутанина з графіком похідної. За графіком y = f′(x) відповідають проміжками, де зростає сама похідна, а не функція. Правильно: дивись, де графік f′ над віссю Ox — там f зростає.

• Нулі функції замість нулів похідної. Шукають, де f(x) = 0, а треба — де f′(x) = 0. Наприклад, для f(x) = x³ − 12x нулі функції x = 0, ±2√3, а критичні точки — x = ±2.

• Проміжок через точку поза областю визначення. Для y = x + 9/x пишуть [−3; 3], хоча x = 0 не входить до D(f). Правильно: спадає на [−3; 0) і (0; 3].

• Об'єднання проміжків знаком ∪. Пишуть «зростає на (−∞; −2] ∪ [2; +∞)». Це неправильно — монотонність може не зберігатися на об'єднанні. Записуй проміжки окремо через кому або сполучник «і».

• Визначення знака похідної «на око». Не підставляють пробну точку, а вгадують знак. Через це плутають, де зростання, а де спадання. Завжди бери конкретне число з проміжку й обчислюй знак f′.

• Нуль похідної = зупинка зростання. Вважають, що в точці, де f′(x₀) = 0, функція перестає зростати. Приклад y = x³ спростовує це: y′(0) = 0, але функція зростає на всій прямій.

• Забувають область визначення логарифма. Для y = x − ln x пишуть, що спадає на (−∞; 1], хоча D(f) = (0; +∞). Правильно: спадає на (0; 1].

Тема «Зростання й спадання функції за похідною» відповідає пункту 3.4 програми НМТ з математики (рівень стандарту). Програма вимагає знати «достатню умову зростання (спадання) функції на проміжку» та вміти «знаходити проміжки монотонності … функції за допомогою похідної».

У демоваріанті НМТ-2026 окремого завдання з теми 3.4 немає, у вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років — теж. За оцінками аналізу, на один тест припадає від 0 до 0,5 завдання з цієї теми. Однак НМТ перевіряє всю програму, тому це вміння можуть перевірити в будь-якому тесті.

Уміння цього юніта тренуємо у формі вибору однієї відповіді з п'яти (А–Д): 1 бал за правильну відповідь, 0 — за неправильну.

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є таблиця похідних елементарних функцій і правила диференціювання (сума, добуток, частка). Зв'язку знака похідної з монотонністю в довідкових матеріалах немає — це треба знати.

Стратегія виконання

• У варіантах-проміжках спершу знайди критичні точки й знаки f′ на всіх проміжках. Варіант правильний лише тоді, коли він цілком лежить в одному проміжку, де f′ має потрібний знак: усередині варіанта немає критичної точки, у якій знак змінюється, і немає точок поза D(f). Кінцями варіанта можуть бути критичні точки, у яких функція неперервна. Одна пробна точка всередині варіанта нічого не гарантує.

• На рисунку спершу з'ясуй, чий це графік — f* чи *f′. Прочитай підпис. Якщо це графік похідної, дивись на положення відносно осі Ox. Якщо це графік функції — дивись, де він іде вгору.

• Перевір область визначення, якщо у функції є дріб (знаменник ≠ 0) або логарифм (аргумент > 0).

• Якщо f′(x) > 0 на проміжку — функція зростає; якщо f′(x) < 0 — спадає.

• Алгоритм: D(f) → f′ → критичні точки → знаки f′ → проміжки.

• Критичні точки з D(f) включаємо в проміжки (квадратна дужка); точки поза D(f) — ні (кругла дужка).

• Проміжки монотонності не об'єднуємо знаком ∪ — записуємо окремо.

• Графік f′ над віссю Ox — f зростає; під віссю — f спадає.

• Окремі нулі похідної монотонності не порушують (приклад: y = x³).