Завдання 17 НМТ: вираз і його значення

У завданні № 17 НМТ часто трапляються вирази, що містять модуль числа, степені з нульовим показником або цілим від’ємним показником. Розберімо ці операції окремо та в комбінації.

Модуль числа

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа a називають саме число a, якщо a ≥ 0, або число −a, якщо a < 0. Іншими словами:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0,\\ -a,& a<0.\end{array}$$

Модуль завжди невід’ємний. Наприклад: |−7| = 7, |3 − 5| = |−2| = 2, |0| = 0. Найчастіша помилка — розкривати модуль, не визначивши знак підмодульного виразу. Окрема увага — вирази з коренями: спершу оціни числове значення кореня. Оскільки √3 ≈ 1,73, а 2 більше, то √3 − 2 < 0, тому |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3. Аналогічно: π ≈ 3,14, а 4 більше, отже |π − 4| = 4 − π.

Степінь з нульовим показником

Для будь-якого a ≠ 0 виконується a⁰ = 1. Наприклад: (−5)⁰ = 1, (√2 − 1)⁰ = 1, 2026⁰ = 1. Вираз 0⁰ — неозначений, на НМТ він не трапляється.

Степінь з цілим від’ємним показником

Для a ≠ 0 і натурального n: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Наприклад: 2⁻³ = 1/8 = 0,125; (−2)⁻² = 1/(−2)² = 1/4 = 0,25; (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2,25; 0,2⁻¹ = (1/5)⁻¹ = 5. Зверни увагу: a⁻ⁿ — це 1/aⁿ, а не −aⁿ. 2⁻³ = 0,125, а −8 — зовсім інше число.

Порядок дій зі знаком: −3² чи (−3)²

Це критичне розрізнення. У виразі −3² спершу підносимо до квадрата 3 (9), потім застосовуємо знак «мінус»: −3² = −9. У виразі (−3)² підносимо до квадрата число −3: (−3)² = 9. Те саме з нульовим показником: −3⁰ = −(3⁰) = −1, тоді як (−3)⁰ = 1.

Комбінований приклад

Обчислимо: |−2|³ − 4⁰ + 2⁻¹. Кроки: |−2| = 2, тому |−2|³ = 2³ = 8. 4⁰ = 1. 2⁻¹ = 1/2 = 0,5. Підсумок: 8 − 1 + 0,5 = 7,5.

У другому типі завдань на відповідність тобі треба зіставити вираз із коренем, логарифмом або тригонометричною функцією з його числовим значенням. Розгляньмо кожну групу окремо.

Корені

Арифметичний квадратний корінь існує лише для невід’ємних чисел і завжди невід’ємний. Наприклад: √(0,16 · 25) = √0,16 · √25 = 0,4 · 5 = 2. Кубічний корінь існує для будь-якого числа: ³√(−27) = −3, бо (−3)³ = −27. Важливо: √((−6)²) = √36 = 6, або, за формулою, √(a²) = |a|, тому √((−6)²) = |−6| = 6. Так само (√5)² = 5 — це означення квадратного кореня.

Логарифми

Логарифм logₐ b — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Наприклад: log₂ 16 = 4, бо 2⁴ = 16. log₃(1/9) = −2, бо 3⁻² = 1/9. lg 1000 = 3 (десятковий логарифм, основа 10). Основна логарифмічна тотожність: 3^(log₃ 5) = 5. Логарифм одиниці: log₅ 1 = 0, бо 5⁰ = 1.

Тригонометричні функції

На НМТ у довідці є таблиця значень тригонометричних функцій. Запам’ятай найуживаніші: sin(π/6) = sin 30° = 0,5; cos π = cos 180° = −1; tg(π/4) = tg 45° = 1. Основна тригонометрична тотожність: sin²α + cos²α = 1, тому sin²17° + cos²17° = 1. Комбінації: cos 60° + sin 30° = 0,5 + 0,5 = 1.

Як зіставляти: зведи до одного вигляду

У варіантах відповіді одне й те саме число можуть записати по-різному: 0,5 = 1/2 = 2⁻¹; 1,5 = 3/2 = 6/4; 0,25 = 1/4 = 4⁻¹. Перед зіставленням обчисли вираз і запиши результат у вигляді звичайного дробу або десяткового дробу, а потім порівняй з варіантами, також зведеними до спільного вигляду.

Іноді завдання № 17 пропонує зіставити вирази зі змінною не з числами, а з іншими виразами — тотожно рівними. Тобто тобі треба спростити кожен із трьох виразів і знайти отриманий результат серед п’яти варіантів А–Д.

Раціональні й степеневі вирази

Скорочення дробів: (a² − 9)/(a + 3) = (a − 3)(a + 3)/(a + 3) = a − 3 (за умови a ≠ −3). Степеневі перетворення: a⁵ · a⁻³ = a^(5 − 3) = a²; (x^(1/2))⁴ = x^((1/2)·4) = x². Квадратний корінь із квадрата: √(a²) = |a| — ця рівність правильна для всіх дійсних a.

Логарифмічні й тригонометричні тотожності

log₂(8a) = log₂ 8 + log₂ a = 3 + log₂ a (a > 0). 1 − sin²α = cos²α — це наслідок основної тригонометричної тотожності. (sin α + cos α)² − 1 = sin²α + 2 sin α cos α + cos²α − 1 = (sin²α + cos²α) + sin 2α − 1 = 1 + sin 2α − 1 = sin 2α.

Перевірка частинним значенням

Якщо сумніваєшся в тотожності, підстав у вихідний вираз і в кожен варіант довільне допустиме число. Наприклад, для a = 2: (a² − 4)/(a − 2) = (4 − 4)/(2 − 2) — невизначений вираз, тому візьми a = 3: (9 − 4)/(3 − 2) = 5/1 = 5. Серед варіантів: a + 2 = 5, a − 2 = 1 — отже, підходить a + 2. Якщо збігаються два варіанти, візьми інше значення, наприклад a = 4.

Головна пастка завдання на відповідність — «підганяння» відповідей. Коли ти спершу не обчислюєш усі три вирази, а починаєш шукати пари по черзі, ризик помилки різко зростає. Ось правила, які вбережуть тебе від цього.

Правило 1: обчисли всі три вирази до зіставлення

На чернетці запиши під номерами 1, 2, 3 результати обчислень. Тільки після цього починай зіставляти з варіантами А–Д. Так ти бачиш усю картину й уникаєш ситуації, коли знайдена перша пара впливає на вибір для решти.

Правило 2: два значення завжди зайві

У завданні на відповідність завжди п’ять варіантів (А–Д) і лише три вирази. Два варіанти не підійдуть жодному виразу. Це нормально. Не намагайся «прилаштувати» зайві значення — якщо жоден з трьох виразів не дає того числа, просто залиш його без пари.

Правило 3: не збіглося — перерахуй

Якщо твій результат не збігається з жодним із варіантів, не бери «найближчий» за значенням варіант і не залишай букву, що «лишилася». Це майже гарантована помилка. Натомість перевір обчислення цього виразу: можливо, ти переплутав знак, неправильно розкрив модуль чи помилився з логарифмом.

Правило 4: дві пари на одну букву — тривога

Якщо ти вже поставив один вираз у пару, а потім інший вираз теж «підходить» до тієї самої букви — це ознака помилки. У правильному розв’язку кожен вираз має єдину відповідність. Перерахуй обидва вирази, а не підганяй один під інший.

Тренування з таймером

Орієнтовно виділяй на завдання № 17 3–5 хвилин (це рекомендація, а не офіційна норма НМТ). Щоб навчитися вкладатися в цей час, тренуйся на змішаних наборах з трьох виразів різних типів: модуль + степінь + корінь, логарифм + тригонометрія + модуль тощо. Став таймер на 4 хвилини на набір. Якщо не встиг — скорочуй час виконання окремих обчислень.

Розв'яжемо чотири типові завдання № 17. Кожне містить три вирази (позначені 1, 2, 3) і п'ять варіантів відповіді (А–Д). Твоє завдання — встановити відповідність.

Приклад 1. Модуль і степені

Установи відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

1. |−4| − 4⁰

2. (−2)⁻² · 8

3. −|3 − 5|

А 3 Б 2 В −2 Г 4 Д −16

Розв'язання:

1. |−4| − 4⁰ = 4 − 1 = 3.

2. (−2)⁻² · 8 = (1/4) · 8 = 2.

3. −|3 − 5| = −|−2| = −2.

Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіанти Г (4) та Д (−16) зайві.

Чому помиляються: Г — вважають 4⁰ = 0 (хоча 4⁰ = 1); Д — замінюють (−2)⁻² на −2, тобто відкидають показник: −2 · 8 = −16. Правильно: (−2)⁻² = 1/4.

Приклад 2. Логарифми, корені й добуток суми на різницю

Установи відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

1. log₂ 24 − log₂ 3

2. √2,5 · √10

3. (√7 − 3)(√7 + 3)

А 3 Б 5 В −2 Г 2 Д 8

Розв'язання:

1. log₂ 24 − log₂ 3 = log₂(24/3) = log₂ 8 = 3.

2. √2,5 · √10 = √(2,5·10) = √25 = 5.

3. (√7 − 3)(√7 + 3) = (√7)² − 3² = 7 − 9 = −2.

Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіанти Г (2) та Д (8) зайві.

Чому помиляються: Д — записують аргумент логарифма 8 замість самого значення log₂ 8 = 3; Г — плутають порядок у різниці квадратів: беруть 9 − 7 = 2.

Приклад 3. Вираз ↔ тотожний вираз

Установи відповідність між виразами (1–3) та тотожно рівними їм виразами (А–Д).

1. (a² − 4)/(a − 2)

2. a⁷ : a⁹

3. (a^(1/3))⁶

А a + 2 Б a⁻² В a² Г a − 2 Д a^(7/9)

Розв'язання:

1. (a² − 4)/(a − 2) = (a − 2)(a + 2)/(a − 2) = a + 2 (a ≠ 2).

2. a⁷ : a⁹ = a^(7 − 9) = a⁻².

3. (a^(1/3))⁶ = a^((1/3)·6) = a².

Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіанти Г (a − 2) та Д (a^(7/9)) зайві.

Чому помиляються: Д — ділять показники замість віднімання: a⁷ : a⁹ = a^(7/9).

Приклад 4. Тригонометрія

Установи відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

1. sin 150°

2. cos 180° + tg 45°

3. cos²15° − sin²15°

А 0,5 Б 0 В √3/2 Г −0,5 Д 2

Розв'язання:

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 0,5.

2. cos 180° + tg 45° = −1 + 1 = 0.

3. cos²15° − sin²15° = cos(2·15°) = cos 30° = √3/2.

Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіанти Г (−0,5) та Д (2) зайві.

Чому помиляються: Г — беруть sin 150° = −sin 30° = −0,5, забуваючи, що синус у другій чверті додатний; Д — вважають cos 180° = 1, тоді cos 180° + tg 45° = 1 + 1 = 2.

• Вважати a⁰ = 0 або −3⁰ = 1. Правильно: a⁰ = 1, а −3⁰ = −(3⁰) = −1. Мінус стоїть перед усім виразом, тому спершу обчислюємо 3⁰ = 1, потім беремо з протилежним знаком.

• Плутати a⁻ⁿ з −aⁿ. Наприклад, писати 2⁻³ = −8. Правильно: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Від'ємний показник — це обернене число, а не зміна знака.

• Розкривати модуль без визначення знака підмодульного виразу. Наприклад: |√3 − 2| = √3 − 2 — це неправильно, бо √3 ≈ 1,73 < 2, тому вираз від'ємний і модуль змінює знак: |√3 − 2| = 2 − √3.

• Писати √(a²) = a для від'ємного a. Наприклад, √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|, а не −5. Правильна формула: √(a²) = |a|.

• Брати «найближчий» варіант, коли результат обчислення не збігся з жодним. Якщо ти отримав число, якого нема серед А–Д, — це ознака помилки в обчисленні, а не привід узяти те, що «схоже». Перерахуй.

• Добирати третю пару з букв, що лишилися, без обчислення. Коли знайдено дві пари, а третя «очевидно» відповідає останній букві — це небезпечно: ти міг помилитися в перших двох, і «остання» буква теж неправильна. Завжди обчислюй третій вираз.

Завдання № 17 в НМТ з математики — це завдання на відповідність (логічні пари). Тобі пропонують три вирази (позначені 1, 2, 3) і п'ять варіантів значень або тотожно рівних виразів (А–Д). Потрібно встановити, якому виразу яке значення відповідає.

Формат і оцінювання

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року на позиції 17 стоїть відповідність «вираз ↔ значення» з модулем і степенями з цілим та нульовим показником (теми 1.1 + 1.3 програми). Завдання оцінюють від 0 до 3 балів: по 1 балу за кожну правильно встановлену пару. Ти можеш отримати 1 або 2 бали навіть якщо не всі пари правильні.

Що було в попередні роки

У вибірці тестів 2023–2024 років на позиції 17 також стояла відповідність «вираз ↔ значення» або «вираз ↔ тотожно рівний вираз». Вирази могли містити степені, корені, модуль, логарифми або тригонометричні функції.

Довідкові матеріали

Під час тесту ти отримуєш довідку, в якій є: властивості степенів з цілим і раціональним показником, формула a^(m/n) і √(a²) = |a|, означення модуля числа, властивості логарифмів (добутку, частки, степеня) і таблиця значень тригонометричних функцій для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°. Користуйся довідкою — це економить час і запобігає помилкам.

Стратегія виконання

Виділи на завдання № 17 орієнтовно 3–5 хвилин. Спершу обчисли всі три вирази на чернетці й запиши результати. Потім зістав їх з варіантами. Пам'ятай: одна правильна пара — це вже 1 бал, тож навіть якщо не впевнений у всіх трьох, обов'язково познач ті пари, в яких упевнений.

• Кожен вираз обчислюй окремо й до зіставлення. Запиши результати на чернетці поруч із номерами 1, 2, 3.

• a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. −3² = −9, а (−3)² = 9. −3⁰ = −1, а (−3)⁰ = 1.

• Модуль розкривай за знаком підмодульного виразу: |√3 − 2| = 2 − √3, оскільки √3 < 2.

• Зведи варіанти до одного вигляду: 1/2 = 0,5 = 2⁻¹; 3/2 = 1,5; 1/4 = 0,25.

• Два значення з п'яти зайві — це нормально, не намагайся їх «прилаштувати».

• Результат не збігся з жодним варіантом — перерахуй, а не підганяй під «найближчий».

• Одна правильна пара дає 1 бал. Навіть частковий успіх — це вже результат.