Типові завдання НМТ: рівняння й нерівності

Показниковими називають рівняння й нерівності, у яких змінна міститься в показнику степеня. Основний принцип розв’язування — звести обидві частини до однієї основи й скористатися монотонністю показникової функції.

Зведення до однієї основи

Якщо обидві частини рівняння або нерівності можна записати як степені з однією й тією самою основою, то спершу записують їх саме так, а потім прирівнюють (або порівнюють) показники.

Розв’яжемо рівняння $4^{x-1}=8$. Подамо $4$ як $2^2$, а $8$ як $2^3$:

$$2^{2(x-1)}=2^3$$

Основи рівні ($2>0$, $2\ne 1$), тому прирівнюємо показники: $2(x-1)=3$, звідки $2x-2=3$, $2x=5$, $x=2,5$.

Ще один приклад: ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x=27$. Записуємо $\frac{1}{9}=3^{-2}$, а $27=3^3$:

$$3^{-2x}=3^3$$

Прирівнюємо показники: $-2x=3$, отже $x=-1,5$.

Знак нерівності залежить від основи

Показникова функція $y=a^x$ зростає при $a>1$ й спадає при $0<a<1$. Це означає:

• якщо $a>1$, то з $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ випливає $f(x)>g(x)$ (знак зберігається);

• якщо $0<a<1$, то з $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ випливає $f(x)<g(x)$ (знак змінюється на протилежний).

Розв’яжемо нерівність $0,5^{x+2}>0,25$. Зауваж: $0,5=\frac{1}{2}$, $0,25=\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$. Отже:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+2}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$

Основа $\frac{1}{2}$ менша від $1$, тому знак нерівності змінюємо: $x+2<2$, звідки $x<0$.

Винесення спільного множника

Коли доданки містять степені з однією основою, часто допомагає винесення найменшого степеня за дужки.

Розв’яжемо $3^{x+1}+3^x=36$. Зауваж: $3^{x+1}=3\cdot 3^x$. Маємо:

$$3\cdot 3^x+3^x=36\Rightarrow 4\cdot 3^x=36\Rightarrow 3^x=9\Rightarrow x=2$$

Заміна змінної застосовується, коли рівняння зводиться до квадратного відносно $a^x$. Наприклад:

$$4^x-3\cdot 2^x-4=0$$

Позначимо $t=2^x$ ($t>0$). Тоді $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2=t^2$. Маємо квадратне рівняння:

$$t^2-3t-4=0$$

Корені: $t=4$ або $t=-1$. Другий корінь не підходить, бо $2^x>0$ для всіх $x$. Повертаємось до заміни: $2^x=4$, отже $x=2$.

Логарифмічні рівняння й нерівності містять змінну під знаком логарифма або в його основі. Найважливіше правило: спершу виписують область допустимих значень (ОДЗ), потім розв’язують, і лише тоді перевіряють, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

ОДЗ — насамперед

Для логарифма ${\log }_{a}b$ маємо умови: $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$. Розглянемо рівняння:

$${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$$

ОДЗ: кожен аргумент має бути додатним. Отже $x-1>0$ і $x+1>0$, звідки $x>1$.

За властивістю суми логарифмів: ${\log }_2((x-1)(x+1))=3$, тобто ${\log }_2(x^2-1)=3$. Переходимо до рівності аргументів: $x^2-1=2^3=8$, звідки $x^2=9$, $x=\pm 3$.

Перевіряємо ОДЗ: $x=3$ задовольняє $x>1$, тому це корінь. $x=-3$ не задовольняє $x>1$, тому це сторонній корінь. Відповідь: $x=3$.

Найпростіше логарифмічне рівняння

Рівняння виду ${\log }_{a}f(x)=b$ рівносильне $f(x)=a^b$ за умови $f(x)>0$. Приклад:

$${\log }_3(2x+1)=2$$

За означенням: $2x+1=3^2=9$, звідки $2x=8$, $x=4$. Перевіряємо аргумент: $2\cdot 4+1=9>0$ — усе гаразд.

Логарифмічна нерівність з основою, меншою від 1

Тут, як і в показникових нерівностях, знак змінюється, бо логарифмічна функція з основою $0<a<1$ спадає.

Розв’яжемо ${\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)\ge -1$.

ОДЗ: $x-2>0$, тобто $x>2$.

За означенням: $x-2\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$ (знак змінюємо, бо основа $\frac{1}{3}<1$). Отже $x\le 5$.

Враховуємо ОДЗ: $2<x\le 5$.

Ліва межа з ОДЗ

Типова помилка — забути про ліву межу. Наприклад, нерівність $\lg x<2$. Її часто розв’язують як $x<100$ і забувають, що ОДЗ десяткового логарифма: $x>0$. Правильна відповідь: $0<x<100$.

Запам’ятай: логарифмічна нерівність завжди складається з двох частин — умови ОДЗ (аргумент > 0) і власне нерівності після потенціювання. Обидві частини обов’язкові.

До цього розділу належать дробово-раціональні рівняння й нерівності, ірраціональні рівняння (з коренем) і системи рівнянь або нерівностей.

Дробово-раціональні рівняння

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Розв’яжемо:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=0$$

Прирівнюємо чисельник до нуля: $x^2-4=0$, звідки $x=\pm 2$. Знаменник $x-2$ не може дорівнювати $0$, тому $x=2$ — нуль знаменника, він не підходить. Отже єдиний корінь: $x=-2$.

Інший приклад: $\frac{x}{x-3}=\frac{3}{x-3}$. Звільняємось від знаменника (за умови $x\ne 3$): $x=3$ — але саме це значення виключає ОДЗ! Рівняння коренів не має.

Метод інтервалів для нерівностей

Дробову нерівність розв’язують методом інтервалів: знаходять нулі чисельника й знаменника, позначають їх на числовій прямій (нулі знаменника — виколоті точки) й визначають знак на кожному проміжку.

Розв’яжемо $\frac{(x+1)(x-4)}{x-2}\le 0$.

Нулі чисельника: $x=-1$, $x=4$. Нуль знаменника: $x=2$ (виколота точка). Наносимо на пряму й визначаємо знаки:

На проміжку $(-\infty ;-1)$ знак $-$, на $(-1;2)$ знак $+$, на $(2;4)$ знак $-$, на $(4;+\infty )$ знак $+$. Нерівність нестрога ($\le$), тому нулі чисельника входять у відповідь, а точка $2$ — ні. Відповідь: $(-\infty ;-1]\cup (2;4]$.

Ірраціональні рівняння

Рівняння з квадратним коренем розв’язують піднесенням обох частин до квадрата. Після цього обов’язково перевіряють знайдені корені підстановкою, бо піднесення до квадрата може дати сторонні корені.

Розв’яжемо $\sqrt{x+7}=x+1$.

Підносимо до квадрата: $x+7=(x+1{)}^2$, тобто $x+7=x^2+2x+1$. Переносимо: $0=x^2+x-6$. Корені квадратного рівняння: $x=2$ або $x=-3$.

Перевіряємо: для $x=2$ маємо $\sqrt{9}=3$ і $2+1=3$ — рівність правильна. Для $x=-3$ маємо $\sqrt{4}=2$, а $-3+1=-2$ — $2\ne -2$. Отже $x=-3$ сторонній. Відповідь: $x=2$.

Системи нерівностей і рівнянь

Систему лінійних нерівностей розв’язують, знаходячи перетин проміжків. Приклад (завдання, подібне до № 13 демоваріанта НМТ-2026):

$$\{\begin{array}{l}2x-3>1,\\ 5-x\ge 0\end{array}$$

З першої нерівності: $2x>4$, $x>2$. З другої: $x\le 5$. Перетин: $2<x\le 5$. Цілі розв’язки: $3,4,5$.

Систему двох рівнянь із двома змінними часто розв’язують методом підстановки. Наприклад:

$$\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ xy=6\end{array}$$

Виражаємо $y=5-x$ і підставляємо в друге: $x(5-x)=6$, $-x^2+5x-6=0$, $x^2-5x+6=0$. Корені: $x=2$ або $x=3$. Тоді $y=3$ або $y=2$ відповідно. Відповідь: $(2;3)$ і $(3;2)$.

Типові помилки в цих завданнях — нехтування ОДЗ і неправильне застосування знака нерівності. Розглянемо три типи помилок.

Сторонні корені

Сторонні корені з’являються, коли виконують перетворення, що не є рівносильними:

• після піднесення обох частин рівняння до квадрата (ірраціональні рівняння);

• після звільнення від знаменника (дробові рівняння);

• після потенціювання логарифмів.

Єдиний спосіб уникнути сторонніх коренів — щоразу перевіряти кожен знайдений корінь підстановкою в початкове рівняння або за ОДЗ.

Втрачені корені

Втратити корінь найлегше, поділивши обидві частини рівняння на вираз зі змінною. Розгляньмо:

$$x^3=4x$$

Якщо поділити на $x$, отримаємо $x^2=4$, тобто $x=\pm 2$ — і загубимо корінь $x=0$.

Правильно — перенести все в один бік і розкласти на множники:

$$x^3-4x=0\Rightarrow x(x^2-4)=0\Rightarrow x(x-2)(x+2)=0$$

Звідси $x=0$, $x=2$, $x=-2$ — усі три корені.

Неправильний знак нерівності

Знак нерівності змінюється в таких випадках:

• множення (ділення) обох частин нерівності на від’ємне число;

• основа показникової функції $0<a<1$;

• основа логарифма $0<a<1$.

Множити (ділити) нерівність на вираз невідомого знака (наприклад, на знаменник у дробовій нерівності) взагалі не можна — застосовуй метод інтервалів.

Змішана серія задач

У тесті НМТ завдання з різних тем ідуть у випадковому порядку. Тобі треба навчитися бачити тип рівняння чи нерівності з першого погляду й одразу виписувати ОДЗ. Ось алгоритм:

1. Визнач тип (показникове, логарифмічне, дробове, ірраціональне).

2. Випиши ОДЗ (для логарифма — аргумент > 0; для дробу — знаменник ≠ 0; для кореня — підкореневий вираз ≥ 0).

3. Виконай перетворення (зведення до однієї основи, потенціювання, піднесення до квадрата, метод інтервалів).

4. Перевір кожен корінь за ОДЗ або підстановкою.

Тригонометричні рівняння на проміжку (демо 2026, № 11) і рівняння з параметром (№ 22) тренують в окремих юнітах практикуму — там свої особливості.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ — два з вибором однієї відповіді й два з короткою відповіддю.

Приклад 1. Нерівність з вибором відповіді

Умова: Розв’яжіть нерівність ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3-x}\le \frac{1}{8}$.

Розв’язання. Запишемо обидві частини як степені з основою $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$. Маємо:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3-x}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^3$$

Основа $\frac{1}{2}<1$, тому знак нерівності змінюється: $3-x\ge 3$. Звідси $-x\ge 0$, тобто $x\le 0$.

Відповідь: $(-\infty ;0]$.

Розбір дистракторів:

• $[0;+\infty )$ — отримують ті, хто не змінив знак нерівності (залишили $3-x\le 3$).

• $(-\infty ;0)$ — не врахували, що нерівність нестрога й $x=0$ входить.

• $[6;+\infty )$ і $(-\infty ;6]$ — помилки в арифметиці перетворення степенів.

Приклад 2. Логарифмічне рівняння (коротка відповідь)

Умова: Розв’яжіть рівняння ${\log }_2(x+2)+{\log }_2(x-5)=3$. Якщо коренів кілька, запишіть їхню суму.

Розв’язання. ОДЗ: $x+2>0$ і $x-5>0$, звідки $x>5$. За властивістю суми логарифмів: ${\log }_2((x+2)(x-5))=3$, тобто $(x+2)(x-5)=8$.

Розкриваємо дужки: $x^2-3x-10=8$, $x^2-3x-18=0$. Дискримінант $D=9+72=81$, корені $x=\frac{3\pm 9}{2}$. Отже $x=6$ або $x=-3$.

Перевіряємо ОДЗ: $x=6>5$ — підходить; $x=-3$ не задовольняє $x>5$ — сторонній. Відповідь: $6$.

Пастка: якщо не перевірити ОДЗ, то сума коренів $6+(-3)=3$ — і це неправильна відповідь.

Приклад 3. Дробова нерівність (вибір відповіді)

Умова: Скільки цілих розв’язків має нерівність $\frac{x-3}{x+2}\le 0$?

Розв’язання. Метод інтервалів: нуль чисельника $x=3$ (входить, бо нерівність нестрога), нуль знаменника $x=-2$ (виколота точка). Визначаємо знаки на проміжках:

На $(-\infty ;-2)$ знак $+$, на $(-2;3)$ знак $-$, на $(3;+\infty )$ знак $+$.

Розв’язок: $(-2;3]$. Цілі числа на цьому проміжку: $-1,0,1,2,3$ — усього $5$.

Розбір дистракторів:

• $6$ — якщо включити $-2$ (не можна, бо знаменник обертається на нуль).

• $4$ — якщо виключити $3$ (а нерівність нестрога, $3$ входить).

• $7$ або «безліч» — арифметичні помилки.

Приклад 4. Ірраціональне рівняння (коротка відповідь)

Умова: Розв’яжіть рівняння $\sqrt{2x+3}=x$. Якщо коренів кілька, запишіть їхню суму.

Розв’язання. Підносимо до квадрата: $2x+3=x^2$, звідки $x^2-2x-3=0$. Дискримінант $D=4+12=16$, корені $x=\frac{2\pm 4}{2}$. Отже $x=3$ або $x=-1$.

Перевіряємо підстановкою:

• $x=3$: $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$, права частина $3$ — підходить.

• $x=-1$: $\sqrt{2\cdot (-1)+3}=\sqrt{1}=1$, права частина $-1$ — $1\ne -1$, сторонній.

Відповідь: $3$.

Пастка: сума коренів $3+(-1)=2$ — це помилка, бо $-1$ не є коренем.

Зібрали для тебе найпоширеніші помилки, яких припускаються випускники в завданнях на рівняння й нерівності. Уникай їх — і твій бал зросте.

• Не змінити знак нерівності при основі степеня чи логарифма, меншій від 1. Запам’ятай: $0<a<1$ перевертає знак.

• Не перевірити ОДЗ логарифма й залишити сторонній корінь. У логарифмічних рівняннях після потенціювання завжди перевіряй аргумент на додатність.

• Поділити на вираз зі змінною й загубити корінь $x=0$. Ніколи не діли на $x$ або інший вираз, що може дорівнювати нулю. Розкладай на множники.

• У методі інтервалів включити нуль знаменника у відповідь. Точки, де знаменник дорівнює нулю, завжди виколоті — навіть якщо нерівність нестрога.

• Після піднесення до квадрата не перевірити корені. Піднесення до квадрата — не рівносильне перетворення, воно може додати сторонні корені.

• У логарифмічній нерівності забути ліву межу з ОДЗ. Наприклад, $\lg x<2$ дає $x<100$, але ОДЗ вимагає $x>0$, тому відповідь $0<x<100$.

• Помножити нерівність на знаменник невідомого знака. У дробових нерівностях не можна множити на $x-2$ або подібний вираз, якщо невідомо, чи він додатний. Користуйся методом інтервалів.

Розділ «Рівняння, нерівності та їх системи» (тема 2.1 програми НМТ) — один із найвагоміших у тесті. Розгляньмо структуру на прикладі демоваріанта 2026 року.

Усього за темою 2.1 у демоваріанті 2026 — 4 завдання, що дають 5 балів. За аналізом тестів 2023–2024 років ця тема стабільно дає по 4 завдання в кожному варіанті.

Логарифмічні й показникові нерівності експерти НМТ називають серед найскладніших тем, оскільки знак залежить від основи й треба враховувати ОДЗ. Одна помилка в знаку — і задача оцінена в нуль балів.

У довідкових матеріалах НМТ ти знайдеш дискримінант і формулу коренів квадратного рівняння, розклад квадратного тричлена на множники, властивості степенів і логарифмів. Користуйся ними.

Стратегія на тесті

• У завданні з вибором відповіді (№ 1–15) підстав кожен варіант у рівняння — це швидше й надійніше, ніж повне розв’язання.

• У завданні з короткою відповіддю (№ 19–22) спершу випиши ОДЗ, потім розв’яжи, обов’язково перевір корінь підстановкою — і лише тоді запиши число.

• Показникові рівняння й нерівності — зводь обидві частини до однієї основи. Якщо основа менша від 1, знак нерівності змінюється.

• Логарифмічні рівняння й нерівності — спершу випиши ОДЗ, потім розв’язуй, наприкінці перевір корені за ОДЗ.

• Дробові рівняння й нерівності — нулі знаменника завжди виключені. Для нерівностей застосовуй метод інтервалів.

• Підніс обидві частини до квадрата — обов’язково перевір кожен корінь підстановкою. Сторонні корені — найчастіша пастка.

• Ніколи не діли обидві частини рівняння на вираз зі змінною — розкладай на множники й прирівнюй кожен множник до нуля.

• У кожній задачі спершу запитуй себе: яке ОДЗ? Який знак нерівності? Чи змінюється він при перетворенні?