Таблиця похідних елементарних функцій

Перш ніж вивчати таблицю похідних, варто зрозуміти, що таке похідна взагалі. Уяви, що ти їдеш на велосипеді й заміряєш, як швидко змінюється твоє положення з кожною секундою. Похідна — це математична міра такої миттєвої швидкості зміни однієї величини відносно іншої.

Приріст аргументу та приріст функції

Нехай маємо функцію y = f(x). Візьмемо деяку точку x₀ з області визначення. Якщо аргумент зміниться від x₀ до x, то різницю x − x₀ називають приростом аргументу і позначають Δx (читають «дельта ікс»). Відповідно зміна значення самої функції — це приріст функції:

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

Наприклад, для f(x) = x² у точці x₀ = 1 з приростом Δx = 0,5 маємо f(1,5) = 2,25, f(1) = 1, отже Δf = 2,25 − 1 = 1,25.

Означення похідної

Похідною функції f у точці x₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

Позначають похідну кількома способами: f′(x₀), y′(x₀) або dy/dx. Якщо похідна існує в кожній точці проміжку, то говорять про похідну функцію f′(x) — це вже нова функція, а f′(x₀) — конкретне число.

Вивід похідної для f(x) = x² за означенням

Подивимося, як із цього означення отримують перший рядок таблиці. Нехай f(x) = x². Тоді:

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =(x_0+\Delta x{)}^2-x_0^2\\ & =x_0^2+2x_0\cdot \Delta x+(\Delta x{)}^2-x_0^2\\ & =2x_0\cdot \Delta x+(\Delta x{)}^2\end{array}$$

Отже,

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x_0\cdot \Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=2x_0+\Delta x$$

Коли Δx → 0, вираз 2x₀ + Δx прямує до 2x₀. Тобто (x²)′ = 2x. Саме так — через границю — доведено кожен рядок таблиці похідних. На НМТ похідну за означенням не обчислюють, але розуміння цього виводу пояснює, чому формули мають саме такий вигляд.

Диференціювання

Процес знаходження похідної називають диференціюванням. Функцію, яка має похідну в точці x₀, називають диференційовною в цій точці. Запам'ятай головне:

• f′(x) — це функція (похідна функція)

• f′(x₀) — це число (значення похідної в конкретній точці)

У наступних розділах ти опануєш усі рядки таблиці похідних, які знадобляться на НМТ.

Похідна сталої: C′ = 0

Стала функція f(x) = C не змінює свого значення — її графік — горизонтальна пряма. Швидкість зміни такої функції в будь-якій точці дорівнює нулю. Отже:

$$C^{\prime }=0$$

Це стосується будь-якого числа, записаного як константа:

Типова помилка: числа e², ln 5, π намагаються диференціювати як функції: (e²)′ = 2e або (ln 3)′ = 1/3. Не роби цього! Це сталі, їхня похідна — нуль.

Похідна x: x′ = 1

Найпростіша степенева функція f(x) = x має похідну x′ = 1. Справді, графік y = x — пряма під кутом 45°; її кутовий коефіцієнт дорівнює 1 у кожній точці.

Степенева функція: (x^α)′ = α·x^(α−1)

Для будь-якого дійсного показника α справджується формула:

$$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$$

Правило просте: виносимо показник множником і зменшуємо його на одиницю.

Розгляньмо кілька прикладів із натуральним показником:

Від'ємний показник: дроби зі змінною

Дріб вигляду 1/x^n спершу записують як степінь із від'ємним показником, а тоді застосовують ту саму формулу:

Увага: для 1/x³ показник −3 зменшуємо на 1, отримуючи −4, а не −2. Поширена помилка — писати (x⁻³)′ = −3x⁻² замість −3x⁻⁴.

Дробовий показник: корені

Корінь n-го степеня — це степінь із дробовим показником: ⁿ√(xᵐ) = x^(m/n). Переписуємо корінь у вигляд степеня, а тоді диференціюємо.

Зверни увагу на область існування похідної:

• y = √x — похідна існує лише при x > 0 (у нулі — вертикальна дотична)

• y = 1/x — похідна існує при x ≠ 0

Головне правило: завжди спершу перепиши функцію у вигляд x^α, а потім застосовуй (x^α)′ = α·x^(α−1).

У цьому розділі ти познайомишся з похідними показникової, логарифмічної та тригонометричних функцій. Це ключові рядки таблиці, які знадобляться на НМТ.

Похідна eˣ: (eˣ)′ = eˣ

Число e (приблизно 2,71828) — особливе: показникова функція f(x) = eˣ збігається зі своєю похідною. Це єдина функція (з точністю до сталого множника), похідна якої дорівнює їй самій.

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

Важливо! eˣ — не степенева функція. Тому (eˣ)′ ≠ x·eˣ⁻¹. Степенева формула працює, коли змінна в основі, а показник — стала. Тут навпаки: основа — стала e, показник — змінна x.

У шкільній програмі є й загальніша формула: (aˣ)′ = aˣ·ln a. Наприклад, (2ˣ)′ = 2ˣ·ln 2. Однак у довідці НМТ цього рядка немає — тільки (eˣ)′ = eˣ.

Похідна ln x: (ln x)′ = 1/x

Натуральний логарифм ln x (логарифм за основою e) має просту похідну: 1/x. Область визначення — x > 0.

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

У програмі також розглядають (logₐ x)′ = 1/(x·ln a). Наприклад, (lg x)′ = 1/(x·ln 10). Але в довідці НМТ цих рядків теж немає — тільки (ln x)′.

Похідні sin x, cos x і tg x

Тригонометричні функції диференціюють за такими правилами (аргумент — у радіанах):

$$\begin{array}{rl}(\sin x{)}^{\prime }& =\cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =-\sin x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =\frac{1}{{\cos }^{2}x}(x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z})\end{array}$$

Запам'ятай: мінус з'являється лише в похідній косинуса. Похідна синуса — додатний косинус.

Похідна тангенса існує скрізь, де cos x ≠ 0, тобто для всіх x ≠ π/2 + πn.

Таблиця похідних: зведення

Ось повна таблиця похідних елементарних функцій, яка є в довідкових матеріалах НМТ:

Обчислення значення похідної в точці

Щоб обчислити f′(x₀), потрібно знайти похідну f′(x), а потім підставити x₀ у цю похідну (а не у функцію!). Розгляньмо кілька прикладів:

Про похідну складеної функції

Зверни увагу: у довідці НМТ є тільки таблиця похідних і правила добутку, суми й частки. Похідної складеної функції (типу sin 2x) там немає — це матеріал профільного рівня програми (позначка «П»). Однак окремого «стандартного» НМТ немає: тест укладають за всією програмою.

Наприклад, (sin 2x)′ не дорівнює cos 2x за таблицею — тут потрібне правило (f(kx + b))′ = k·f′(kx + b), яке розглянемо в наступному юніті. Його варто знати напам'ять, бо в довідці його немає.

Приклад 1. Укажіть правильну рівність

Це завдання вибору однієї відповіді з п'яти. Серед поданих рівностей лише одна правильна. Перевірмо кожну.

Завдання: Укажіть правильну рівність.

• А) (sin x)′ = −cos x

• Б) (cos x)′ = −sin x

• В) (eˣ)′ = x·eˣ⁻¹

• Г) (1/x)′ = 1/x²

• Д) (tg x)′ = 1/sin²x

Розв'язання крок за кроком:

• А — хибно: (sin x)′ = cos x (без мінуса)

• Б — правильно: (cos x)′ = −sin x

• В — хибно: eˣ — не степенева функція; (eˣ)′ = eˣ

• Г — хибно: (1/x)′ = −1/x², загублено мінус

• Д — хибно: (tg x)′ = 1/cos²x, а не 1/sin²x

Відповідь: Б (cos x)′ = −sin x.

Чому інші варіанти неправильні? У варіанті А мінус приписано синусу, хоча він має бути в косинуса. Варіант В плутає показникову функцію зі степеневою. У варіанті Г забули, що похідна 1/x від'ємна. Варіант Д плутає знаменник: у похідній тангенса — косинус, а не синус.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції y = 1/x⁴

Завдання: Знайдіть похідну функції y = 1/x⁴.

• А) −4/x³

• Б) 4/x⁵

• В) −4/x⁵

• Г) −1/(3x³)

• Д) 1/(4x³)

Розв'язання:

Спершу записуємо функцію як степінь: 1/x⁴ = x⁻⁴.

Застосовуємо формулу (x^α)′ = α·x^(α−1):

$$(x^{-4}{)}^{\prime }=-4\cdot x^{-4-1}=-4\cdot x^{-5}=-\frac{4}{x^5}$$

Відповідь: В −4/x⁵.

Розбір дистракторів:

• А (−4/x³) — помилка: показник збільшили на 1 замість зменшити (−4 + 1 = −3). Насправді −4 − 1 = −5.

• Б (4/x⁵) — загублено мінус: за формулою (x^α)′ = α·x^(α−1) при α = −4 перед степенем з'являється множник −4, тому (x⁻⁴)′ = −4x⁻⁵ = −4/x⁵.

• Г (−1/(3x³)) — це первісна, а не похідна.

• Д (1/(4x³)) — не відповідає жодному правилу.

Приклад 3. Логічні пари: функція — її похідна

Завдання: Установіть відповідність між функцією (1–3) та її похідною (А–Д).

Функції:

• 1) y = ∛x

• 2) y = ln x

• 3) y = tg x

Похідні:

• А) 1/x

• Б) 1/(3∛(x²))

• В) 1/cos²x

• Г) 1/(2√x)

• Д) −1/cos²x

Розв'язання:

Для кожної функції знаходимо похідну за таблицею:

• 1) y = ∛x = x^(1/3) ⇒ y′ = (1/3)·x^(−2/3) = 1/(3∛(x²)). Це варіант Б.

• 2) y = ln x ⇒ y′ = 1/x. Це варіант А.

• 3) y = tg x ⇒ y′ = 1/cos²x. Це варіант В.

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — В.

Варіант Г (1/(2√x)) — це похідна квадратного кореня √x, якої немає серед функцій. Варіант Д (−1/cos²x) — хибний знак: похідна тангенса додатна.

Приклад 4. f(x) = sin x. Обчисліть f′(π/3)

Завдання: Дано функцію f(x) = sin x. Обчисліть f′(π/3).

• А) √3/2

• Б) −1/2

• В) 1/2

• Г) −√3/2

• Д) 1

Розв'язання:

1. Знаходимо похідну: f′(x) = cos x.

1. Підставляємо x₀ = π/3 у похідну: f′(π/3) = cos(π/3) = 1/2.

Відповідь: В 1/2.

Розбір дистракторів:

• А (√3/2) — підставили π/3 у саму функцію sin замість похідної: sin(π/3) = √3/2

• Б (−1/2) — похідну синуса взяли з мінусом, ніби це косинус

• Г (−√3/2) — і те, й інше: підставили у функцію та додали мінус

• Д (1) — значення cos(0) = 1, сплутали аргумент

На НМТ перевіряють не лише знання формул, а й уважність. Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час диференціювання.

• Плутанина з мінусом у тригонометричних функціях. Пишуть (cos x)′ = sin x, гублячи мінус, або приписують мінус похідній синуса: (sin x)′ = −cos x. Запам'ятай: мінус — тільки в косинуса.

• Збільшення показника замість зменшення. У формулі (x^α)′ = α·x^(α−1) показник зменшується на 1, а не збільшується. Помилка: (x⁵)′ = 5x⁶ (має бути 5x⁴). Іноді плутають похідну з первісною: пишуть x⁶/6 замість 5x⁴.

• Помилка у від'ємному показнику. Для 1/x³ = x⁻³ зменшують модуль показника: пишуть −3x⁻² замість −3x⁻⁴. Нагадай собі: −3 − 1 = −4, а не −2.

• Диференціювання числа як функції. Сталі e², ln 3, π помилково диференціюють: (e²)′ = 2e, (ln 3)′ = 1/3, (π)′ = 1. Це числа, їхня похідна — нуль.

• Диференціювання eˣ як степеневої функції. Пишуть (eˣ)′ = x·eˣ⁻¹. Насправді (eˣ)′ = eˣ, бо eˣ — показникова, а не степенева функція.

• Похідна тангенса. Пишуть 1/sin²x або −1/cos²x. Правильно: 1/cos²x (додатна, з косинусом у знаменнику).

• Підстановка x₀ у функцію замість похідної. Обчислюючи f′(x₀), підставляють x₀ у f(x), а не в f′(x). Наприклад, для f(x) = sin x знаходять sin(π/3) = √3/2 замість cos(π/3) = 1/2.

Тема «Похідна» входить до розділу 3.3 програми НМТ з математики. У програмі зазначено: «знаходити похідні функцій і числове значення похідної в точці для заданого значення аргументу». Похідна складеної функції належить до профільного рівня програми (позначка «П») і в довідкових матеріалах відсутня. Окремого «стандартного» НМТ немає: тест охоплює всю програму, а в демоваріанті 2026 є профільне завдання № 22.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ-2026 похідна з'являється в завданні 19: потрібно обчислити значення кусково заданої функції та її похідної. Відповідь — десятковий дріб (коротка відповідь). Завдання оцінюють у 0 або 2 бали без часткових балів. Таблична похідна — перший крок такого розв'язання.

У вибірці з 4 тестів НМТ 2023–2024 похідна чи первісна траплялася серед завдань 4–15 — це завдання вибору однієї відповіді з п'яти (А–Д), які оцінюють у 0 або 1 бал.

Довідкові матеріали

Під час тесту в електронній формі доступні довідкові матеріали. У них є таблиця похідних для таких функцій:

• C (стала)

• x

• x^α

• √x

• eˣ

• ln x

• sin x

• cos x

• tg x

Також у довідці є правила диференціювання (сума, добуток, частка). Похідної складеної функції там немає.

Стратегія підготовки

• Знак у (cos x)′ і правило «показник мінус один» варто знати напам'ять — це заощадить час.

• Довідку відкривай для перевірки рядків √x і tg x, які легко забути.

• У варіантах відповідей шукай типові пастки: загублений мінус (у похідній косинуса чи дробу) і збільшений показник (замість зменшеного).

• Похідна — швидкість зміни функції в точці. f′(x) — функція, f′(x₀) — число.

• C′ = 0, x′ = 1, (x^α)′ = α·x^(α−1). Корінь і дріб спершу запиши як степінь.

• (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x.

• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x.

• Значення похідної в точці — підставляй x₀ у похідну f′(x), а не у функцію f(x).

• Таблиця похідних є в довідці НМТ. Похідної складеної функції там немає — це профільний рівень.