Таблиці похідних і первісних у довідці НМТ

У довідці НМТ є дві ключові таблиці: таблиця похідних основних елементарних функцій і таблиця правил диференціювання. Ти маєш навчитися знаходити їх і застосовувати за лічені секунди.

Таблиця похідних (C і α — сталі)

Зверни увагу: рядок (√x)′ = 1/(2√x) — це окремий випадок степеневої формули з α = 1/2. Справді, √x = x^(1/2), тому (x^(1/2))′ = (1/2) · x^(−1/2) = 1/(2√x).

Правила диференціювання

Як степенева формула покриває дроби й корені

У таблиці немає окремого рядка для 1/x², але ти можеш записати дріб як степінь: 1/x² = x⁻². Тоді за формулою (x^α)′ = α · x^(α − 1) маємо: (x⁻²)′ = −2 · x⁻³ = −2/x³. Так само ∛x = x^(1/3), тому (∛x)′ = (1/3) · x^(−2/3).

Приклади застосування

Приклад A. Знайди похідну f(x) = x³ − 4√x + 2eˣ.

Розв'язання: за правилами суми й сталого множника маємо f′(x) = (x³)′ − 4·(√x)′ + 2·(eˣ)′ = 3x² − 4·(1/(2√x)) + 2·eˣ = 3x² − 2/√x + 2eˣ.

Приклад B. Знайди похідну f(x) = x² · sin x.

Розв'язання: за правилом добутку (x²·sin x)′ = (x²)′·sin x + x²·(sin x)′ = 2x·sin x + x²·cos x.

Приклад C. Знайди похідну f(x) = (x + 1)/(x − 1).

Розв'язання: за правилом частки ((x+1)/(x−1))′ = ((x+1)′·(x−1) − (x+1)·(x−1)′)/(x−1)² = (1·(x−1) − (x+1)·1)/(x−1)² = (x−1−x−1)/(x−1)² = −2/(x−1)².

На НМТ можуть попросити обчислити значення похідної в заданій точці x₀. Алгоритм простий: спершу знайди f′(x) за таблицею похідних і правилами диференціювання, а потім підстав у результат число x₀.

Поширена пастка: якщо підставити x₀ у функцію f(x) до диференціювання, то отримаєш стале число, похідна якого дорівнює нулю. Завжди спершу диференціюй, потім підставляй.

Приклад 1: многочлен

f(x) = 2x³ − 5x² + 7, x₀ = 2.

f′(x) = 2·3x² − 5·2x + 0 = 6x² − 10x. Тоді f′(2) = 6·4 − 10·2 = 24 − 20 = 4.

Приклад 2: добуток із ln x

f(x) = x · ln x, x₀ = e.

За правилом добутку: f′(x) = (x)′·ln x + x·(ln x)′ = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1. Тоді f′(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2.

Приклад 3: тригонометрична функція

f(x) = 3sin x + cos x, x₀ = π/2.

f′(x) = 3cos x − sin x. Тоді f′(π/2) = 3·cos(π/2) − sin(π/2). За таблицею значень тригонометричних функцій з довідки cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1. Отже, f′(π/2) = 3·0 − 1 = −1.

Кусково задана функція

Якщо функцію задано різними формулами на різних проміжках, то для обчислення f′(x₀) диференціюють ту формулу, яка діє на проміжку, що містить x₀ всередині. Наприклад:

f(x) = { x² + 1, якщо x ≤ 0; 3x − 2, якщо x > 0 }.

Для x₀ = 2 (проміжок x > 0) беремо f(x) = 3x − 2, тоді f′(x) = 3, f′(2) = 3. Для x₀ = −1 (проміжок x ≤ 0) беремо f(x) = x² + 1, тоді f′(x) = 2x, f′(−1) = −2.

Первісна — це функція F(x), похідна якої дорівнює заданій функції f(x). У довідці НМТ є таблиця, де для кожної f(x) записано загальний вигляд первісних F(x) + C, де C — довільна стала.

Таблиця первісних з довідки

Переконаймося: (−cos x)′ = sin x, тому первісна sin x справді дорівнює −cos x + C. Якщо продиференціювати cos x + C, отримаєш −sin x, а не sin x — тому знак мінус обов'язковий.

Правила знаходження первісних

Окремих правил для первісних у довідці немає, але вони випливають із правил диференціювання: первісна суми дорівнює сумі первісних, а сталий множник можна виносити за знак первісної. Наприклад, для f(x) = 5x³ маємо F(x) = 5 · (x⁴/4) + C = (5/4)x⁴ + C.

Формула Ньютона–Лейбніца

Визначений інтеграл від a до b обчислюють за формулою Ньютона–Лейбніца, яка є в довідці:

∫ від a до b f(x) dx = F(x)|ₐᵇ = F(b) − F(a).

Тут F(x) — будь-яка первісна f(x) (сталу C можна не писати, бо вона однаково відніметься: (F(b)+C) − (F(a)+C) = F(b) − F(a)).

Приклади обчислення визначених інтегралів

Приклад A. ∫ від 1 до 3 (3x² − 2x) dx.

Первісна: F(x) = 3·(x³/3) − 2·(x²/2) = x³ − x². Тоді F(3) − F(1) = (27 − 9) − (1 − 1) = 18 − 0 = 18.

Приклад B. ∫ від 0 до π sin x dx.

Первісна sin x дорівнює −cos x. Тоді (−cos π) − (−cos 0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2.

Тренуйся обчислювати f′(x₀) і визначений інтеграл від многочлена лише за довідкою, засікаючи час. На НМТ кожна секунда на рахунку.

Довідка НМТ містить лише базові таблиці. Деякі важливі теми позначені в програмі як профільні (П) — їх у довідці немає, і на НМТ вони можуть з'явитися хіба в завданнях профільного рівня. Розберімо, чого саме там не знайти.

Похідна складеної функції

У довідці немає формули (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Тому похідні на кшталт (sin 3x)′ або ((2x − 1)⁵)′ за довідкою не обчислити. Для порівняння:

(sin 3x)′ = 3cos 3x, ((2x − 1)⁵)′ = 5·(2x − 1)⁴·2 = 10(2x − 1)⁴.

Якщо в завданні НМТ трапиться складена функція, це буде ознака профільного рівня (П). На базовому рівні всі функції в завданнях на похідну — елементарні або їхні суми, добутки й частки.

Рівняння дотичної

Рівняння дотичної до графіка функції в точці x₀ має вигляд y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Цієї формули в довідці немає — вона також належить до профільного рівня (П).

Геометричний і фізичний зміст похідної

У довідці не написано, що f′(x₀) дорівнює кутовому коефіцієнту k дотичної, тобто k = tg φ, де φ — кут нахилу дотичної до осі Ox. Також там немає фізичного тлумачення: швидкість v(t) = s′(t), прискорення a(t) = v′(t). Ці факти треба знати окремо.

Похідні aˣ і logₐ x

У таблиці похідних є лише eˣ і ln x. Окремих рядків для aˣ (a > 0, a ≠ 1) і logₐ x немає. Запам'ятай:

(aˣ)′ = aˣ · ln a, (logₐ x)′ = 1/(x · ln a).

Наприклад, (2ˣ)′ = 2ˣ · ln 2. Цього в довідці не знайти.

Розгляньмо чотири типові завдання, які можуть трапитися на НМТ. Кожне розібрано крок за кроком.

Приклад 1. Знайдіть f′(1), якщо f(x) = x⁴ − 3√x + 5

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д).

Розв'язання. Спочатку диференціюємо: f′(x) = 4x³ − 3·(1/(2√x)) + 0 = 4x³ − 3/(2√x). Підставляємо x = 1: f′(1) = 4·1 − 3/(2·1) = 4 − 1,5 = 2,5.

Відповідь: 2,5.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1 — якщо помилково взяти (√x)′ = 1/√x замість 1/(2√x)

• 3 — якщо обчислити f(1) замість f′(1)

• 5,5 — якщо зробити помилку в знаку

• 7,5 — якщо вважати похідну сталої 5 рівною 5, а не 0

Приклад 2. Установіть відповідність між функцією (1–3) та її похідною (А–Д)

Функції: 1) x·eˣ; 2) tg x − x; 3) ln x / x.

Варіанти похідних: А) (x + 1)eˣ; Б) eˣ; В) tg²x; Г) (1 − ln x)/x²; Д) (ln x − 1)/x².

Розв'язання.

• 1) (x·eˣ)′ = (x)′·eˣ + x·(eˣ)′ = 1·eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ → А.

• 2) (tg x − x)′ = 1/cos²x − 1 = (1 − cos²x)/cos²x = sin²x/cos²x = tg²x → В.

• 3) (ln x / x)′ = ((ln x)′·x − ln x·(x)′)/x² = ((1/x)·x − ln x·1)/x² = (1 − ln x)/x² → Г.

Відповідь: 1–А, 2–В, 3–Г. Варіант Д (ln x − 1)/x² — типова помилка, коли переставляють доданки в чисельнику.

Приклад 3. Обчисліть ∫ від 0 до 2 (3x² − 4x + 1) dx

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Знаходимо первісну: F(x) = 3·(x³/3) − 4·(x²/2) + x = x³ − 2x² + x. За формулою Ньютона–Лейбніца: F(2) − F(0) = (8 − 8 + 2) − (0 − 0 + 0) = 2.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• 10 — якщо не поділити на α + 1 при інтегруванні (тобто взяти первісну 3x² як 3x³, а 4x як 4x²): 24 − 16 + 2 = 10

• 12 — якщо взяти похідну замість первісної

• −2 — якщо обчислити F(0) − F(2) замість F(2) − F(0)

• 5 — якщо підставити межу в саму функцію f(x), а не в первісну

Приклад 4. Укажіть первісну функції f(x) = sin x + 1/x²

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Записуємо 1/x² як x⁻². За таблицею первісних: sin x → −cos x; x⁻² → x⁻¹/(−1) = −1/x. Отже, F(x) = −cos x − 1/x + C.

Відповідь: −cos x − 1/x.

Чому інші варіанти неправильні:

• cos x − 1/x — неправильний знак первісної sin x

• −cos x + 1/x — неправильний знак первісної x⁻²

• cos x − 2/x³ — продиференціювали замість узяти первісну

• −cos x − 1/(3x³) — зменшили показник замість збільшити на 1

• Гублять мінус у двох таблицях: пишуть (cos x)′ = sin x (правильно: −sin x) або первісну sin x записують як cos x + C (правильно: −cos x + C). Запам'ятай: похідна cos x дає мінус, первісна sin x теж дає мінус.

• Плутають правило добутку: пишуть (uv)′ = u′v′. Правильно: (uv)′ = u′v + uv′.

• У похідній частки міняють доданки чисельника: пишуть (uv′ − u′v)/v² замість правильного (u′v − uv′)/v². Від добутку похідної чисельника на знаменник віднімають добуток чисельника на похідну знаменника.

• Похідну сталої вважають рівною самій сталій. Наприклад, (5)′ = 5, хоча правильно (5)′ = 0.

• Первісну сталої k записують як C замість kx + C. Наприклад, для f(x) = 3 первісна дорівнює 3x + C, а не просто C.

• Помилка в (√x)′: пишуть 1/√x або √x/2 замість правильної 1/(2√x).

• У первісній x^α не ділять на α + 1 або ділять на α замість α + 1. Наприклад, для x³ пишуть x⁴/3 + C замість x⁴/4 + C.

• У формулі Ньютона–Лейбніца обчислюють F(a) − F(b) замість F(b) − F(a).

• Шукають у довідці (sin 2x)′ чи (2ˣ)′ — складеної функції й aˣ там немає. Це профільний матеріал.

Тема похідної (пункт 3.3 програми) охоплює таблицю похідних, похідну суми, добутку й частки. Похідна складеної функції й рівняння дотичної позначені як профільний рівень (П) — на базовому рівні їх не буде.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 19 перевіряло значення кусково заданої функції та її похідної. Формат — коротка відповідь (лише десятковим дробом), оцінювання — 0 або 2 бали без часткових балів.

Тема первісної й визначеного інтеграла (пункт 3.5 програми) містить таблицю первісних і формулу Ньютона–Лейбніца. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 12 перевіряло площу фігури через визначений інтеграл — вибір формули за рисунком, одна відповідь з п'яти, 0 або 1 бал.

Позиція № 19 у тесті змінна: там може бути прогресія, похідна або інтеграл. Тому варто тренувати обчислення f′(x₀) та інтеграла від многочлена саме у форматі короткої відповіді (число).

Таблиці похідних і первісних є в довідці НМТ. Під час тесту в тебе буде доступ до цієї довідки — навчися швидко знаходити потрібний рядок.

• Таблиця похідних у довідці: C, x, x^α, √x, eˣ, ln x, sin x, cos x, tg x.

• Правила диференціювання: сума, різниця, C·u, добуток, частка.

• Щоб знайти f′(x₀): спершу продиференціюй функцію, потім підстав x₀.

• Таблиця первісних у довідці: 0 → C; 1 → x + C; x^α (α ≠ −1) → x^(α+1)/(α+1) + C; 1/x → ln|x| + C; eˣ → eˣ + C; sin x → −cos x + C; cos x → sin x + C; 1/cos²x → tg x + C.

• Перевірка первісної: продиференціюй F(x) — має вийти f(x).

• Визначений інтеграл: ∫ від a до b f(x) dx = F(b) − F(a) (формула Ньютона–Лейбніца).

• Чого в довідці немає: похідної складеної функції, рівняння дотичної, геометричного й фізичного змісту похідної, похідної aˣ і logₐ x.