Рівняння, що зводяться до квадратних: заміна змінної

Біквадратним називають рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a ≠ 0. У такому рівнянні немає степенів x³ та x, а x входить лише в парних степенях — x⁴ і x². Саме тому його можна звести до квадратного за допомогою заміни t = x². Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, на нову змінну накладаємо обмеження: t ≥ 0. Після заміни отримуємо квадратне рівняння at² + bt + c = 0, яке розв'язуємо за формулою коренів або за теоремою Вієта.

Як це працює: покроковий приклад

Розглянемо рівняння x⁴ − 13x² + 36 = 0. Заміна t = x² дає t² − 13t + 36 = 0. Знаходимо корені квадратного рівняння: за теоремою Вієта t₁ + t₂ = 13, t₁ · t₂ = 36, звідки t₁ = 4, t₂ = 9. Обидва значення додатні, тому повертаємося до x: x² = 4 ⇒ x = ±2; x² = 9 ⇒ x = ±3. Отже, рівняння має чотири корені: −3, −2, 2, 3.

Коли частину коренів доводиться відкидати

Візьмемо рівняння x⁴ + 3x² − 4 = 0. Заміна t = x² дає t² + 3t − 4 = 0. Розв'язуємо: дискримінант D = 9 + 16 = 25, корені t₁ = 1, t₂ = −4. Значення t₂ = −4 суперечить умові t ≥ 0, тому його відкидаємо. Залишається t = 1, звідки x² = 1 ⇒ x = ±1. Відповідь: два корені — −1 і 1.

Запам'ятай: після розв'язування квадратного рівняння для t обов'язково перевіряй, чи задовольняє кожне знайдене значення умову t ≥ 0. Від'ємне t не дає жодного дійсного кореня x.

Правило повернення до змінної x

Після того як знайдено допустимі значення t, повернення до x відбувається за схемою:

• якщо t > 0, то рівняння x² = t має два корені: x = ±√t

• якщо t = 0, то x² = 0 дає один корінь: x = 0

• якщо t < 0, то дійсних коренів немає (значення відкидаємо)

Повернення до x — обов'язковий крок. Не можна записати у відповідь значення t замість x: якщо t = 9, то відповіддю буде ±3, а не «9».

Біквадратне рівняння може мати від 0 до 4 дійсних коренів залежно від того, які значення t отримано після заміни. Оскільки кожне додатне t дає два корені x (±√t), нульове t дає один корінь (x = 0), а від'ємне — жодного, кількість коренів визначають знаки коренів квадратного рівняння для t.

Можливі випадки

Розглянемо всі варіанти в таблиці:

Розберімо приклад із трьома коренями: x⁴ − 4x² = 0. Виносимо x² за дужки: x²(x² − 4) = 0. Звідси x² = 0 ⇒ x = 0 або x² = 4 ⇒ x = ±2. Маємо три корені: −2, 0, 2. Те саме через заміну: t = x² дає t² − 4t = 0 ⇒ t(t − 4) = 0 ⇒ t = 0 або t = 4. t = 0 дає x = 0, t = 4 дає x = ±2.

Сума коренів біквадратного рівняння

Оскільки корені біквадратного рівняння завжди попарно протилежні (кожному додатному кореню a відповідає корінь −a), їхня сума завжди дорівнює 0. Наприклад, для рівняння x⁴ − 13x² + 36 = 0 корені −3, −2, 2, 3, і їхня сума: −3 − 2 + 2 + 3 = 0. Це зручно використовувати для перевірки.

Добуток коренів біквадратного рівняння

Добуток коренів обчислюють безпосередньо за знайденими значеннями x. Для x⁴ − 13x² + 36 = 0 маємо: 2 · (−2) · 3 · (−3) = 36. Зверни увагу: знак добутку залежить від кількості коренів. Для чотирьох коренів ±a, ±b добуток a²b² > 0; для двох коренів ±a добуток −a² < 0 (для x⁴ + 3x² − 4 = 0: 1 · (−1) = −1); якщо серед коренів є 0, добуток дорівнює 0.

Поширена помилка: x⁴ = 16

Рівняння x⁴ = 16 зводиться до x² = 4 або x² = −4. Друге рівняння коренів не має, тому x² = 4 ⇒ x = ±2. Відповідь: −2 і 2, а не x = 2 (втрачено −2) і не x = 4 (плутанина з x²).

Не лише біквадратні рівняння зводяться до квадратних заміною змінної. Якщо в рівнянні помітно повторюваний вираз (цілий многочлен або лінійний вираз), його можна позначити новою змінною t, розв'язати квадратне рівняння для t, а потім повернутися до x. Це набагато простіше, ніж розкривати дужки й отримувати рівняння четвертого степеня.

Приклад із квадратним тричленом

Розв'яжемо рівняння (x² − x)² − 8(x² − x) + 12 = 0. Помічаємо, що вираз x² − x повторюється. Позначаємо t = x² − x. Тоді рівняння набуває вигляду t² − 8t + 12 = 0. Розв'язуємо: t₁ = 2, t₂ = 6. Повертаємося до x для кожного t:

• t = 2: x² − x − 2 = 0 ⇒ x = 2, x = −1

• t = 6: x² − x − 6 = 0 ⇒ x = 3, x = −2

Отже, рівняння має чотири корені: −2, −1, 2, 3.

Приклад із лінійним виразом

Розв'яжемо (2x − 1)² − 4(2x − 1) + 3 = 0. Тут повторюється вираз 2x − 1. Позначаємо t = 2x − 1. Отримуємо t² − 4t + 3 = 0 ⇒ t₁ = 1, t₂ = 3. Повертаємося до x:

• t = 1: 2x − 1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

• t = 3: 2x − 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

Відповідь: два корені — 1 і 2.

Алгоритм дій

1. Помітити в рівнянні повторюваний вираз.

2. Увести нову змінну t, яка дорівнює цьому виразу. За потреби записати обмеження на t (наприклад, t ≥ 0, якщо вираз стоїть під знаком квадрата).

3. Розв'язати отримане квадратне рівняння для t.

4. Для кожного допустимого значення t повернутися до x, розв'язавши рівняння t = (вираз).

5. Записати відповідь через x.

Чому не варто розкривати дужки

Якщо в рівнянні (x² − x)² − 8(x² − x) + 12 = 0 розкрити дужки, отримаємо x⁴ − 2x³ + x² − 8x² + 8x + 12 = 0, тобто x⁴ − 2x³ − 7x² + 8x + 12 = 0 — рівняння четвертого степеня, яке не зводиться до квадратного без заміни. Заміна зберігає час і зменшує ризик помилки.

Обмеження на t

Іноді на t потрібно накласти додаткову умову. Наприклад, якщо заміна t = √(x + 1), то t ≥ 0. Якщо t = x², то t ≥ 0. Якщо ж t = x² − x, то t ≥ −1/4, бо x² − x = (x − 1/2)² − 1/4. Таку умову можна окремо не записувати: значення t < −1/4 відсіються самі, бо рівняння x² − x = t матиме D < 0. Зовсім без обмежень — лінійна заміна, наприклад t = 2x − 1. Завжди аналізуй вираз, який позначаєш новою змінною.

Багато рівнянь вищих степенів можна розв'язати, не вводячи нової змінної, а розклавши ліву частину на множники. Основний принцип: добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а інші мають зміст. Це дає змогу замінити складне рівняння кількома простішими.

Винесення спільного множника

Найпростіший спосіб — винести спільний множник за дужки. Розв'яжемо рівняння x³ − 4x² − 5x = 0. Бачимо, що кожен доданок містить x. Виносимо x за дужки:

x(x² − 4x − 5) = 0

Тепер добуток дорівнює нулю. Прирівнюємо кожен множник до нуля:

• x = 0

• x² − 4x − 5 = 0 ⇒ D = 16 + 20 = 36 ⇒ x = (4 ± 6)/2 ⇒ x = 5, x = −1

Відповідь: три корені — −1, 0, 5.

Ніколи не діли на вираз зі змінною!

Поширена помилка — поділити x³ − 4x² − 5x = 0 на x, отримавши x² − 4x − 5 = 0. Тоді корінь x = 0 губиться. Ділити на вираз, що містить змінну, можна лише тоді, коли ти впевнений, що він не дорівнює нулю. У загальному випадку завжди винось спільний множник за дужки.

Метод групування

Коли спільного множника для всіх доданків немає, застосовують групування. Розв'яжемо x³ + 3x² − 4x − 12 = 0. Групуємо перші два й останні два доданки:

x²(x + 3) − 4(x + 3) = 0

Виносимо спільний множник (x + 3):

(x + 3)(x² − 4) = 0

Прирівнюємо кожен множник до нуля:

• x + 3 = 0 ⇒ x = −3

• x² − 4 = 0 ⇒ x = ±2

Відповідь: три корені — −3, −2, 2.

Однакові корені рахуємо один раз

Іноді після розкладання один і той самий корінь з'являється з різних множників. Розв'яжемо x²(x − 1) − (x − 1) = 0. Виносимо (x − 1):

(x − 1)(x² − 1) = 0 ⇒ (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ (x − 1)²(x + 1) = 0

Корені: x = 1 (двократний) і x = −1. У відповідь записуємо два різні корені: −1 і 1. Не рахуємо корінь 1 двічі.

Пам'ятай: коли питають «скільки коренів», «суму коренів» або «найбільший корінь», однакові за значенням корені враховують один раз.

Розгляньмо чотири завдання, подібні до тих, що трапляються на НМТ. Кожне розв'яжемо покроково й проаналізуємо типові пастки.

Приклад 1. Скільки коренів має рівняння x⁴ − 5x² − 36 = 0?

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти: жодного, 1, 2, 3, 4.

Розв'язання:

1. Заміна t = x², t ≥ 0. Отримуємо t² − 5t − 36 = 0.

2. Дискримінант: D = 25 + 144 = 169. Корені: t = (5 ± 13)/2 ⇒ t₁ = 9, t₂ = −4.

3. t₂ = −4 відкидаємо, бо t ≥ 0. Залишається t = 9.

4. Повертаємося до x: x² = 9 ⇒ x = ±3.

Відповідь: 2 корені.

Чому інші варіанти неправильні:

• «4» — пастка: хтось не відкинув t = −4 і вважав, що x² = −4 дає x = ±2.

• «0» — помилка в обчисленні дискримінанта.

• «1» або «3» — неправильний підрахунок коренів після повернення.

Приклад 2. Знайдіть найбільший корінь рівняння x⁴ − 10x² + 9 = 0.

Завдання: коротка відповідь (число).

Розв'язання:

1. Заміна t = x², t ≥ 0. Отримуємо t² − 10t + 9 = 0.

2. За теоремою Вієта: t₁ + t₂ = 10, t₁ · t₂ = 9 ⇒ t₁ = 1, t₂ = 9.

3. Обидва додатні. Повертаємося: x² = 1 ⇒ x = ±1; x² = 9 ⇒ x = ±3.

4. Корені: −3, −1, 1, 3. Найбільший — 3.

Відповідь: 3.

Поширена помилка: записати 9 (значення t замість x). Перевіряй себе: підстав знайдений корінь у початкове рівняння. Якщо x = 3, то 3⁴ − 10·3² + 9 = 81 − 90 + 9 = 0 — правильно. Якщо «9», то 9⁴ − 10·9² + 9 — явно не нуль.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння (x² + 2x)² − 2(x² + 2x) − 3 = 0. У відповідь запишіть суму всіх його коренів.

Завдання: коротка відповідь (число).

Розв'язання:

1. Помічаємо повторюваний вираз x² + 2x. Позначаємо t = x² + 2x.

2. Рівняння: t² − 2t − 3 = 0. D = 4 + 12 = 16 ⇒ t₁ = 3, t₂ = −1.

3. t = 3: x² + 2x − 3 = 0 ⇒ D = 4 + 12 = 16 ⇒ x = (−2 ± 4)/2 ⇒ x = 1, x = −3.

4. t = −1: x² + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0 ⇒ x = −1.

5. Корені: −3, −1, 1. Сума: −3 − 1 + 1 = −3.

Відповідь: −3.

Типові пастки:

• «2» — хтось додав значення t: 3 + (−1) = 2, але питали суму коренів x, а не t.

• «−4» — двократний корінь −1 рівняння (x + 1)² = 0 порахували двічі: −3 − 1 − 1 + 1 = −4 (те саме дає додавання сум коренів обох квадратних рівнянь за Вієта: −2 + (−2) = −4).

Приклад 4. Укажіть усі корені рівняння x³ − 2x² − 9x + 18 = 0.

Завдання: вибір однієї відповіді з п'яти: «−3; 2; 3», «2; 3», «−2; 3», «2; 9», «0; 2; 3».

Розв'язання:

1. Групуємо: (x³ − 2x²) − (9x − 18) = 0 ⇒ x²(x − 2) − 9(x − 2) = 0.

2. Виносимо (x − 2): (x − 2)(x² − 9) = 0.

3. Прирівнюємо: x − 2 = 0 ⇒ x = 2; x² − 9 = 0 ⇒ x = ±3.

Відповідь: «−3; 2; 3».

Чому інші варіанти неправильні:

• «2; 3» — втрачено корінь −3 (з x² = 9 взяли лише 3).

• «−2; 3» — неправильно розв'язано квадратне рівняння.

• «2; 9» — записали x² = 9 замість x = ±3.

• «0; 2; 3» — додали зайвий корінь 0.

• Записують у відповідь значення t замість x. Якщо після заміни t = x² отримали t = 9, пишуть «9», а треба x = ±3. Завжди повертайся до x і перевіряй підстановкою в початкове рівняння.

• Не відкидають від'ємне t. Знайшовши t = −4, пишуть x = ±2, бо «мінус на мінус дає плюс». Насправді x² = −4 не має дійсних розв'язків — квадрат числа не може бути від'ємним.

• З x² = 9 беруть лише додатний корінь. Пишуть x = 3, забуваючи про x = −3. Рівняння x² = a при a > 0 завжди має два корені.

• Розкривають дужки замість заміни. У рівнянні (x² + 2x)² − 2(x² + 2x) − 3 = 0 намагаються розкрити (x² + 2x)², отримуючи громіздке рівняння четвертого степеня. Заміна t = x² + 2x одразу зводить його до квадратного.

• Ділять рівняння на x. Рівняння x³ − 4x² − 5x = 0 ділять на x, отримуючи x² − 4x − 5 = 0, і гублять корінь x = 0. Правильно: винести x за дужки.

• Вважають, що біквадратне рівняння завжди має чотири корені. Насправді їх може бути 0, 1, 2, 3 або 4 — усе залежить від знаків коренів t.

• Однаковий корінь рахують двічі. Якщо корінь повторюється (як x = −1 у прикладі 3 — двократний корінь рівняння (x + 1)² = 0) або з'являється з різних множників чи замін, у сумі чи кількості коренів його враховують один раз.

Програма НМТ з математики (тема 2.1, рівень стандарту) передбачає вміння «розв'язувати рівняння, що зводяться до рівнянь другого степеня», і застосовувати загальні методи — розкладання на множники й заміну змінної. Це означає, що тобі треба самому помітити можливість заміни або розкладання й виконати її.

Формати завдань на НМТ

Що можна використати з довідкових матеріалів

Формула коренів квадратного рівняння (дискримінант) є в довідкових матеріалах НМТ. А от методу заміни змінної там немає — його треба вміти застосовувати самостійно. Тому важливо навчитися помічати повторювані вирази й виконувати заміну без підказок.

Стратегія для тесту

Головна стратегія — перевіряй варіанти відповіді підстановкою в початкове рівняння, а не в рівняння для t. Наприклад, якщо в завданні з вибором відповіді запропоновано набори коренів, підстав кожен із них у вихідне рівняння — правильний набір обнулить його. Це займає менше хвилини й гарантовано дає правильну відповідь, навіть якщо ти сумніваєшся в розв'язанні.

Для завдань із короткою відповіддю (сума, добуток, найбільший корінь) спочатку знайди всі корені, а тоді виконай потрібну дію. Записуй відповідь десятковим дробом (наприклад, «−0,5» замість «−1/2»).

• Біквадратне рівняння: ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0. Заміна t = x², t ≥ 0, зводить його до квадратного at² + bt + c = 0.

• Після розв'язування квадратного рівняння для t повертайся до x: x² = t ⇒ x = ±√t при t > 0, x = 0 при t = 0. Від'ємні t відкидай.

• Біквадратне рівняння має від 0 до 4 коренів. Корені попарно протилежні, тому їхня сума завжди дорівнює 0.

• Якщо в рівнянні повторюється вираз (x² − x, 2x − 1 тощо), познач його новою змінною t. Відповідь завжди записуй через x, а не через t.

• Добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли хоча б один множник дорівнює нулю. Не діли на x — винось його за дужки.

• Однакові корені в сумі чи кількості рахуй один раз.