Раціональні дроби: ОДЗ і скорочення

У математиці вирази поділяють на цілі й дробові залежно від того, чи містять вони ділення на вираз зі змінною. Цілий вираз не містить ділення на вираз зі змінною. Наприклад, $3x^2-1$ — це цілий вираз, $x/5$ — теж цілий, бо ділення відбувається на число, а не на вираз зі змінною. Дробовий раціональний вираз обов'язково містить ділення на многочлен (вираз зі змінною): $5/x$, $(x+1)/(x-2)$.

Раціональний дріб — це вираз виду $P/Q$, де $P$ і $Q$ — многочлени, причому $Q$ містить змінну. Чисельник $P$ може бути будь-яким многочленом, зокрема одночленом або навіть числом.

Коли дріб має зміст?

Дріб має зміст (тобто його можна обчислити) лише тоді, коли його знаменник не дорівнює нулю. Адже ділити на нуль не можна — така операція не визначена в математиці.

Розгляньмо кілька прикладів:

• Дріб $(x+1)/(x-2)$ не має змісту при $x=2$, бо знаменник $x-2=0$.

• Дріб $(x-5)/(x^2-9)$ не має змісту при $x=\pm 3$, бо $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$.

• Дріб $1/(x^2+4)$ має зміст за будь-якого $x$, бо $x^2+4\ge 4>0$ — знаменник ніколи не дорівнює нулю.

Важливо: умова стосується лише знаменника. Чисельник може дорівнювати нулю — тоді дріб дорівнює нулю, але він має зміст. Наприклад, дріб $(x-4)/(x+1)$ при $x=4$ має зміст і дорівнює $0$.

ОДЗ — область допустимих значень

Усі значення змінної, за яких вираз має зміст, утворюють область допустимих значень (ОДЗ). Програма вимагає на рівні стандарту формулювати умову «знаменник ≠ 0» і знаходити значення, які її порушують, а означення ОДЗ як множини відносить до профільного рівня. НМТ рівнів не розрізняє, тому відбирати допустимі значення треба вміти в будь-якому завданні.

Якщо у виразі є кілька дробів, умову записують для кожного знаменника окремо. Наприклад, для виразу $1/(x-3)+1/(x+5)$ потрібно, щоб $x\ne 3$ і $x\ne -5$ одночасно.

Запам'ятай: дріб не має змісту тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює нулю. Чисельник на змістовність дробу не впливає.

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на те саме число (або вираз), що не дорівнює нулю, то дріб не зміниться. Формально: $P/Q=(P\cdot R)/(Q\cdot R)$, якщо $R\ne 0$.

Скоротити дріб — означає поділити чисельник і знаменник на їхній спільний множник (число або вираз). У результаті отримуємо дріб, тотожно рівний вихідному на тій множині, де вихідний дріб має зміст.

Скорочувати можна лише множники, а не доданки

Це найважливіше правило. Дріб $(x+2)/x$ скоротити не можна, бо $x$ у чисельнику — доданок, а не множник. А ось $3x/(x(x+1))$ можна скоротити на $x$, отримавши $3/(x+1)$, бо $x$ — множник і в чисельнику, і в знаменнику.

Найпоширеніша помилка: скорочувати доданки. Наприклад, у дробі $(x^2-9)/(x^2+3x)$ дехто «скорочує» $x^2$ і отримує $-3/x$. Це неправильно, бо $x^2$ — доданок, а не множник.

Алгоритм скорочення

1. Розкласти чисельник на множники.

2. Розкласти знаменник на множники.

3. Знайти спільний множник (або кілька спільних множників).

4. Поділити чисельник і знаменник на спільний множник.

Розгляньмо приклад: $(x^2-9)/(x^2+3x)$.

Крок 1. Розкладаємо чисельник: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ (формула різниці квадратів).

Крок 2. Розкладаємо знаменник: $x^2+3x=x(x+3)$ (винесення спільного множника $x$).

Крок 3. Спільний множник — $(x+3)$.

Крок 4. Ділимо: $((x-3)(x+3))/(x(x+3))=(x-3)/x$.

Дроби з одночленами

Якщо чисельник і знаменник — одночлени, скорочувати можна числові множники та степені з однаковою основою. Наприклад:

$12a^{3}b/(18a{b}^2)=(12/18)\cdot (a^3/a)\cdot (b/b^2)=(2/3)\cdot a^2\cdot (1/b)=2a^2/(3b)$.

Тут ми скоротили числовий множник $12$ і $18$ на $6$, степінь $a^3$ на $a$, степінь $b$ на $b$.

Іноді чисельник і знаменник містять вирази, які відрізняються лише знаком. Наприклад, $x-5$ і $5-x$. Оскільки $a-b=-(b-a)$, то $x-5=-(5-x)$. Це означає, що такі множники можна скоротити, але з'явиться знак «мінус».

Основне правило

$(a-b)/(b-a)=-1$.

Якщо степінь парний, знак зникає: $(x-5{)}^2/(5-x{)}^2=1$, бо $(x-5{)}^2=(5-x{)}^2$.

Приклади скорочення з протилежними множниками

Приклад 1: $(4-x^2)/(x^2-2x)$.

Розкладаємо чисельник: $4-x^2=(2-x)(2+x)$. Розкладаємо знаменник: $x^2-2x=x(x-2)$. Помічаємо, що $2-x=-(x-2)$. Отже:

$((2-x)(2+x))/(x(x-2))=(-(x-2)(2+x))/(x(x-2))=-(2+x)/x$.

Приклад 2: $(6-3a)/(a^2-4)$.

Чисельник: $6-3a=3(2-a)$. Знаменник: $a^2-4=(a-2)(a+2)$. Оскільки $2-a=-(a-2)$, маємо:

$(3(2-a))/((a-2)(a+2))=(3\cdot (-(a-2)))/((a-2)(a+2))=-3/(a+2)$.

Рівність дробу й скороченого виразу

Скорочений вираз дорівнює вихідному дробу лише там, де вихідний дріб має зміст. Наприклад, $(x^2-9)/(x^2+3x)=(x-3)/x$ для всіх $x$, крім $x=0$ і $x=-3$ (саме ці значення обнуляють знаменник вихідного дробу).

Як знаходити значення дробу

Найзручніше спочатку скоротити дріб, а потім підставити потрібне значення змінної. Але обов'язково перевір, чи входить це значення в ОДЗ вихідного дробу!

Приклад: знайдемо значення $(x^2-9)/(x^2+3x)$ при $x=6$.

Скорочуємо: $(x^2-9)/(x^2+3x)=(x-3)/x$. Підставляємо $x=6$: $(6-3)/6=3/6=0,5$. Значення $x=6$ допустиме (знаменник $36+18=54\ne 0$), тому відповідь правильна.

А от при $x=-3$ вихідний дріб не має змісту (знаменник $9-9=0$), хоча скорочений вираз $(x-3)/x$ дає $(-3-3)/(-3)=2$. Це число не є значенням вихідного дробу — дріб просто не існує при $x=-3$.

Завжди перевіряй, чи належить задане значення змінної до ОДЗ вихідного дробу! Якщо ні — дріб не має змісту, і відповіді не існує.

Приклад 1. Скоротити дріб

Завдання: Скоротіть дріб $(x^2-9)/(x^2+3x)$.

Розв'язання:

1. Розкладаємо чисельник: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

2. Розкладаємо знаменник: $x^2+3x=x(x+3)$.

3. Спільний множник — $(x+3)$. Скорочуємо: $((x-3)(x+3))/(x(x+3))=(x-3)/x$.

Відповідь: $(x-3)/x$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $-3/x$ — помилка: скорочено доданки $x^2$, а не множники.

• $(x+3)/x$ — помилка: неправильно розкладено чисельник.

• $x-3$ — помилка: загублено знаменник $x$.

• $(x-9)/(x+3)$ — помилка: неправильно розкладено чисельник і знаменник.

Приклад 2. Знайти значення, за яких дріб не має змісту

Завдання: За яких значень $x$ дріб $(x+2)/(x^2-4x)$ не має змісту?

Розв'язання:

1. Прирівнюємо знаменник до нуля: $x^2-4x=0$.

2. Розкладаємо на множники: $x(x-4)=0$.

3. Розв'язуємо: $x=0$ або $x=4$.

Відповідь: дріб не має змісту при $x=0$ і $x=4$.

Чому інші варіанти неправильні:

• лише $x=4$ — загублено корінь $x=0$.

• $x=-2$ — помилка: умову взято з чисельника, а не зі знаменника.

• $x=\pm 2$ — помилка: знаменник $x^2-4x$ не дорівнює нулю при $x=\pm 2$.

• $x=0$ і $x=-4$ — помилка: знак при розв'язуванні $x-4=0$.

Приклад 3. Скоротити дріб з протилежними множниками

Завдання: Скоротіть дріб $(6-3a)/(a^2-4)$.

Розв'язання:

1. Чисельник: $6-3a=3(2-a)$.

2. Знаменник: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.

3. Помічаємо, що $2-a=-(a-2)$. Отже: $(3(2-a))/((a-2)(a+2))=(3\cdot (-(a-2)))/((a-2)(a+2))=-3/(a+2)$.

Відповідь: $-3/(a+2)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $3/(a+2)$ — загублено знак «мінус» від протилежних множників.

• $-3/(a-2)$ — неправильно розкладено знаменник.

• $3/(a-2)$ — і загублено знак, і неправильно розкладено знаменник.

• $-3$ — загублено знаменник.

Приклад 4. Знайти значення дробу через скорочений вираз

Завдання: Знайдіть значення дробу $(x^2-2x)/(x^2-4)$ при $x=0,5$, попередньо скоротивши його.

Розв'язання:

1. Скорочуємо дріб: $(x^2-2x)/(x^2-4)=(x(x-2))/((x-2)(x+2))=x/(x+2)$.

2. Перевіряємо, чи належить $x=0,5$ до ОДЗ: знаменник $0,25-4=-3,75\ne 0$ — усе добре.

3. Підставляємо: $0,5/(0,5+2)=0,5/2,5=0,2$.

Відповідь: $0,2$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $-0,2$ — помилка зі знаком.

• $0,25$ — підставлено $x=0,5$ у вихідний дріб без скорочення й помилка в обчисленні.

• $0,5$ — взято значення $x$ замість значення дробу.

• $1$ — помилка: $0,5/0,5=1$ (забуто додати $2$ у знаменнику).

• Скорочено доданки, а не множники. Наприклад, у дробі $(x+2)/x$ «скорочують» $x$ і отримують $2$, або в $(x^2-9)/(x^2+3x)$ «скорочують» $x^2$ і отримують $-3/x$. Правило: скорочувати можна лише множники — спершу розклади чисельник і знаменник на множники.

• Значення, за яких дріб не має змісту, шукають за чисельником, а не за знаменником. Наприклад, для дробу $(x+2)/(x^2-4x)$ помилково вважають, що умова — $x+2=0$, тобто $x=-2$. Насправді умова — знаменник $x^2-4x=0$.

• Загублено «мінус» під час скорочення протилежних множників. Наприклад, $(x-5)/(5-x)=-1$, а не $1$. Пам'ятай: $a-b=-(b-a)$.

• Назвали лише одне значення, хоча знаменник — многочлен, який може дорівнювати нулю при кількох значеннях. Наприклад, $x^2+3x=0$ дає два корені: $x=0$ і $x=-3$.

• Підставили в скорочений вираз значення, за якого вихідний дріб не має змісту, і вибрали отримане число. Наприклад, при $x=-3$ дріб $(x^2-9)/(x^2+3x)$ не існує, хоча скорочений вираз $(x-3)/x$ дає $2$.

• Не розклали знаменник на множники й не помітили спільного множника. Наприклад, у дробі $(x^2-9)/(x^2+3x)$ спільний множник $(x+3)$ стає видимим лише після розкладу.

На НМТ завдання на скорочення раціональних дробів традиційно з'являється в тестовій формі з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д). У демоваріанті 2026 року це завдання № 14, яке оцінюється в 1 бал. Тема належить до пункту 1.3 програми НМТ — «Означення дробового раціонального виразу, дії з ним».

Перетворення раціональних виразів належать до простих завдань, на яких учасники втрачають бали через неуважність. Це «дешеві» бали на шляху до порогу 5 з 32 — їх варто брати безпомилково.

Умова «знаменник ≠ 0» знадобиться тобі не лише тут. Вона є обов'язковою частиною дробово-раціональних рівнянь (тема 2.1 програми) та області визначення функції (тема 3.2). Тож засвоївши цю тему зараз, ти полегшиш собі роботу з цими розділами.

Стратегія розв'язання

Після того як скоротиш дріб, підстав в умову й у кожен варіант відповіді якесь зручне допустиме число (наприклад, $x=1$) і порівняй значення. Якщо значення збігаються — твій варіант правильний. Це простий спосіб перевірити себе, не витрачаючи багато часу.

• Дріб має зміст, лише коли його знаменник не дорівнює нулю.

• Скорочують тільки множники — спершу розклади чисельник і знаменник на множники.

• Протилежні множники: $(a-b)/(b-a)=-1$, а $(a-b{)}^2/(b-a{)}^2=1$.

• Скорочений вираз дорівнює дробу лише там, де дріб має зміст.

• Значення дробу зручно обчислювати після скорочення, але спершу переконайся, що значення змінної належить ОДЗ.