Показникові й логарифмічні рівняння із заміною змінної

Показникове рівняння має квадратну структуру, якщо після застосування властивостей степенів його можна записати як квадратне рівняння відносно виразу aˣ. Основна ідея — помітити, що a^(2x) = (aˣ)², а також a^(x + k) = aᵏ · aˣ і a^(k − x) = aᵏ / aˣ. Заміна t = aˣ перетворює рівняння на квадратне, але з обов’язковою умовою t > 0, оскільки показникова функція набуває лише додатних значень.

Ключові перетворення

Перш ніж уводити заміну, потрібно звести всі доданки до спільної основи a. Найчастіше вживані формули:

• a^(2x) = (aˣ)² — основа для виділення квадрата

• a^(x + k) = aᵏ · aˣ — додавання показника перетворюється на множення

• a^(k − x) = aᵏ / aˣ — віднімання показника перетворюється на ділення

Наприклад, 4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) = (2ˣ)². Так само 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)², 25ˣ = (5²)ˣ = (5ˣ)². Вираз 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ, а 2^(1 − x) = 2 / 2ˣ.

Стандартний алгоритм

1. Звести всі степені до однієї основи a.

2. Записати рівняння через aˣ, використовуючи ключові перетворення.

3. Увести заміну t = aˣ, де t > 0.

4. Розв’язати квадратне рівняння відносно t.

5. Відкинути значення t ≤ 0.

6. Для кожного додатного t розв’язати найпростіше показникове рівняння aˣ = t.

Приклад 1: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0

Помічаємо, що 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Позначимо t = 2ˣ, t > 0. Тоді рівняння набуває вигляду t² − 3t − 4 = 0. Розв’язуємо: дискримінант D = 9 + 16 = 25, корені t₁ = (3 + 5)/2 = 4, t₂ = (3 − 5)/2 = −1. Значення t₂ = −1 ≤ 0 відкидаємо. Повертаємося до x: 2ˣ = 4 ⇒ x = 2. Відповідь: x = 2.

Приклад 2: 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0

Маємо 9ˣ = (3ˣ)². Заміна t = 3ˣ, t > 0. Рівняння: t² − 4t + 3 = 0. Корені: t = 1 або t = 3. Обидва додатні. Повертаємося: 3ˣ = 1 ⇒ x = 0; 3ˣ = 3 ⇒ x = 1. Відповідь: x = 0 або x = 1.

Приклад 3: 4ˣ − 2^(x + 1) − 8 = 0

Тут 4ˣ = (2ˣ)², а 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ. Заміна t = 2ˣ, t > 0. Рівняння: t² − 2t − 8 = 0. Дискримінант D = 4 + 32 = 36, корені t₁ = (2 + 6)/2 = 4, t₂ = (2 − 6)/2 = −2. t₂ = −2 ≤ 0 відкидаємо. 2ˣ = 4 ⇒ x = 2. Відповідь: x = 2.

Взаємно обернені степені

Окремий випадок — рівняння, що містять aˣ і a⁻ˣ = 1/aˣ (взаємно обернені вирази) або a^(k − x) = aᵏ/aˣ, який відрізняється від 1/aˣ сталим множником aᵏ. Після заміни t = aˣ вираз a⁻ˣ стає 1/t, а a^(k − x) — aᵏ/t. Множимо обидві частини рівняння на t ≠ 0 й отримуємо квадратне.

Розв’яжемо 2ˣ + 2^(1 − x) = 3. Маємо 2^(1 − x) = 2 / 2ˣ. Заміна t = 2ˣ, t > 0. Рівняння: t + 2/t = 3. Множимо на t: t² + 2 = 3t ⇒ t² − 3t + 2 = 0. Корені: t = 1 або t = 2. Обидва додатні. 2ˣ = 1 ⇒ x = 0; 2ˣ = 2 ⇒ x = 1. Відповідь: x = 0 або x = 1.

Ще один приклад: 3ˣ − 3^(2 − x) = 8. Тут 3^(2 − x) = 9 / 3ˣ. Заміна t = 3ˣ, t > 0. Рівняння: t − 9/t = 8. Множимо на t: t² − 9 = 8t ⇒ t² − 8t − 9 = 0. Корені: t = 9 або t = −1. t = −1 ≤ 0 відкидаємо. 3ˣ = 9 ⇒ x = 2. Відповідь: x = 2.

Логарифмічне рівняння має квадратну структуру, якщо його можна записати як квадратне рівняння відносно logₐ x. Заміна t = logₐ x перетворює його на квадратне. На відміну від показникової заміни, обмеження на t тут немає — логарифм може бути будь-яким дійсним числом. Однак обов’язковою є ОДЗ: x > 0.

Як читати запис log²₂ x

Запис log²₂ x означає (log₂ x)², а не log₂(x²). Квадрат записують після позначення логарифма, перед основою. Якщо мають на увазі логарифм від квадрата, пишуть log₂(x²).

Стандартний алгоритм

1. Записати ОДЗ: x > 0.

2. Звести всі логарифми до однієї основи.

3. Увести заміну t = logₐ x.

4. Розв’язати квадратне рівняння відносно t.

5. Для кожного знайденого t (від’ємні не відкидаємо!) розв’язати рівняння x = aᵗ.

6. Перевірити, чи належать знайдені x ОДЗ.

Приклад 1: log²₂ x − 3 log₂ x + 2 = 0

ОДЗ: x > 0. Заміна t = log₂ x. Рівняння: t² − 3t + 2 = 0. Корені: t = 1 або t = 2. Обидва значення t допустимі. Повертаємося: log₂ x = 1 ⇒ x = 2; log₂ x = 2 ⇒ x = 4. Обидва корені належать ОДЗ. Відповідь: x = 2 або x = 4.

Приклад 2: lg² x − lg x − 2 = 0

Тут lg — десятковий логарифм, lg x = log₁₀ x. ОДЗ: x > 0. Заміна t = lg x. Рівняння: t² − t − 2 = 0. Корені: t = 2 або t = −1. Зверни увагу: значення t = −1 не відкидаємо — логарифм може бути від’ємним! Повертаємося: lg x = 2 ⇒ x = 10² = 100; lg x = −1 ⇒ x = 10⁻¹ = 0,1. Обидва корені додатні, належать ОДЗ. Відповідь: x = 100 або x = 0,1.

Зведення до однієї функції: log²₃ x − log₃(x²) − 3 = 0

Використовуємо властивість логарифма: за умови x > 0 маємо log₃(x²) = 2 log₃ x. Тоді рівняння набуває вигляду log²₃ x − 2 log₃ x − 3 = 0. Заміна t = log₃ x: t² − 2t − 3 = 0, корені t = 3 або t = −1. Повертаємося: log₃ x = 3 ⇒ x = 27; log₃ x = −1 ⇒ x = 1/3. Обидва корені додатні. Відповідь: x = 27 або x = 1/3.

Взаємно обернені логарифми: log₂ x + 2 logₓ 2 = 3

Тут використовуємо формулу переходу до іншої основи: logₓ a = 1 / logₐ x за умови x > 0, x ≠ 1. У нашому рівнянні logₓ 2 = 1 / log₂ x. Заміна t = log₂ x, тоді t + 2/t = 3. Множимо на t ≠ 0: t² + 2 = 3t ⇒ t² − 3t + 2 = 0. Корені: t = 1 або t = 2. Повертаємося: log₂ x = 1 ⇒ x = 2; log₂ x = 2 ⇒ x = 4. Обидва корені додатні й не дорівнюють 1, тому вони задовольняють ОДЗ і умову x ≠ 1. Відповідь: x = 2 або x = 4.

Найпоширеніша помилка під час розв’язування рівнянь заміною змінної — забути про обмеження на нову змінну або про те, що в кінці треба повернутися до початкової змінної. Розберімося детально.

Обмеження для t = aˣ

Показникова функція y = aˣ (де a > 0, a ≠ 1) набуває лише додатних значень. Тому після заміни t = aˣ обов’язково має виконуватися умова t > 0. Усі значення t ≤ 0, знайдені з квадратного рівняння, треба відкинути — вони не відповідають жодному x, оскільки рівняння aˣ = t при t ≤ 0 коренів не має.

Наприклад, у рівнянні 4ˣ + 3 · 2ˣ + 2 = 0 робимо заміну t = 2ˣ, t > 0. Квадратне рівняння t² + 3t + 2 = 0 має два корені: t = −1 і t = −2. Обидва від’ємні, тому жоден не дає кореня початкового рівняння. Відповідь: коренів немає.

Обмеження для t = logₐ x

Логарифмічна функція y = logₐ x визначена для x > 0 і набуває всіх дійсних значень. Тому після заміни t = logₐ x значення t може бути будь-яким — і додатним, і від’ємним, і нулем. Жодне значення t не відкидаємо через його знак. Обмеження стосується лише x: після повернення x = aᵗ автоматично отримуємо x > 0, що задовольняє ОДЗ.

Окремий випадок: коли в рівнянні є logₓ a (логарифм зі змінною в основі), додатково вимагаємо x ≠ 1, оскільки основа логарифма не може дорівнювати 1. Через заміну t = logₐ x умова t ≠ 0 — це аналог x ≠ 1.

Повернення до початкової змінної

У відповідь завжди записуємо x, а не t. Типова пастка: знайшли t = 5 і записали «5» як відповідь, хоча aˣ = 5 дає зовсім інше значення x. Завжди виконуй обернену заміну.

Кількість коренів

Кількість коренів показникового рівняння дорівнює кількості додатних значень t, знайдених із квадратного рівняння. Якщо обидва корені квадратного рівняння від’ємні — початкове рівняння коренів не має. Якщо один додатний — один корінь. Якщо два додатні — два корені.

Сума й добуток коренів

Для показникового рівняння суму коренів знаходимо, обчисливши кожен корінь і додавши їх. Наприклад, для 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0 маємо x₁ = 0, x₂ = 1, сума 0 + 1 = 1.

Для логарифмічного рівняння добуток коренів можна знайти без обчислення самих коренів. Якщо t₁, t₂ — корені квадратного рівняння для t = logₐ x, то x₁ = aᵗ¹, x₂ = aᵗ², а їхній добуток x₁ · x₂ = a^(t₁ + t₂). Наприклад, у рівнянні lg² x − lg x − 2 = 0 маємо t₁ = 2, t₂ = −1, тому x₁ · x₂ = 10^(2 − 1) = 10¹ = 10. Дійсно, корені 100 і 0,1 дають добуток 10.

Розгляньмо п’ять завдань, які охоплюють усі типи рівнянь цієї теми. Кожен приклад супроводжується покроковим розв’язанням і аналізом типових пасток.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 25ˣ − 4 · 5ˣ − 5 = 0

Формат: вибір однієї відповіді з п’яти. Варіанти: «1», «5», «−1; 1», «0; 1», «−1; 5».

Крок 1. Помічаємо, що 25ˣ = (5²)ˣ = (5ˣ)².

Крок 2. Заміна t = 5ˣ, t > 0. Рівняння t² − 4t − 5 = 0.

Крок 3. Розв’язуємо квадратне рівняння: (t − 5)(t + 1) = 0, звідси t = 5 або t = −1.

Крок 4. t = −1 ≤ 0 — відкидаємо. Залишається t = 5.

Крок 5. Повертаємося: 5ˣ = 5 ⇒ x = 1.

Відповідь: x = 1, тобто правильний варіант — «1».

Чому інші варіанти пастки? «5» — записали значення t замість x. «−1; 1» — не відкинули t = −1 і з рівняння 5ˣ = −1 «отримали» x = −1, що неможливо. «0; 1» — помилково розв’язали 5ˣ = 0 і «отримали» x = 0.

Приклад 2. Знайдіть суму коренів рівняння 9ˣ − 12 · 3ˣ + 27 = 0

Формат: коротка відповідь (число).

Крок 1. 9ˣ = (3ˣ)². Заміна t = 3ˣ, t > 0.

Крок 2. Рівняння t² − 12t + 27 = 0. Дискримінант D = 144 − 108 = 36. Корені: t₁ = (12 + 6)/2 = 9, t₂ = (12 − 6)/2 = 3. Обидва додатні.

Крок 3. Повертаємося: 3ˣ = 9 ⇒ x = 2; 3ˣ = 3 ⇒ x = 1.

Крок 4. Сума коренів: 1 + 2 = 3.

Відповідь: 3.

Пастка: 12 — сума значень t (9 + 3 = 12), а не x.

Приклад 3. Знайдіть добуток коренів рівняння log²₃ x − log₃ x − 2 = 0

Формат: коротка відповідь (число).

Крок 1. ОДЗ: x > 0. Заміна t = log₃ x.

Крок 2. Рівняння t² − t − 2 = 0. Корені: t = 2 або t = −1.

Крок 3. Повертаємося: log₃ x = 2 ⇒ x = 3² = 9; log₃ x = −1 ⇒ x = 3⁻¹ = 1/3.

Крок 4. Добуток коренів: 9 · (1/3) = 3.

Відповідь: 3.

Пастки: −2 — добуток значень t (2 · (−1) = −2); 9 — відкинули від’ємне t = −1 і втратили корінь 1/3.

Приклад 4. Скільки коренів має рівняння 4ˣ + 2^(x + 1) − 3 = 0?

Формат: вибір однієї відповіді з п’яти: жодного, один, два, три, чотири.

Крок 1. 4ˣ = (2ˣ)²; 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ.

Крок 2. Заміна t = 2ˣ, t > 0. Рівняння t² + 2t − 3 = 0.

Крок 3. Корені: t = 1 або t = −3. t = −3 ≤ 0 — відкидаємо.

Крок 4. 2ˣ = 1 ⇒ x = 0. Рівняння має один корінь.

Відповідь: один.

Пастки: «два» — не відкинули t = −3 і «отримали» два корені; «жодного» — корінь x = 0 іноді помилково не визнають коренем.

Приклад 5. Знайдіть суму коренів рівняння 3ˣ + 3^(2 − x) = 10

Формат: коротка відповідь (число).

Крок 1. 3^(2 − x) = 3² / 3ˣ = 9 / 3ˣ.

Крок 2. Заміна t = 3ˣ, t > 0. Рівняння t + 9/t = 10.

Крок 3. Множимо на t ≠ 0: t² + 9 = 10t ⇒ t² − 10t + 9 = 0.

Крок 4. Корені: t = 1 або t = 9. Обидва додатні.

Крок 5. Повертаємося: 3ˣ = 1 ⇒ x = 0; 3ˣ = 9 ⇒ x = 2.

Крок 6. Сума коренів: 0 + 2 = 2.

Відповідь: 2.

Пастка: 10 — сума значень t (1 + 9 = 10), а не x.

• Розв’язують рівняння aˣ = −1 і «отримують» корінь замість того, щоб відкинути від’ємне t. Пам’ятай: показникова функція ніколи не набуває від’ємних значень, тому рівняння aˣ = −1 або aˣ = −5 не має розв’язку.

• Записують у відповідь значення t замість x. Знайшли t = 5 з квадратного рівняння — це ще не відповідь! Обов’язково повернися до x: aˣ = t або x = aᵗ.

• Відкидають від’ємне t у логарифмічній заміні й гублять корінь. Наприклад, у рівнянні lg² x − lg x − 2 = 0 один корінь дає lg x = −1 ⇒ x = 0,1. Відкинути його — помилка.

• Вважають, що 4ˣ = 2 · 2ˣ. Насправді 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Так само плутають 2^(x + 1) з 2ˣ + 2, хоча правильно 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ.

• Плутають log²₂ x з log₂(x²). Перше — квадрат логарифма: (log₂ x)². Друге — логарифм від квадрата: 2 log₂|x| (за x > 0 — 2 log₂ x).

• У рівнянні з 3^(2 − x) множать на t не всі доданки. Наприклад, у рівнянні 3ˣ − 9/3ˣ = 8 після множення на 3ˣ отримуємо (3ˣ)² − 9 = 8 · 3ˣ, а не (3ˣ)² − 9 = 8.

• Забувають умову x ≠ 1, коли в рівнянні є logₓ a. Основа логарифма не може дорівнювати 1. Якщо після розв’язання отримали x = 1, цей корінь треба відкинути.

На НМТ з математики завдання на показникові й логарифмічні рівняння із заміною змінної можуть з’явитися в різних форматах.

Формати завдань

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 22 — це завдання з короткою відповіддю (0 або 2 бали) на показникове рівняння з параметром (профільний рівень). Його основа — саме заміна t = aˣ з умовою t > 0.

У вибірці реальних тестів 2023–2024 серед завдань 4–15 трапляються показникові й логарифмічні рівняння у форматі вибору однієї відповіді з п’яти (0 або 1 бал).

Рівні складності за програмою

Програма НМТ (тема 2.1) називає заміну змінної серед загальних методів розв’язування рівнянь — це рівень стандарту. Складніші рівняння з показниковими й логарифмічними виразами належать до профільного рівня (позначка П).

Запис відповіді

У завданнях з короткою відповіддю суму, добуток або кількість коренів записують числом. Якщо результат — десятковий дріб, його записують через кому, наприклад 0,1 або 2.

Стратегія виконання

Одразу після заміни випиши поруч обмеження на t: для показникової заміни — t > 0, для логарифмічної — x > 0. Це допоможе не пропустити сторонні значення й не втратити корені. Перевіряй, чи належать знайдені x ОДЗ, особливо в логарифмічних рівняннях.

• У показниковому рівнянні шукай a^(2x) = (aˣ)² — заміна t = aˣ, t > 0.

• Значення t ≤ 0 для показникової заміни відкидаємо: рівняння aˣ = −1 коренів не має.

• У логарифмічній заміні t = logₐ x значення t може бути будь-яким числом. Обмеження лише на ОДЗ: x > 0.

• Взаємно обернені вирази: a⁻ˣ = 1 / aˣ і logₓ a = 1 / logₐ x; вираз a^(k − x) = aᵏ / aˣ після заміни дає доданок aᵏ / t — множимо на t й отримуємо квадратне рівняння.

• У відповідь записуємо x, а не t. Завжди виконуй обернену заміну.

• Кількість коренів показникового рівняння дорівнює кількості додатних коренів t квадратного рівняння.

• Запис log²₂ x означає (log₂ x)², а не log₂(x²).