Показникові рівняння: зведення до однієї основи

Показниковим називають рівняння, у якому змінна (або вираз зі змінною) міститься в показнику степеня. Наприклад: $3^x=81$, $2^{x+1}=0,5$, $5^{2x-3}=125$. Рівняння $x^2=9$ не є показниковим — змінна тут в основі, а показник — стала.

Обмеження на основу й значення степеня

Степінь з додатною основою завжди додатний: $a^x>0$ для будь-якого дійсного $x$, якщо $a>0$. Звідси випливає дуже важливий висновок: рівняння вигляду $a^{f(x)}=b$ при $b\le 0$ коренів не має. Наприклад, $2^x=-4$ не має коренів, $5^{x-1}=0$ не має коренів. Це варто пам'ятати завжди — ліва частина додатна, а права — від'ємна або нуль, тому рівність неможлива.

Основне правило: рівність степенів з однаковою основою

Якщо обидві частини рівняння вдалося записати як степені з однією й тією самою додатною основою, яка не дорівнює одиниці, то показники можна прирівняти:

$$a^{f(x)}=a^{g(x)}⟺f(x)=g(x),a>0,a\ne 1$$

Чому це працює? Показникова функція $y=a^x$ (при $a>0$, $a\ne 1$) є монотонною: якщо $a>1$, вона зростає; якщо $0<a<1$, вона спадає. У будь-якому разі кожного свого значення вона набуває рівно один раз. Тому різні показники дають різні значення, а однакові — однакові.

Чому виключено основу $a=1$? Бо $1^{\text{будь-яке число}}=1$ — рівність $1=1$ правильна за будь-яких показників, і з неї не можна зробити жодного висновку про $f(x)$ і $g(x)$. Тому основу 1 у цьому правилі не розглядають.

Приклад застосування

Розв'яжімо рівняння $3^{2x-1}=3^{x+4}$. Тут обидві частини вже мають однакову основу 3. Прирівнюємо показники: $2x-1=x+4$. Звідси $2x-x=4+1$, тобто $x=5$.

Важливо: прирівнюємо ПОКАЗНИКИ, а не основи. Якщо основи різні — спочатку зводимо до однієї основи.

Щоб звести обидві частини рівняння до степенів з однаковою основою, треба вміти записувати числа як степені потрібної основи. Нижче — найважливіші співвідношення, які варто знати напам'ять.

Степені чисел, які варто впізнавати

Також пам'ятай: $1=a^0$ для будь-якої додатної основи $a$; $0,25=2^{-2}$; $0,2=5^{-1}$; $0,04=5^{-2}$.

Корені як степені

За формулою $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ (вона є в довідкових матеріалах НМТ) корінь можна записати як степінь з дробовим показником:

• $\sqrt{3}=3^{1/2}$

• $\sqrt[3]{4}=4^{1/3}=(2^2{)}^{1/3}=2^{2/3}$

• $\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-1/2}$

• $\sqrt[4]{27}=27^{1/4}=(3^3{)}^{1/4}=3^{3/4}$

Степінь степеня: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Коли основа — теж степінь, ми перемножуємо показники. Це дає змогу звести, наприклад, 4 і 8 до основи 2.

Розв'яжімо $4^{x-1}=\frac{1}{8}$. Записуємо $4=2^2$, тому $4^{x-1}=(2^2{)}^{x-1}=2^{2(x-1)}=2^{2x-2}$. Далі $1/8=2^{-3}$. Маємо $2^{2x-2}=2^{-3}$. Прирівнюємо показники: $2x-2=-3$, звідки $2x=-1$, $x=-0,5$.

Зведення до спільної основи — приклади

Розгляньмо кілька рівнянь, де основи — степені одного числа.

$9^x=27$. Записуємо $9=3^2$, $27=3^3$. Отже, $3^{2x}=3^3$, звідки $2x=3$, $x=1,5$.

$0,2^x=25$. Записуємо $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$, $25=5^2$. Маємо $5^{-x}=5^2$, звідки $-x=2$, $x=-2$.

Добуток і частка степенів однієї основи

Якщо в рівнянні є добуток або частка степенів з однією основою, застосовуємо властивості $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ або $a^m:a^n=a^{m-n}$.

Наприклад: $2^x\cdot 4=32$. Записуємо $4=2^2$, $32=2^5$. Тоді $2^x\cdot 2^2=2^{x+2}=2^5$, звідки $x+2=5$, $x=3$.

Два корисні прийоми розширюють коло показникових рівнянь, які ти зможеш розв'язати: винесення спільного множника для кількох степенів однієї основи та використання того, що при однакових показниках і різних додатних основах рівність можлива лише тоді, коли показник дорівнює нулеві.

Степені однієї основи — виносимо спільний множник

Коли в рівнянні є сума або різниця кількох степенів з однією основою, виносимо за дужки степінь з найменшим показником.

Розв'яжімо $2^{x+1}+2^x=24$. Найменший показник — $x$, тому виносимо $2^x$: $$\begin{gathered} 2^x\cdot (2+1)=24 \\ {2}^x\cdot 3=24 \\ {2}^x=8 \\ {2}^x=2^3 \\ x=3 \end{gathered}$$

Перевірка: $2^{3+1}+2^3=2^4+8=16+8=24$. Правильно.

Ще один приклад: $3^{x+2}-3^x=72$. Виносимо $3^x$: $$\begin{gathered} 3^x\cdot (9-1)=72 \\ {3}^x\cdot 8=72 \\ {3}^x=9 \\ {3}^x=3^2 \\ x=2 \end{gathered}$$

Схема завжди однакова: винести степінь з найменшим показником, обчислити число в дужках, поділити на нього — звести до найпростішого показникового рівняння.

Однакові показники, різні основи

Розгляньмо рівняння $5^{x-2}=3^{x-2}$. Тут основи різні (5 і 3), але показники однакові. Обидві частини додатні, тому можна поділити, наприклад, на $3^{x-2}>0$: $$\begin{gathered} \frac{5^{x-2}}{3^{x-2}}=1 \\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^{x-2}=1 \end{gathered}$$

Дріб $5/3$ не дорівнює 1, тому рівність $(5/3{)}^{x-2}=1$ виконується лише тоді, коли показник дорівнює нулеві (бо $a^0=1$ для будь-якого $a\ne 0$). Отже, $x-2=0$, $x=2$.

У загальному вигляді: якщо $a\ne b$, $a>0$, $b>0$, то $$a^{f(x)}=b^{f(x)}⟺f(x)=0$$

Коли праву частину не можна звести до тієї самої основи

Бувають рівняння, де права частина не є степенем тієї самої основи. Наприклад, $2^x=5$. Число 5 не можна записати як степінь двійки з цілим або раціональним показником. У такому разі корінь записують через логарифм: $$x={\log }_{2}5$$

Рівняння $2^x=5$ теж є найпростішим показниковим рівнянням: за означенням логарифма його корінь $x={\log }_{2}5$. Такий запис кореня треба впізнавати серед варіантів відповіді.

Приклад 1. 9^(x − 1) = 1/27

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти): «Розв'яжіть рівняння $9^{x-1}=\frac{1}{27}$». Варіанти: −2; −0,5; 0,5; −1,5; 2,5.

Розв'язання крок за кроком:

1. Помічаємо, що $9=3^2$, а $27=3^3$, тому обидві частини зводимо до основи 3.

2. $9^{x-1}=(3^2{)}^{x-1}=3^{2(x-1)}=3^{2x-2}$

3. $\frac{1}{27}=3^{-3}$

4. Отримуємо $3^{2x-2}=3^{-3}$, тому $2x-2=-3$

5. $2x=-1$, $x=-0,5$

Відповідь: −0,5.

Чому інші варіанти неправильні:

• −2 — цей варіант отримує той, хто не записав 9 як 3², а прирівняв $x-1=-3$.

• 2,5 — виникає, якщо помилково записати $1/27$ як $3^3$ (тобто забути про знак мінуса в показнику), тоді $2x-2=3$, $x=2,5$.

• 0,5 — помилка в знаку на останньому кроці: з $2x=-1$ записали $x=0,5$ замість $x=-0,5$.

• −1,5 — виникає при неправильному розв'язанні рівняння $2x-2=-3$.

Приклад 2. 0,2^(x − 3) = 25

Завдання (вибір однієї відповіді): «Укажіть корінь рівняння $0,2^{x-3}=25$». Варіанти: 5; −1; 1; 3; «коренів немає».

Розв'язання:

1. Записуємо $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$, тому $0,2^{x-3}=(5^{-1}{)}^{x-3}=5^{-(x-3)}=5^{3-x}$.

2. $25=5^2$.

3. Маємо $5^{3-x}=5^2$, звідки $3-x=2$.

4. $x=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• 5 — отримує той, хто записав 0,2 як 5 (без мінуса в показнику), тобто $5^{x-3}=5^2$, звідки $x=5$.

• −1 — виникає при помилці в знаку: $3-x=2$ дає $x=1$, а не −1.

• 3 — неправильно: за $x=3$ маємо $0,2^0=1\ne 25$ (наприклад, помилково прирівняли показник $x-3$ до нуля).

• «Коренів немає» — неправильне переконання, що 0,2 у будь-якому степені дає число менше за 1; насправді $0,2^{x-3}$ при $x=1$ дорівнює $0,2^{-2}=25$.

Приклад 3. 2^(x + 2) + 2^x = 40

Завдання (вибір однієї відповіді): «Розв'яжіть рівняння $2^{x+2}+2^x=40$». Варіанти: 2; 3; 4; 5; 8.

Розв'язання:

1. Виносимо $2^x$ за дужки: $2^x\cdot (2^2+1)=2^x\cdot (4+1)=2^x\cdot 5=40$.

2. Ділимо на 5: $2^x=8$.

3. $2^x=2^3$, тому $x=3$.

Відповідь: 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• 8 — той, хто знайшов $2^x=8$, але забув, що це $2^x$, а не $x$.

• 2 — неправильно: підстановка дає $2^4+2^2=16+4=20\ne 40$.

• 5 — сплутали множник 5 з рівності $2^x\cdot 5=40$ з коренем $x$.

• 4 — виникає при неправильному обчисленні: $2^x\cdot 5=40\Rightarrow 2^x=8$ правильно, але помилка при зведенні 8 до степеня 2.

Приклад 4. Яке з рівнянь не має коренів?

Завдання (вибір однієї відповіді): «Яке з рівнянь не має коренів?» Варіанти: А) $5^x=1$; Б) $5^x=0,2$; В) $5^x=5^{-x}$; Г) $5^x=3$; Д) $5^{x+1}=-5$.

Розв'язання: пригадуємо, що $5^x>0$ для будь-якого $x$. Тому рівняння, де права частина від'ємна, коренів не має. Серед варіантів тільки в Д права частина дорівнює −5, що менше за нуль. Отже, правильна відповідь — Д.

Чому інші варіанти мають корені:

• А) $5^x=1$: $x=0$, бо $5^0=1$.

• Б) $5^x=0,2$: $0,2=5^{-1}$, тому $x=-1$.

• В) $5^x=5^{-x}$: звідси $x=-x$, тобто $2x=0$, $x=0$.

• Г) $5^x=3$: корінь існує, його записують як $x={\log }_{5}3$.

Приклад 5. 7^(x − 4) = 2^(x − 4)

Завдання (вибір однієї відповіді): «Розв'яжіть рівняння $7^{x-4}=2^{x-4}$». Варіанти: 4; 0; 1; «коренів немає»; «будь-яке число».

Розв'язання: основи різні (7 і 2), а показники однакові. Скористаймося правилом: при $a\ne b$ рівняння $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ виконується тільки тоді, коли $f(x)=0$.

Отже, $x-4=0$, звідки $x=4$.

Перевірка: $7^{4-4}=7^0=1$, $2^{4-4}=2^0=1$. Рівність $1=1$ правильна.

Відповідь: 4.

Пастка «коренів немає»: деякі учні бачать різні основи (7 і 2) і роблять висновок, що рівність неможлива — але вони забувають випадок нульового показника.

• Прирівнюють основи замість показників (або «прибирають» основи, коли вони різні). Наприклад, з $4^{x-1}=8$ пишуть $x-1=8$. Насправді спочатку зводять до основи 2: $2^{2x-2}=2^3$, тоді $2x-2=3$.

• Записують $1/8$ як $2^3$ замість $2^{-3}$. Пам'ятай: $1/a^n=a^{-n}$.

• Неправильно підносять степінь до степеня: $4^{x-1}=(2^2{)}^{x-1}=2^{2x-2}$, а помилково пишуть $2^{2x-1}$ (забувають помножити на 2 другий доданок у дужках: 2(x − 1) = 2x − 2).

• Вважають, що рівняння $3^x=0$ чи $3^x=-9$ має корінь. Насправді $3^x>0$ завжди, тому коренів немає.

• У рівнянні $5^x=1$ записують «коренів немає» замість $x=0$. $a^0=1$ для будь-якої додатної основи.

• Додають степені при додаванні: $2^{x+2}+2^x$ намагаються подати як $2^{(x+2)+x}=2^{2x+2}$. Насправді додавати показники при додаванні не можна — виносять спільний множник.

Програма НМТ з математики (тема 2.1, рівень стандарту) передбачає, що ти володієш методами розв'язування найпростіших показникових рівнянь і нескладних рівнянь, які зводяться до найпростіших.

Форма та бали

Найпростіші показникові рівняння можуть трапитися у форматі вибору однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, А–Д). За правильну відповідь дають 1 бал, за неправильну — 0 балів. Типове завдання: розв'язати рівняння на кшталт $4^{x-1}=1/8$ і вибрати корінь із запропонованих варіантів.

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є властивості степенів, зокрема формула степеня з раціональним показником $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$. Саме ці властивості потрібні для зведення до однієї основи. Способу розв'язування рівнянь у довідкових матеріалах немає — його треба знати.

Профільний рівень

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 22 (коротка відповідь, 2 бали) — показникове рівняння з параметром, що перевіряє профільний рівень. Воно спирається на ті самі властивості степенів, які ти засвоюєш у цьому уроці.

Стратегія розв'язування на НМТ

У завданнях з вибором однієї відповіді можна діяти підстановкою: підстав кожен варіант відповіді в показник і обчисли степінь. Обчислення степеня часто виявляється легшим і швидшим, ніж повне аналітичне розв'язання. Наприклад, для $4^{x-1}=1/8$ простіше кілька разів піднести 4 до потрібного степеня, ніж зводити до основи 2. Але надійніше опанувати обидва способи — підстановка стане в пригоді для перевірки.

• $a^{f(x)}=a^{g(x)}⟺f(x)=g(x)$ при $a>0$, $a\ne 1$ — прирівнюємо показники, а не основи.

• $1=a^0$, $1/a^n=a^{-n}$, $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ — ці формули допомагають звести обидві частини до однієї основи.

• $a^x>0$ для будь-якого $x$, тому рівняння $a^{f(x)}=b$ при $b\le 0$ коренів не має.

• Кілька степенів однієї основи в сумі чи різниці — виносимо степінь з найменшим показником за дужки.

• $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ при $a\ne b$, $a>0$, $b>0$ виконується тоді й тільки тоді, коли $f(x)=0$.