Переміщення на площині: симетрія, поворот, паралельне перенесення

У геометрії переміщенням (або рухом) називають таке перетворення фігури, яке зберігає відстані між її точками. Інакше кажучи, якщо кожна точка $A$ переходить у точку $A^{\prime }$, а кожна точка $B$ — у точку $B^{\prime }$, то відстань між образами дорівнює відстані між початковими точками: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$.

Саме слово «переміщення» підказує суть: фігуру можна пересунути, повернути або віддзеркалити — і всі її лінійні розміри залишаться незмінними. Це фундаментальна властивість, на якій тримаються всі види перетворень, що ми розглянемо далі.

Як переміщення змінює фігуру?

Переміщення переводить прямі в прямі, а відрізки — у відрізки. Крім того, воно зберігає кути: якщо дві прямі перетиналися під кутом $\alpha$, то їхні образи теж перетинаються під кутом $\alpha$. Звідси випливає, що фігура та її образ — рівні фігури (конгруентні). Наприклад, візьмемо трикутник зі сторонами 3, 4, 5. Його площа дорівнює $\frac{3\cdot 4}{2}=6$. Після будь-якого переміщення отримаємо трикутник із тими самими сторонами 3, 4, 5 і тією самою площею 6.

Основні види переміщень

Виділяють чотири основні переміщення на площині:

• симетрія відносно точки (центральна симетрія) — дзеркальне відбиття відносно точки;

• симетрія відносно прямої (осьова симетрія) — дзеркальне відбиття відносно прямої;

• поворот — обертання навколо деякої точки (центра повороту) на заданий кут;

• паралельне перенесення — зсув усіх точок на один і той самий вектор.

Кожне з цих перетворень є переміщенням, тому що зберігає відстані. У наступних розділах ми навчимося записувати їх формулами в координатах.

Симетрія фігур

Фігура може мати власну симетрію — тобто переходити сама в себе при деякому переміщенні. Розрізняють:

• центр симетрії — точка, відносно якої фігура симетрична сама собі. Наприклад, центр симетрії паралелограма — точка перетину його діагоналей;

• вісь симетрії — пряма, відносно якої фігура симетрична сама собі.

Кількість осей симетрії залежить від фігури:

Запам'ятай: якщо фігура має центр симетрії, то для кожної її точки знайдеться інша точка фігури, симетрична відносно цього центра. Якщо фігура має вісь симетрії, то кожна її точка має «дзеркальну пару» відносно цієї осі, причому точки, що лежать на осі, переходять самі в себе.

Найпростіші види симетрії на координатній площині — це симетрія відносно координатних осей і відносно початку координат. Їхні формули легко запам'ятати: змінюється знак тієї координати, яка «не належить» осі.

Симетрія відносно осі $Ox$

При осьовій симетрії відносно осі $Ox$ (горизонтальної осі) абсциса $x$ точки залишається незмінною, а ордината $y$ змінює знак на протилежний:

$$(x;y)\to (x;-y)$$

Приклад: точка $A(3;-5)$ перейде в точку $A^{\prime }(3;5)$. Відстань від точки $A$ до осі $Ox$ дорівнює $|-5|=5$, і образ перебуває на тій самій відстані $5$ по інший бік осі.

Симетрія відносно осі $Oy$

При симетрії відносно осі $Oy$ (вертикальної осі) змінює знак абсциса $x$, а ордината $y$ залишається незмінною:

$$(x;y)\to (-x;y)$$

Приклад: точка $A(3;-5)$ перейде в точку $A^{\prime \prime }(-3;-5)$. Тепер вона розташована на тій самій відстані $3$ від осі $Oy$, але зліва від неї.

Симетрія відносно початку координат

Це центральна симетрія з центром у точці $O(0;0)$. Обидві координати змінюють знак:

$$(x;y)\to (-x;-y)$$

Приклад: точка $A(3;-5)$ перейде в точку $A^{\prime \prime \prime }(-3;5)$. Точки $A$ і $A^{\prime \prime \prime }$ лежать на одній прямій, що проходить через початок координат, на однаковій відстані від нього.

Правило для запам'ятовування

При симетрії відносно осі не змінюється та координата, що відповідає цій осі:

• для осі $Ox$ — абсциса $x$ (перша координата) не змінюється, ордината $y$ змінює знак;

• для осі $Oy$ — ордината $y$ (друга координата) не змінюється, абсциса $x$ змінює знак;

• для початку координат — змінюють знак обидві координати.

Симетрія відносно довільної точки $M(a;b)$

Нехай точка $M(a;b)$ — центр симетрії. Це означає, що $M$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime }$, де $A^{\prime }$ — образ точки $A(x;y)$. За формулою середини відрізка:

$$a=\frac{x+x^{\prime }}{2},b=\frac{y+y^{\prime }}{2}$$

Звідси знаходимо координати образу:

$$x^{\prime }=2a-x,y^{\prime }=2b-y$$

Готовий запис: $A^{\prime }(2a-x;2b-y)$.

Приклад: точка $A(1;4)$, центр симетрії $M(3;-1)$. Тоді $A^{\prime }(2\cdot 3-1;2\cdot (-1)-4)=(6-1;-2-4)=(5;-6)$.

Симетрія відносно прямих $y=x$ і $x=c$

Ці випадки теж варто знати:

• відносно прямої $y=x$: координати міняються місцями — $(x;y)\to (y;x)$; приклад: $A(3;-5)\to (-5;3)$;

• відносно прямої $x=c$ (вертикальна пряма): $(x;y)\to (2c-x;y)$ — аналогічно до симетрії відносно точки, але змінюється лише $x$.

Окрім симетрії, до основних переміщень належать поворот навколо точки й паралельне перенесення. Вони теж зберігають відстані, тому фігура та її образ залишаються рівними.

Паралельне перенесення

Паралельне перенесення — це зсув кожної точки фігури на один і той самий вектор $\vec{p}(a;b)$. Формула дуже проста:

$$(x;y)\to (x+a;y+b)$$

Приклад 1. Точка $A(2;-3)$ і вектор перенесення $\vec{p}(-5;4)$. Образ: $A^{\prime }(2-5;-3+4)=(-3;1)$.

Приклад 2. Відомо, що точка $A(1;2)$ перейшла в точку $A^{\prime }(4;-1)$. Знайдемо вектор перенесення $\vec{p}(a;b)$:

$$a=x^{\prime }-x=4-1=3,b=y^{\prime }-y=-1-2=-3$$

Отже, $\vec{p}(3;-3)$. Запам'ятай: вектор перенесення — це різниця координат образу й точки.

Образ відрізка при паралельному перенесенні — відрізок, паралельний і рівний початковому. Якщо переносиш трикутник, усі три сторони змістяться на той самий вектор, і трикутник залишиться конгруентним.

Поворот навколо початку координат

Поворот навколо центра $O$ на кут $\phi$ — це таке перетворення, при якому $O{A}^{\prime }=OA$ (відстань до центра зберігається) і $\angle AO{A}^{\prime }=\phi$. Додатний напрям — проти годинникової стрілки.

Найчастіше розглядають повороти навколо початку координат на $90^{\circ }$ і $180^{\circ }$:

Зверни увагу: поворот на $180^{\circ }$ збігається з центральною симетрією відносно початку координат. Корисно перевіряти себе через відстань: для $A(4;1)$ маємо $|OA|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$. Образ $A^{\prime }(-1;4)$ дає $|O{A}^{\prime }|=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{17}$ — відстань збереглася.

Як запам'ятати формули повороту?

Уяви точку на додатній півосі $Ox$, наприклад $P(1;0)$. При повороті на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки вона перейде в $(0;1)$ — це дає формулу $(x;y)\to (-y;x)$. Якщо повернути за годинниковою — отримаємо $(0;-1)$, тобто $(x;y)\to (y;-x)$.

Запам'ятай простий мнемонічний ланцюжок:

• проти годинникової стрілки — міняємо місцями, перша змінює знак: $(x;y)\to (-y;x)$;

• за годинниковою стрілкою — міняємо місцями, друга змінює знак: $(x;y)\to (y;-x)$.

Розгляньмо п'ять типових завдань, які можуть зустрітися на НМТ. Кожне розберемо покроково.

Приклад 1. Симетрія відносно осі Oy

Умова: Укажи точку, симетричну точці $A(-4;7)$ відносно осі $Oy$.

Розв'язання: При симетрії відносно осі $Oy$ змінює знак абсциса $x$, а ордината $y$ залишається. Отже, $A^{\prime }$ має координати $(-(-4);7)=(4;7)$.

Відповідь: $(4;7)$.

Чому інші варіанти неправильні: $(-4;-7)$ — це симетрія відносно осі $Ox$; $(4;-7)$ — симетрія відносно початку координат; $(7;-4)$ — переплутали координати; $(-7;4)$ — переставили координати й змінили знаки обох; це не симетрія відносно осі Oy.

Приклад 2. Логічні пари: симетрія та перенесення

Умова: Установи відповідність між перетвореннями точки $A(2;-5)$ (1–3) та її образами (А–Д).

• 1) симетрія відносно осі $Ox$

• 2) симетрія відносно початку координат

• 3) паралельне перенесення на вектор $(-3;4)$

• А) $(2;5)$

• Б) $(-2;5)$

• В) $(-1;-1)$

• Г) $(-2;-5)$

• Д) $(5;-9)$

Розв'язання:

• 1) Симетрія відносно осі $Ox$: $(2;-5)\to (2;5)$. Це варіант А.

• 2) Симетрія відносно початку координат: $(2;-5)\to (-2;5)$. Це варіант Б.

• 3) Перенесення на вектор $(-3;4)$: $(2-3;-5+4)=(-1;-1)$. Це варіант В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіант Г відповідає симетрії відносно осі $Oy$, а варіант Д — перенесенню, де вектор чомусь відняли, а не додали.

Приклад 3. Поворот на 90° проти годинникової стрілки

Умова: Точку $A(3;1)$ повернули навколо початку координат на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки. Укажи координати образу.

Розв'язання: Формула повороту на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки: $(x;y)\to (-y;x)$. Підставляємо: $x=3$, $y=1$, отже $A^{\prime }(-1;3)$.

Відповідь: $(-1;3)$.

Поширені помилки: $(1;-3)$ — узяли поворот за годинниковою стрілкою; $(-3;-1)$ — поворот на $180^{\circ }$; $(1;3)$ — переплутали знаки; $(-3;1)$ — поміняли місцями без зміни знака.

Приклад 4. Паралельне перенесення точки B

Умова: При паралельному перенесенні точка $A(-2;5)$ переходить у точку $A^{\prime }(1;3)$. У яку точку переходить точка $B(4;-1)$ за того самого перенесення?

Розв'язання:

1. Знайдемо вектор перенесення: $\vec{p}=(x^{\prime }-x;y^{\prime }-y)=(1-(-2);3-5)=(3;-2)$.

2. Застосуємо цей вектор до точки $B$: $B^{\prime }(4+3;-1+(-2))=(7;-3)$.

Відповідь: $(7;-3)$.

Поширені помилки: $(1;1)$ — узяли вектор $(-3;2)$ (навпаки); $(3;-2)$ — дали сам вектор, а не образ; $(5;2)$ — неправильно обчислили вектор; $(7;1)$ — помилилися при додаванні $y$-координати.

Приклад 5. Симетрія відносно точки M

Умова: Точка $B$ симетрична точці $A(-1;3)$ відносно точки $M(2;0)$. Знайди координати точки $B$.

Розв'язання: Центр симетрії $M$ — середина відрізка $AB$. Тому:

$$x_B=2\cdot x_M-x_A=2\cdot 2-(-1)=4+1=5$$

$$y_B=2\cdot y_M-y_A=2\cdot 0-3=-3$$

Отже, $B(5;-3)$.

Відповідь: $(5;-3)$.

Поширені помилки: $(0,5;1,5)$ — знайшли середину відрізка $AM$ замість образу; $(3;-3)$ — обчислили $M-A$; $(-4;6)$ — обчислили $2A-M$; $(1;-3)$ — неправильно застосували формулу.

Під час розв'язування задач на переміщення учні найчастіше помиляються в знаках і напрямах. Ось найпоширеніші пастки.

• Помилка: при симетрії відносно осі Oy змінюють знак y (а треба — x). Навпаки, для осі Ox помилково змінюють знак x. Правило: яка вісь — та координата й залишається незмінною. Вісь Ox — не чіпай x, змінюй y. Вісь Oy — не чіпай y, змінюй x.

• Помилка: плутають симетрію відносно початку координат із симетрією відносно осі. У результаті змінюють знак лише однієї координати. Запам'ятай: початок координат — це центральна симетрія, тому змінюються обидві координати.

• Помилка: при симетрії відносно точки M беруть середину AM замість образу A'. Середина — це саме точка M! Щоб знайти A', потрібно «відкласти» такий самий відрізок за точку M: A' = (2a − x; 2b − y).

• Помилка: при паралельному перенесенні віднімають координати вектора (тобто роблять x − a замість x + a) або беруть вектор A'A замість AA'. Завжди перевіряй: образ має бути зміщений у напрямі вектора, тому координати додаються.

• Помилка: плутають напрям повороту. Формула (−y; x) — це проти годинникової стрілки, а (y; −x) — за годинниковою. Якщо в умові не вказано напрям, уточни: за замовчуванням додатний напрям — проти годинникової стрілки.

• Помилка: вважають, що переміщення може змінити довжини сторін або площу фігури. Це не так: переміщення за визначенням зберігає відстані, а отже, й довжини, кути й площі. Образ трикутника — трикутник із тими самими сторонами, кутами й площею.

Тема «Геометричні переміщення» входить до розділу «Планіметрія» програми НМТ з математики: «основні види та зміст геометричних переміщень на площині (рух, симетрія відносно точки та відносно прямої, поворот, паралельне перенесення); рівність фігур».

Формат завдань

• Завдання 18 — логічні пари з геометрії (1–3 → А–Д, по 1 балу за пару, 0–3 бали). В одному з чотирьох реальних тестів 2023–2024 років саме № 18 перевіряв перетворення на координатній площині. У демоваріанті НМТ-2026 № 18 стосувався прямокутної трапеції, тому будь готовий до обох варіантів.

• Завдання 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал. Тут можуть попросити знайти координати образу точки після того чи іншого перетворення.

Що треба знати напам'ять

У довідкових матеріалах, які додаються до тесту, формул перетворень координат немає. Правила зміни знаків при симетрії, формули повороту та паралельного перенесення потрібно знати напам'ять. Вивчи їх за таблицею з попередніх розділів.

Стратегія розв'язування

Найнадійніший спосіб уникнути помилки — на кожному кроці робити невеличкий ескіз:

1. Познач задану точку на уявній координатній площині.

2. Уяви, куди вона перейде після перетворення (наприклад, «віддзеркалиться» відносно осі).

3. Застосуй формулу й запиши координати образу.

4. Перевір, що відстань від точки до осі симетрії (або до центра повороту) збереглася.

Така перевірка допомагає виявити грубу помилку зі знаком або напрямом.

• Переміщення (рух) зберігає відстані між точками, а отже — довжини сторін, кути й площу фігури. Образ фігури дорівнює (конгруентний) самій фігурі.

• Симетрія відносно осі Ox: (x; y) → (x; −y).

• Симетрія відносно осі Oy: (x; y) → (−x; y).

• Симетрія відносно початку координат (центральна): (x; y) → (−x; −y).

• Симетрія відносно точки M(a; b): A'(2a − x; 2b − y).

• Паралельне перенесення на вектор (a; b): (x + a; y + b). Вектор перенесення: (x' − x; y' − y).

• Поворот на 90° проти годинникової стрілки: (x; y) → (−y; x).

• Поворот на 90° за годинниковою стрілкою: (x; y) → (y; −x).

• Поворот на 180°: (x; y) → (−x; −y) — збігається з центральною симетрією.

• Кількість осей симетрії: прямокутник (не квадрат) — 2, ромб (не квадрат) — 2, квадрат — 4, правильний n-кутник — n, коло — безліч. Рівносторонній трикутник має 3 осі, але не має центра симетрії.