Найпростіші тригонометричні рівняння

Щоб розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння, спершу треба навчитися «читати» тригонометричні таблиці у зворотному напрямку: знаючи значення синуса, косинуса або тангенса, знаходити відповідний кут. Для цього існують поняття арксинуса, арккосинуса й арктангенса.

Означення

Арксинусом числа a (позначають arcsin a) називають такий кут з відрізка [−π/2; π/2], синус якого дорівнює a. Умова: |a| ≤ 1. Наприклад, arcsin(1/2) = π/6, бо sin(π/6) = 1/2 і π/6 ∈ [−π/2; π/2].

Арккосинусом числа a (arccos a) називають такий кут з відрізка [0; π], косинус якого дорівнює a. Умова: |a| ≤ 1. Наприклад, arccos(1/2) = π/3, бо cos(π/3) = 1/2 і π/3 ∈ [0; π].

Арктангенсом числа a (arctg a) називають такий кут з інтервалу (−π/2; π/2), тангенс якого дорівнює a. На відміну від арксинуса й арккосинуса, a може бути будь-яким дійсним числом. Наприклад, arctg 1 = π/4, бо tg(π/4) = 1 і π/4 ∈ (−π/2; π/2).

Табличні значення

На НМТ ти матимеш довідкову таблицю значень sin, cos, tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Щоб знайти арк, дієш навпаки: шукаєш значення a в рядку потрібної функції й виписуєш кут із заголовка стовпця — лише з потрібного проміжку.

Від'ємний аргумент — найважливіше правило

Для від'ємних чисел діють різні правила:

• arcsin(−a) = −arcsin a — кут з нижньої половини [−π/2; π/2]. Приклад: arcsin(−1/2) = −π/6.

• arctg(−a) = −arctg a — те саме, кут в інтервалі (−π/2; π/2). Приклад: arctg(−1) = −π/4.

• arccos(−a) = π − arccos a — це принципово інше правило! Арккосинус від'ємного числа лежить у проміжку (π/2; π]: для a ∈ (−1; 0) це тупий кут, а arccos(−1) = π. Приклад: arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3, а не −π/3.

Запам'ятай: arccos(−1/2) = 2π/3 — це типова пастка. Чимало учнів помилково пишуть −π/3, плутаючи арккосинус з арксинусом.

Як читати арки з таблиці

У довідкових матеріалах НМТ є таблиця значень тригонометричних функцій. Щоб знайти arcsin a, шукаєш число a в рядку sin α і береш кут із заголовка відповідного стовпця — лише з проміжку [−π/2; π/2]. Для arccos a — кут з [0; π]. Для arctg a — кут з (−π/2; π/2). Це називають «читанням таблиці у зворотному напрямку».

Коли ми знаємо, що таке арксинус, арккосинус і арктангенс, можемо записати загальні формули розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь. Ці формули ти мусиш знати напам'ять — у довідкових матеріалах НМТ їх немає.

Рівняння cos x = a

Якщо |a| ≤ 1, то розв'язок має вигляд:

x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z

Знак «±» означає дві серії розв'язків: x = arccos a + 2πn і x = −arccos a + 2πn. На одиничному колі цим кутам відповідають дві точки, симетричні відносно осі абсцис (горизонтальної осі). Період — 2π, тому що косинус має найменший додатний період 2π.

Приклад: cos x = 1/2 ⇒ x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.

Рівняння sin x = a

Якщо |a| ≤ 1, то розв'язок має вигляд:

x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z

Множник (−1)ⁿ чергує знак: при парному n маємо x = arcsin a + 2πk, при непарному n — x = π − arcsin a + 2πk. Тому ту саму відповідь можна записати двома серіями:

• x = arcsin a + 2πn, n ∈ Z

• x = π − arcsin a + 2πn, n ∈ Z

На одиничному колі це дві точки, симетричні відносно осі ординат (вертикальної осі). Період — 2π, але компактна формула використовує πn.

Приклад: sin x = √2/2 ⇒ x = (−1)ⁿ · π/4 + πn, n ∈ Z.

Рівняння tg x = a

Для будь-якого дійсного a розв'язок має вигляд:

x = arctg a + πn, n ∈ Z

Період тангенса дорівнює π, тому додаємо πn, а не 2πn. На відміну від синуса й косинуса, рівняння tg x = a завжди має розв'язки, незалежно від значення a.

Приклад: tg x = 1 ⇒ x = π/4 + πn, n ∈ Z.

Рівняння ctg x = a

Котангенс належить до профільного рівня програми (позначка «П»), але НМТ укладають за всією програмою, тож формулу варто знати: ctg x = a ⇒ x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

Коли рівняння не має розв'язків

Рівняння sin x = a і cos x = a не мають розв'язків, якщо |a| > 1. Синус і косинус завжди лежать у межах від −1 до 1, тому вимога |a| ≤ 1 — необхідна умова існування розв'язку.

• sin x = √3 — не має розв'язків, бо √3 ≈ 1,73 > 1.

• cos x = π/2 — не має розв'язків, бо π/2 ≈ 1,57 > 1.

• sin x = π/4 — має розв'язки! Бо π/4 ≈ 0,79 ≤ 1.

• cos x = −2 — не має розв'язків, бо |−2| = 2 > 1.

Увага: якщо a записано через π (наприклад, cos x = π/3), не плутай число π з кутом. π/3 ≈ 1,05 > 1, тому рівняння cos x = π/3 розв'язків не має, хоча cos(π/3) = 1/2 — це зовсім інша річ!

Формули треба знати напам'ять

У довідкових матеріалах НМТ є означення синуса, косинуса й тангенса через одиничне коло, а також таблиця значень для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Загальних формул розв'язків там немає. Тому вивчи їх так, щоб відтворювати автоматично.

Коли a дорівнює 0, 1 або −1, загальні формули розв'язків спрощуються. У варіантах відповідей розв'язки таких рівнянь можуть бути записані саме в спрощеній формі, тому важливо знати її окремо.

Рівняння sin x = a

Рівняння cos x = a

Рівняння tg x = a

Чому в sin x = 0 і cos x = 0 період π?

Поглянь на одиничне коло. Рівняння sin x = 0 має два розв'язки на проміжку [0; 2π): x = 0 і x = π. Ці точки лежать на одній прямій (діаметрально протилежні). Коли ми додаємо π, ми потрапляємо з однієї точки в іншу. Тому період дорівнює π, а не 2π. Те саме для cos x = 0: точки π/2 і 3π/2 теж діаметрально протилежні.

Підказка: якщо сумніваєшся, підстав n = 0 і n = 1 у загальну формулу. Наприклад, для sin x = 0 загальна формула дає x = (−1)ⁿ · 0 + πn = πn — одразу спрощений вигляд.

Трапляються рівняння, де під знаком тригонометричної функції стоїть не просто x, а лінійний вираз kx + b, наприклад sin 2x, cos(x − π/4) або tg(x/3). Алгоритм розв'язання простий: спершу розв'язуємо рівняння відносно всього аргументу kx + b, а потім виражаємо x.

Алгоритм

1. Записуємо загальний розв'язок для аргументу (kx + b) за відповідною формулою.

2. Виражаємо x: переносимо b у праву частину, ділимо на k.

3. Ділимо на k і головний доданок (arcsin a, arccos a, arctg a), і період (πn або 2πn).

Приклад 1: sin 2x = √3/2

Крок 1. Розв'язуємо відносно аргументу 2x. За формулою для синуса:

2x = (−1)ⁿ arcsin(√3/2) + πn = (−1)ⁿ · π/3 + πn, n ∈ Z

Крок 2. Ділимо обидві частини на 2. Важливо: ділимо і arcsin a, і період:

x = (−1)ⁿ · π/6 + πn/2, n ∈ Z

Поширена помилка: ділять на 2 лише π/3, а πn залишають без змін. Правильно: x = (−1)ⁿ · π/6 + πn/2.

Приклад 2: cos(x − π/4) = 0

Крок 1. Для cos t = 0 маємо окремий випадок: t = π/2 + πn. Отже:

x − π/4 = π/2 + πn, n ∈ Z

Крок 2. Переносимо −π/4 у праву частину:

x = π/2 + π/4 + πn = 3π/4 + πn, n ∈ Z

Зверни увагу: додавати π/4 треба і до головного доданка, і до періоду? Ні, π/4 додається лише один раз, а πn залишається без змін, бо це доданок, який повторюється.

Приклад 3: tg(x/3) = 1

Крок 1. Для tg t = 1 маємо t = π/4 + πn. Отже:

x/3 = π/4 + πn, n ∈ Z

Крок 2. Множимо обидві частини на 3. Множимо і π/4, і πn:

x = 3 · π/4 + 3 · πn = 3π/4 + 3πn, n ∈ Z

Тут період став 3π замість π, бо ми помножили на 3. Це логічно: якщо аргумент змінюється втричі повільніше, то й період розв'язку стає втричі більшим.

Загальне правило

У рівнянні sin(kx + b) = a або cos(kx + b) = a спершу записуємо:

kx + b = загальний_розв'язок_для_t

Потім виражаємо x:

x = (загальний_розв'язок_для_t − b) / k

При діленні на k ділимо і головний доданок (arcsin a, arccos a, arctg a), і період (πn або 2πn). Якщо k < 0, знак змінюється і в головному доданку, і в періоді.

Розгляньмо типові завдання НМТ на найпростіші тригонометричні рівняння. Кожне має п'ять варіантів відповіді, з яких правильний — один.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння cos x = −√2/2

Розв'язання. Знаходимо arccos(−√2/2). За правилом для від'ємного аргументу: arccos(−√2/2) = π − arccos(√2/2) = π − π/4 = 3π/4. Загальний розв'язок для косинуса: x = ±arccos a + 2πn. Отже, x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = ±3π/4 + 2πn.

Чому інші варіанти неправильні:

• ±π/4 + 2πn — забули, що arccos(−√2/2) = 3π/4, а не π/4.

• ±3π/4 + πn — період косинуса 2π, а не π.

• x = (−1)ⁿ · 3π/4 + πn — це формула для синуса, а не для косинуса.

• 3π/4 + 2πn — записано лише одну серію, втрачено мінус.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння sin x = −1/2

Розв'язання. arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6. Загальний розв'язок для синуса: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn. Підставляємо: x = (−1)ⁿ · (−π/6) + πn = (−1)ⁿ⁺¹ · π/6 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = (−1)ⁿ⁺¹ · π/6 + πn.

Чому інші варіанти неправильні:

• x = (−1)ⁿ · π/6 + πn — не враховано знак мінус: arcsin(−1/2) = −π/6, тому має бути (−1)ⁿ⁺¹.

• x = ±π/6 + 2πn — це формула для косинуса, а не для синуса.

• x = (−1)ⁿ⁺¹ · π/3 + πn — плутанина: arcsin(1/2) = π/6, а не π/3.

• x = −π/6 + 2πn — записано лише одну серію, втрачено другу.

Приклад 3. Укажіть рівняння, яке не має розв'язків

Розв'язання. Перевіряємо кожне рівняння:

• sin x = π/4 — π/4 ≈ 0,79 ≤ 1, тому розв'язки є.

• cos x = −1 — |−1| = 1, розв'язки є (x = π + 2πn).

• tg x = 5 — тангенс має розв'язки для будь-якого a.

• sin x = −√3/2 — |−√3/2| ≈ 0,87 ≤ 1, розв'язки є.

• cos x = √5/2 — √5/2 ≈ 1,12 > 1, тому розв'язків немає.

Відповідь: cos x = √5/2.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння tg 2x = −√3

Розв'язання. arctg(−√3) = −arctg(√3) = −π/3. Загальний розв'язок для тангенса: 2x = −π/3 + πn, n ∈ Z. Ділимо на 2: x = −π/6 + πn/2, n ∈ Z.

Відповідь: x = −π/6 + πn/2.

Чому інші варіанти неправильні:

• −π/6 + πn — період не поділили на 2: має бути πn/2.

• −π/3 + πn/2 — не поділили головний доданок: −π/3 : 2 = −π/6.

• π/6 + πn/2 — неправильний знак: arctg(−√3) = −π/3.

• −π/12 + πn/2 — помилка в обчисленні: −π/3 : 2 = −π/6, а не −π/12.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння cos(x/2) = 1

Розв'язання. cos t = 1 — окремий випадок: t = 2πn. Отже, x/2 = 2πn, n ∈ Z. Множимо на 2: x = 4πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = 4πn.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2πn — не помножили на 2: x/2 = 2πn ⇒ x = 4πn.

• πn — плутають з sin x = 0 або tg x = 0.

• π + 4πn — це розв'язок рівняння sin(x/2) = 1 (сплутали косинус із синусом), а не cos(x/2) = 1.

• π/2 + 2πn — це розв'язок sin x = 1, а не cos(x/2) = 1.

Розгляньмо типові помилки під час розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Уникай їх — і твій результат буде вищим.

• Помилка: для косинуса пишуть період πn замість 2πn. Правильно: cos x = a має період 2π, тому x = ±arccos a + 2πn. Період πn — це для тангенса.

• Помилка: для тангенса пишуть період 2πn замість πn. Правильно: tg x = a має період π, тому x = arctg a + πn.

• Помилка: плутають формули — для sin x = a пишуть ±arcsin a + 2πn (це формула косинуса), а для cos x = a — (−1)ⁿ arccos a + πn (це формула синуса). Запам'ятай: синус — з (−1)ⁿ, косинус — з ±.

• Помилка: вважають arccos(−1/2) рівним −π/3. Насправді arccos(−a) = π − arccos a, тому arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3. Арккосинус від'ємного числа лежить у проміжку (π/2; π]: для a ∈ (−1; 0) це тупий кут, а arccos(−1) = π.

• Помилка: шукають розв'язки рівняння sin x = −√3, хоча |−√3| ≈ 1,73 > 1 — розв'язків немає. І навпаки: sin x = π/4 вважають рівнянням без розв'язків, хоча π/4 ≈ 0,79 ≤ 1 — розв'язки є.

• Помилка: для sin x = 0 записують x = 2πn і гублять x = π + 2πn. Правильна спрощена формула: x = πn, яка охоплює обидві серії.

• Помилка: у рівнянні sin 2x = a ділять на 2 лише arcsin a, а період πn залишають без змін. Наприклад, sin 2x = √3/2 ⇒ 2x = (−1)ⁿ π/3 + πn ⇒ x = (−1)ⁿ π/6 + πn/2. Ділити на 2 треба і головний доданок, і період.

Розуміння того, як саме перевіряють тему на НМТ, допомагає правильно розподілити зусилля під час підготовки.

Формат завдання

У демоваріанті НМТ-2026 найпростіші тригонометричні рівняння перевіряють у завданні № 11. Це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д). Оцінюється в 0 або 1 бал. Умова завдання: знайти корені найпростішого тригонометричного рівняння на заданому проміжку. Перший і найважливіший крок — правильно записати загальний розв'язок рівняння.

Що входить до програми

Програма НМТ з математики (тема 2.1) передбачає методи розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь на рівні стандарту. Це означає, що ти повинен уміти розв'язувати рівняння sin x = a, cos x = a і tg x =a, зокрема з аргументом kx + b.

Котангенс і тригонометричні нерівності належать до профільного рівня програми (позначка «П»). НМТ укладають за всією програмою, тож такі завдання не виключені.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на НМТ, є:

• означення sin, cos, tg через одиничне коло;

• таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π.

Загальних формул розв'язків тригонометричних рівнянь у довідкових матеріалах немає. Їх треба знати напам'ять.

Стратегія для завдання з формулами у варіантах

Коли у варіантах відповідей подано кілька формул і треба обрати правильну, підстановка допоможе відсіяти частину з них: підстав n = 0 і n = 1 у кожну формулу й перевір, чи отримані кути задовольняють рівняння. Наприклад, для рівняння cos x = −√2/2 формула x = ±3π/4 + 2πn при n = 0 дає x = 3π/4 і x = −3π/4: cos(3π/4) = cos(−3π/4) = −√2/2 — обидва підходять. Але така перевірка відсіює лише формули, що дають зайві значення (неправильний період чи знак). Вона не доводить, що формула дає всі корені: варіант 3π/4 + 2πn теж її пройде. Тому звір також кількість серій і період із загальною формулою.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Збери найважливіші формули й правила в одному місці — для швидкого повторення перед НМТ.

• cos x = a: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z (|a| ≤ 1)

• sin x = a: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z (|a| ≤ 1)

• tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z (для будь-якого a)

• |a| > 1 — рівняння sin x = a і cos x = a розв'язків не мають

• sin x = 0 ⇒ x = πn; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn

• cos x = 1 ⇒ x = 2πn; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn

• cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn; sin x = −1 ⇒ x = −π/2 + 2πn

• arccos(−a) = π − arccos a; arcsin(−a) = −arcsin a; arctg(−a) = −arctg a

• У рівнянні з аргументом kx + b ділимо на k і головний доданок, і період

• Загальних формул розв'язків немає в довідці — вчи напам'ять