Логарифмічні рівняння та ОДЗ

Логарифмічним рівнянням називають рівняння, у якому змінна міститься під знаком логарифма або в його основі. Наприклад:

• log₃(x − 1) = 2 — змінна x під знаком логарифма

• logₓ 9 = 2 — змінна x в основі логарифма

• log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5 — сума логарифмів зі змінною під знаком

Перш ніж розв'язувати таке рівняння, згадаймо означення логарифма:

logₐ b = c ⇔ aᶜ = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0

З цього означення випливають три жорсткі умови, які разом називають областю допустимих значень (ОДЗ) логарифмічного рівняння:

• кожен підлогарифмічний вираз має бути строго додатним (b > 0)

• основа логарифма має бути додатною (a > 0)

• основа логарифма не може дорівнювати 1 (a ≠ 1)

Розгляньмо рівняння log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5. Тут два підлогарифмічні вирази: x + 3 і x − 1. Щоб кожен із них був додатним, одночасно мають виконуватись нерівності x + 3 > 0 (тобто x > −3) і x − 1 > 0 (тобто x > 1). Суворим обмеженням є x > 1 — ОДЗ цього рівняння є проміжок (1; +∞).

Чому ОДЗ шукають до перетворень?

Властивості логарифмів змінюють область визначення виразу. Наприклад, сума log₂ x + log₂(x − 2) визначена лише тоді, коли обидва підлогарифмічні вирази додатні: x > 0 і x − 2 > 0, тобто x > 2. Але log₂[x(x − 2)] — логарифм добутку — визначений при x(x − 2) > 0, тобто на проміжках (−∞; 0) і (2; +∞). Якщо спочатку об'єднати, а потім шукати ОДЗ, можна отримати ширшу множину й залишити сторонній корінь. Тому ОДЗ завжди записують для початкового (неспрощеного) рівняння.

Розгляньмо два основні типи найпростіших логарифмічних рівнянь: ті, що розв'язуються за означенням логарифма, і ті, що зводяться до рівності логарифмів з однаковою основою.

Рівняння logₐ f(x) = b

За означенням логарифма:

logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ

Умова f(x) > 0 у такому рівнянні виконується автоматично, бо aᵇ > 0 для будь-якого дійсного b при a > 0. Однак формально ОДЗ залишається: f(x) > 0. Тому після знаходження кореня варто переконатись, що його підстановка дає додатний підлогарифмічний вираз.

Приклади:

• log₂(x + 3) = 3 ⇒ x + 3 = 2³ = 8 ⇒ x = 5. Перевірка: 5 + 3 = 8 > 0 — корінь прийнятний.

• log₅(2x − 1) = 0 ⇒ 2x − 1 = 5⁰ = 1 ⇒ x = 1. Перевірка: 2·1 − 1 = 1 > 0.

• lg x = −2 ⇒ x = 10⁻² = 0,01. Перевірка: 0,01 > 0.

Рівняння logₐ f(x) = logₐ g(x)

Якщо логарифми мають однакову основу, то рівність логарифмів можлива лише тоді, коли рівні їхні підлогарифмічні вирази:

logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x) і f(x) > 0

Умова f(x) > 0 автоматично забезпечує й g(x) > 0, адже f(x) = g(x). Недостатньо просто прирівняти вирази — потрібно ще перевірити додатність хоча б одного з них.

Розгляньмо приклад: log₃(x² − 4) = log₃(3x). Прирівнюємо підлогарифмічні вирази: x² − 4 = 3x ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 або x = −1. Перевіряємо умову: для x = 4 маємо x² − 4 = 12 > 0 — корінь прийнятний; для x = −1 маємо x² − 4 = −3 < 0 — обидва підлогарифмічні вирази дорівнюють −3, логарифм від від'ємного числа не існує, тому x = −1 сторонній корінь. Відповідь: 4.

Як записати число у вигляді логарифма

Будь-яке дійсне число можна подати як логарифм із довільною основою. Це допомагає звести рівняння до рівності логарифмів:

Змінна в основі логарифма

Рівняння logₓ 16 = 2 розв'язують за тим самим означенням: x² = 16, звідки x = 4 або x = −4. Однак основа логарифма має бути додатною й не дорівнювати 1. Від'ємне значення x = −4 не задовольняє умову x > 0, а x = 4 задовольняє обидві умови (4 > 0 і 4 ≠ 1). Відповідь: 4.

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами, у яких наведено основні властивості логарифмів. Розгляньмо, як ці властивості застосовують у рівняннях.

Основні формули

Дуже важливо: ці формули застосовують ПІСЛЯ того, як записано ОДЗ початкового рівняння. Об'єднання логарифмів розширює область визначення (як ми бачили в першому розділі), тому корені, знайдені після перетворень, обов'язково перевіряють за початковою ОДЗ.

Сума логарифмів — приклад

Розв'яжемо рівняння log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5.

1. ОДЗ: x + 3 > 0 і x − 1 > 0 ⇒ x > −3 і x > 1 ⇒ x > 1.

2. За властивістю суми: log₂[(x + 3)(x − 1)] = 5.

3. За означенням логарифма: (x + 3)(x − 1) = 2⁵ = 32.

4. Розкриваємо дужки: x² + 2x − 3 = 32 ⇒ x² + 2x − 35 = 0.

5. Розв'язуємо квадратне рівняння: x = 5 або x = −7.

6. Перевіряємо за ОДЗ: x = 5 задовольняє x > 1; x = −7 не задовольняє. Відповідь: 5.

Різниця логарифмів — приклад

Розв'яжемо lg(x + 9) − lg x = 1.

1. ОДЗ: x + 9 > 0 і x > 0 ⇒ x > 0.

2. За властивістю різниці: lg[(x + 9) / x] = 1.

3. За означенням десяткового логарифма: (x + 9) / x = 10¹ = 10.

4. Розв'язуємо рівняння: x + 9 = 10x ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.

5. Перевіряємо ОДЗ: x = 1 > 0 — корінь прийнятний. Відповідь: 1.

Обережно з множником: k · logₐ x і logₐ xᵏ

Це дуже часте джерело помилок. Розгляньмо два рівняння:

• log₃ x² = 2 ⇒ x² = 3² = 9 ⇒ x = ±3. ОДЗ: x² > 0, тобто x ≠ 0 — обидва корені прийнятні.

• 2 log₃ x = 2 ⇒ log₃ x = 1 ⇒ x = 3. ОДЗ: x > 0 — лише x = 3.

Бачиш? Формально log₃ x² = 2 log₃ x, але для x < 0 ліва частина визначена, а права — ні. Коректний перехід: log₃ x² = 2 log₃ |x|. Якщо в рівнянні є logₐ x², не поспішай виносити множник — перевір, чи не губиш від'ємний корінь.

Зведення до спільної основи (основа-степінь)

Іноді логарифми в рівнянні мають різні основи, але одна з них є степенем іншої. Формула з довідкових матеріалів дозволяє змінити основу:

log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐ b

Приклад: log₄ x + log₂ x = 6. Зауваж, що 4 = 2², тому log₄ x = (1/2) · log₂ x. Підставляємо: (1/2) · log₂ x + log₂ x = 6 ⇒ (3/2) · log₂ x = 6 ⇒ log₂ x = 4 ⇒ x = 2⁴ = 16. ОДЗ: x > 0 — виконується.

Приклад 1. Рівняння за означенням

Завдання: Розв'яжіть рівняння log₃(2x − 5) = 2.

Розв'язання:

1. ОДЗ: 2x − 5 > 0 ⇒ x > 2,5.

2. За означенням логарифма: 2x − 5 = 3² = 9.

3. Розв'язуємо: 2x = 14 ⇒ x = 7.

4. Перевіряємо ОДЗ: 7 > 2,5 — корінь прийнятний.

Відповідь: 7.

Чому інші варіанти хибні:

• 5,5 — помилка: 2x − 5 = 3 · 2 (множать, а не підносять до степеня).

• 6,5 — помилка: 2x − 5 = 2³ (плутають, яке число підносити).

• 3,5 — помилка: 2x − 5 = 2 (вважають, що 3² = 2).

• 2 — випадкове число, не пов'язане з розв'язком.

Приклад 2. Сума логарифмів

Завдання: Розв'яжіть рівняння log₂(x + 1) + log₂(x + 3) = 3. Якщо коренів кілька, у відповідь запишіть їх суму.

Розв'язання:

1. ОДЗ: x + 1 > 0 і x + 3 > 0 ⇒ x > −1.

2. За властивістю суми: log₂[(x + 1)(x + 3)] = 3.

3. За означенням: (x + 1)(x + 3) = 2³ = 8.

4. Розкриваємо дужки: x² + 4x + 3 = 8 ⇒ x² + 4x − 5 = 0.

5. Розв'язуємо: x = 1 або x = −5.

6. Перевірка ОДЗ: x = 1 > −1 — прийнятний; x = −5 < −1 — сторонній.

7. Корінь один, тому сума коренів дорівнює самому кореню, тобто 1.

Відповідь: 1.

Поширена пастка: дехто знаходить обидва корені (−5 і 1) і записує їхню суму −4. Але −5 не входить в ОДЗ, тому єдиний корінь — 1, і сума коренів дорівнює 1.

Приклад 3. Рівність логарифмів

Завдання: Розв'яжіть рівняння lg(x² − 2x) = lg(3x − 6).

Розв'язання:

1. ОДЗ: x² − 2x > 0 і 3x − 6 > 0.

2. Прирівнюємо підлогарифмічні вирази: x² − 2x = 3x − 6 ⇒ x² − 5x + 6 = 0.

3. Розв'язуємо квадратне рівняння: x = 2 або x = 3.

4. Перевіряємо за ОДЗ: при x = 2 маємо 3·2 − 6 = 0 — lg 0 не існує; при x = 3 маємо 9 − 6 = 3 > 0.

Відповідь: 3.

Чому інші варіанти хибні:

• «2; 3» — пастка: 2 не задовольняє ОДЗ, хоча формально задовольняє рівність x² − 2x = 3x − 6.

• «2» — сам по собі не є коренем, бо lg 0 не існує.

• «−2; −3» — корені з протилежним знаком, не пов'язані з рівнянням.

• «коренів немає» — хибно, бо x = 3 є коренем.

Приклад 4. Змінна в основі

Завдання: Розв'яжіть рівняння logₓ(2x + 3) = 2.

Розв'язання:

1. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1 (основа) і 2x + 3 > 0 (підлогарифмічний вираз).

2. За означенням логарифма: x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0.

3. Розв'язуємо: x = 3 або x = −1.

4. Перевіряємо ОДЗ: x = 3 > 0 і 3 ≠ 1 — прийнятний; x = −1 < 0 — сторонній.

Відповідь: 3.

Поширена пастка: знайти суму обох коренів 3 + (−1) = 2 і записати 2. Але −1 не задовольняє умову x > 0, тому залишається лише 3.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування логарифмічних рівнянь. Уважно прочитай кожну.

• Помилка 1. Рівняння logₐ f = b розв'язують як f = a · b або f = bᵃ. Наприклад, у рівнянні log₂(x + 3) = 3 помилково пишуть x + 3 = 2 · 3 = 6 або x + 3 = 3² = 9. Правильно: f = aᵇ, тобто x + 3 = 2³ = 8.

• Помилка 2. Не записують ОДЗ і залишають корінь, за якого підлогарифмічний вираз від'ємний або дорівнює нулю. Так можна втратити бал: серед варіантів відповіді може бути сторонній корінь, що не належить ОДЗ.

• Помилка 3. Вважають, що рівність f(x) = g(x) сама по собі гарантує допустимість кореня. Але f і g можуть бути рівні й від'ємні — як у прикладі log₃(x² − 4) = log₃(3x), де x = −1 дає −3 = −3, але логарифм від −3 не існує.

• Помилка 4. Записують logₐ f + logₐ g як logₐ(f + g), плутаючи властивість суми логарифмів із логарифмом суми. Правильно: logₐ f + logₐ g = logₐ(f · g).

• Помилка 5. Не перевіряють змінну в основі на x > 0 і x ≠ 1. Наприклад, у рівнянні logₓ 16 = 2 знаходять x = ±4 і залишають обидва корені, хоча x = −4 не може бути основою логарифма.

• Помилка 6. Замінюють logₐ x² на 2 logₐ x без модуля й гублять від'ємний корінь. Коректний запис: logₐ x² = 2 logₐ |x|. Якщо в рівнянні є logₐ x², то x може бути як додатним, так і від'ємним, а 2 logₐ x — лише додатним.

У демоваріанті НМТ-2026 з математики найпростіше логарифмічне рівняння перевіряють у завданні 4. Це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д), яке оцінюють у 0 або 1 бал.

Програма НМТ (тема 2.1, рівень стандарту) передбачає:

• найпростіші логарифмічні рівняння та рівняння, що зводяться до них;

• означення й властивості логарифма (тема 1.3 програми).

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є основна логарифмічна тотожність, властивості логарифмів і формула переходу для основи виду aᵏ. У довідці наведено й умови існування логарифма (a > 0, a ≠ 1, b > 0), але записати ОДЗ рівняння й перевірити корені треба самостійно.

Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали) — це одне число, яке записують десятковим дробом. У вибірці тестів 2023–2024 років серед рівнянь з параметром у завданні 22 трапляються й логарифмічні (профільний рівень).

Корисна стратегія: якщо маєш сумнів, підстав кожен варіант відповіді в підлогарифмічні вирази початкового рівняння. Нульове чи від'ємне значення відразу відсіює варіант — це дозволяє швидко звузити вибір.

• ОДЗ логарифмічного рівняння: кожен підлогарифмічний вираз > 0; основа > 0 і основа ≠ 1.

• logₐ f = b ⇔ f = aᵇ. Умова f > 0 виконується автоматично, але перевірку зроби.

• logₐ f = logₐ g ⇔ f = g і f > 0. Рівність підлогарифмічних виразів — не гарантія, що вони додатні.

• Суму логарифмів об'єднуй у логарифм добутку, різницю — у логарифм частки. Але записуй ОДЗ ДО об'єднання — властивості логарифмів розширюють область визначення.

• Кожен знайдений корінь перевіряй за ОДЗ початкового рівняння. Сторонній корінь відкидай.

• Якщо змінна стоїть в основі логарифма, додатково вимагай x > 0 і x ≠ 1.

• Не плутай logₐ x² і 2 logₐ x: перший визначений при x ≠ 0, другий — лише при x > 0. Коректний перехід: logₐ x² = 2 logₐ |x|.