Логарифм: означення й основна логарифмічна тотожність

Логарифм — одне з ключових понять математики, яке дозволяє «розв'язувати» показник степеня. У цьому розділі ти дізнаєшся, що таке логарифм, за яких умов він існує, і навчишся обчислювати найпростіші логарифми.

Означення логарифма

Нехай маємо рівність aᶜ = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0. Тоді показник степеня c називають логарифмом числа b за основою a і записують:

$${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$$

Іншими словами, logₐ b — це показник степеня, до якого треба піднести основу a, щоб отримати число b.

Наприклад:

• log₂ 32 = 5, тому що 2⁵ = 32

• log₃ 81 = 4, тому що 3⁴ = 81

• log₁₀ 1000 = 3, тому що 10³ = 1000

Умови існування логарифма

Логарифм logₐ b має зміст (існує) лише тоді, коли виконані три умови:

Запам'ятай: основа додатна й не дорівнює 1, аргумент (число під логарифмом) додатний. Саме ж значення логарифма (результат) може бути будь-яким дійсним числом — додатним, від'ємним, нулем або дробом.

Від'ємні й дробові значення логарифма

Оскільки степінь може бути від'ємним або дробовим, логарифм теж може набувати таких значень. Розгляньмо приклади:

• log₃(1/9) = −2, тому що 3⁻² = 1/9

• log₀,₅ 8 = −3, тому що (0,5)⁻³ = (1/2)⁻³ = 2³ = 8

• log₂ √2 = 1/2, тому що 2^(1/2) = √2

• log₄ 8 = 3/2, тому що 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8

Окремі випадки

Декілька значень логарифма варто запам'ятати — вони часто трапляються в завданнях:

• logₐ 1 = 0 (бо a⁰ = 1 для будь-якого a ≠ 0)

• logₐ a = 1 (бо a¹ = a)

• logₐ aᶜ = c (бо aᶜ = aᶜ)

Логарифм виразу зі змінною

Коли під логарифмом стоїть не число, а вираз зі змінною, цей вираз має бути додатним. Наприклад:

• log₃(x − 2) має зміст лише тоді, коли x − 2 > 0, тобто x > 2

• log₅(4 − x²) має зміст, коли 4 − x² > 0, тобто −2 < x < 2

Це важливо пам'ятати під час розв'язування логарифмічних рівнянь і нерівностей — спочатку визначають область допустимих значень (ОДЗ).

У математиці та на НМТ найчастіше трапляються два особливих види логарифмів — десятковий і натуральний. Вони мають окремі позначення й окремі назви.

Десятковий логарифм

Десятковим логарифмом називають логарифм з основою 10. Його позначають lg b замість log₁₀ b:

$$\lg b={\log }_{10}b$$

Приклади обчислення десяткових логарифмів:

• lg 1000 = 3, тому що 10³ = 1000

• lg 100 = 2, тому що 10² = 100

• lg 10 = 1, тому що 10¹ = 10

• lg 1 = 0, тому що 10⁰ = 1

• lg 0,01 = −2, тому що 10⁻² = 1/100 = 0,01

• lg 0,001 = −3, тому що 10⁻³ = 1/1000 = 0,001

Зверни увагу: lg 2, lg 5, lg 7 тощо не є «гарними» числами — їх не можна виразити скінченним десятковим дробом. У типових завданнях НМТ такі значення залишають у записі lg 2, lg 5 або скорочують під час перетворень.

Натуральний логарифм

Натуральним логарифмом називають логарифм з основою e, де e — ірраціональне число (число Ейлера, або неперове число):

$$e\approx 2,718281828459045235360287471352\dots$$

Натуральний логарифм позначають ln b замість logₑ b:

$$\ln b={\log }_{e}b$$

Приклади обчислення натуральних логарифмів:

• ln e = 1, тому що e¹ = e

• ln 1 = 0, тому що e⁰ = 1

• ln e³ = 3, тому що e³ = e³

• ln(1/e) = −1, тому що e⁻¹ = 1/e

• ln e⁵ = 5

Як і з десятковими, «негарні» натуральні логарифми (ln 2, ln 3, ln 5) не обчислюють наближено — їх залишають у такому вигляді.

Зведена таблиця

Основна логарифмічна тотожність пов'язує логарифм і степінь. Вона випливає безпосередньо з означення логарифма й дуже часто використовується в завданнях НМТ.

Формула тотожності

Якщо a > 0, a ≠ 1, b > 0, то:

$$a^{{\log }_{a}b}=b$$

Чому це так? За означенням, logₐ b — це саме той показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Отже, підносячи a до цього показника, ми за визначенням отримуємо b.

Найпростіші приклади

• 5^(log₅ 7) = 7

• 10^(lg 3) = 3 (бо lg 3 = log₁₀ 3)

• e^(ln 4) = 4 (бо ln 4 = logₑ 4)

• 2^(log₂ 15) = 15

Застосування разом з властивостями степенів

Найцікавіше починається, коли основна логарифмічна тотожність комбінується з правилами дій над степенями. Тоді ми можемо обчислювати складніші вирази.

Розгляньмо вираз 2^(3 + log₂ 5). За властивістю добутку степенів з однаковою основою:

$$2^{3+{\log }_{2}5}=2^3\cdot 2^{{\log }_{2}5}=8\cdot 5=40$$

Тут ми спочатку розклали суму показників на множники, а потім застосували основну тотожність до 2^(log₂ 5) = 5.

Ще приклади:

• 3^(2 log₃ 5) = (3^(log₃ 5))² = 5² = 25

• 7^(−log₇ 2) = (7^(log₇ 2))⁻¹ = 2⁻¹ = 1/2 = 0,5

• 4^(1 + log₄ 3) = 4¹ · 4^(log₄ 3) = 4 · 3 = 12

• 10^(2 lg 5) = (10^(lg 5))² = 5² = 25

Основна логарифмічна тотожність є в довідкових матеріалах НМТ, тому її не треба заучувати напам'ять — але треба вміти нею користуватися.

Розгляньмо типові завдання НМТ на означення логарифма й основну логарифмічну тотожність. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Обчислення логарифма з від'ємним значенням

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити log₃(1/9).

Розв'язання. За означенням логарифма: log₃(1/9) = c означає, що 3ᶜ = 1/9. Запишемо 1/9 як степінь числа 3: 1/9 = 1/3² = 3⁻². Отже, 3ᶜ = 3⁻², звідки c = −2.

Відповідь: −2.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 — типова помилка: забувають, що 1/9 — це дріб, тому показник має бути від'ємним

• 1/2 — плутають логарифм з коренем або діленням

• −1/2 — неправильно подають 1/9 як 3⁻¹/²

• −3 — плутають основу й аргумент: log₃(1/9) ≠ −3, бо 3⁻³ = 1/27

Приклад 2. Основна логарифмічна тотожність з сумою в показнику

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити 2^(3 + log₂ 5).

Розв'язання. За властивістю множення степенів з однаковою основою:

$$2^{3+{\log }_{2}5}=2^3\cdot 2^{{\log }_{2}5}=8\cdot 5=40$$

Відповідь: 40.

Чому інші варіанти неправильні:

• 13 — обчислюють 2³ = 8 і додають 5 замість множити: 8 + 5 = 13

• 15 — перемножують 3 · 5 замість 2³ · 5

• 256 — у показнику додають 3 + 5 = 8 (тобто беруть log₂ 5 за 5) і обчислюють 2⁸ = 256

• 10 — вважають, що 2³ = 8, log₂ 5 = 2 (бо 2² = 4, а не 5), і 8 + 2 = 10

Приклад 3. Логічні пари «вираз — значення»

Завдання (логічні пари). Установити відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

Розв'язання.

• 1) log₂ 32: 2⁵ = 32, тому log₂ 32 = 5. Отже, 1 → Б.

• 2) lg 0,001 = log₁₀ 0,001: 10⁻³ = 0,001, тому lg 0,001 = −3. Отже, 2 → А.

• 3) 5^(log₅ 7): за основною логарифмічною тотожністю 5^(log₅ 7) = 7. Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–Б, 2–А, 3–В.

Чому інші варіанти не підходять: Г) 16 — це log₂ 32, якщо помилково поділити 32 на 2; Д) −1/3 — плутають lg 0,001 = −3 з оберненим значенням.

Приклад 4. Умови існування логарифма

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Який із наведених виразів не має змісту?

• А) log₂ 0,5

• Б) log₀,₅ 2

• В) lg 1

• Г) log₃(−9)

• Д) ln e

Розв'язання. Перевіряємо умови існування логарифма: основа додатна й не дорівнює 1, аргумент додатний.

• log₂ 0,5: основа 2 > 0, 2 ≠ 1, аргумент 0,5 > 0 — має зміст (дорівнює −1).

• log₀,₅ 2: основа 0,5 > 0, 0,5 ≠ 1, аргумент 2 > 0 — має зміст (дорівнює −1).

• lg 1 = 0 — має зміст.

• log₃(−9): аргумент −9 < 0 — не має змісту.

• ln e = 1 — має зміст.

Відповідь: log₃(−9).

Навіть добре знаючи теорію, на НМТ легко припуститися помилки через неуважність або хибні аналогії. Ось найпоширеніші пастки, яких варто уникати.

• Вважають, що логарифм від'ємного числа чи нуля існує. Наприклад, пишуть log₂(−8) = −3, бо 2⁻³ = 1/8, а не −8. Насправді log₂(−8) не існує, бо аргумент має бути додатним.

• Ділять аргумент на основу замість шукати показник степеня. Наприклад, log₂ 8 = 4 (бо 8 : 2 = 4) — це груба помилка. Правильно: 2³ = 8, тому log₂ 8 = 3.

• Вважають, що логарифм не може бути від'ємним. Через це log₃(1/9) обчислюють як 2, забуваючи, що 1/9 = 3⁻², а не 3². Логарифм може бути будь-яким дійсним числом.

• У виразі 2^(3 + log₂ 5) додають 8 і 5 замість множити. Помилка: 2³ = 8, 2^(log₂ 5) = 5, і далі пишуть 8 + 5 = 13. Правильно: 8 · 5 = 40.

• Губиться «мінус» у десятковому логарифмі малих чисел. Наприклад, lg 0,01 = 2 замість −2. Завжди перевіряй: 10² = 100, а не 0,01.

• Допускають основу 1 або від'ємну основу. Наприклад, пишуть log₁ 5 = 5 або log₍₋₂₎ 8 = 3. Такі логарифми не мають змісту, бо основа не може дорівнювати 1 або бути від'ємною.

Пам'ятай: перевіряй умови існування логарифма щоразу, коли бачиш запис logₐ b. Якщо a ≤ 0, a = 1 або b ≤ 0 — вираз не має змісту.

Означення логарифма, десятковий і натуральний логарифми та основна логарифмічна тотожність входять до теми 1.3 програми НМТ з математики («Логарифмічні вирази»). Основна логарифмічна тотожність наведена в довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні.

Формат завдань

• Завдання № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). Кожне оцінюється в 0 або 1 бал. Типове завдання: «Обчислити log₂ 16», «Знайти значення виразу 3^(2 + log₃ 4)» тощо.

• Завдання № 17 — «логічні пари» (1–3 → А–Д). Потрібно встановити відповідність між логарифмічними виразами та їхніми значеннями. Оцінюється від 0 до 3 балів (по 1 балу за кожну правильну пару).

• Завдання № 4 демоваріанта 2026 року — найпростіше логарифмічне рівняння, де означення логарифма є ключовим кроком розв'язання.

Стратегія розв'язання

Для будь-якого завдання з логарифмом дотримуйся такого алгоритму:

1. Переклади логарифм у питання: «У який степінь треба піднести основу a, щоб отримати b?»

2. Перевір умови: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Якщо хоч одна умова не виконується — вираз не має змісту.

3. Зроби перевірку: піднеси основу до знайденого показника — має вийти аргумент логарифма.

Наприклад, обчислюючи log₄ 8, подумай: «4 у якому степені дає 8?» 4¹ = 4, 4² = 16 — між ними. Тоді 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Отже, log₄ 8 = 3/2. Перевірка: 4^(3/2) = 8 — правильно.

• Означення: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).

• Умови існування: основа a > 0, a ≠ 1; аргумент b > 0. Саме значення логарифма — будь-яке дійсне число.

• Окремі випадки: logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ aᶜ = c.

• Десятковий логарифм: lg b = log₁₀ b.

• Натуральний логарифм: ln b = logₑ b, де e ≈ 2,718.

• Основна логарифмічна тотожність: a^(logₐ b) = b (за умов a > 0, a ≠ 1, b > 0).

• Комбінування: a^(m + logₐ n) = aᵐ · n; a^(k · logₐ n) = nᵏ.