Корінь n-го степеня та його властивості

Почнемо з головного означення. Нехай n — натуральне число, n ≥ 2. Коренем n-го степеня з числа a називають таке число b, для якого bⁿ = a. Іншими словами, корінь — це число, яке, піднесене до степеня n, дає a.

Однак для квадратного кореня (n = 2) рівняння x² = 16 має два розв'язки: x = 4 і x = −4. Щоб уникнути двозначності, в математиці ввели поняття арифметичного кореня. Арифметичний корінь n-го степеня з невід'ємного числа a — це невід'ємне число b, для якого bⁿ = a. Позначають його ⁿ√a. Отже, √16 = 4, а не ±4. Запис −√16 означає «арифметичний корінь, узятий зі знаком мінус», тобто −4.

Парний і непарний показник кореня

Ключова відмінність залежить від парності n:

Якщо n парне, то вираз ⁿ√a існує лише для a ≥ 0. Тому √(−4) і ⁴√(−16) не мають змісту в дійсних числах. Якщо n непарне, корінь існує для будь-якого дійсного a, причому корінь з від'ємного числа — від'ємний: ∛(−27) = −3, ⁵√(−32) = −2. Корисна властивість: ∛(−a) = −∛a.

Основна тотожність і модуль

Для будь-якого кореня, що існує, виконується (ⁿ√a)ⁿ = a. Наприклад, (√5)² = 5, (∛(−2))³ = −2.

А от зворотна операція — ⁿ√(aⁿ) — залежить від парності n:

• Якщо n непарне: ⁿ√(aⁿ) = a. Приклад: ∛((−5)³) = −5.

• Якщо n парне: ⁿ√(aⁿ) = |a|. Приклад: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|.

Звідси найважливіше правило: √(a²) = |a|. Це означає, що коли під квадратним коренем стоїть квадрат виразу, результат — модуль цього виразу. Розгляньмо тонкий приклад: √((√5 − 3)²). Оскільки √5 ≈ 2,236, то √5 − 3 < 0. Тому |√5 − 3| = 3 − √5. Отже, √((√5 − 3)²) = 3 − √5.

Табличні корені

Деякі корені варто знати напам'ять — вони часто трапляються в завданнях:

На НМТ у довідці є таблиця квадратів чисел від 10 до 49. Нею зручно користуватися: √1764 = 42, бо 42² = 1764.

Корені мають властивості, дуже подібні до властивостей степенів. Вони дають змогу перетворювати складні вирази на простіші. Усі властивості виконуються для тих значень змінних, за яких корені існують.

Корінь добутку й частки

Для невід'ємних чисел a і b:

• ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b (a ≥ 0, b ≥ 0)

• ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (a ≥ 0, b > 0)

Приклади:

• √8 · √2 = √(8 · 2) = √16 = 4

• ∛54 / ∛2 = ∛(54/2) = ∛27 = 3

• √12 · √3 = √36 = 6

Для коренів непарного степеня ці властивості справедливі й для від'ємних чисел: ∛(−8) · ∛(−1) = ∛8 = 2.

Піднесення кореня до степеня та корінь з кореня

Ще дві важливі властивості:

• (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) — корінь можна підносити до степеня, підносячи підкореневий вираз

• ⁿ√(ᵏ√a) = ⁿᵏ√a — корінь з кореня дорівнює кореню, показники якого перемножено

Приклад: √(∛64) = ⁶√64 = 2, бо 2⁶ = 64. Або: ∛(√27) = ⁶√27 = √3, оскільки 27 = 3³, тож ⁶√(3³) = 3^(3/6) = 3^(1/2) = √3.

Звідси випливає корисне скорочення: ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ) за умови a ≥ 0. Наприклад, ⁶√(a³) = √a (скоротили показник кореня 6 і степінь підкореневого виразу 3 на 3).

Чого не можна робити

Для суми й різниці властивостей коренів немає! Запам'ятай раз і назавжди:

• √(a + b) ≠ √a + √b

• √(a² + b²) ≠ a + b

Перевір на числах: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, а √(9 + 16) = √25 = 5. Результати різні! Тому вираз √(a² + b²) не спрощується — він так і лишається коренем.

Коли підкореневий вираз містить квадрат (або куб — залежно від показника), цей множник можна винести за знак кореня. Це називають винесенням множника з-під кореня. Зворотна операція — внесення множника під корінь.

Винесення множника

Алгоритм простий: розкладаємо підкореневий вираз на множники так, щоб один із них був повним квадратом (для квадратного кореня) або повним кубом (для кубічного кореня), і виносимо корінь з цього множника.

Приклади для квадратного кореня:

• √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2

• √72 = √(36 · 2) = 6√2

• √12 = √(4 · 3) = 2√3

• √75 = √(25 · 3) = 5√3

Для кубічного кореня шукаємо множник-куб:

• ∛54 = ∛(27 · 2) = ∛27 · ∛2 = 3∛2

• ∛40 = ∛(8 · 5) = 2∛5

Зведення подібних коренів

Корені з однаковим показником і однаковим підкореневим виразом називають подібними. Їх можна додавати й віднімати як звичайні подібні доданки. Для цього спочатку виносять множники з-під коренів.

Розгляньмо √50 − √18:

• √50 = √(25 · 2) = 5√2

• √18 = √(9 · 2) = 3√2

• 5√2 − 3√2 = 2√2

Ще один приклад: √12 + √27 − √75 = 2√3 + 3√3 − 5√3 = 0. Зверни увагу: після винесення всі корені стали подібними (√3), і їхні коефіцієнти дали в сумі нуль.

Внесення множника під корінь

Щоб внести множник під корінь, підносимо його до степеня, що дорівнює показнику кореня, і множимо на підкореневий вираз.

• 3√2 = √(3² · 2) = √(9 · 2) = √18

• 2∛5 = ∛(2³ · 5) = ∛(8 · 5) = ∛40

Якщо перед коренем парного степеня стоїть знак «мінус», він лишається перед коренем: −2√5 = −√20. Вносити від'ємне число під корінь парного степеня не можна — корінь з від'ємного числа не існує.

Для кореня непарного степеня мінус можна внести під корінь:

• −2∛3 = ∛((−2)³ · 3) = ∛(−8 · 3) = ∛(−24)

Винесення з буквеними виразами

Якщо під коренем є змінна, пам'ятай про модуль. Для парного n:

• √(x²y) = |x|√y за умови y ≥ 0.

• Якщо додатково відомо, що x ≥ 0, то модуль можна зняти: √(x²y) = x√y.

У математиці прийнято не залишати корені в знаменнику дробу. Процес перетворення дробу так, щоб знаменник став раціональним, називають звільненням від ірраціональності в знаменнику.

Коли в знаменнику один корінь

Множимо чисельник і знаменник на той самий корінь. Значення дробу не змінюється, а корінь у знаменнику зникає, бо √a · √a = a.

• 6/√3 = (6 · √3)/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3

• 10/√5 = (10 · √5)/(√5 · √5) = 10√5/5 = 2√5

• 4/∛2 = (4 · ∛4)/(∛2 · ∛4) = 4∛4/∛8 = 4∛4/2 = 2∛4

Коли в знаменнику сума або різниця коренів

Тут використовуємо спряжений вираз. Для двочлена √a − √b спряженим є √a + √b, і навпаки. Добуток спряжених виразів дає різницю квадратів: (√a − √b)(√a + √b) = a − b.

Розгляньмо 1/(√5 − 2):

• Множимо чисельник і знаменник на √5 + 2 (спряжений вираз)

• Отримуємо: (√5 + 2)/((√5)² − 2²) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2

Ще один приклад: 4/(√7 + √3):

• Спряжений вираз: √7 − √3

• 4(√7 − √3)/((√7)² − (√3)²) = 4(√7 − √3)/(7 − 3) = 4(√7 − √3)/4 = √7 − √3

Формули скороченого множення з коренями

Корені можуть входити й до формул скороченого множення. Наприклад:

• (√3 − 1)² = (√3)² − 2·√3·1 + 1² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3

• (√6 − √2)(√6 + √2) = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4

Обчислення з кількох дій

У завданнях НМТ часто треба виконати кілька дій з коренями поспіль. Наприклад:

∛(−27) · √16 = −3 · 4 = −12

Тут спочатку обчислюємо кубічний корінь (він існує, бо показник непарний), потім квадратний корінь, і нарешті множимо результати.

Розгляньмо типові завдання НМТ на корені n-го степеня. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповідей неправильні.

Приклад 1. Обчислення з коренями різних степенів

Завдання: обчисли ∛(−27) · √16 + ⁴√81.

Розв'язання:

1. ∛(−27) = −3, бо (−3)³ = −27 (корінь непарного степеня з від'ємного числа існує)

2. √16 = 4 (арифметичний корінь, завжди невід'ємний)

3. ⁴√81 = 3, бо 3⁴ = 81

4. −3 · 4 + 3 = −12 + 3 = −9

Відповідь: −9.

Чому інші варіанти неправильні?

• 15 — якщо помилково взяти ∛(−27) = 3 (ігноруючи знак мінус), тоді 3·4+3=15

• −15 — якщо помилково взяти ⁴√81 = −3: (−3)·4 + (−3) = −15 (арифметичний корінь не може бути від'ємним)

• −12 — якщо забути додати ⁴√81, тобто обчислити лише ∛(−27)·√16

• «Вираз не має змісту» — помилкове переконання, ніби ∛(−27) не існує

Приклад 2. Спрощення суми коренів

Завдання: спрости √72 − √32 + √8.

Розв'язання:

1. Виносимо множники: √72 = √(36·2) = 6√2; √32 = √(16·2) = 4√2; √8 = √(4·2) = 2√2

2. 6√2 − 4√2 + 2√2 = (6 − 4 + 2)√2 = 4√2

Відповідь: 4√2.

Чому інші варіанти неправильні?

• √48 — якщо відняти підкореневі числа: 72 − 32 + 8 = 48, але так робити не можна

• 2√2 — якщо забути доданок √8: 6√2 − 4√2 = 2√2

• 6√2 — якщо обчислити лише √72 = 6√2 і не врахувати інші доданки

• 8√2 — якщо не відняти √32: 6√2 + 2√2 = 8√2

Приклад 3. Логічні пари (вираз ↔ значення)

Завдання: установи відповідність між виразом (1–3) і його значенням (А–Д).

Розв'язання:

1. (√7 − √3)(√7 + √3) = (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4. Отже, 1 → А.

2. 2/(√3 − 1) = 2(√3 + 1)/((√3)² − 1²) = 2(√3 + 1)/(3 − 1) = 2(√3 + 1)/2 = √3 + 1. Отже, 2 → Б.

3. √((1 − √2)²) = |1 − √2|. Оскільки √2 ≈ 1,414, то 1 − √2 < 0, тому |1 − √2| = √2 − 1. Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Значення Г (1 − √2) — це підкореневий вираз без модуля, а Д (10) — результат додавання 7+3 замість віднімання.

Приклад 4. Який вираз не має змісту?

Завдання: який із виразів не має змісту (не існує в дійсних числах)?

• А) ∛(−8)

• Б) ⁴√(−16)

• В) √((−4)²)

• Г) ⁵√(−1)

• Д) √0

Розв'язання:

• ∛(−8) = −2 — існує, бо показник непарний.

• ⁴√(−16) — не існує, бо показник 4 парний, а підкореневе число від'ємне.

• √((−4)²) = √16 = 4 — існує.

• ⁵√(−1) = −1 — існує, показник непарний.

• √0 = 0 — існує.

Відповідь: ⁴√(−16).

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в завданнях з коренями. Уникай їх!

• Помилка: √(a² + b²) = a + b або √(a + b) = √a + √b. Насправді корінь із суми не дорівнює сумі коренів. Перевір: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.

• Помилка: √16 = ±4. Арифметичний корінь завжди невід'ємний: √16 = 4. Запис «±4» з'являється, коли розв'язують рівняння x² = 16, але це інша ситуація.

• Помилка: ∛(−27) «не існує». Корінь непарного степеня з від'ємного числа існує: ∛(−27) = −3. Не плутай з квадратним коренем!

• Помилка: √(a²) = a без модуля. Правильно: √(a²) = |a|. Наприклад, √((√5 − 3)²) = 3 − √5, а не √5 − 3, бо корінь не може бути від'ємним.

• Помилка: «мінус» унесено під корінь парного степеня. Наприклад, −2√5 ≠ √20. Мінус лишається перед коренем: −2√5 = −√20. Вносити від'ємне число під корінь парного степеня не можна.

• Помилка: віднято підкореневі числа. Наприклад, √50 − √18 ≠ √32. Спочатку винось множники: 5√2 − 3√2 = 2√2.

• Помилка: у 1/(√5 − 2) на √5 + 2 помножено лише знаменник. Множити треба й чисельник, і знаменник, щоб значення дробу не змінилося.

Означення кореня n-го степеня й арифметичного кореня та властивості коренів входять до теми 1.1 програми НМТ. Перетворення ірраціональних виразів — тема 1.3.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 9 — це обчислення з коренями n-го степеня, вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). За правильну відповідь дають 1 бал.

Завдання № 17 — «логічні пари»: три вирази (1–3) треба зіставити з п'ятьма значеннями (А–Д), дві букви зайві. За це завдання можна отримати від 0 до 3 балів.

У довідці, яку видають на НМТ, є корисні формули:

• √(a²) = |a|

• a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

• таблиця квадратів чисел від 10 до 49

Таблиця квадратів дуже допомагає: якщо треба знайти √1764, дивишся в довідку — 42² = 1764, отже, √1764 = 42.

Стратегія: спочатку визнач, чи парний показник кореня (тоді підкореневий вираз має бути невід'ємним), чи непарний. Потім застосовуй властивості. Якщо вираз містить кілька коренів, винось множники та зводь подібні. Для звільнення від ірраціональності множ чисельник і знаменник на спряжений вираз.

• Корінь парного степеня (2, 4, 6, …) існує лише з невід'ємного числа й сам є невід'ємним.

• Корінь непарного степеня (3, 5, 7, …) існує з будь-якого числа, зберігаючи його знак.

• √(a²) = |a| — завжди став модуль!

• Корінь добутку дорівнює добутку коренів; корінь частки — частці коренів.

• Для суми й різниці правил немає: √(a + b) ≠ √a + √b.

• Виносимо найбільший множник-квадрат (або куб) і зводимо подібні корені.

• Ірраціональність у знаменнику прибирає множення на той самий корінь або на спряжений вираз.