Типові завдання НМТ: механіка

Кінематика описує рух тіл, не цікавлячись причинами цього руху. У демоваріанті НМТ-2026 перевіряли, зокрема, відмінність шляху й переміщення (№ 1) та доцентрове прискорення (№ 18); також важливо вміти читати графіки руху.

Шлях і переміщення

Шлях — це довжина траєкторії, яку тіло пройшло за час руху. Це скалярна величина: вона не має напряму, лише числове значення. Переміщення — це вектор, який з'єднує початкову точку руху з кінцевою. Його модуль — це найкоротша відстань між цими точками, а напрям — від початку до кінця.

Класичний приклад: тіло рухається по колу радіуса R і проходить половину кола. Шлях дорівнює половині довжини кола: πR. Переміщення — це діаметр кола: 2R. Якщо тіло зробить повний оберт, шлях стане 2πR, а переміщення дорівнюватиме нулю, бо тіло повернулося в початкову точку.

Рівномірний і рівноприскорений рух

У довідкових матеріалах НМТ є такі формули кінематики:

• Рівномірний рух: x = x₀ + vt, v = const

• Рівноприскорений рух: v = v₀ + at, x = x₀ + v₀t + at²/2

Графіки допомагають швидко знайти потрібні величини. На графіку x(t) нахил (кутовий коефіцієнт) прямої дорівнює швидкості. На графіку v(t) нахил дорівнює прискоренню, а площа під графіком v(t) за певний проміжок часу чисельно дорівнює шляху, пройденому за цей час.

Рух по колу

Тіло, яке рівномірно рухається по колу, має сталу за модулем швидкість, але її напрям постійно змінюється. Тому виникає доцентрове прискорення, спрямоване до центра кола.

Лінійна швидкість: v = 2πR / T, де T — період обертання. Доцентрове прискорення: a = v² / R = 4π²R / T². Якщо в умові задачі сказано «π² = 10», то саме це значення треба підставляти.

Приклад. Автомобіль проходить заокруглення дороги радіусом 50 м зі швидкістю 10 м/с. Доцентрове прискорення: a = v² / R = 10² / 50 = 100 / 50 = 2 м/с².

Динаміка вивчає причини руху — сили, що діють на тіло. Статика розглядає умови, за яких тіло перебуває в рівновазі. На НМТ ці теми часто поєднують в одному завданні.

Рівнодійна сила і другий закон Ньютона

Рівнодійна сила — це векторна сума всіх сил, що діють на тіло. Якщо на тіло діють кілька сил, їх додають за правилом паралелограма або за проєкціями на осі.

Другий закон Ньютона: F = ma. Прискорення тіла прямо пропорційне рівнодійній силі й обернено пропорційне масі тіла. Напрям прискорення завжди збігається з напрямом рівнодійної сили. Це ключове правило: за схемою сил на малюнку можна визначити, куди напрямлене прискорення.

Основні сили в механіці

У задачах НМТ найчастіше трапляються такі сили:

Закон всесвітнього тяжіння: F = G·m₁·m₂ / r². На НМТ його можуть застосовувати, наприклад, для порівняння сил тяжіння на різних відстанях.

Момент сили й умови рівноваги

Момент сили M = F·d, де d — плече сили (найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили). Плече вимірюють перпендикулярно до напряму сили, а не вздовж важеля.

Умови рівноваги твердого тіла:

• Рівнодійна всіх сил дорівнює нулю: тіло не рухається поступально.

• Сума моментів сил відносно будь-якої осі дорівнює нулю: тіло не обертається.

Приклад. Легкий важіль перебуває в рівновазі. Сила 6 Н діє на плечі 20 см. Яка сила потрібна на плечі 30 см, щоб зрівноважити важіль? Правило моментів: F₁·d₁ = F₂·d₂. Маємо: 6·20 = F₂·30, звідки F₂ = 120 / 30 = 4 Н.

Закони збереження — одні з найважливіших у фізиці. На НМТ перевіряють збереження імпульсу й механічної енергії, а також уміння обчислювати архімедову силу й гідростатичний тиск.

Імпульс і його збереження

Імпульс тіла — це векторна величина, добуток маси тіла на його швидкість: p = mv. Одиниця імпульсу — кг·м/с.

Закон збереження імпульсу: у замкненій системі (на тіла системи не діють зовнішні сили або їхня рівнодійна дорівнює нулю) векторна сума імпульсів тіл залишається сталою. Це означає, що сумарний імпульс до взаємодії дорівнює сумарному імпульсу після взаємодії.

Кінетична енергія

Кінетична енергія тіла: Eк = mv² / 2. Її можна виразити через імпульс: Eк = p² / (2m). Ця форма зручна для порівняння: якщо імпульс тіла збільшити вдвічі за сталої маси, то кінетична енергія зросте вчетверо, бо p² дає множник 4.

Робота, потужність, ККД

Механічна робота: A = F·s·cos α, де α — кут між напрямом сили й напрямом переміщення. Потужність: P = A / t = F·v (за умови сталої швидкості). Повна механічна енергія (сума кінетичної й потенціальної) в консервативних процесах зберігається. Коефіцієнт корисної дії: η = A_к / A_п, де A_к — корисна робота, A_п — повна (витрачена) робота.

Архімедова сила й гідростатичний тиск

Архімедова сила — це виштовхувальна сила, що діє на тіло, занурене в рідину або газ: F_A = ρ_р·g·V_зан, де ρ_р — густина рідини, V_зан — об'єм зануреної частини тіла, g — прискорення вільного падіння.

Тіло плаває, якщо його середня густина не перевищує густину рідини: ρ_т ≤ ρ_р. Гідростатичний тиск на глибині h: p = ρgh.

Приклад. Повністю занурений у воду куб об'ємом 200 см³. Густина води ρ = 1000 кг/м³, g = 10 м/с². Об'єм у кубічних метрах: V = 200 см³ = 200·10⁻⁶ м³ = 2·10⁻⁴ м³. Архімедова сила: F_A = 1000·10·2·10⁻⁴ = 2 Н.

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових завдань НМТ з механіки — по одному на кожен формат і ключову тему.

Приклад 1. Шлях і переміщення (вибір однієї відповіді)

Завдання. Тіло рухається по колу радіуса R і проходить половину кола. Визначте шлях і модуль переміщення тіла.

Розв'язання. Шлях — це довжина пройденої траєкторії. Половина кола — це половина довжини кола: s = (1/2)·2πR = πR. Переміщення — це вектор, що з'єднує початкову й кінцеву точки. Після половини кола тіло опиняється в діаметрально протилежній точці, тому модуль переміщення дорівнює діаметру: d = 2R.

Відповідь: шлях πR, переміщення 2R.

Чому інші варіанти неправильні: 2R і πR — переплутано шлях і переміщення; πR і πR — переміщення не може дорівнювати шляху на половині кола; 2πR і 0 — це шлях і переміщення для повного оберту, а не половини.

Приклад 2. Прискорення за другим законом Ньютона (коротка відповідь)

Завдання. Тіло масою 2 кг рухається під дією двох сил, спрямованих в один бік: 10 Н і 6 Н. Визначте прискорення тіла (у м/с²).

Розв'язання. Сили спрямовані в один бік, тому рівнодійна дорівнює їхній сумі: F = 10 + 6 = 16 Н. За другим законом Ньютона: a = F / m = 16 / 2 = 8 м/с².

Відповідь: 8.

Приклад 3. Відповідність: величини, формули й одиниці

Завдання. Установіть відповідність між фізичною величиною (1 — імпульс, 2 — кінетична енергія, 3 — сила Архімеда) та її формулою й одиницею серед запропонованих варіантів (А–Д).

Розв'язання. Імпульс: p = mv, одиниця — кг·м/с. Кінетична енергія: Eк = mv²/2, одиниця — Дж (джоуль). Сила Архімеда: F_A = ρgV, одиниця — Н (ньютон).

Відповідь: 1 — формула mv, одиниця кг·м/с; 2 — формула mv²/2, одиниця Дж; 3 — формула ρgV, одиниця Н.

Приклад 4. Потенціальна енергія пружини (вибір однієї відповіді)

Завдання. Як зміниться потенціальна енергія пружно деформованої пружини, якщо її видовження збільшити втричі?

Розв'язання. Потенціальна енергія пружини: Eп = kx² / 2. Якщо видовження x збільшити втричі, то x² збільшиться в 9 разів. Отже, енергія зросте в 9 разів.

Відповідь: збільшиться в 9 разів.

Чому інші варіанти неправильні: у 3 рази — плутають x і x²; у 6 разів — помилка в обчисленні (3·2 = 6); не зміниться — ігнорують залежність енергії від видовження.

Приклад 5. Доцентрове прискорення (коротка відповідь)

Завдання. Точка на ободі колеса радіусом 0,4 м робить один повний оберт за 0,2 с. Визначте доцентрове прискорення точки (у м/с²). У розрахунках прийміть π² = 10.

Розв'язання. Період обертання T = 0,2 с. Доцентрове прискорення: a = 4π²R / T² = 4·10·0,4 / (0,2)² = 4·10·0,4 / 0,04 = 16 / 0,04 = 400 м/с².

Відповідь: 400.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в завданнях НМТ з механіки. Знаючи їх, ти зможеш уникнути пасток і впевнено набрати бали.

• Неправильний знак проєкції швидкості чи прискорення. Коли тіло рухається в напрямі, протилежному до обраної осі координат, проєкція швидкості має від'ємний знак. Те саме стосується прискорення під час гальмування. Завжди обирай вісь і визначай знаки проєкцій перед підстановкою у формули.

• Плутати шлях і переміщення. Шлях — це скаляр (довжина траєкторії), переміщення — вектор (найкоротша відстань між початком і кінцем). На половині кола шлях πR, а переміщення 2R. Не плутай ці величини в завданнях.

• Вважати, що напрям швидкості й прискорення завжди збігаються. Це неправда: прискорення завжди напрямлене за рівнодійною силою (другий закон Ньютона). Якщо тіло гальмує, швидкість і прискорення напрямлені в протилежні боки. Якщо тіло рухається по колу, прискорення напрямлене до центра, а швидкість — по дотичній.

• Плутати плече сили з відстанню до точки прикладання. Плече сили — це найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили, виміряна перпендикулярно до напряму сили. Не плутай із простою відстанню вздовж важеля.

• Застосовувати закон збереження механічної енергії за наявності тертя без урахування роботи тертя. Якщо в системі діє тертя, частина механічної енергії перетворюється на внутрішню (тепло). Тоді повна механічна енергія не зберігається — треба враховувати роботу сили тертя.

• Застосовувати закон збереження імпульсу до незамкненої системи без перевірки. Закон збереження імпульсу виконується лише в замкненій системі, де рівнодійна зовнішніх сил дорівнює нулю. Якщо на тіла системи діють зовнішні сили (наприклад, сила тяжіння), імпульс може не зберігатися.

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року механіка представлена п'ятьма завданнями, які разом дають сім балів. Розгляньмо, які саме завдання трапляються й на що звернути увагу.

Тему 1.4 «Рідини й гази» (архімедова сила, гідростатичний тиск) у демоваріанті 2026 року не представлено, але вона може з'явитися в інших варіантах тесту.

Що є в довідкових матеріалах

На НМТ ти отримаєш довідку з формулами. Для механіки там є:

• формули кінематики (рівномірний і рівноприскорений рух, рух по колу);

• формули динаміки (другий закон Ньютона, закон Гука, сила тертя, закон всесвітнього тяжіння);

• формули законів збереження (імпульс, кінетична енергія, робота, потужність, ККД);

• формули гідростатики й закону Архімеда.

Важливо: у довідці немає умов застосування законів (наприклад, що закон збереження імпульсу діє лише в замкненій системі) і правил вибору знаків проєкцій; формули проєкцій вектора на осі координат у довідці є. Ці знання ти маєш засвоїти самостійно.

Стратегія розв'язування

Після того як знайшов числову відповідь, завжди перевіряй порядок величини. Наприклад, швидкість автомобіля — це десятки м/с (36 км/год = 10 м/с). Якщо в тебе вийшло 1000 м/с або 0,01 м/с, щось не так. Так само прискорення вільного падіння — близько 10 м/с², типова архімедова сила для невеликого тіла — одиниці чи десятки ньютонів.

• Шлях — скаляр (довжина траєкторії), переміщення — вектор (від початкової до кінцевої точки).

• a = F / m; напрям прискорення збігається з напрямом рівнодійної сили.

• Рівновага: рівнодійна всіх сил дорівнює нулю й сума моментів сил відносно осі дорівнює нулю.

• Кінетична енергія Eк = p² / (2m); закон збереження імпульсу діє в замкненій системі.

• Архімедова сила F_A = ρgV; тіло плаває, якщо його густина не перевищує густину рідини.

• Доцентрове прискорення a = v² / R = 4π²R / T², напрямлене до центра кола.

• Перевіряй порядок величини відповіді: швидкість автомобіля — десятки м/с, прискорення — одиниці чи десятки м/с².