Раціональні та ірраціональні числа: види дійсних чисел

Усі числа, які ти знаєш, належать до великої родини дійсних чисел. Їх можна розділити на групи — числові множини. Розберімося, які саме.

Натуральні числа N

Натуральні числа — це числа, якими ми лічимо предмети: 1, 2, 3, 4, 5, … Цю множину позначають латинською літерою N (від латинського naturalis — «природний»). Пам'ятай: 0 не належить до натуральних чисел. Хоча в деяких країнах 0 вважають натуральним, в українській математичній традиції та на НМТ це не так.

Записують: N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Про число 7 кажуть: «7 ∈ N» (7 належить N), а про число −3: «−3 ∉ N» (−3 не належить N).

Цілі числа Z

Цілі числа — це натуральні числа, протилежні до них (від'ємні) і нуль. Множину позначають літерою Z (від німецького Zahl — «число»). Отже, Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

Зверни увагу: 0 ∈ Z, але 0 ∉ N. Кожне натуральне число є цілим (N ⊂ Z), але не навпаки: −5 — ціле, але не натуральне.

Раціональні числа Q

Раціональні числа — це числа, які можна записати у вигляді звичайного дробу m/n, де m — ціле число, а n — натуральне (n ≠ 0). Множину позначають літерою Q (від англ. quotient — «частка»).

Будь-яке ціле число також є раціональним, бо його можна записати дробом: −4 = −4/1 = −8/2 = −12/3. Дроби на кшталт 2/3 або −7/5 теж належать Q. Оскільки N ⊂ Z і Z ⊂ Q, то кожне натуральне і кожне ціле число — раціональне.

Дійсні числа R

Дійсні числа — це всі раціональні числа разом з ірраціональними. Множину позначають літерою R (від латинського realis — «дійсний»). До R належить будь-яке число, яке можна зобразити точкою на координатній прямій.

Вкладення множин: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Ці множини не ізольовані — вони вкладені одна в одну, немов матрьошки. Ось як це виглядає:

Кожне натуральне число є цілим, раціональним і дійсним. Але зворотне не працює: −5 — ціле, але не натуральне; 2/3 — раціональне, але не ціле; √2 — дійсне, але не раціональне.

Найвужча множина числа

Для будь-якого числа треба вміти знаходити найвужчу множину, до якої воно належить. Найвужча — це найменша з множин N, Z, Q, R, яка містить це число. Наприклад:

Запам'ятай: ціле число теж раціональне, бо його завжди можна записати дробом (наприклад, 0 = 0/1). Тому найвужчою множиною для цілого числа буде Z, а не Q.

Раціональні числа можуть мати різний вигляд, але їх завжди можна подати як звичайний дріб m/n. Звідси випливають усі інші форми запису.

Звичайні дроби

Найочевидніший запис раціонального числа — звичайний дріб: 3/8, −2 1/2, 7/3. Тут чисельник — ціле число, знаменник — натуральне (не нуль). Будь-який звичайний дріб — раціональне число.

Скінченні десяткові дроби

Якщо поділити чисельник на знаменник, отримаємо десятковий дріб. Для багатьох дробів ділення закінчується — це скінченні десяткові дроби:

• 3/8 = 0,375

• −2 1/2 = −2,5

• 1/4 = 0,25

• 7/5 = 1,4

Кожен скінченний десятковий дріб — раціональне число. Наприклад, 0,375 = 375/1000 = 3/8.

Нескінченні періодичні десяткові дроби

Деякі дроби в десятковому записі ніколи не закінчуються, але їхні цифри повторюються — це періодичні дроби. Період записують у дужках:

• 1/3 = 0,33333… = 0,(3)

• 5/3 = 1,66666… = 1,(6)

• 4/33 = 0,12121212… = 0,(12)

• 2/15 = 0,13333… = 0,1(3)

Нескінченний періодичний десятковий дріб — теж раціональне число, бо його можна перетворити на звичайний дріб. Ніколи не плутай періодичний дріб (він раціональний) із неперіодичним (він ірраціональний).

Корені з точних квадратів

Корінь з числа — раціональний, якщо підкореневий вираз є точним квадратом (або точним кубом для кубічного кореня). Спершу обчисли значення, а потім класифікуй:

Бачиш? √(1 9/16) спочатку здається складним, але після перетворення отримуємо √(25/16) = 5/4 — звичайний дріб.

Дії з раціональними числами

Якщо виконати дію з раціональними числами (крім ділення на 0), результат теж буде раціональним:

• сума: 2/3 + 1/6 = 5/6

• різниця: 2,5 − 1,3 = 1,2

• добуток: (2/3)² = 4/9

• частка: 1,5 : 0,5 = 3

• модуль: |−1,5| = 1,5

Це правило допомагає швидко визначити, чи результат буде раціональним, коли всі числа в дії — раціональні.

Ірраціональне число — це число, яке не можна записати у вигляді звичайного дробу m/n. У десятковому записі воно має вигляд нескінченного неперіодичного дробу — цифри після коми ніколи не закінчуються й не утворюють повторюваної групи.

Приклади ірраціональних чисел

Найвідоміші ірраціональні числа:

• π = 3,1415926535… — відношення довжини кола до діаметра

• √2 = 1,4142135623… — довжина діагоналі квадрата зі стороною 1

• √3 = 1,7320508075…

• e = 2,7182818284… — основа натуральних логарифмів

• 0,101001000100001… — кількість нулів щоразу зростає, періоду немає

Корені: коли раціональний, а коли ірраціональний

У шкільних задачах ірраціональні числа найчастіше записують за допомогою коренів (√2, √3, ∛5) або позначення π. Запам'ятай головний принцип: вирішує значення кореня, а не сам знак кореня.

√n для натурального n є раціональним лише тоді, коли n — точний квадрат (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …). У всіх інших випадках √n — ірраціональне:

Зверни увагу: √12 = 2√3 і √45 = 3√5 — хоч ми спростили вираз, число залишилося ірраціональним, бо √3 і √5 ірраціональні.

Дії раціонального з ірраціональним

Є кілька правил, які допомагають визначити, чи результат буде раціональним:

• Раціональне ± ірраціональне = ірраціональне: 3 + √5 — ірраціональне, π − 1 — ірраціональне

• Раціональне (≠ 0) × ірраціональне = ірраціональне: 2π — ірраціональне, √5/3 — ірраціональне

• Раціональне (≠ 0) / ірраціональне = ірраціональне: 1/√2 — ірраціональне

• Ірраціональне / раціональне (≠0) = ірраціональне: √2/3 — ірраціональне

Дія двох ірраціональних чисел

А ось тут цікаво: результат може бути як раціональним, так і ірраціональним. Не роби поспішних висновків — обчислюй!

Випадки, коли результат раціональний:

• √2 · √8 = √16 = 4 — раціональне

• (√3)² = 3 — раціональне

• √18 : √2 = √9 = 3 — раціональне

• (2 + √3) + (2 − √3) = 4 — раціональне (ірраціональні доданки взаємно знищились)

Випадки, коли результат ірраціональний:

• √3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√3 — ірраціональне

• (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 — ірраціональне

Увага: наближені значення

π ≈ 3,14 — це раціональне наближення. Але сам π — ірраціональне число. Не плутай наближення з точним значенням! Так само π ≠ 22/7 (хоч 22/7 ≈ 3,1429 — це лише грубе наближення).

У тестових завданнях можуть запитати: «Скільки натуральних (або цілих) чисел розміщено на координатній прямій між числами …?». Щоб відповісти, треба оцінити значення виразів, особливо коренів.

Оцінка кореня сусідніми точними квадратами

Якщо підкореневе число не є точним квадратом, знайди два послідовні точні квадрати, між якими воно міститься:

Приклад: оцінимо √30. 5² = 25, 6² = 36. Оскільки 25 < 30 < 36, то 5 < √30 < 6.

Корисні наближення для швидкої оцінки:

Алгоритм

1. Оціни обидва кінці проміжку, перетворивши корені та дроби на числа.

2. Знайди найменше й найбільше ціле число, що лежать між цими межами.

3. Випиши всі числа від найменшого до найбільшого або скористайся формулою: кількість = найбільше − найменше + 1.

4. Якщо питають про натуральні числа — врахуй лише додатні цілі, починаючи з 1.

Приклад

Знайдемо цілі числа між −√7 і √30.

Крок 1: оцінюємо: √7 ≈ 2,65, тому −√7 ≈ −2,65. √30 ≈ між 5 і 6, точніше 5² = 25 < 30 < 36 = 6², отже 5 < √30 < 6. Візьмемо верхню межу як приблизно 5,48.

Крок 2: цілі числа між −2,65 і 5,48 — це −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Усього 8 цілих чисел.

Крок 3: натуральних чисел серед них — 5 (1, 2, 3, 4, 5). Чому не 8? Бо −2, −1 і 0 не є натуральними.

Увага: межі

Формулювання «між… і…» зазвичай означає, що кінці проміжку не входять до розгляду. Якщо питають «від… до… включно» — кінці входять. Завжди перевіряй, чи входить кінець, особливо коли він є цілим числом.

Запис множин за допомогою проміжків ([a; b], (a; b) тощо) — окрема тема, яку розглянемо в юніті «Числові проміжки».

Розгляньмо типові завдання НМТ на цю тему — з покроковим розв'язанням.

Приклад 1. Яке з чисел є ірраціональним?

Варіанти: А) √(1 9/16) Б) √0,49 В) 0,(12) Г) ∛27 Д) √45

Розв'язання: обчислимо кожне число.

• А) √(1 9/16) = √(25/16) = 5/4 — раціональне

• Б) √0,49 = 0,7 — раціональне (скінченний десятковий дріб)

• В) 0,(12) = 12/99 = 4/33 — раціональне (періодичний дріб)

• Г) ∛27 = 3 — раціональне (натуральне)

• Д) √45 — 45 не є точним квадратом (6² = 36, 7² = 49), тому √45 = 3√5 — ірраціональне

Відповідь: Д) √45.

Чому інші варіанти неправильні? А — хоч вираз містить корінь, після обчислення отримуємо 5/4; Б — 0,7, а не 0,7… ; В — періодичний дріб є раціональним; Г — ∛27 = 3, а не ірраціональне.

Приклад 2. Укажіть число, яке є цілим, але не натуральним

Варіанти: А) √36 Б) −√36 В) −2/3 Г) −1,5 Д) −√6

Розв'язання: обчислимо кожне число та перевіримо, чи воно ціле, і чи не натуральне.

• А) √36 = 6 — натуральне (не підходить, бо натуральне)

• Б) −√36 = −6 — ціле, але не натуральне (підходить!)

• В) −2/3 — не ціле, це дріб

• Г) −1,5 — не ціле, це десятковий дріб

• Д) −√6 — ірраціональне (6 не точний квадрат), не ціле

Відповідь: Б) −√36 = −6.

Приклад 3. Скільки натуральних чисел розміщено на координатній прямій між числами −√5 і √40?

Варіанти: А) 9 Б) 8 В) 7 Г) 6 Д) 5

Розв'язання:

1. Оцінюємо −√5: 2² = 4 < 5 < 9 = 3², тому 2 < √5 < 3, отже −3 < −√5 < −2. Тому −√5 ≈ −2,24.

2. Оцінюємо √40: 6² = 36 < 40 < 49 = 7², тому 6 < √40 < 7. Отже √40 ≈ 6,32.

3. Цілі числа між −2,24 і 6,32: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 9 цілих чисел.

4. Але питають про натуральні числа! Натуральні — це 1, 2, 3, 4, 5, 6. Їх 6.

Відповідь: Г) 6.

Чому пастки? Якщо порахувати всі цілі числа (від −2 до 6), отримаєш 9 — це відповідь А. Якщо зарахувати ще й 0, отримаєш 7 — це відповідь В. Завжди читай умову: чи питають про натуральні, чи про цілі.

Приклад 4. Значення якого виразу є раціональним числом?

Варіанти: А) √3 · √12 Б) √3 + √12 В) (1 + √2)² Г) √20 : 2 Д) π/2

Розв'язання: обчислимо кожен вираз.

• А) √3 · √12 = √36 = 6 — раціональне (натуральне)

• Б) √3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√3 — ірраціональне

• В) (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 — ірраціональне

• Г) √20 : 2 = (2√5) : 2 = √5 — ірраціональне

• Д) π/2 — ірраціональне (π ірраціональне, ділене на 2)

Відповідь: А) √3 · √12 = 6.

Чому інші варіанти неправильні? Б — після спрощення залишається 3√3, де √3 ірраціональний; В — після розкриття дужок залишається 2√2; Г — √5 ірраціональний; Д — π ірраціональне.

Ось помилки, які найчастіше роблять учні на НМТ, — та як їх уникнути.

• Уважають ірраціональним будь-яке число зі знаком кореня. Це неправда! √16 = 4, √0,25 = 0,5, √(9/25) = 3/5, ∛8 = 2 — усі вони раціональні. Спершу обчисли значення, потім класифікуй.

• Уважають нескінченний періодичний дріб ірраціональним. 0,(3) = 1/3, 0,1(6) = 1/6 — це раціональні числа. Періодичні дроби завжди раціональні. Неперіодичні (наприклад, 0,1010010001…) — ірраціональні.

• Уважають 0 натуральним числом. В українській математичній традиції N = {1, 2, 3, …}. 0 ∈ Z (цілі), але 0 ∉ N.

• Уважають ціле число не раціональним. Будь-яке ціле можна записати дробом: −4 = −4/1, 0 = 0/1. Тому кожне ціле — раціональне. Найвужча множина для цілого — Z, але воно належить і Q.

• Уважають π раціональним, бо «π = 3,14» або «π = 22/7». 3,14 і 22/7 — лише наближення. Насправді π — нескінченний неперіодичний дріб π = 3,14159265…, тому π — ірраціональне.

• Думають, що сума чи добуток двох ірраціональних чисел завжди ірраціональні. Контрприклад: √2 · √8 = √16 = 4 — раціональне. Або (2 + √3) + (2 − √3) = 4. Завжди обчислюй!

• Лічачи цілі числа між межами, помиляються на 1. Наприклад, кількість цілих від 2 до 5 включно: 2, 3, 4, 5 — 4 числа. Якщо просто відняти 5 − 2 = 3 — помилка. Правильно: 5 − 2 + 1 = 4. І завжди перевіряй, чи входять кінці.

Розуміння видів і множин чисел — це зміст теми 1.1 програми НМТ («розрізняти види чисел і числових проміжків»). У демоваріанті НМТ-2026 до теми 1.1 належать завдання 9 (корені n-го степеня, обчислення) і 17 (значення виразів з модулем і степенями).

Форма завдань

Питання на цю тему зазвичай мають форму вибору однієї відповіді з п'яти (А—Д) і входять до перших 15 завдань тесту. Кожне таке завдання оцінюється в 0 або 1 бал. Приклади формулювань:

• «Яке з чисел є ірраціональним?»

• «Скільки натуральних чисел розміщено на координатній прямій між числами …?»

• «Укажіть число, яке є цілим, але не натуральним.»

• «Значення якого виразу є раціональним числом?»

Довідкові матеріали

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами. У них є таблиця квадратів чисел від 10 до 49. Нею можна оцінювати корені з більших чисел: наприклад, 26² = 676 < 700 < 729 = 27², тому √700 ≈ 26 з лишком. Але означень числових множин (N, Z, Q, R) у довідкових матеріалах немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія

• Спершу обчисли кожен корінь і дріб, потім класифікуй. Не намагайся визначити вид числа «на око», поки не знаєш його точного значення.

• Числа між межами виписуй явно. Не віднімай межі механічно — багато учнів помиляються на одиницю. Краще випиши числа й порахуй.

• Перевір, чи входить межа. Якщо в умові сказано «між 2 і 7», то числа 2 і 7 не входять. Формулювання «від 2 до 7» зазвичай охоплює й кінці; якщо умова неоднозначна, звертай увагу на уточнення «включно» чи «не включаючи».

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Кожне натуральне число є цілим, раціональним і дійсним. 0 — ціле, але не натуральне.

• Раціональне число — це m/n (m ∈ Z, n ∈ N), тобто звичайний дріб, скінченний або нескінченний періодичний десятковий дріб.

• Ірраціональне число — нескінченний неперіодичний десятковий дріб: √2, √3, √5, √7, π, e. Його не можна записати як звичайний дріб.

• √n раціональний лише тоді, коли n — точний квадрат. Вирішує значення, а не запис: √16 = 4 — раціональне, √45 = 3√5 — ірраціональне.

• Раціональне ± ірраціональне — ірраціональне. Раціональне (≠ 0) × ірраціональне — ірраціональне. Дві ірраціональні можуть дати раціональне: √2 · √8 = 4.

• Цілі числа між межами: оціни корені сусідніми точними квадратами, випиши числа явно, не забудь про «+ 1» і перевір, чи питають про натуральні (з 1) чи про цілі.