Напруга і напруженість однорідного поля

Електричне поле називають однорідним, якщо в усіх його точках вектор напруженості однаковий за модулем і напрямом. Найпростіший спосіб створити таке поле — взяти дві паралельні металеві пластини, заряджені різнойменно. Між пластинами, далеко від їхніх країв, поле практично однорідне: лінії напруженості паралельні й розташовані з однаковою густиною. Таку систему називають плоским конденсатором.

Якщо перемістити заряд q уздовж лінії напруженості на відстань d, електричне поле виконає роботу A = qEd. Водночас роботу поля можна виразити через напругу (різницю потенціалів) між двома точками: A = qU. Прирівнюючи ці вирази, отримуємо найважливіше співвідношення для однорідного поля:

$$U=E\cdot d\text{або}E=\frac{U}{d}$$

Тут d — відстань уздовж лінії напруженості, тобто проєкція переміщення на напрям поля. Якщо точки не лежать на одній лінії поля, d дорівнює проєкції відстані між ними на напрям поля. Одиниця напруженості — вольт на метр (В/м); 1 В/м = 1 Н/Кл.

Потенціал в однорідному полі змінюється лінійно вздовж ліній поля. Це означає, що всі точки, які лежать на однаковій відстані від однієї з пластин, мають однаковий потенціал — вони утворюють еквіпотенціальну поверхню.

Приклади застосування формули U = Ed

1. Напруга між пластинами U = 200 В, відстань між ними d = 4 см = 0,04 м. Напруженість поля:

$$E=\frac{U}{d}=\frac{200}{0,04}=5000\text{В/м}$$

1. Дві точки розташовані на відстані 6 см одна від одної під кутом 60° до лінії поля. Проєкція цієї відстані на напрям поля:

$$d=6\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot 0,5=3\text{см}=0,03\text{м}$$

Якщо напруженість поля E = 5000 В/м, то напруга між цими точками U = E·d = 5000·0,03 = 150 В.

Уявімо маленьку заряджену порошинку, яка зависла нерухомо між двома горизонтальними пластинами. На порошинку діють дві сили: сила тяжіння mg, спрямована вниз, і сила електричного поля qE, спрямована вгору. Якщо частинка перебуває в рівновазі, ці сили зрівноважують одна одну:

$$qE=mg$$

Оскільки в однорідному полі E = U/d, умову рівноваги можна записати через напругу між пластинами:

$$q\cdot \frac{U}{d}=m\cdot g$$

Із цього співвідношення можна знайти будь-яку з величин:

• напругу: $$U=\frac{mgd}{q}$$

• заряд: $$q=\frac{mgd}{U}$$

• масу: $$m=\frac{qU}{gd}$$

Важливо, щоб напрям електричного поля відповідав знаку заряду: для додатного заряду сила поля має бути спрямована вгору (E — угору), для від'ємного — униз (E — униз).

Числовий приклад

Порошинка має заряд q = 1,6·10⁻¹⁸ Кл і масу m = 1,6·10⁻¹⁴ кг. Відстань між пластинами d = 1 см = 0,01 м, g = 10 м/с². Знайдемо напруженість поля, за якої порошинка зависне:

$$E=\frac{mg}{q}=\frac{1,6\cdot 10^{-14}\cdot 10}{1,6\cdot 10^{-18}}=10^5\text{В/м}$$

Відповідна напруга між пластинами:

$$U=E\cdot d=10^5\cdot 0,01=1000\text{В}$$

Дослід Міллікена

Саме за таким принципом Роберт Міллікен 1909 року виміряв елементарний електричний заряд. Він спостерігав у мікроскоп за краплинами масла, які зависали між пластинами конденсатора. Регулюючи напругу, він домагався рівноваги краплі, а потім обчислював її заряд за формулою q = mgd/U. Міллікен виявив, що заряди крапель завжди кратні одній і тій самій величині — елементарному заряду e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

Якщо заряджена частинка перебуває в однорідному електричному полі, на неї діє стала сила F = qE. За другим законом Ньютона ця сила надає частинці прискорення:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}$$

Для електронів, протонів та іонів сила тяжіння mg настільки мала порівняно з електричною силою, що її можна знехтувати. Наприклад, для електрона в полі E = 10⁴ В/м електрична сила приблизно в 2·10¹⁴ разів більша за силу тяжіння.

Рух уздовж поля

Коли початкова швидкість частинки напрямлена вздовж ліній поля (або частинка стартує зі стану спокою), рух є рівноприскореним. Для нього справедливі звичні кінематичні формули:

• $$v=v_0+at$$

• $$v^2=v_0^2+2ad$$

• $$d=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$$

Приріст кінетичної енергії частинки дорівнює роботі поля:

$$\Delta E_{\text{к}}=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m{v}_0^2}{2}=qU$$

Зокрема, якщо частинка починає рух зі стану спокою (v₀ = 0) і проходить різницю потенціалів U, її кінцева швидкість:

$$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Приклад: протон під дією поля

Протон (q = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, m = 1,67·10⁻²⁷ кг) пройшов прискорювальну напругу 1000 В зі стану спокою. Його швидкість:

$$v=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\cdot 1000}{1,67\cdot 10^{-27}}}\approx \sqrt{1,92\cdot 10^{11}}\approx 4,4\cdot 10^5\text{м/с}$$

Легша частинка (наприклад, електрон) за тієї самої напруги набуває значно більшої швидкості, оскільки прискорення обернено пропорційне масі.

Гальмування

Якщо початкова швидкість частинки напрямлена проти сили поля (тобто проти напряму E для додатного заряду), частинка гальмує. Вона може зупинитися, а потім почати рух у зворотному напрямі. У цьому випадку робота поля від'ємна: A = ΔEк < 0.

Розглянемо ситуацію, коли заряджена частинка влітає в однорідне електричне поле перпендикулярно до ліній напруженості. Це, наприклад, електронний промінь, що проходить між пластинами конденсатора.

Уздовж осі x (паралельно пластинам) на частинку не діє жодна сила, тому рух рівномірний:

$$x=v_{0}t$$

Упоперек, уздовж осі y (вздовж ліній поля), на частинку діє стала сила F = qE, тому рух рівноприскорений:

$$a=\frac{qE}{m},y=\frac{a{t}^2}{2}$$

Поєднання цих двох рухів дає параболічну траєкторію — так само, як у випадку горизонтального кидка в полі тяжіння.

Відхилення на виході з поля

Нехай довжина пластин (вздовж яких рухається частинка) дорівнює l. Час прольоту через поле:

$$t=\frac{l}{v_0}$$

За цей час частинка відхилиться впоперек на відстань:

$$y=\frac{a{t}^2}{2}=\frac{qE}{2m}\cdot \frac{l^2}{v_0^2}=\frac{qE{l}^2}{2m{v}_0^2}$$

Числовий приклад

Електрон (q = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, m = 9,1·10⁻³¹ кг) влітає в поле E = 2·10³ В/м зі швидкістю v₀ = 10⁷ м/с. Довжина пластин l = 5 см = 0,05 м.

Прискорення:

$$a=\frac{qE}{m}=\frac{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 2\cdot 10^3}{9,1\cdot 10^{-31}}\approx 3,5\cdot 10^{14}{\text{м/с}}^2$$

Час прольоту:

$$t=\frac{0,05}{10^7}=5\cdot 10^{-9}\text{с}$$

Відхилення:

$$y=\frac{3,5\cdot 10^{14}\cdot (5\cdot 10^{-9}{)}^2}{2}\approx 4,4\cdot 10^{-3}\text{м}=4,4\text{мм}$$

Відхилення обернено пропорційне квадрату початкової швидкості й пропорційне відношенню qE/m. Саме на цьому принципі ґрунтується керування електронним променем в електронно-променевій трубці (осцилографі): змінюючи напругу між пластинами, регулюють відхилення променя.

Приклад 1. Напруженість однорідного поля

Напруга між двома паралельними пластинами становить 300 В, а відстань між ними — 6 см. Визнач напруженість однорідного електричного поля між пластинами у кВ/м.

Розв'язання:

Переведемо відстань у метри: d = 6 см = 0,06 м. За формулою E = U/d:

$$E=\frac{300}{0,06}=5000\text{В/м}=5\text{кВ/м}$$

Відповідь: 5.

Типова помилка — не перевести сантиметри в метри. Якщо взяти d = 6 см без переведення, отримаємо E = 300/6 = 50 В/м, що неправильно.

Приклад 2. Рівновага зарядженої порошинки

Порошинка масою 2·10⁻¹² кг зависла нерухомо між двома горизонтальними пластинами. Напруга між пластинами 400 В, відстань між ними 2 см. Визнач заряд порошинки. Відповідь запиши в 10⁻¹⁵ Кл. g = 10 м/с².

Розв'язання:

Переведемо відстань: d = 2 см = 0,02 м. Умова рівноваги: qE = mg, де E = U/d. Отже:

$$q=\frac{mgd}{U}=\frac{2\cdot 10^{-12}\cdot 10\cdot 0,02}{400}=\frac{4\cdot 10^{-13}}{400}=10^{-15}\text{Кл}$$

Відповідь: 1.

Поширена помилка — забути перевести сантиметри в метри або не врахувати, що сила тяжіння діє на порошинку.

Приклад 3. Швидкість електрона після прискорення

Електрон, початкова швидкість якого дорівнює нулю, проходить прискорювальну напругу U. Як зміниться його швидкість на виході з поля, якщо напругу збільшити в 4 рази?

А) збільшиться в 4 рази

Б) збільшиться вдвічі

В) не зміниться

Г) зменшиться вдвічі

Розв'язання:

Кінетична енергія електрона змінюється на величину qU. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, кінцева швидкість v задовольняє:

$$\frac{m{v}^2}{2}=qU$$

Звідси v = √(2qU/m). Швидкість пропорційна √U. Отже, при збільшенні U в 4 рази швидкість збільшується в √4 = 2 рази.

Ключ: Б) збільшиться вдвічі.

Помилка — вважати, що швидкість пропорційна напрузі, а не кореню з напруги.

Приклад 4. Умова параболічного руху

Заряджена частинка влітає в однорідне електричне поле перпендикулярно до ліній напруженості. За якої умови її траєкторія буде параболою?

А) сила, що діє на частинку, стала й перпендикулярна до початкової швидкості

Б) сила, що діє на частинку, змінюється пропорційно часу

В) початкова швидкість дорівнює нулю

Г) сила напрямлена вздовж початкової швидкості

Розв'язання:

Параболічний рух виникає, коли на тіло діє стала сила, перпендикулярна до початкової швидкості. Це аналогічно горизонтальному кидку в полі тяжіння. В однорідному електричному полі сила qE стала, і якщо вона перпендикулярна до v₀, траєкторія — парабола.

Ключ: А) сила, що діє на частинку, стала й перпендикулярна до початкової швидкості.

Помилка — вибрати відповідь В (початкова швидкість дорівнює нулю): у такому разі рух буде прямолінійним, а не параболічним.

• Брати повну відстань між точками замість її проєкції на лінію поля. У формулі U = Ed величина d — це відстань уздовж лінії напруженості. Якщо точки не лежать на одній лінії поля, треба брати проєкцію відстані на напрям поля: d = s·cosα.

• Враховувати силу тяжіння для електрона або не враховувати її для порошинки. Для електронів, протонів та іонів сила тяжіння mg на багато порядків менша за електричну силу qE, тому її можна знехтувати. Для макроскопічних частинок (порошинок, крапель) сила тяжіння суттєва й обов'язково входить в умову рівноваги.

• Плутати напрям сили для додатного й від'ємного заряду. Сила F = qE: для додатного заряду сила збігається з напрямом E, для від'ємного — протилежна. У задачі про завислу частинку напрям E має відповідати знаку заряду.

• Не переводити см у м і кВ у В. Усі величини в формулах мають бути в основних одиницях СІ: метри, вольти, кулони, кілограми. Сантиметри треба ділити на 100, кіловольти — множити на 1000.

• Для руху впоперек поля застосовувати формули рівноприскореного руху до обох координат. Насправді рівноприскореним є лише рух упоперек поля (вздовж ліній E). Уздовж пластин рух рівномірний, оскільки в цьому напрямі сила не діє.

Довідкові матеріали, які надають на НМТ з фізики, містять формулу зв'язку напруженості й напруги для однорідного поля: E = U/d, а також формули для плоского конденсатора. Окремих формул для руху зарядженої частинки в полі в довіднику немає, але сила тяжіння, другий закон Ньютона й формули рівноприскореного руху там є — їх треба поєднати з F = qE та E = U/d.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 тему 3.1 «Основи електростатики» представлено завданнями № 7 (закон Кулона) і № 20 (ємність конденсатора та з'єднання). Програма НМТ вимагає вміти розв'язувати задачі про дію електричного поля на заряд, зокрема про рух зарядженої частинки в однорідному полі.

Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті) оцінюються в 0 або 2 бали. У таких завданнях треба вписати число в указаній одиниці вимірювання. Типовий шлях розв'язання — записати умову рівноваги (qE = mg) або закон збереження енергії (qU = mv²/2) й обчислити невідому величину.

Стратегія: спочатку визнач, чи є поле однорідним (паралельні пластини). Якщо так — застосовуй U = Ed. Для частинки, що зависла, прирівняй qE = mg. Для частинки, що рухається вздовж поля, використай qU = ΔEк. Для частинки, що влітає впоперек, розклади рух на дві складові.

• U = Ed, E = U/d — зв'язок напруги й напруженості в однорідному полі; 1 В/м = 1 Н/Кл.

• Зависла частинка: qE = mg, звідки q = mgd/U, U = mgd/q, m = qU/(gd).

• Рух уздовж поля: a = qE/m, приріст кінетичної енергії qU = mv²/2 − mv₀²/2.

• Рух упоперек поля: параболічна траєкторія; уздовж пластин — рівномірний рух, упоперек — рівноприскорений; відхилення y = qEl²/(2mv₀²).

• Завжди перевіряй одиниці: см → м, кВ → В.