Логарифмічні рівняння та ОДЗ
~15 хв · 8 розділів · 13 тестових запитань
Розв'язуй найпростіші логарифмічні рівняння — за означенням логарифма, прирівнюванням підлогарифмічних виразів і властивостями логарифмів — із обов'язковим урахуванням ОДЗ та відкиданням сторонніх коренів.
Логарифмічним рівнянням називають рівняння, у якому змінна міститься під знаком логарифма або в його основі. Наприклад:
log₃(x − 1) = 2 — змінна x під знаком логарифма
logₓ 9 = 2 — змінна x в основі логарифма
log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5 — сума логарифмів зі змінною під знаком
Перш ніж розв'язувати таке рівняння, згадаймо означення логарифма:
logₐ b = c ⇔ aᶜ = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0
З цього означення випливають три жорсткі умови, які разом називають областю допустимих значень (ОДЗ) логарифмічного рівняння:
кожен підлогарифмічний вираз має бути строго додатним (b > 0)
основа логарифма має бути додатною (a > 0)
основа логарифма не може дорівнювати 1 (a ≠ 1)
Розгляньмо рівняння log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5. Тут два підлогарифмічні вирази: x + 3 і x − 1. Щоб кожен із них був додатним, одночасно мають виконуватись нерівності x + 3 > 0 (тобто x > −3) і x − 1 > 0 (тобто x > 1). Суворим обмеженням є x > 1 — ОДЗ цього рівняння є проміжок (1; +∞).
Чому ОДЗ шукають до перетворень?
Властивості логарифмів змінюють область визначення виразу. Наприклад, сума log₂ x + log₂(x − 2) визначена лише тоді, коли обидва підлогарифмічні вирази додатні: x > 0 і x − 2 > 0, тобто x > 2. Але log₂[x(x − 2)] — логарифм добутку — визначений при x(x − 2) > 0, тобто на проміжках (−∞; 0) і (2; +∞). Якщо спочатку об'єднати, а потім шукати ОДЗ, можна отримати ширшу множину й залишити сторонній корінь. Тому ОДЗ завжди записують для початкового (неспрощеного) рівняння.
Розгляньмо два основні типи найпростіших логарифмічних рівнянь: ті, що розв'язуються за означенням логарифма, і ті, що зводяться до рівності логарифмів з однаковою основою.
Рівняння logₐ f(x) = b
За означенням логарифма:
logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ
Умова f(x) > 0 у такому рівнянні виконується автоматично, бо aᵇ > 0 для будь-якого дійсного b при a > 0. Однак формально ОДЗ залишається: f(x) > 0. Тому після знаходження кореня варто переконатись, що його підстановка дає додатний підлогарифмічний вираз.
Приклади:
log₂(x + 3) = 3 ⇒ x + 3 = 2³ = 8 ⇒ x = 5. Перевірка: 5 + 3 = 8 > 0 — корінь прийнятний.
log₅(2x − 1) = 0 ⇒ 2x − 1 = 5⁰ = 1 ⇒ x = 1. Перевірка: 2·1 − 1 = 1 > 0.
lg x = −2 ⇒ x = 10⁻² = 0,01. Перевірка: 0,01 > 0.
Рівняння logₐ f(x) = logₐ g(x)
Якщо логарифми мають однакову основу, то рівність логарифмів можлива лише тоді, коли рівні їхні підлогарифмічні вирази:
logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x) і f(x) > 0
Умова f(x) > 0 автоматично забезпечує й g(x) > 0, адже f(x) = g(x). Недостатньо просто прирівняти вирази — потрібно ще перевірити додатність хоча б одного з них.
Розгляньмо приклад: log₃(x² − 4) = log₃(3x). Прирівнюємо підлогарифмічні вирази: x² − 4 = 3x ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 або x = −1. Перевіряємо умову: для x = 4 маємо x² − 4 = 12 > 0 — корінь прийнятний; для x = −1 маємо x² − 4 = −3 < 0 — обидва підлогарифмічні вирази дорівнюють −3, логарифм від від'ємного числа не існує, тому x = −1 сторонній корінь. Відповідь: 4.
Як записати число у вигляді логарифма
Будь-яке дійсне число можна подати як логарифм із довільною основою. Це допомагає звести рівняння до рівності логарифмів:
Число | Запис логарифмом | Приклад застосування |
|---|---|---|
1 | logₐ a | log₂ x = 1 ⇒ x = 2¹ = 2 |
0 | logₐ 1 | log₅(3x) = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 1/3 |
2 | log₃ 9 | log₃(x + 1) = 2 ⇒ x + 1 = 9 ⇒ x = 8 |
Змінна в основі логарифма
Рівняння logₓ 16 = 2 розв'язують за тим самим означенням: x² = 16, звідки x = 4 або x = −4. Однак основа логарифма має бути додатною й не дорівнювати 1. Від'ємне значення x = −4 не задовольняє умову x > 0, а x = 4 задовольняє обидві умови (4 > 0 і 4 ≠ 1). Відповідь: 4.
На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами, у яких наведено основні властивості логарифмів. Розгляньмо, як ці властивості застосовують у рівняннях.
Основні формули
Властивість | Формула | Примітка |
|---|---|---|
Сума логарифмів | logₐ f + logₐ g = logₐ(f · g) | f > 0, g > 0 |
Різниця логарифмів | logₐ f − logₐ g = logₐ(f / g) | f > 0, g > 0 |
Множник перед логарифмом | k · logₐ f = logₐ fᵏ | f > 0 |
Основа-степінь | log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐ b | a > 0, a ≠ 1, k ≠ 0 |
Дуже важливо: ці формули застосовують ПІСЛЯ того, як записано ОДЗ початкового рівняння. Об'єднання логарифмів розширює область визначення (як ми бачили в першому розділі), тому корені, знайдені після перетворень, обов'язково перевіряють за початковою ОДЗ.
Сума логарифмів — приклад
Розв'яжемо рівняння log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5.
ОДЗ: x + 3 > 0 і x − 1 > 0 ⇒ x > −3 і x > 1 ⇒ x > 1.
За властивістю суми: log₂[(x + 3)(x − 1)] = 5.
За означенням логарифма: (x + 3)(x − 1) = 2⁵ = 32.
Розкриваємо дужки: x² + 2x − 3 = 32 ⇒ x² + 2x − 35 = 0.
Розв'язуємо квадратне рівняння: x = 5 або x = −7.
Перевіряємо за ОДЗ: x = 5 задовольняє x > 1; x = −7 не задовольняє. Відповідь: 5.
Різниця логарифмів — приклад
Розв'яжемо lg(x + 9) − lg x = 1.
ОДЗ: x + 9 > 0 і x > 0 ⇒ x > 0.
За властивістю різниці: lg[(x + 9) / x] = 1.
За означенням десяткового логарифма: (x + 9) / x = 10¹ = 10.
Розв'язуємо рівняння: x + 9 = 10x ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.
Перевіряємо ОДЗ: x = 1 > 0 — корінь прийнятний. Відповідь: 1.
Обережно з множником: k · logₐ x і logₐ xᵏ
Це дуже часте джерело помилок. Розгляньмо два рівняння:
log₃ x² = 2 ⇒ x² = 3² = 9 ⇒ x = ±3. ОДЗ: x² > 0, тобто x ≠ 0 — обидва корені прийнятні.
2 log₃ x = 2 ⇒ log₃ x = 1 ⇒ x = 3. ОДЗ: x > 0 — лише x = 3.
Бачиш? Формально log₃ x² = 2 log₃ x, але для x < 0 ліва частина визначена, а права — ні. Коректний перехід: log₃ x² = 2 log₃ |x|. Якщо в рівнянні є logₐ x², не поспішай виносити множник — перевір, чи не губиш від'ємний корінь.
Зведення до спільної основи (основа-степінь)
Іноді логарифми в рівнянні мають різні основи, але одна з них є степенем іншої. Формула з довідкових матеріалів дозволяє змінити основу:
log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐ b
Приклад: log₄ x + log₂ x = 6. Зауваж, що 4 = 2², тому log₄ x = (1/2) · log₂ x. Підставляємо: (1/2) · log₂ x + log₂ x = 6 ⇒ (3/2) · log₂ x = 6 ⇒ log₂ x = 4 ⇒ x = 2⁴ = 16. ОДЗ: x > 0 — виконується.
Приклад 1. Рівняння за означенням
Завдання: Розв'яжіть рівняння log₃(2x − 5) = 2.
Розв'язання:
ОДЗ: 2x − 5 > 0 ⇒ x > 2,5.
За означенням логарифма: 2x − 5 = 3² = 9.
Розв'язуємо: 2x = 14 ⇒ x = 7.
Перевіряємо ОДЗ: 7 > 2,5 — корінь прийнятний.
Відповідь: 7.
Чому інші варіанти хибні:
5,5 — помилка: 2x − 5 = 3 · 2 (множать, а не підносять до степеня).
6,5 — помилка: 2x − 5 = 2³ (плутають, яке число підносити).
3,5 — помилка: 2x − 5 = 2 (вважають, що 3² = 2).
2 — випадкове число, не пов'язане з розв'язком.
Приклад 2. Сума логарифмів
Завдання: Розв'яжіть рівняння log₂(x + 1) + log₂(x + 3) = 3. Якщо коренів кілька, у відповідь запишіть їх суму.
Розв'язання:
ОДЗ: x + 1 > 0 і x + 3 > 0 ⇒ x > −1.
За властивістю суми: log₂[(x + 1)(x + 3)] = 3.
За означенням: (x + 1)(x + 3) = 2³ = 8.
Розкриваємо дужки: x² + 4x + 3 = 8 ⇒ x² + 4x − 5 = 0.
Розв'язуємо: x = 1 або x = −5.
Перевірка ОДЗ: x = 1 > −1 — прийнятний; x = −5 < −1 — сторонній.
Корінь один, тому сума коренів дорівнює самому кореню, тобто 1.
Відповідь: 1.
Поширена пастка: дехто знаходить обидва корені (−5 і 1) і записує їхню суму −4. Але −5 не входить в ОДЗ, тому єдиний корінь — 1, і сума коренів дорівнює 1.
Приклад 3. Рівність логарифмів
Завдання: Розв'яжіть рівняння lg(x² − 2x) = lg(3x − 6).
Розв'язання:
ОДЗ: x² − 2x > 0 і 3x − 6 > 0.
Прирівнюємо підлогарифмічні вирази: x² − 2x = 3x − 6 ⇒ x² − 5x + 6 = 0.
Розв'язуємо квадратне рівняння: x = 2 або x = 3.
Перевіряємо за ОДЗ: при x = 2 маємо 3·2 − 6 = 0 — lg 0 не існує; при x = 3 маємо 9 − 6 = 3 > 0.
Відповідь: 3.
Чому інші варіанти хибні:
«2; 3» — пастка: 2 не задовольняє ОДЗ, хоча формально задовольняє рівність x² − 2x = 3x − 6.
«2» — сам по собі не є коренем, бо lg 0 не існує.
«−2; −3» — корені з протилежним знаком, не пов'язані з рівнянням.
«коренів немає» — хибно, бо x = 3 є коренем.
Приклад 4. Змінна в основі
Завдання: Розв'яжіть рівняння logₓ(2x + 3) = 2.
Розв'язання:
ОДЗ: x > 0, x ≠ 1 (основа) і 2x + 3 > 0 (підлогарифмічний вираз).
За означенням логарифма: x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0.
Розв'язуємо: x = 3 або x = −1.
Перевіряємо ОДЗ: x = 3 > 0 і 3 ≠ 1 — прийнятний; x = −1 < 0 — сторонній.
Відповідь: 3.
Поширена пастка: знайти суму обох коренів 3 + (−1) = 2 і записати 2. Але −1 не задовольняє умову x > 0, тому залишається лише 3.
Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування логарифмічних рівнянь. Уважно прочитай кожну.
Помилка 1. Рівняння logₐ f = b розв'язують як f = a · b або f = bᵃ. Наприклад, у рівнянні log₂(x + 3) = 3 помилково пишуть x + 3 = 2 · 3 = 6 або x + 3 = 3² = 9. Правильно: f = aᵇ, тобто x + 3 = 2³ = 8.
Помилка 2. Не записують ОДЗ і залишають корінь, за якого підлогарифмічний вираз від'ємний або дорівнює нулю. Так можна втратити бал: серед варіантів відповіді може бути сторонній корінь, що не належить ОДЗ.
Помилка 3. Вважають, що рівність f(x) = g(x) сама по собі гарантує допустимість кореня. Але f і g можуть бути рівні й від'ємні — як у прикладі log₃(x² − 4) = log₃(3x), де x = −1 дає −3 = −3, але логарифм від −3 не існує.
Помилка 4. Записують logₐ f + logₐ g як logₐ(f + g), плутаючи властивість суми логарифмів із логарифмом суми. Правильно: logₐ f + logₐ g = logₐ(f · g).
Помилка 5. Не перевіряють змінну в основі на x > 0 і x ≠ 1. Наприклад, у рівнянні logₓ 16 = 2 знаходять x = ±4 і залишають обидва корені, хоча x = −4 не може бути основою логарифма.
Помилка 6. Замінюють logₐ x² на 2 logₐ x без модуля й гублять від'ємний корінь. Коректний запис: logₐ x² = 2 logₐ |x|. Якщо в рівнянні є logₐ x², то x може бути як додатним, так і від'ємним, а 2 logₐ x — лише додатним.
У демоваріанті НМТ-2026 з математики найпростіше логарифмічне рівняння перевіряють у завданні 4. Це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д), яке оцінюють у 0 або 1 бал.
Програма НМТ (тема 2.1, рівень стандарту) передбачає:
найпростіші логарифмічні рівняння та рівняння, що зводяться до них;
означення й властивості логарифма (тема 1.3 програми).
У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є основна логарифмічна тотожність, властивості логарифмів і формула переходу для основи виду aᵏ. У довідці наведено й умови існування логарифма (a > 0, a ≠ 1, b > 0), але записати ОДЗ рівняння й перевірити корені треба самостійно.
Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали) — це одне число, яке записують десятковим дробом. У вибірці тестів 2023–2024 років серед рівнянь з параметром у завданні 22 трапляються й логарифмічні (профільний рівень).
Корисна стратегія: якщо маєш сумнів, підстав кожен варіант відповіді в підлогарифмічні вирази початкового рівняння. Нульове чи від'ємне значення відразу відсіює варіант — це дозволяє швидко звузити вибір.
Чому підлогарифмічний вираз має бути додатним, а не просто невід'ємним?
Логарифм визначений лише для строго додатних чисел. Вираз logₐ 0 не існує, бо жодне число aᶜ не дорівнює нулю при a > 0. А logₐ b для b < 0 не існує в дійсних числах, оскільки aᶜ завжди додатне. Тому умова b > 0, а не b ≥ 0 або просто b ≠ 0.
Коли ОДЗ можна не шукати, а лише перевірити корені?
Фактично пошук ОДЗ і перевірка коренів — це два способи досягти одного: уникнути сторонніх коренів. Якщо рівняння містить лише один логарифм (logₐ f(x) = b), то можна спочатку знайти корінь, а потім підставити його в f(x) і переконатися, що f(x) > 0. Однак для складніших рівнянь (сума, різниця, різні основи) рекомендують спочатку записати ОДЗ, бо після перетворень легко забути, які саме умови перевіряти.
На НМТ найбезпечніша тактика: записати ОДЗ на початку розв'язання, розв'язати рівняння, потім перевірити кожен корінь за ОДЗ.
Чи можна замінити logₐ x² на 2 logₐ x?
Не завжди. Формула k · logₐ f = logₐ fᵏ вимагає f > 0. Вираз x² додатний при будь-якому x ≠ 0, тому logₐ x² визначений для всіх x ≠ 0. Але 2 logₐ x визначений лише для x > 0. Якщо ти заміниш logₐ x² на 2 logₐ x, то звузиш ОДЗ і втратиш від'ємні корені. Коректний перехід: logₐ x² = 2 logₐ |x|. Використовуй модуль, щоб зберегти всі корені.
Що робити, якщо логарифми в рівнянні мають різні основи?
Спочатку перевір, чи одна основа є степенем іншої. Якщо так — скористайся формулою log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐ b (вона є в довідкових матеріалах). Якщо ні — доведеться звести логарифми до однієї основи за формулою переходу: logₐ b = (log_c b) / (log_c a). Така заміна часто призводить до дробово-раціональних рівнянь, які іноді розв'язують заміною змінної — цей випадок вивчають в окремому уроці.
Навіщо перевіряти основу, якщо в ній стоїть змінна?
Логарифм logₐ b визначений лише для додатної основи, що не дорівнює 1. Якщо основа містить змінну, то після розв'язання рівняння одержані числа можуть не задовольняти ці умови. Наприклад, у рівнянні logₓ(2x + 3) = 2 знаходимо x = 3 і x = −1. Значення x = −1 не може бути основою (основа від'ємна), тому його відкидають. Так само якби отримали x = 1, то його б відкинули через a ≠ 1. Завжди записуй дві умови: x > 0 і x ≠ 1.
ОДЗ логарифмічного рівняння: кожен підлогарифмічний вираз > 0; основа > 0 і основа ≠ 1.
logₐ f = b ⇔ f = aᵇ. Умова f > 0 виконується автоматично, але перевірку зроби.
logₐ f = logₐ g ⇔ f = g і f > 0. Рівність підлогарифмічних виразів — не гарантія, що вони додатні.
Суму логарифмів об'єднуй у логарифм добутку, різницю — у логарифм частки. Але записуй ОДЗ ДО об'єднання — властивості логарифмів розширюють область визначення.
Кожен знайдений корінь перевіряй за ОДЗ початкового рівняння. Сторонній корінь відкидай.
Якщо змінна стоїть в основі логарифма, додатково вимагай x > 0 і x ≠ 1.
Не плутай logₐ x² і 2 logₐ x: перший визначений при x ≠ 0, другий — лише при x > 0. Коректний перехід: logₐ x² = 2 logₐ |x|.