Ізопроцеси і газові закони

Ізотермічним називають процес зміни стану газу, який відбувається за сталої температури. Слово «ізотермічний» походить від грецьких «ізос» — однаковий і «термос» — тепло. Для газу сталої маси в такому процесі добуток тиску на об'єм лишається незмінним:

$$pV=\text{const}$$

або для двох станів:

$$p_1{V}_1=p_2{V}_2$$

Це співвідношення називають законом Бойля–Маріотта. Його відкрив англійський учений Роберт Бойль 1662 року, а за 14 років, 1676-го, незалежно від нього — французький фізик Едм Маріотт. Тому закон має подвійну назву.

Як працює закон

Закон Бойля–Маріотта стверджує: якщо температура газу не змінюється, то зменшення об'єму веде до пропорційного збільшення тиску, і навпаки. Наприклад, стиснувши об'єм удвічі, ти теж подвоюєш тиск. Математично це випливає з рівняння стану ідеального газу: за T = const і m = const добуток pV справді сталий.

Числовий приклад

Візьмемо $2$ л газу за тиску $100$ кПа. Стиснемо його ізотермічно до $0,5$ л. За законом Бойля–Маріотта:

$$p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}=\frac{100\cdot 2}{0,5}=400\text{кПа}$$

Тиск зріс у 4 рази — саме в стільки разів зменшився об'єм.

Приклад із життя: бульбашка повітря

Уяви бульбашку повітря, що піднімається з глибини озера. На глибині тиск води великий, тому бульбашка має малий об'єм. Коли вона спливає до поверхні, зовнішній тиск зменшується, і бульбашка розширюється. Якщо температура води майже однакова на всій глибині (а це так для повільного спливання), процес можна вважати ізотермічним.

Умова ізотермічності

Ізотермічний процес можливий лише тоді, коли газ встигає обмінятися теплотою з навколишнім середовищем і температура вирівнюється. Тому стискання або розширення має бути повільним. Наприклад, повільне натискання на поршень шприца дає змогу газу всередині лишатися за кімнатної температури. Якщо ж стискати різко, газ нагрівається — це вже не ізотермічний, а адіабатний процес.

Ізобарний процес: закон Гей-Люссака

Ізобарним називають процес, що відбувається за сталого тиску. Для газу сталої маси об'єм прямо пропорційний абсолютній температурі:

$$\frac{V}{T}=\text{const}$$

або для двох станів:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Це закон Гей-Люссака, відкритий на початку XIX століття французьким фізиком Жозефом Луї Гей-Люссаком. Якщо нагрівати газ за сталого тиску, його об'єм зростає; охолодження — зменшує об'єм. Саме тому повітряна кулька, винесена на мороз, стискається й ніби «здмухується».

Ізохорний процес: закон Шарля

Ізохорним називають процес, що відбувається за сталого об'єму. Для газу сталої маси тиск прямо пропорційний абсолютній температурі:

$$\frac{p}{T}=\text{const}$$

або для двох станів:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Це закон Шарля, відкритий французьким фізиком Жаком Шарлем наприкінці XVIII століття. Тиск у закритому балоні прямо пропорційний температурі: нагріваєш балон — тиск зростає, охолоджуєш — падає.

Температура — тільки в кельвінах

Найпоширеніша помилка — підставляти температуру в градусах Цельсія у формули ізопроцесів. Закони Гей-Люссака й Шарля справджуються лише для абсолютної температури (Кельвіна). Перехід простий:

$$T(\text{К})=t{(}^{\circ }\text{C})+273$$

Наприклад, нагрівання від $27^{\circ }\text{C}$ до $54^{\circ }\text{C}$ — це збільшення T від $300$ К до $327$ К, тобто всього в $327/300=1,09$ раза, а не вдвічі. Якби ти підставив $27$ і $54$ у формулу, отримав би хибний результат.

Числові приклади

Приклад 1 (ізохорний). Закритий балон містить газ за $7^{\circ }\text{C}$ ($280$ К) під тиском $200$ кПа. Балон нагріли до $147^{\circ }\text{C}$ ($420$ К). Тиск після нагрівання:

$$p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}=200\cdot \frac{420}{280}=300\text{кПа}$$

Тиск збільшився в $1,5$ раза.

Приклад 2 (ізобарний). $3$ л повітря за $27^{\circ }\text{C}$ ($300$ К) нагріли ізобарно до $127^{\circ }\text{C}$ ($400$ К). Кінцевий об'єм:

$$V_2=V_1\cdot \frac{T_2}{T_1}=3\cdot \frac{400}{300}=4\text{л}$$

У повсякденні ми часто стикаємося з явищами, які можна описати газовими законами. Однак важливо вміти визначити, який саме параметр залишається сталим, і чи справді маса газу не змінюється.

Накачування шини

Коли ти накачуєш велосипедну шину насосом, маса повітря всередині шини зростає — ти додаєш нові порції газу. Тому це не ізопроцес сталої маси, і застосовувати закони Бойля–Маріотта чи Шарля до всього повітря в шині не можна. Однак до окремої порції повітря, яку вміщує насос, закон Бойля–Маріотта цілком застосовний: поки ти стискаєш повітря в насосі, його маса стала, а температура майже не змінюється.

Нагрівання закритого балона

Закритий балон (наприклад, металевий балон із газом) має сталий об'єм. Якщо його нагрівати, маса газу всередині не змінюється, а об'єм жорстко зафіксований. Отже, відбувається ізохорний процес, і тиск зростає згідно із законом Шарля. Саме тому аерозольні балончики не можна нагрівати або кидати у вогонь — тиск усередині може зрости настільки, що балон вибухне.

Повітряна куля з відкритим отвором

Повітряна кулька, яку нагрівають, має отвір унизу, сполучений з атмосферою. Тому тиск усередині кульки завжди дорівнює атмосферному — процес ізобарний. Однак маса повітря в кульці змінюється: під час нагрівання частина повітря виходить назовні, а під час охолодження — заходить усередину. Через це застосовувати закон Гей-Люссака (V/T = const) до всього повітря в кульці не можна — він вимагає сталої маси.

Охолодження закритої пляшки

Якщо закриту пластикову пляшку з повітрям поставити в холодильник, об'єм пляшки майже не змінюється (V = const), маса повітря всередині стала. Охолодження веде до зменшення тиску — це ізохорний процес. Саме тому пляшка може дещо «втягнутися» всередину: зовнішній атмосферний тиск стає більшим за внутрішній.

Газ під рухомим поршнем

У циліндрі з рухомим поршнем, на який діє сталий зовнішній тиск (наприклад, атмосферний), газ нагрівають. Поршень вільно рухається, тому тиск газу залишається сталим — це ізобарний процес. Під час нагрівання поршень піднімається, об'єм збільшується згідно із законом Гей-Люссака. Маса газу в циліндрі не змінюється (він герметичний), тому закон працює.

Закони Бойля–Маріотта, Гей-Люссака й Шарля — це окремі випадки об'єднаного газового закону, який, своєю чергою, випливає з рівняння стану ідеального газу. Усі вони мають спільну обов'язкову умову: маса газу має лишатися сталою. Якщо ця умова порушується, застосовувати ці закони не можна.

Зміна маси газу

Коли газ витікає з посудини (наприклад, через нещільність у клапані) або, навпаки, надходить у неї, маса газу змінюється. У таких випадках не можна користуватися й об'єднаним газовим законом:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

бо він справджується лише для сталої маси. Натомість рівняння Менделєєва–Клапейрона записують окремо для кожного стану, підставляючи масу газу в цьому стані: $$pV=\frac{m}{M}RT$$

Приклад: якщо відкрити вентиль балона й частина газу вийде назовні, маса в балоні зменшиться. Закон Шарля (p/T = const) тут не працює, навіть якщо об'єм балона сталий.

Реальний газ і відхилення

Закони ідеального газу добре описують поведінку реальних газів, поки ті розріджені й далекі від конденсації. За високих тисків або низьких температур, близьких до температури зрідження, відхилення стають значними. Наприклад, вуглекислий газ за кімнатної температури й тиску $50$ атм уже помітно відхиляється від закону Бойля–Маріотта.

Насичена пара

Насичена пара, що перебуває в контакті зі своєю рідиною, не підпорядковується закону Бойля–Маріотта. Якщо стискати таку пару, частина її конденсується в рідину, тому маса пари зменшується. Тиск при цьому лишається сталим (дорівнює тиску насиченої пари за даної температури). Отже, закон pV = const не виконується.

Швидкі (адіабатні) процеси

Закони ізопроцесів описують поведінку газу в стані термодинамічної рівноваги. Якщо процес відбувається дуже швидко, газ не встигає обмінятися теплотою з середовищем — такий процес називають адіабатним. Наприклад, різке стискання газу в дизельному двигуні нагріває його до температури займання пального. Це не ізотермічний процес, і закон Бойля–Маріотта тут не діє.

Приклад 1. Ізохорне нагрівання

Завдання (коротка відповідь). Газ у закритому балоні перебуває під тиском $200$ кПа за температури $27^{\circ }\text{C}$. Балон нагріли до $127^{\circ }\text{C}$. Визнач тиск газу після нагрівання (у кПа, округли до цілих).

Розв'язання. Балон закритий, отже об'єм V = const, маса m = const. Це ізохорний процес — закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Переводимо температуру в кельвіни:

$$T_1=27+273=300\text{К}$$

$$T_2=127+273=400\text{К}$$

Виражаємо кінцевий тиск:

$$p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}=200\cdot \frac{400}{300}=200\cdot \frac{4}{3}\approx 266,67\text{кПа}$$

Округлюємо до цілих: $267$ кПа.

Відповідь: $267$.

Поширена помилка: підставити $27$ і $127$ у формулу без переведення в кельвіни. Тоді p₂ = 200·127/27 ≈ 941 кПа — це неправильно, бо закон Шарля вимагає абсолютної температури.

Приклад 2. Ізотермічне стискання

Завдання (коротка відповідь). $6$ л газу за тиску $100$ кПа ізотермічно стиснули до $2$ л. Знайди кінцевий тиск у кПа.

Розв'язання. Процес ізотермічний (T = const, m = const) — закон Бойля–Маріотта:

$$p_1{V}_1=p_2{V}_2$$

$$p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}=\frac{100\cdot 6}{2}=300\text{кПа}$$

Відповідь: $300$.

Типове неправильне міркування: вважати, що тиск зменшиться, бо об'єм зменшився. Насправді за ізотермічного стискання тиск зростає.

Приклад 3. Вибір правильної відповіді

Завдання (одна відповідь з чотирьох). Газ у гнучкій кульці з вільним об'ємом нагрівають. Який параметр газу залишається сталим?

Варіанти:

• тиск

• об'єм

• температура

• густина

Розв'язання. Кулька гнучка, отвір вільний — газ сполучений з атмосферою. Тому тиск усередині завжди дорівнює атмосферному. Процес ізобарний, стала величина — тиск.

Відповідь: тиск.

Чому інші варіанти неправильні:

• об'єм — змінюється, кулька розширюється під час нагрівання;

• температура — навпаки, змінюється (газ нагрівають);

• густина — змінюється, бо маса повітря в кульці не стала (частина виходить), а об'єм зростає.

Приклад 4. Ізобарне нагрівання

Завдання (коротка відповідь). $4$ л газу за температури $250$ К нагріли за сталого тиску до $400$ К. Знайди кінцевий об'єм газу (у літрах).

Розв'язання. Тиск і маса сталі — ізобарний процес, закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=V_1\cdot \frac{T_2}{T_1}=4\cdot \frac{400}{250}=4\cdot 1,6=6,4\text{л}$$

Відповідь: $6,4$.

Зверни увагу: температури вже дано в кельвінах, тому додаткове перетворення не потрібне.

• Застосовувати газовий закон, коли газ витікає з посудини. Закони Бойля–Маріотта, Гей-Люссака й Шарля вимагають сталої маси газу. Якщо маса змінюється, записуй рівняння Менделєєва–Клапейрона pV = (m/M)RT окремо для кожного стану; об'єднаний газовий закон тут теж не діє.

• Підставляти температуру в градусах Цельсія у формули ізопроцесів. Усі газові закони працюють з абсолютною температурою (Кельвін). Завжди перетворюй: T(K) = t(°C) + 273.

• Плутати умови сталості: помилково вважати, що за ізобарного процесу сталий об'єм. Запам'ятай: ізобарний — сталий тиск (p = const), ізохорний — сталий об'єм (V = const), ізотермічний — стала температура (T = const).

• Вважати, що подвоєння температури в градусах Цельсія подвоює тиск чи об'єм. Наприклад, нагрівання від 20 °C до 40 °C — це T від 293 К до 313 К, тобто збільшення всього в 1,07 раза, а не вдвічі.

• Застосовувати закон Бойля–Маріотта до насиченої пари. Під час стискання насиченої пари частина її конденсується, маса пари зменшується, а тиск лишається сталим — закон pV = const не виконується.

У довідкових матеріалах НМТ з фізики наведено об'єднаний газовий закон:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

Однак програма НМТ (тема 2.1 «Основи молекулярно-кінетичної теорії») вимагає знати назви й формулювання окремих газових законів — Бойля–Маріотта, Гей-Люссака, Шарля — та вміти пояснювати відповідні досліди. Ти маєш не просто підставляти числа в формулу, а розуміти, який саме закон застосовувати в кожній ситуації.

Завдання на ізопроцеси можуть траплятися як у форматі вибору однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14, 1 бал), так і у форматі короткої відповіді (№ 17–22, 0 або 2 бали). У завданнях із короткою відповіддю потрібно вписати число в указаній одиниці вимірювання.

Стратегія розв'язування:

• Уважно прочитай умову й визнач, який параметр залишається сталим (T, p або V) і чи стала маса газу.

• Запиши об'єднаний газовий закон і скороти сталі величини. Наприклад, якщо V = const, то V₁ = V₂, і з рівняння p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ отримуєш p₁/T₁ = p₂/T₂ — закон Шарля.

• Переведи температуру в кельвіни, якщо вона дана в градусах Цельсія.

• Підстав числові значення й обери або обчисли відповідь.

• Перевір, чи відповідає результат здоровому глузду: наприклад, за ізотермічного стискання тиск зростає, а за ізохорного нагрівання — теж зростає.

• Ізотермічний процес (T = const): pV = const — закон Бойля–Маріотта.

• Ізобарний процес (p = const): V/T = const — закон Гей-Люссака.

• Ізохорний процес (V = const): p/T = const — закон Шарля.

• Температуру в усіх формулах ізопроцесів підставляй лише в кельвінах: T(K) = t(°C) + 273.

• Закони справджуються тільки для газу сталої маси. Якщо газ витікає або надходить, використовуй рівняння Менделєєва–Клапейрона.

• Сталу величину визначає умова задачі: закритий балон — V (ізохорний), вільний поршень або відкрита посудина — p (ізобарний), повільне стискання з теплообміном — T (ізотермічний).

• Реальні гази добре підкоряються законам, поки вони розріджені й далекі від конденсації. Насичена пара та швидкі (адіабатні) процеси — винятки.