Графічні завдання НМТ з фізики

Будь-яке графічне завдання на НМТ починається з того, що ти маєш прочитати сам графік. Найпоширеніша помилка — одразу дивитися на лінію, не подивившись на осі. Запам'ятай алгоритм: спершу осі, потім масштаб, потім — що саме шукаєш.

Читаємо підписи осей

На кожній осі графіка обов'язково вказано:

• яка фізична величина відкладається (x, v, p, T, t, I, U тощо);

• одиниця вимірювання (м, с, м/с, Па, °C, А, В);

• можливий множник 10ⁿ (наприклад, ×10⁻³ м або 10⁵ Па) або префікс (кПа, мм, г).

Якщо на осі написано «p, ×10⁵ Па», то кожне число на цій осі треба помножити на 10⁵, щоб отримати значення в паскалях. Якщо написано «V, л», то об'єм подано в літрах, і для переведення в СІ треба помножити на 10⁻³ м³/л.

Ціна поділки

Ціна поділки — це значення величини, що відповідає відстані між двома сусідніми позначками шкали. Щоб її знайти:

1. Візьми два сусідніх підписаних значення на осі (наприклад, 2 і 4).

2. Знайди різницю: 4 − 2 = 2.

3. Поділи цю різницю на кількість проміжків між цими позначками (наприклад, 10 малих поділок).

4. Ціна поділки = 2 / 10 = 0,2 у тих самих одиницях.

Значення будь-якої точки на графіку визначають як кількість проміжків від нуля до цієї точки, помножену на ціну поділки. Якщо на осі є множник 10ⁿ, результат додатково множать на нього.

Різні масштаби на осях

Нахил графіка й площа під ним залежать від масштабу обох осей. Якщо вертикальна вісь у кілопаскалях (кПа), а горизонтальна — у літрах (л), то один «квадратик» на графіку має площу 1 кПа · 1 л. Переведення в СІ:

1 кПа = 10³ Па; 1 л = 10⁻³ м³; отже, 1 кПа · 1 л = 10³ Па · 10⁻³ м³ = 1 Дж.

Це дуже зручно: площа в клітинках, виражена в кПа·л, чисельно дорівнює роботі в джоулях. Але якщо одиниці інші (наприклад, МПа і м³), перевіряй переведення окремо.

Що саме шукаємо?

Залежно від запитання завдання, тобі може знадобитися:

• значення в точці — просто зчитати координату;

• різниця між точками — відняти значення;

• нахил графіка — поділити зміну по вертикалі на зміну по горизонталі (Δy/Δx);

• площа під графіком — обчислити геометричну площу фігури.

Від того, що саме шукаєш, залежить, яку формулу застосувати і як обробляти одиниці.

Нахил графіка (тангенс кута нахилу) і площа під графіком — це два головні інструменти, якими ти визначатимеш фізичні величини з графіків на НМТ. Важливо не плутати їх: нахил дає миттєву або середню швидкість зміни однієї величини відносно іншої, а площа дає накопичену величину.

Нахил графіка

Нахил — це відношення зміни величини на вертикальній осі до зміни величини на горизонтальній осі на прямолінійній ділянці:

$$\text{нахил}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Ось найважливіші відповідності «графік → фізична величина через нахил»:

На прямолінійній ділянці нахил визначають за двома точками: обирають дві точки на прямій, що далеко розташовані одна від одної (щоб зменшити похибку зчитування), і обчислюють Δy/Δx. Для криволінійного графіка нахил у конкретній точці дорівнює нахилу дотичної, проведеної до графіка в цій точці.

Площа під графіком

Площа фігури, обмеженої графіком і віссю x (або між графіком і віссю на проміжку), дає накопичену фізичну величину. Основні відповідності:

Площу обчислюють за геометричними формулами. Якщо графік — пряма лінія, площа під ним — це площа трапеції або трикутника. Якщо графік складний, його розбивають на прості фігури: прямокутники, трикутники, трапеції.

Наприклад, для графіка v(t) у вигляді прямої, що йде від (0; 0) до (5 с; 10 м/с), шлях дорівнює площі трикутника: s = ½ · 5 с · 10 м/с = 25 м.

Діаграма p–V — це графік, на якому по вертикалі відкладено тиск p, а по горизонталі — об'єм V. Вона показує, як змінюється стан газу під час термодинамічних процесів. Робота газу на такій діаграмі має просту геометричну інтерпретацію.

Робота газу на окремій ділянці

Якщо газ розширюється або стискається за сталого тиску (ізобарний процес), то робота газу дорівнює:

$$A=p\cdot \Delta V$$

де p — тиск, ΔV — зміна об'єму. На діаграмі p–V це площа прямокутника під графіком. Якщо об'єм не змінюється (ізохорний процес, V = const), то ΔV = 0 і робота газу дорівнює нулю.

Знак роботи:

• розширення (ΔV > 0) — газ виконує роботу над зовнішніми тілами, A > 0;

• стиснення (ΔV < 0) — зовнішні тіла виконують роботу над газом, A < 0.

Робота за цикл

Цикл — це замкнена послідовність процесів, після якої газ повертається в початковий стан. Робота газу за цикл дорівнює площі фігури, обмеженої циклом на діаграмі p–V. Знак роботи визначають за напрямом обходу циклу:

• за годинниковою стрілкою — A > 0 (газ виконує додатну роботу);

• проти годинникової стрілки — A < 0 (над газом виконують роботу).

Приклад обчислення

Розгляньмо цикл у вигляді прямокутника. Тиск змінюється від p₁ = 100 кПа до p₂ = 300 кПа, об'єм — від V₁ = 2 л до V₂ = 5 л. Обхід циклу — за годинниковою стрілкою.

Різниця тисків: Δp = 300 − 100 = 200 кПа = 200 · 10³ Па. Зміна об'єму: ΔV = 5 − 2 = 3 л = 3 · 10⁻³ м³.

Робота за цикл: A = Δp · ΔV = 200 · 10³ Па · 3 · 10⁻³ м³ = 600 Дж.

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою, A = +600 Дж.

Температура і внутрішня енергія

Температура газу пропорційна добутку pV (з рівняння стану ідеального газу pV = νRT). На ділянці циклу, де добуток pV зростає, температура підвищується, а внутрішня енергія газу ΔU > 0. Де pV зменшується — температура спадає, ΔU < 0. Це допомагає визначити, на яких ділянках газ отримує чи віддає тепло.

Графік нагрівання t(τ) показує, як змінюється температура речовини з часом, коли її нагрівають джерелом сталої потужності. Такий графік часто трапляється в завданнях НМТ на тему фазових переходів.

Як читати графік t(τ)

На графіку t(τ) є два типи ділянок:

• похилі ділянки — нагрівання або охолодження однієї фази (твердої, рідкої чи газоподібної). Температура змінюється, а речовина залишається в одному агрегатному стані.

• горизонтальні ділянки — фазові переходи: плавлення (кристалічна речовина → рідина) або кипіння (рідина → пара). Температура не змінюється, хоча тепло продовжує надходити — уся енергія витрачається на зміну агрегатного стану.

Нахил і теплоємність

На похилій ділянці кількість теплоти, отримана речовиною, дорівнює:

$$Q=P\cdot \tau =cm\Delta t$$

де P — потужність нагрівника, τ — час, c — питома теплоємність, m — маса, Δt — зміна температури. Звідси нахил графіка (Δt/Δτ) дорівнює:

$$\frac{\Delta t}{\Delta \tau }=\frac{P}{cm}$$

Отже, нахил похилої ділянки обернено пропорційний добутку cm. Якщо маси речовин однакові й потужність нагрівників однакова, то чим менша питома теплоємність, тим крутіший підйом (більший нахил). І навпаки: чим більша теплоємність, тим пологіша ділянка.

Тривалість фазового переходу

Горизонтальна ділянка триває доти, доки вся речовина не змінить фазу. Кількість теплоти, потрібна для плавлення: Q = λm, де λ — питома теплота плавлення. Для кипіння: Q = rm, де r — питома теплота пароутворення. Оскільки Q = P·τ, то тривалість горизонтальної ділянки пропорційна λm або rm.

Загальний алгоритм читання графіків

Графіки I(U), Φ(t), Eк(ν) та інші читають за тим самим алгоритмом:

1. Осі — визнач, які величини відкладено і в яких одиницях.

2. Нахил або площа — виріши, що саме дає графік: нахил (похідна) чи площу (інтеграл).

3. Формула — запиши відповідну фізичну формулу.

4. Підстановка — зчитай числові значення з графіка й підстав у формулу, не забувши про одиниці.

Наприклад, для графіка I(U) нахил дає 1/R. Якщо через точку (2 В; 0,5 А) і (6 В; 1,5 А) провести пряму, то ΔI/ΔU = (1,5 − 0,5) / (6 − 2) = 1/4 = 0,25 (А/В), отже R = 1 / 0,25 = 4 Ом.

У цьому розділі розберемо чотири типові графічні завдання, які можуть трапитися на НМТ. Кожне розв'язуємо покроково.

Приклад 1. Швидкість за графіком x(t)

Завдання: На графіку залежності координати тіла від часу x(t) зображено пряму лінію, яка проходить через точки (2 с; 4 м) і (6 с; 12 м). Визначте швидкість руху тіла.

Розв'язання: Швидкість — це нахил графіка x(t). Оскільки графік — пряма лінія, швидкість стала. Беремо дві точки:

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{12\text{м}-4\text{м}}{6\text{с}-2\text{с}}=\frac{8\text{м}}{4\text{с}}=2\text{м/с}$$

Відповідь: 2 м/с.

Чому інші варіанти хибні:

• 0,5 м/с — якщо помилково взяти обернене відношення Δt/Δx.

• 3 м/с — якщо поділити координату 12 м на інтервал часу 4 с (12/4 = 3), забувши відняти початкову координату 4 м.

• 4 м/с — якщо взяти різницю координат 8 м і поділити на 2 с (неправильний інтервал часу).

Приклад 2. Шлях за графіком v(t)

Завдання: На графіку залежності швидкості від часу v(t) швидкість лінійно зростає від 0 до 10 м/с за 5 с. Визначте шлях, пройдений тілом за ці 5 с. Відповідь запишіть у метрах.

Розв'язання: Шлях дорівнює площі під графіком v(t). Графік — пряма від (0; 0) до (5 с; 10 м/с). Фігура під ним — прямокутний трикутник.

$$s=\frac{1}{2}\cdot \text{основа}\cdot \text{висота}=\frac{1}{2}\cdot 5\text{с}\cdot 10\text{м/с}=25\text{м}$$

Відповідь: 25.

Приклад 3. Робота газу за цикл на діаграмі p–V

Завдання: Цикл, який виконує ідеальний газ, у координатах p–V має вигляд прямокутника. Тиск змінюється від 100 кПа до 300 кПа, об'єм — від 2 л до 5 л. Обхід циклу — за годинниковою стрілкою. Визначте роботу газу за цикл у джоулях.

Розв'язання: Робота за цикл дорівнює площі прямокутника, обмеженого циклом. Переводимо в СІ:

Δp = 300 − 100 = 200 кПа = 200 · 10³ Па; ΔV = 5 − 2 = 3 л = 3 · 10⁻³ м³.

$$A=\Delta p\cdot \Delta V=200\cdot 10^3\text{Па}\cdot 3\cdot 10^{-3}{\text{м}}^3=600\text{Дж}$$

Обхід за годинниковою стрілкою — робота додатна.

Відповідь: 600.

Приклад 4. Порівняння теплоємностей за графіком t(τ)

Завдання: Дві рідини однакової маси нагрівають однаковими нагрівниками сталої потужності. На графіку t(τ) пряма для рідини 1 удвічі крутіша, ніж для рідини 2. Порівняйте питомі теплоємності рідин.

Розв'язання: Нахил графіка t(τ) дорівнює P/(cm). Оскільки P і m однакові, нахил обернено пропорційний c. Якщо нахил рідини 1 удвічі більший, то її питома теплоємність удвічі менша.

Відповідь: у рідини 1 питома теплоємність удвічі менша, ніж у рідини 2.

Чому інші варіанти хибні:

• «Удвічі більша» — плутанина: більший нахил означає меншу теплоємність, а не більшу.

• «Однакові» — ігнорує різницю в нахилах.

• «За графіком порівняти неможливо» — хибно, бо за однакових P і m нахил дає пряме порівняння c.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учасники НМТ під час розв'язування графічних завдань. Уважно прочитай їх, щоб не втратити бали через неуважність.

• Зчитувати значення з графіка без урахування ціни поділки.

• Навіть якщо ти знаєш формулу, неправильне зчитування координат дасть хибну відповідь. Завжди спочатку визначай ціну поділки на кожній осі.

• Ігнорувати множник 10ⁿ на осі.

• Якщо на осі написано «×10³» або «10⁵ Па», а ти цього не помітив, числове значення буде в 1000 або 100 000 разів меншим чи більшим. Перевіряй усі підписи на осях.

• Визначати нахил за однією точкою, а не за двома.

• Нахил — це відношення Δy/Δx, тобто потрібні дві точки. Не можна просто поділити координату однієї точки на іншу.

• Плутати площу (шлях, робота) з нахилом (швидкість, прискорення).

• За графіком v(t) шлях дає площа під графіком, а прискорення — нахил. За графіком x(t) швидкість дає нахил. За графіком p(V) роботу дає площа. Запам'ятай: нахил — похідна, площа — інтеграл.

• Обчислювати площу в одиницях осей, не перевівши в СІ.

• Якщо тиск у кПа, а об'єм у літрах, площа виходить у кПа·л. Щоб отримати джоулі, треба помножити на 10³ (кПа → Па) і на 10⁻³ (л → м³), тобто площа в кПа·л чисельно дорівнює роботі в джоулях. Але в інших одиницях перевіряй переведення окремо.

• Не враховувати знак роботи за напрямом обходу циклу.

• За годинниковою стрілкою — A > 0, проти — A < 0. Якщо в завданні питають «яку роботу виконав газ», а не «роботу над газом», знак має значення.

У демоваріанті 2026 року графічні завдання були під номерами 5, 10 і 15:

• x(t) для коливань — завдання № 10;

• t(τ) для фазових переходів — завдання № 5;

• p(V) для ізопроцесів — завдання № 15.

Програма НМТ вимагає аналізувати графіки в кожному блоці:

• кінематика — x(t), v(t);

• термодинаміка — p(V), p(T), V(T);

• електрика — I(U), Φ(t), I(t);

• коливання — x(t) для гармонічних коливань;

• кванти — Eк(ν) для фотоефекту.

Форми графічних завдань на НМТ:

• вибір однієї відповіді з чотирьох (1 бал);

• логічні пари (0–3 бали);

• коротка відповідь — число (0 або 2 бали).

Зверни увагу: вигляд графіків ізопроцесів, коливань і діода в довідкових матеріалах НМТ не подано. Ти маєш знати їхній вигляд із програми.

Стратегія розв'язування графічного завдання:

1. Осі — визнач величини, одиниці, множники.

2. Масштаб — обчисли ціну поділки на кожній осі.

3. Нахил чи площа — виріши, що дає графік.

4. Формула — запиши відповідну фізичну залежність.

5. Одиниці — перевір, чи всі величини в СІ.

• Починай з осей, одиниць і множників. Спочатку визнач, які величини відкладено, в яких одиницях, чи є множник 10ⁿ. Потім обчисли ціну поділки.

• Нахил — похідна величина, площа — накопичена величина. Нахил дає швидкість зміни (v, a, 1/R, h), площа дає накопичений результат (шлях, роботу, заряд). Не плутай їх.

• Робота газу за цикл — площа циклу на діаграмі p–V. Знак роботи: за годинниковою стрілкою A > 0, проти — A < 0.

• Горизонтальна ділянка t(τ) — фазовий перехід (плавлення або кипіння). Нахил похилої ділянки обернено пропорційний питомій теплоємності.