Доцентрове прискорення
~15 хв · 8 розділів · 9 тестових запитань
Обчислюєш доцентрове прискорення a = v²/R = ω²R = 4π²R/T² тіла, що рівномірно рухається по колу, визначаєш його напрям і міркуєш, як воно зміниться під час зміни швидкості, радіуса чи періоду обертання.
Ти вже знаєш, що під час рівномірного руху по колу модуль лінійної швидкості тіла не змінюється. Однак це не означає, що тіло рухається без прискорення. Прискорення в фізиці характеризує будь-яку зміну вектора швидкості — не лише зміну його модуля (числового значення), а й зміну напряму.
Уяви камінь, який ти розкручуєш на нитці. Щомиті його швидкість напрямлена по дотичній до кола в тій точці, де він перебуває. Наступної миті він уже в іншій точці, і дотична проведена вже в іншому напрямі. Отже, напрям вектора швидкості безупинно змінюється. А там, де є зміна швидкості, є й прискорення.
Куди напрямлене це прискорення?
Прискорення, яке виникає під час рівномірного руху по колу, називають доцентровим. Його назва точно описує його напрям: воно завжди напрямлене вздовж радіуса до центра кола. У будь-якій точці траєкторії вектор доцентрового прискорення a⃗ перпендикулярний до вектора лінійної швидкості v⃗. Це означає, що a⃗ ⟂ v⃗: прискорення змінює лише напрям швидкості, але не впливає на її модуль.
Важливо: напрям доцентрового прискорення теж змінюється разом із рухом тіла — воно завжди «дивиться» в центр кола. Тому рівномірний рух по колу не є рівноприскореним: при рівноприскореному русі вектор прискорення сталий за модулем і напрямом, а тут напрям прискорення змінюється щомиті.
Наочний доказ того, що під час руху по колу швидкість напрямлена по дотичній, — це обрив нитки. Якщо камінь, який обертався на нитці, зривається, він летить не по радіусу, а по дотичній до кола в точці обриву. Саме в тому напрямі був напрямлений вектор його швидкості в останню мить, коли нитка ще тримала камінь.
Модуль доцентрового прискорення можна обчислити через лінійну швидкість, кутову швидкість, період або частоту обертання. Усі формули дають те саме значення — вибирай ту, яка зручніша за умовою задачі.
Основні формули
Формула | Через яку величину | Коли зручно застосовувати |
|---|---|---|
a = v² / R | лінійна швидкість v, радіус R | Дано v і R |
a = ω²R | кутова швидкість ω, радіус R | Дано ω і R; або точки одного диска (ω стала) |
a = ωv | кутова ω і лінійна v швидкості | Дано ω і v |
a = 4π²R / T² | період T, радіус R | Дано T і R |
a = 4π²ν²R | частота ν, радіус R | Дано ν і R |
Одиниця вимірювання доцентрового прискорення — метр на секунду в квадраті (м/с²). Перевірити формулу a = v²/R можна за одиницями: (м/с)² : м = м²/с² : м = м/с².
Приклад 1: автомобіль на повороті
Автомобіль рухається по заокругленню дороги радіусом 50 м зі швидкістю 36 км/год. Знайдемо його доцентрове прискорення.
Спочатку переведемо швидкість у метри за секунду: 36 км/год = 36 · 1000 / 3600 = 10 м/с. Тоді a = v² / R = 10² / 50 = 100 / 50 = 2 м/с².
Приклад 2: тіло на нитці (π² ≈ 10)
Тіло рівномірно обертається по колу радіусом 0,5 м з періодом 1 с. Знайдемо доцентрове прискорення, узявши π² ≈ 10.
Використаємо формулу через період: a = 4π²R / T² = 4 · 10 · 0,5 / 1² = 20 / 1 = 20 м/с².
Напрям прискорення: приклад колеса огляду
Уяви кабінку колеса огляду, яке рівномірно обертається. У найнижчій точці траєкторії доцентрове прискорення кабінки напрямлене вертикально вгору — до центра колеса. У найвищій точці — вертикально вниз, теж до центра. Це ілюструє головне правило: доцентрове прискорення завжди напрямлене до центра кола, незалежно від того, в якій точці траєкторії перебуває тіло.
На НМТ трапляються завдання формату «як зміниться / у скільки разів зміниться величина, якщо…». Такий самий підхід застосовують і до доцентрового прискорення. Щоб відповісти, треба зрозуміти, яка величина залишається сталою, і застосувати пропорцію. Розгляньмо всі типові випадки.
Сталий радіус R: a пропорційне v²
Якщо радіус кола не змінюється, то a = v² / R, тобто a ∝ v². Це означає: у скільки разів збільшилась швидкість, у стільки ж разів у квадраті збільшилось прискорення. Наприклад, швидкість зросла вдвічі — прискорення зросло в 2² = 4 рази. Швидкість зросла втричі — прискорення зросло в 9 разів.
Стала лінійна швидкість v: a обернено пропорційне R
Якщо швидкість тіла не змінюється, а змінюється радіус кола, то a = v² / R, тобто a ∝ 1/R. Радіус удвічі більший — прискорення вдвічі менше. Радіус утричі менший — прискорення втричі більше. Саме так відбувається на повороті дороги: що крутіший поворот (менший радіус), то більше доцентрове прискорення потрібне, щоб утримати автомобіль на траєкторії.
Стала кутова швидкість ω: a пропорційне R
Для точок одного твердого диска (або колеса, що обертається як ціле) кутова швидкість ω однакова для всіх точок. Тоді a = ω²R, тобто a ∝ R. Точка на ободі має вдвічі більше доцентрове прискорення, ніж точка посередині радіуса. Точка, що вдвічі ближча до центра, має вдвічі менше прискорення.
Сталий радіус R: a обернено пропорційне T²
Якщо радіус не змінюється, а змінюється період обертання, то a = 4π²R / T², тобто a ∝ 1/T². Період удвічі менший — прискорення вчетверо більше. Період утричі більший — прискорення в 9 разів менше.
Шківи, з'єднані пасом: однакова v на ободах
Коли два шківи з'єднані пасом, лінійна швидкість точок на ободах обох шківів однакова (пас не ковзає). Тоді для ободів a₁ / a₂ = R₂ / R₁. На меншому шківі доцентрове прискорення точок обода більше, на більшому — менше.
Одночасні зміни кількох величин
Іноді в задачі змінюють одразу дві величини. Наприклад: швидкість тіла збільшили вдвічі, а радіус кола — учетверо. Підставимо в формулу: a = (2v)² / (4R) = 4v² / (4R) = v² / R. Прискорення не змінилося! Загальний підхід: запиши нове прискорення через старі величини й спрости.
Приклад 1. Зміна швидкості за сталого радіуса
Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Швидкість тіла, яке рівномірно рухається по колу, збільшили вдвічі, а радіус кола не змінювали. Як змінилося доцентрове прискорення тіла?
Розв'язання. Радіус R не змінюється, тому a = v² / R. Початкове прискорення a₁ = v² / R. Після збільшення швидкості вдвічі v₂ = 2v, тому a₂ = (2v)² / R = 4v² / R = 4a₁. Прискорення збільшилось у 4 рази.
Відповідь: збільшиться в 4 рази.
Чому інші варіанти неправильні: «збільшиться в 2 рази» — поширена помилка: забувають, що швидкість у формулі в квадраті; «зменшиться в 4 рази» — плутають збільшення і зменшення; «не зміниться» — ігнорують залежність прискорення від швидкості.
Приклад 2. Автомобіль на повороті
Завдання (коротка відповідь). Автомобіль проходить поворот радіусом 100 м зі швидкістю 72 км/год. Знайди його доцентрове прискорення в м/с².
Розв'язання. Переведемо швидкість у м/с: 72 км/год = 72 · 1000 / 3600 = 20 м/с. За формулою a = v² / R = 20² / 100 = 400 / 100 = 4 м/с².
Відповідь: 4.
Приклад 3. Точка обода колеса
Завдання (коротка відповідь). Точка обода колеса радіусом 0,4 м робить 5 обертів за 2 с. Знайди доцентрове прискорення точки в м/с², узявши π² = 10.
Розв'язання. Знайдемо частоту обертання: ν = N / t = 5 / 2 = 2,5 об/с (Гц). Використаємо формулу a = 4π²ν²R = 4 · 10 · (2,5)² · 0,4 = 4 · 10 · 6,25 · 0,4 = 40 · 2,5 = 100 м/с².
Відповідь: 100.
Приклад 4. Напрям прискорення кабінки колеса огляду
Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Колесо огляду рівномірно обертається. Куди напрямлене доцентрове прискорення кабінки в найнижчій точці її траєкторії?
Розв'язання. Доцентрове прискорення завжди напрямлене до центра кола. У найнижчій точці центр колеса міститься над кабінкою, тому прискорення напрямлене вгору.
Відповідь: угору, до центра колеса.
Чому інші варіанти неправильні: «униз» — плутають з напрямом сили тяжіння; «горизонтально по дотичній» — так напрямлена швидкість, а не прискорення; «прискорення дорівнює нулю» — помилково вважають, що раз модуль швидкості сталий, то прискорення немає.
Вважати рівномірний рух по колу рухом без прискорення. Насправді прискорення є, бо змінюється напрям вектора швидкості, хоча модуль швидкості сталий.
Показувати доцентрове прискорення вздовж швидкості, по дотичній. Правильно: доцентрове прискорення завжди напрямлене вздовж радіуса до центра кола, перпендикулярно до швидкості.
Забувати підносити швидкість до квадрата: під час подвоєння v прискорення зростає в 4, а не в 2 рази. Формула a = v²/R, тому залежність квадратична.
Застосовувати «a обернено пропорційне R» до точок одного диска. Для точок одного диска кутова швидкість ω стала, тому a = ω²R — прискорення пропорційне R, а не обернено пропорційне.
Підставляти частоту ν замість кутової швидкості ω у формулу a = ω²R. Частота ν = 1/T, а кутова швидкість ω = 2π/T = 2πν. Не плутай ці величини.
Підставляти діаметр замість радіуса або швидкість у км/год без переведення в м/с. Завжди перевіряй: R — це радіус (половина діаметра), а швидкість має бути в м/с.
Формула доцентрового прискорення є в довідкових матеріалах НМТ-2026 разом з формулами лінійної й кутової швидкостей. Тобто тобі не треба пам'ятати її напам'ять — достатньо вміти нею користуватися.
У демоваріанті НМТ-2026 задача № 18 з короткою відповіддю (0 або 2 бали) перевіряла доцентрове прискорення під час руху супутника по колу. У таких задачах значення π² = 10 дають в умові, щоб спростити обчислення.
Запитання типу «як зміниться / у скільки разів» подають у формі з вибором однієї відповіді з чотирьох (завдання № 1–14, 1 бал). У демоваріанті 2026 так побудовано завдання № 3, 7, 8.
Стратегія: Спершу з'ясуй, яка величина залишається сталою (v, ω чи R), і лише тоді застосовуй пропорцію. Якщо стала R — a ∝ v². Якщо стала v — a ∝ 1/R. Якщо стала ω — a ∝ R. Якщо змінюються дві величини, підстав нові значення в формулу й спрости.
Якщо модуль швидкості не змінюється, звідки береться прискорення?
Прискорення — це міра зміни вектора швидкості, а не лише його модуля. Під час рівномірного руху по колу модуль швидкості справді сталий, але напрям швидкості змінюється щомиті. Оскільки вектор швидкості змінюється, існує прискорення. Його називають доцентровим, і воно напрямлене до центра кола.
Чому для точок диска прискорення зростає з радіусом, а на повороті дороги — зменшується?
Тому що в цих випадках стала різна величина. Для точок одного диска кутова швидкість ω однакова, тому a = ω²R — прискорення пропорційне R. Для автомобіля на повороті, якщо швидкість v однакова, то a = v²/R — прискорення обернено пропорційне R. Отже, залежність від радіуса протилежна залежно від того, яка величина стала.
Яку формулу доцентрового прискорення вибрати?
Вибирай ту формулу, в якій більшість величин уже дано в умові. Якщо дано лінійну швидкість v і радіус R — бери a = v²/R. Якщо дано кутову швидкість ω і радіус R — бери a = ω²R. Якщо дано період T і радіус R — бери a = 4π²R/T². Якщо дано частоту ν і радіус R — бери a = 4π²ν²R. Усі формули дають той самий результат.
Чому рівномірний рух по колу не називають рівноприскореним?
Рівноприскореним називають рух, у якому вектор прискорення сталий за модулем і напрямом. Під час рівномірного руху по колу модуль доцентрового прискорення сталий, але його напрям безупинно змінюється — він завжди напрямлений до центра кола, а центр щоразу в іншому напрямі відносно тіла. Тому цей рух не є рівноприскореним.
Навіщо в задачах дають π² = 10?
Точне значення π² ≈ 9,8696. Щоб спростити усні обчислення на НМТ, у довідкових матеріалах або в умові задачі зазначають π² = 10. Це дає похибку менш ніж 1,5 %, що цілком прийнятно для тестових завдань. Завжди використовуй те значення, яке дано в умові.
Рівномірний рух по колу — рух з прискоренням, бо змінюється напрям швидкості.
Доцентрове прискорення: a = v²/R = ω²R = 4π²R/T², напрямлене до центра кола.
Вектор доцентрового прискорення перпендикулярний до вектора швидкості: a⃗ ⟂ v⃗. Модуль швидкості залишається сталим.
Сталий радіус R: a пропорційне v². Стала швидкість v: a обернено пропорційне R. Стала кутова швидкість ω: a пропорційне R.
Значення π² ≈ 10 спрощує обчислення — використовуй його, якщо воно дано в умові.