Десяткові дроби й перетворення звичайного дробу в десятковий

Десятковий дріб — це інший спосіб запису звичайного дробу, знаменник якого дорівнює 10, 100, 1 000 і т. д. Наприклад, дріб 7/10 записують як 0,7, дріб 205/100 — як 2,05. Число перед комою — ціла частина, після коми — дробова.

Розряди після коми

Перший знак після коми — десяті, другий — соті, третій — тисячні, далі — десятитисячні тощо. У дробі 0,7 цифра 7 стоїть у розряді десятих; у дробі 0,07 цифра 7 — у сотих; у дробі 0,007 — у тисячних. Кількість знаків після коми визначає знаменник: один знак — десята частина, два знаки — сота, три — тисячна.

Нулі в кінці й на початку дробової частини

Нулі в кінці десяткового дробу можна дописувати або відкидати — число від цього не змінюється. Тому 0,5 = 0,50 = 0,500. Це стане в пригоді, коли треба вирівняти кількість знаків після коми. Натомість нулі між комою й першою значущою цифрою змінюють число: 0,05 ≠ 0,5, адже 0,05 — це 5 сотих (5/100), а 0,5 — 5 десятих (5/10).

Як перетворити десятковий дріб у звичайний

Щоб записати десятковий дріб у вигляді звичайного:

1. Запиши всі цифри дробу без коми в чисельник.

2. У знаменник постав 10ⁿ, де n — кількість знаків після коми.

3. Скороти отриманий дріб, якщо можна.

Розгляньмо кілька прикладів:

• 0,375 — три знаки після коми, отже, знаменник 1 000. Чисельник 375. Маємо 375/1 000 = 3/8 (скорочуємо на 125).

• 1,25 — два знаки після коми, знаменник 100. Ціла частина 1, дробова 25. Маємо 125/100 = 5/4 (скорочуємо на 25).

• 2,05 — два знаки після коми, знаменник 100. 205/100 = 41/20 (скорочуємо на 5).

• 0,04 — два знаки після коми, знаменник 100. 4/100 = 1/25.

Порівняння десяткових дробів

Десяткові дроби порівнюють порозрядно, починаючи з найвищого розряду. Якщо кількість знаків після коми різна, спочатку вирівнюють їх, дописуючи нулі праворуч. Наприклад, порівняймо 0,7 і 0,65. Вирівнюємо: 0,70 і 0,65. Сім десятих більше за шість десятих, тому 0,7 > 0,65. Ще приклад: 0,125 < 0,13, бо 0,125 має одну десяту, а 0,130 — теж одну десяту, але 3 соті більші за 2 соті.

Перетворити звичайний дріб у десятковий можна двома способами: поділити чисельник на знаменник або домножити знаменник до степеня 10.

Спосіб 1: ділення чисельника на знаменник

Поділи чисельник на знаменник «куточком» (у стовпчик). Цей спосіб універсальний — він підходить для будь-якого дробу.

• 3/8 = 3 : 8 = 0,375 — ділення дає три знаки після коми.

• 1/3 = 1 : 3 = 0,333… — трійки повторюються без кінця, тому записують 0,(3).

• 5/6 = 5 : 6 = 0,8333… — записують 0,8(3).

Спосіб 2: домноження знаменника до 10ⁿ

Якщо знаменник містить лише множники 2 і 5, його можна домножити до 10, 100, 1 000 тощо. Чисельник домножують на те саме число.

• 7/25 — знаменник 25 = 5 · 5. Домножуємо до 100 (множимо на 4): 7/25 = 28/100 = 0,28.

• 3/8 — знаменник 8 = 2³. Домножуємо до 1 000 (множимо на 125): 3/8 = 375/1 000 = 0,375.

• 7/40 — знаменник 40 = 2³ · 5. Домножуємо до 1 000 (множимо на 25): 7/40 = 175/1 000 = 0,175.

Критерій скінченності десяткового дробу

Не всякий звичайний дріб можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу. Критерій такий:

Нескоротний звичайний дріб дорівнює скінченному десятковому дробу тоді й лише тоді, коли його знаменник розкладається лише на прості множники 2 і 5.

Якщо в розкладі знаменника є будь-який інший простий множник (3, 7, 11 тощо), десятковий дріб буде нескінченним періодичним.

Спершу скороти дріб! Знаменник 21/30 містить множник 3, але після скорочення 21/30 = 7/10 = 0,7 — скінченний дріб. Так само 9/75 = 3/25 = 0,12. Застосовуй критерій тільки до нескоротного дробу.

Нескінченний періодичний дріб

Коли ділення чисельника на знаменник не закінчується, одна або кілька цифр починають повторюватися. Цю повторювану групу цифр називають періодом і записують у дужках.

• 1/3 = 0,(3) — період складається з однієї цифри 3.

• 5/6 = 0,8(3) — перед періодом є одна цифра 8 (це передперіод).

• 2/11 = 0,(18) — період складається з двох цифр: 18.

• 1/7 = 0,(142857) — період із шести цифр.

Запам'ятай: кожен звичайний дріб є або скінченним, або нескінченним періодичним десятковим дробом. Неперіодичних нескінченних дробів серед звичайних не буває.

Перетворення періодичного дробу у звичайний (профільний рівень)

Програма НМТ відносить це перетворення до профільного рівня (позначка «П»). Однак варто знати алгоритм для чистого періодичного дробу (без передперіоду):

1. Познач дріб через x.

2. Помнож x на 10ᵏ, де k — кількість цифр у періоді.

3. Відніми від отриманого рівняння початкове: 10ᵏ · x − x = число (період).

4. Розв'яжи рівняння й скороти дріб.

Приклади:

• 0,(3): x = 0,(3), 10x = 3,(3). 10x − x = 3 → 9x = 3 → x = 3/9 = 1/3.

• 0,(27): x = 0,(27), 100x = 27,(27). 100x − x = 27 → 99x = 27 → x = 27/99 = 3/11.

• 0,(5): x = 0,(5), 10x = 5,(5). 10x − x = 5 → 9x = 5 → x = 5/9.

Додавання й віднімання

Додавати й віднімати десяткові дроби треба «стовпчиком», розташовуючи коми одну під одною. Якщо кількість знаків після коми різна, її вирівнюють, дописуючи нулі праворуч до коротшого дробу.

• 12,5 − 3,78 — вирівнюємо: 12,50 − 3,78 = 8,72.

• 7,3 + 0,54 — вирівнюємо: 7,30 + 0,54 = 7,84.

• 0,125 + 0,8 — вирівнюємо: 0,125 + 0,800 = 0,925.

Найпоширеніша помилка: вирівняти числа за останньою цифрою, а не за комою. Пам'ятай: кома під комою!

Множення

Множити десяткові дроби найпростіше, тимчасово ігноруючи коми:

1. Перемнож числа як натуральні (без ком).

2. Підрахуй загальну кількість знаків після коми в обох множниках разом.

3. Відокрем цю кількість знаків комою в добутку, рухаючись справа наліво. Якщо цифр не вистачає, допиши нулі ліворуч.

• 0,25 · 1,4 — множимо 25 · 14 = 350. У першому множнику 2 знаки, у другому 1 — разом 3. Відокремлюємо три знаки: 0,350 = 0,35.

• 0,3 · 0,3 — множимо 3 · 3 = 9. У кожному множнику по 1 знаку — разом 2. 0,09 (а не 0,9!).

• 0,05 · 0,4 — множимо 5 · 4 = 20. Разом 3 знаки: 0,020 = 0,02.

• 1,2 · 0,5 = 0,6 — множимо 12 · 5 = 60, разом 2 знаки.

Множення й ділення на 10, 100, 1 000

Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1 000, перенеси кому праворуч на стільки знаків, скільки нулів у множнику. Щоб поділити — перенеси кому ліворуч.

• 3,7 · 100 = 370 (кома змістилася на два знаки праворуч).

• 3,7 : 100 = 0,037 (кома змістилася на два знаки ліворуч).

• 0,25 · 10 = 2,5.

• 452,8 : 1 000 = 0,4528.

Корисне співвідношення: множення на 0,1 — те саме, що ділення на 10; множення на 0,01 — ділення на 100. Наприклад, 5 · 0,1 = 0,5 (5 : 10).

Ділення на десятковий дріб

Ділити на десятковий дріб зручно, перетворивши дільник на натуральне число:

1. Перенеси кому в дільнику праворуч стільки разів, скільки потрібно, щоб дільник став натуральним числом.

2. На стільки ж знаків перенеси кому в діленому.

3. Виконай ділення як звичайне ділення натуральних чисел.

• 4,68 : 0,12 — переносимо кому на 2 знаки в обох числах: 468 : 12 = 39.

• 1,5 : 0,003 — переносимо кому на 3 знаки: 1 500 : 3 = 500.

• 0,84 : 0,021 — переносимо кому на 3 знаки: 840 : 21 = 40.

• 0,36 : 0,4 — переносимо кому на 1 знак: 3,6 : 4 = 0,9.

У багатьох задачах вираз містить і звичайні, і десяткові дроби. Щоб уникнути плутанини, зводь їх до одного виду.

Як обирати вид

Якщо всі знаменники звичайних дробів у виразі розкладаються лише на множники 2 і 5, зручно перейти до десяткових дробів. Якщо ні — перетворюй десяткові дроби у звичайні.

• 0,6 + 1/3 — тут 1/3 нескінченний, тому переводимо десятковий у звичайний: 0,6 = 3/5. 3/5 + 1/3 = 9/15 + 5/15 = 14/15.

• 0,6 · 5/12 — 0,6 = 3/5. 3/5 · 5/12 = 15/60 = 1/4 = 0,25.

• 0,75 + 1/8 — обидва можна подати десятковими: 0,75 + 0,125 = 0,875.

Відповідності, які варто знати

Найпоширеніші пари звичайних і десяткових дробів варто вивчити — це значно прискорить обчислення на НМТ:

Як записувати коротку відповідь НМТ (завдання 19–22)

У завданнях 19–22 з короткою відповіддю результат можна вводити лише десятковим дробом. Звичайний дріб у поле відповіді система не прийме.

• 3/8 → у відповідь пишемо 0,375.

• 2 1/4 = 9/4 → у відповідь пишемо 2,25.

• −7/20 → у відповідь пишемо −0,35 (знак «мінус» ставимо перед першою цифрою).

• −3/8 → у відповідь пишемо −0,375.

Якщо після обчислень отримав нескінченний періодичний дріб — перевір обчислення й умову задачі. Точно записати таке число десятковим дробом неможливо. Можливо, ти помилився, або в умові вимагають округлення до певного розряду — тоді округли.

Застосування в задачах на ціни й відсотки

Десяткові дроби є основою практичних розрахунків. На НМТ вони трапляються, зокрема, в текстових задачах на ціни й відсотки.

• Відсотки: 12 % = 12/100 = 0,12; 5 % = 0,05; 150 % = 1,5.

• Ціна за кілограм: 3 кг яблук по 42,5 грн = 3 · 42,5 = 127,5 грн.

• Вартість трьох упаковок: 249,9 грн · 3 = 749,7 грн.

• Знижка 20 % на товар за 350 грн: 350 · 0,2 = 70 грн знижка, нова ціна 280 грн.

Розв'яжемо кілька типових завдань, які можуть трапитися на НМТ. Кожен приклад супроводжується покроковим поясненням і аналізом типових помилок.

Приклад 1. Скінченний десятковий дріб

Умова: «Який із дробів можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу?»

Варіанти: А) 5/12; Б) 7/30; В) 4/15; Г) 2/9; Д) 9/75.

Розв'язання. Спершу скорочуємо кожен дріб, де це можливо, і розкладаємо знаменник на прості множники:

• 5/12 — 12 = 2² · 3. Множник 3 (не 2 і не 5) → нескінченний.

• 7/30 — 30 = 2 · 3 · 5. Множник 3 → нескінченний.

• 4/15 — 15 = 3 · 5. Множник 3 → нескінченний.

• 2/9 — 9 = 3². Множник 3 → нескінченний.

• 9/75 — скорочуємо на 3: 9/75 = 3/25. 25 = 5². Лише множник 5 → скінченний. 3/25 = 0,12.

Відповідь: Д) 9/75.

Пастка: учень бачить у числі 75 множник 3 і одразу відкидає дріб, не скоротивши його. Скорочення 9/75 дає 3/25 — а в 25 є лише множник 5.

Приклад 2. Ділення десяткових дробів

Умова: «Обчисліть 0,84 : 0,021».

Розв'язання. Переносимо кому в дільнику й діленому праворуч, щоб дільник став натуральним числом. У 0,021 кому переносимо на 3 знаки — отримуємо 21. На стільки ж переносимо в 0,84: дописуємо нуль — отримуємо 840. Тепер ділимо: 840 : 21 = 40.

Відповідь: 40.

Типові пастки: відповідь 4 — якщо перенесли кому лише на 2 знаки (0,84 : 21 = 0,04 множать на 100 помилково); відповідь 400 — якщо додали зайвий нуль.

Приклад 3. Вираз зі звичайним і десятковим дробом

Умова: «Знайдіть значення виразу (3/8 + 0,5) : 1,25» (коротка відповідь).

Розв'язання. Переводимо всі дроби до десяткових, оскільки знаменники 8 і 4 (1,25 = 5/4) містять лише 2 і 5:

1. 3/8 = 0,375.

2. 0,375 + 0,5 = 0,875.

3. 0,875 : 1,25. Переносимо кому на 2 знаки: 87,5 : 125 = 0,7.

Відповідь: 0,7.

Пастки: записати відповідь звичайним дробом 7/10 (не приймуть у полі короткої відповіді) або 0,07 (помилка з комою під час ділення 87,5 : 125).

Приклад 4. Періодичний дріб у звичайний (профільний рівень)

Умова: «Укажіть звичайний дріб, що дорівнює 0,(36)».

Варіанти: А) 9/25; Б) 4/11; В) 2/5; Г) 1/3; Д) 36/100.

Розв'язання. Нехай x = 0,(36). У періоді дві цифри (36), тому множимо на 100: 100x = 36,(36). Віднімаємо початкове: 100x − x = 36 → 99x = 36 → x = 36/99. Скорочуємо на 9: x = 4/11.

Відповідь: Б) 4/11.

Дистрактори: 9/25 = 0,36 (скінченний дріб, а не 0,(36)); 2/5 = 0,4; 1/3 = 0,(3); 36/100 = 0,36.

Приклад 5. Текстова задача з десятковими дробами

Умова: «Купили 3 кг яблук по 42,5 грн за кілограм і 1,2 кг груш по 64 грн за кілограм. Скільки гривень решти отримали з 250 грн?» (коротка відповідь).

Розв'язання:

1. Вартість яблук: 3 · 42,5 = 127,5 грн.

2. Вартість груш: 1,2 · 64. Множимо 12 · 64 = 768. У 1,2 один знак після коми — відокремлюємо: 76,8 грн.

3. Загальна вартість: 127,5 + 76,8 = 204,3 грн.

4. Решта: 250 − 204,3 = 45,7 грн.

Відповідь: 45,7.

Нижче зібрано найчастіші помилки, яких припускаються учні під час роботи з десятковими дробами. Ознайомся з ними, щоб не втратити бали на НМТ.

• Неправильна кількість знаків після коми в добутку. Приклад: 0,3 · 0,3 = 0,9 (має бути 0,09); 0,25 · 1,4 = 3,5 (має бути 0,35). Пам'ятай: кількість знаків у добутку дорівнює сумі знаків обох множників.

• Під час ділення переносять кому лише в дільнику. Приклад: 0,84 : 0,021 → 0,84 : 21. Правильно: переносимо кому в обох числах на однакову кількість знаків: 840 : 21 = 40.

• Не скорочують дріб перед перевіркою на скінченність. Наприклад, 9/75 — у знаменнику 75 = 3 · 5². Учень бачить множник 3 і каже «нескінченний», але після скорочення 9/75 = 3/25 = 0,12 — скінченний. Те ж саме з 21/30 = 7/10 = 0,7.

• Переписують цифри замість ділення. 3/8 пишуть як 0,38 або 3,8. Правильно: 3 : 8 = 0,375.

• Вирівнюють числа за останньою цифрою, а не за комою. Наприклад, 12,5 − 3,78 записують так, що 5 стоїть над 8, а не над 7. Правильно: 12,50 − 3,78 = 8,72 (кома під комою).

• Плутають 0,05 і 0,5. 1/20 = 0,05 (а не 0,5). 1/2 = 0,5. Часто учні плутають ці числа, бо обидва містять цифру 5.

• У короткій відповіді НМТ записують звичайний дріб. Наприклад, замість 0,375 пишуть 3/8. Система перевірки не зарахує таку відповідь — вона приймає лише десятковий дріб.

Розуміння того, як саме перевіряють тему на НМТ, допоможе правильно розподілити час і зусилля під час підготовки.

Що вимагає програма

Тема 1.1 програми НМТ з математики прямо вимагає «перетворювати звичайний дріб у десятковий». Перетворення нескінченного періодичного дробу у звичайний позначено літерою «П» (профільний рівень) — на стандартному рівні його не питають, але для високого балу варто знати алгоритм.

Формати завдань

Ключові вимоги до короткої відповіді (завдання 19–22)

• Відповідь записують лише десятковим дробом. Звичайний дріб система не приймає.

• Кома має бути на правильному місці. Наприклад, 0,375, а не 0375 або 3,75.

• Знак «мінус» ставлять перед першою цифрою: −0,35.

• Часткових балів немає: або 0, або 2 бали. Помилка в одному знаку коштує обох балів.

Де ще трапляються десяткові дроби

У завданнях 1–15 (вибір однієї відповіді) десяткові дроби є невід'ємною частиною текстових задач теми 1.2 — на ціну, кількість, вартість і на відсотки. У демоваріанті НМТ-2026 це, зокрема, завдання 3 (відношення величин) і завдання 7 (відсотки).

Довідкові матеріали

Правил дій з десятковими дробами в довідкових матеріалах НМТ немає. Тому всі алгоритми (множення, ділення, перенесення коми) треба пам'ятати. Розв'язання в чернетці не перевіряють, тому завжди перевіряй кількість знаків після коми приблизною оцінкою: 0,25 · 1,4 ≈ 0,25 · 1,5 = 0,375 — отже, відповідь приблизно 0,35, а не 3,5.

Короткі відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення теми.

Найважливіші факти й правила з теми — шпаргалка для повторення перед НМТ.

• Десятковий дріб — це дріб зі знаменником 10ⁿ: 0,375 = 375/1 000 = 3/8.

• Щоб перетворити десятковий дріб у звичайний, запиши цифри без коми в чисельник, а в знаменник — 10ⁿ (n — кількість знаків після коми). Скороти.

• Нескоротний дріб дає скінченний десятковий дріб тоді й лише тоді, коли в знаменнику лише множники 2 і 5. Спершу скороти дріб!

• Якщо в знаменнику є інші множники — десятковий дріб нескінченний періодичний: 1/3 = 0,(3), 5/6 = 0,8(3).

• Додавання й віднімання — кома під комою, знаки вирівнюємо нулями.

• Множення: перемнож без уваги до коми, потім відокрем комою стільки знаків, скільки їх разом в обох множниках.

• Ділення на десятковий дріб: переносимо кому в обох числах праворуч, поки дільник не стане натуральним.

• Відповідь у завданнях 19–22 — лише десятковим дробом: 3/8 → 0,375, −7/20 → −0,35. Знак «мінус» перед першою цифрою.

• Періодичний дріб у звичайний — профільний рівень: 0,(27) = 27/99 = 3/11.

• Корисні відповідності: 1/2=0,5; 1/4=0,25; 3/4=0,75; 1/5=0,2; 1/8=0,125; 3/8=0,375; 1/20=0,05; 1/25=0,04.